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Seminario 8 Estadística y TIC

TAREA SEMINARIO 8

Seminario 8: La distribución normal

►Conceptos básicos de la distribución normalTeorema del Límite Central La Ley de los Grandes Números

►Tipificación de valores y su relación con la campana de GaussAprendamos a mirar las tablas

►EjerciciosEscala de autoestimaAltura de adolescentes andalucesGlucemia basal

EJERCICIOS PARA EL BLOG:

1) Escala de autoestimaEn una muestra de 500 mujeres que reciben asistencia queremos saber como la pobreza afecta a su autoestima. Medimos la autoestima con una escala de actitud de 20 puntos (variable continua). Suponemos que la distribución sigue una curva normal

Media autoestima: 8 Desviación típica: 2

Zx= X - Ẋ / Sx

La media coincide con lo más alto de la campana: 8La desviación típica es de 2 puntos (DE=2)

El 50% tiene puntuaciones>8El 50% tiene puntuaciones<8

Aproximadamente: el 68% puntúa entre 6 y 10 (media +/- 1 DE)el 95% puntúa entre 4 y 12 (media +/- 2 DE)el 99% puntúa entre 2 y 14 (media +/- 3 DE)

a) ¿Qué porcentaje de las destinatarias de la asistencia tienen puntuaciones de autoestima entre 5 y 8?Para ello hay que transformar las puntuaciones en tipificadas (Z)Z= 5 – 8 / 2= -3/ 2= -1,5 DENos vamos a la tabla de la distribución normal y buscamos 1,50:Columna (B): 0,4332 → 43,32% de los valores están entre 5 y 8Columna (C): 0,0668 → 6,68% de los valores están fuera de ese rango.

□ Un poco más del 43% de las destinatarias de asistencia están entre 5 y 8 de autoestima

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□ O si una persona es seleccionada al azar, hay un 43% de posibilidades que la persona tenga una autoestima entre 5 y 8.

b) ¿Qué proporción de mujeres destinatarias tiene una puntuación igual o más de 13 en la escala de autoestima? X= 1313 está entre 12 y 14 que en la curva normal está situado entre +2DE y +3DE

Z= 13 – 8 / 2= 5/ 2= 2,5 DENos vamos a la tabla de la distribución normal y buscamos 2,50:Columna (B): 0,4938 → 49,38% de los valores están entre 13 y 8.Columna (C): 0,0062 → 0,62% de los valores están fuera de ese rango (más de 13).

□ Solo 62 de 10.000 destinatarias de asistencia tienen una puntuación mayor de 13 de autoestima.□ O si una persona selecciona en un archivo donde se alojan los casos al azar hay menos de 1% de oportunidad de que saliera un caso con una puntuación de más de 13 en autoestima.

c) ¿Qué proporción de las destinatarias tiene una proporción entre 4 y 10 en la escala?Al observar la campana de Gauss vemos que la puntuación 4 corresponde a -2DE y 10 a 1DE.Tenemos que calcular el área de la campana que se sitúa entre la media hasta 1DE y además el que existe entre la media y el que se sitúa en -2DE.

Z= 4 – 8 / 2= - 4/ 2= - 2 DENos vamos a la tabla de la distribución normal y buscamos - 2:Columna (B): 0,4772 → 47,72% de los valores están entre 4 y 8.Columna (C): 0,0228 → 2,28% de los valores están fuera de ese rango.

Z= 10 – 8 / 2= 2/ 2= 1 DENos vamos a la tabla de la distribución normal y buscamos 1:Columna (B): 0,3413→ 34,13% de los valores están entre 8 y 10.Columna (C): 0,1587 → 15,87% de los valores están fuera de ese rango (más de 10).

