señales y sistema
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ANÁLISIS DE SEÑALES Y SISTEMAS
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE VALPARAISO ESCUELA DE INGENIERIA ELECTRICA
Sebastián Fingerhuth y Gabriel Hermosilla EIE-PUCV
Análisis de Señales y Sistemas (GH, SF) II 2014
Introducción
La transformada de Fourier nos permite representar señales como combinaciones de exponenciales complejas con s=jw.
Es posible expandir la representación de señales a una combinación de exponenciales bases que posean valores arbitrarios de s.
Esta generalización se conoce como transformada de Laplace y permite representar sistemas que no estaban descritos por la transformada de Fourier como sistemas inestables.
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Consideremos un sistema LTI continuo con respuesta al impulso h(t).
La salida del sistema cuando la entrada es 𝑥 𝑡 = 𝑒𝑠𝑡 , es dada por la integral de convolución:
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Si la integral converge:
Donde H(s) es una constante compleja cuyo valor depende de s.
Para s=jw, obtenemos la transformada de Fourier.
Para valores generales de s, se conoce como la transformada de Laplace de la respuesta al impulso h(t).
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Definición:
La Transformada de Laplace de una señal general x(t) se define como:
o transformada bilateral de Laplace.
La variable compleja s puede escribirse como: 𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔
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Se usa el operador , para denotar la transformada de Laplace.
Si s=jw
Representa la Transformada de Fourier.
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si 𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔
Corresponde a la transformada de Fourier de x(t) multiplicada por una señal exponencial real.
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Ejemplo 1.
Considere la señal: con a>0 para asegurar la convergencia según la transformada de Fourier.
La transformada de Laplace es:
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Por lo tanto
Note que la transformada de Laplace converge para valores de Re{s}>-a, esto indica que si a es positiva la T. L, X(s), se puede evaluar en 𝜎 = 0, con lo que obtiene la transformada de Fourier.
En particular, la T. F. no converge para todas las señales y la T. L. converge para algunos valores de Re{s} pero otros no.
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Si a=0, x(t) corresponde al escalón unitario, la transformada de Laplace es:
Obtenida directamente del resultado del ejemplo anterior.
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Ejemplo 2.
Considere la siguiente señal:
Entonces, la transformada de Laplace
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Por lo tanto,
Note que la convergencia es Re{s}<-a debido a que la señal tiende a –infinito.
Esto puede verse como:
Solo si Re{s+a}<0.
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Comparando los resultados del ejemplo 1 y 2, es posible observar que la expresión de la transformada de Laplace es idéntica. Sin embargo, la convergencia es diferente en los dos ejemplos. Esto indica que la transformada de Laplace requiere de la expresión algebraica y el intervalo de valores de s donde sea valida.
El intervalo de valores de s para que la integral converja, se conoce como Región de Convergencia, ROC, de la transformada de Laplace.
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La región de convergencia se representa por medio de un gráfico en el plano complejo, donde los ejes corresponden a la parte real y la parte imaginaria de s.
La ROC obtenida del ejemplo 1 y del ejemplo 2, son mostradas a continuación:
Ejemplo 1 Ejemplo 2
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Ejemplo.
Calcule la transformada de Laplace y la ROC de la siguiente señal:
𝑥 𝑡 = 3𝑒−2𝑡𝜇 𝑡 − 2𝑒−𝑡𝜇 𝑡