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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL PERESTUDIOS GENERALES CIENCIAS

Clculo 3Derivadas parciales, derivada direccional y diferenciabilidadSemestre Acadmico 2015-1

1. Dada la funcin f(x, y) =

2x2y

x4+y2, si (x, y) (0, 0)

0, si (x, y) = (0, 0). Mostrar que f no es

continua en el punto(0, 0), pero tiene derivada direccional en(0, 0)a lo largode cualquier direccin.

2. Hallar la ecuacin del plano tangente al grfico de la funcinf(x, y) = ex sen yen (1, )justificando su existencia. CalcularDvf(1, ), donde v= ( 35 ,

45

).

3. Analizar la continuidad y diferenciabilidad de la funcin

f(x, y) =

x3y3x2+y2

, si (x, y) (0, 0)

0, si (x, y) = (0, 0)

4. Sea f(x, y) =

xy(x2y2)x2+y2

, si (x, y) (0, 0)

0, si (x, y) =(0, 0). Analizar la continuidad de f y

mostrar quefes de clase C1.

5. Dada la funcinf(x, y) =

xy3

x4+y2, si (x, y) (0, 0)

0, si (x, y) =(0, 0). Encontrar en qu sub-

conjunto de R2 la funcin f es:

a) es continua,

b) admite derivadas parciales,

c) diferenciable.

6. Dada la funcin f(x, y) = 2xy2

x2+y4, si (x, y) (0, 0)

0, si (x, y) = (0, 0)

a) Calcular la derivada direccional def en el origen de coordenadas en ladireccin del vectorv= (cos , sen )

b) Determinar si en el origen es vlida la frmula del gradiente,

c) Analizar sifes diferenciable en el origen de coordenadas.

7. Dada la funcin f(x, y) =x2 + y2

a) Mostrar que fes diferenciable en el punto (1, 1)usando la definicin.

b) Hallar la ecuacin del plano tangente al grfico def en el punto (1, 1, f(1, 1)).

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8. Calcular las derivadas parciales de las siguientes funciones:

a) f(x, y)=

xy

x+ y

b) f(x, y) = (x+ y2) ln(xy)c) f(x, y) = ey(x1)

2ln(x+ y2 1)

d) f(x, y) = x+ ln y

x2 + y2

e) f(x, y) =

xyx2+y2

, si (x, y) (0, 0)

0, si (x, y) = (0, 0)

f) f(x,y,z) =ln

x2 + y2 + z2 + sen(x+ 2yz)

9. Si f(x, y) = y4e3x, determinar para que vectores unitarios v= (a, b) la deri-vada direccionalDvf(0, 1)es mxima y para qu vectores es nula.

10. Dada lal funcinf(x, y) = 3

x2(y 1) + 1a) Verificar quefno es diferenciable en el punto (0, 1)

b) Calcular la derivada direccionalDvf(0, 1), siendo vvectoro unitario deR

2.

11. La temperatura en un punto(x, y)en una regin del plano esT(x, y) =x2ey. En qu direccin aumenta ms rpidamente la temperatura en el punto

(2, 1)? Con qu rapidez aumentaTen esa direccin?

12. Sean >1, ( 12

, 12

)yf(x, y) =

|x|1x2+y2

, si (x, y) (0, 0)

0, si (x, y) = (0, 0). Analizar si exis-

te la derivada direccionalDvf(0, 0), al variar, en caso afirmativo calcularla.

13. Encontrar la direccin de mximo crecimiento de las funciones dadas en elpunto indicado:

a) f(x, y) = ln(x2 + 3y2), (2, 1)

b) f(x,y,z) =xey2

cos z, (1, 1, )

c) f(x,y,z) =xyz, (1, 1, 1)

14. Calcular la pendiente de la tangente a la curva de interseccin de la super-ficie z=

36 4x2 4y2 y el planoz=1 en el punto P(1, 2, 4).

15. La interseccin del plano y=1 con el paraboloide z=4x2y2 es una curva. Si se traza la recta tangente aen el punto cuya primera coordenada esx= 1

2, encontrar el punto donde dicha tangente corta al plano YZ.

16. Hallar la ecuacin del plano tangente a la superficieS: z= x2 xy+y2, que

es paralelo al plano 5xyz=

1.

2

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17. Encontrar la ecuacin cartesiana del plano tangente al elipsoide x2

16+

y2

9+

z2

4 =

3 en el punto (4, 3, 2).

18. Dada la funcinf(x, y) =

(x2 y2) ln(x2 + y2), si (x, y) (0, 0)

0, si (x, y) =(0, 0) .

a) Analizar la continuidad def

b) Mostrar que (x, y) R2 \ {(0, 0)} las derivadas parciales de primerorden en (x, y)existen y verifican

f

x(x, y) =f

y(y, x)

c) Es fde clase C1?

19. Encontrar los punto de R2 donde la funcin

f(x, y) =

x2(x2+y2)

52

x4+(x2+y2)4, si (x, y) (0, 0)

0, si (x, y) =(0, 0)

es diferenciable.

20. Dada la funcin

f(x, y) =

sen x3sen y3

x2+y2 , si (x, y) (0, 0)

0, si (x, y) =(0, 0)

Analizar la continuidad de f, y la existencia y continuidad de las derivadasparciales de primer orden.

ABC San Miguel 22 de Mayo de 2015

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