Se suman los valores de la columna (B) de cada uno para sumar el área total desde 4 hasta 10:0,4772 + 0,3413= 0,8185 → 81,85%

□ Casi el 82% de las destinatarias de asistencia tienen una puntuación entre 4 y 10 de autoestima.□ O Si seleccionamos un nombre al azar del archivo de casos hay 82% de probabilidad de que la persona seleccionada puntúe entre 4 y 10 de autoestima.

d) ¿Qué proporción de las destinatarias tiene una proporción entre 10 y 13 en la escala?Z= 10 – 8 / 2= 2 / 2= 1 DE

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Nos vamos a la tabla de la distribución normal y buscamos 1:Columna (B): 0,3413→ 34,13% de los valores están entre 8 y 10.Columna (C): 0,1587 → 15,87% de los valores están fuera de ese rango (más de 10).

Z= 13 – 8 / 2= 5 / 2= 2,5 DENos vamos a la tabla de la distribución normal y buscamos 2,50:Columna (B): 0,4938 → 49,38% de los valores están entre 13 y 8.Columna (C): 0,0062 → 0,62% de los valores están fuera de ese rango (más de 13).

Se restan los valores de la columna (B) de cada uno para restar el área de 8 a 13, el área de 8 a 10, que estaría incluido en el primero:0,4938 + 0,3413= 0,1525 → 15,25%

□ Existe un 82% de probabilidad de que la persona seleccionada puntúe entre 4 y 10 de autoestima.

e) ¿Cuál es la probabilidad de que una destinataria de asistencia seleccionada al azar obtenga una puntuación de 10.5 o menos en la escala de autoestima?

Z= 10,5 – 8 / 2= - 2,5 / 2= 1,25 DE Nos vamos a la tabla de la distribución normal y buscamos 1,75:Columna (B): 0,3944 → 39,44% de los valores están entre 8 y 10,5. Columna (C): 0,1056→ 10,56% de los valores están fuera de ese rango (más de 10,5).

Z= 0 – 8 / 2= - 8 / 2= - 4 DENos vamos a la tabla de la distribución normal y buscamos - 4:Columna (B): 0,49997 → 49,997% de los valores están entre 0 y 8.Columna (C): 0,00003 → 0,003% de los valores están fuera de ese rango.

Hay dos formas de hacerlo:El valor de la columna B (de 10,5) + 0,5= 0,3944 + 0,5= 0,8944

El valor de la columna B (de10,5) + el valor de la columna B y C (de 0 a 8)== 0,3944 + 0,49997 + 0,00003= 0,8944

□ Existe un 89,4% de probabilidad de que una destinataria de asistencia seleccionada al azar obtenga una puntuación de 10.5 o menos en la escala de autoestima.

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2) Ejercicio de adolescentes en AndalucíaSupongamos que la altura de adolescentes en Andalucía a los 10 años sigue una distribución normal, siendo la media 140 cm y la desviación típica 5 cm.

1.1 ¿Qué porcentaje de niños tienen una talla menor de 150 cm?Zx= X - Ẋ / Sx

Z= 150 – 140 / 5= 10/ 5= 2 DENos vamos a la tabla de la distribución normal y buscamos 2:Columna (B): 0,4772 → 47,72% de los valores están entre 140 y 150cm.Columna (C): 0,0228 → 2,28% de los valores están fuera de ese rango (más de 150cm)

Hay 2 formas de hacerlo. Una de ellas:0,4772 + 0,5= 0,9772 □ El 97,72% de los niños tienen una talla menor de 150cm.

2.1 ¿Qué porcentaje de niños tienen una talla por encima de 150cm?Cogemos el dato de la columna C.□ El 2,28% de los niños tienen una talla por encima de 150cm

3.1 ¿Cuál es el porcentaje de niños con una talla comprendida entre 137,25 y 145,50 cm?Zx= X - Ẋ / Sx

Z= 137,25 – 140 / 5= - 2,75/ 5= - 0,55 DENos vamos a la tabla de la distribución normal y buscamos – 0,55:Columna (B): 0,2088→ 20,88% de los valores están entre 135,7 y 140 cm.Columna (C): 0,2912 → 0,2912% de los valores están fuera de ese rango (menos de 135,7 cm)

Z= 145,5 – 140 / 5= 5,5/ 5= 1,1 DENos vamos a la tabla de la distribución normal y buscamos 1,1:Columna (B): 0,3643→ 36,43% de los valores están entre 140 y 145,5 cm.Columna (C): 0,1357 → 13,57% de los valores están fuera de ese rango (más de 145,5cm)

Se suman los valores de la columna (B) de cada uno de los valores, para sumar el área total desde 135,7 hasta 145,5:0,2088 + 0,3643 = 0,5731

□ El 57,31% de los niños tienen una talla comprendida entre 137,25 y 145,50cm.

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3) Ejercicio: Glucemia basalLa glucemia basal de los diabéticos atendidos en la consulta de enfermería puede considerarse como una variable normalmente distribuida con media 106 mg por 100ml y desviación típica de 8 mg por 100 ml N (106;8)

3.1. Calcula la proporción de diabéticos con una glucemia basal inferior o igual a 120Zx= X - Ẋ / Sx

Z= 120 – 106/ 8= 14/ 8= 1,75 DENos vamos a la tabla de la distribución normal y buscamos 1,75:Columna (B): 0,4599 → 45,99% de los valores están entre 106 y 120cm.Columna (C): 0,0401 → 4,01% de los valores están fuera de ese rango (más de 120cm).

Hay dos formas de hacerlo. La más fácil:0,4599 + 0,5 = 0.9599

□ La proporción de diabéticos con una glucemia basal de 120 mg por 100 ml es 0,9599. □ Existe una probabilidad del 95,99% que un diabético seleccionado al azar en esta población tenga una glucemia basal inferior a 120 mg por 100 ml.

3.2. La proporción de diabéticos con una glucemia basal comprendida entre 106 y 110 mg por ml.Zx= X - Ẋ / Sx

Z= 110 – 106/ 8= 4 / 8= 0,5 DENos vamos a la tabla de la distribución normal y buscamos 0,5:Columna (B): 0,1915 → 19,15% de los valores están entre 106 y 110cm.Columna (C): 0,3085 → 30,85% de los valores están fuera de ese rango (más de 110cm).

□ La proporción de diabéticos con una glucemia basal entre 106 y 110mg por 100 ml es 0,1915. □ Existe una probabilidad del 19,15% que un diabético seleccionado al azar en esta población tenga una glucemia basal comprendida entre 106 y 120 mg por 100 ml.

3.3. La proporción de diabéticos con una glucemia basal mayor de 120 mg por 100 ml.Hay 2 formas:1) Miramos la columna C del apartado 1): 0,0401 → 4,01%□ La proporción de diabéticos con una glucemia basal mayor de 120 mg por 100 ml es 0,0401. □ Existe una probabilidad del 4,01% que un diabético seleccionado al azar en esta población tenga una glucemia basal mayor de 120 mg por 100 ml.

2) como conocemos la proporción de diabéticos con una glucemia basal inferior o igual a 120mg por ml: 1 - 0.9599 = 0,0401

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3.4. El nivel de glucemia basal tal que por debajo de él están el 25% de los diabéticos, es decir, el primer cuartil.Buscamos en la tabla en los valores de las probabilidades, no en la columna Z, ya que en nuestro caso conocemos el valor de la probabilidad y necesitamos conocer el valor de Z.El valor 0,25 no aparece exacto en la tabla. El valor inmediatamente menor es 0,2483 (columna C) que corresponde a Z=-0,68; y el valor inmediatamente mayor es 0,2514 que corresponde a Z=-0,67.El valor que buscamos es prácticamente la media de los dos anteriores, por lo tanto tomamos – 0,675 como valor medio que correspondería al primer cuartil.Ya tenemos el valor Z, ahora despejamos el valor de la variable X de la fórmula:Zx= X - Ẋ / Sx → – 0,675= (X – 106) / 8 → (X – 106) = – 0,675 . 8→ (X – 106) = - 5,4 → X= - 5,4 +106 = 100,6

□ El 25% de los diabéticos de la población estudiada tienen una glucemia basal inferior a 100,6mg /ml.

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