8/16/2019 Semana3-ejercicios

http://slidepdf.com/reader/full/semana3-ejercicios 1/5U   P   N  i  v  e e

  n M  a  t  e U

   P

  a  t  e

 U   P   N

  i  v  e e  n M

  a  t  e U

   P

  a  t  e U   P

   N  i  v  e

 e  n M  a  t  e

 U   P

  a  t  e

 U   P

   N  i  v  e  a  t

Ejercicios de la semana 3

Nivelacion en Matematicas Lunes 4 de abril de 2016

1. Un terreno cuadrado tiene x   metros por lado, siendo  x >  4. Se vende una parte rectangular de 4metros de ancho por   x  metros de largo y luego otra parte rectangular de 4 metros de ancho por(x − 4) metros de largo. Expresa el area de la parte del terreno, que queda sin vender, en terminosde  x.

2. Calcule√ 

9 × 11 × 101 × 10001 + 1.

3. Si  1

a2 +

  1

b2 = 8. Calcular

  [(a + b)2 + (a − b)2]2

(a4 + b4)2 − (a4 − b4)2.

4. Si   1x

 +  1y

  =   4x + y

, calcule  R  =   x3 + x2y + xy2 + y3

x3 + y3  .

5. Sea  x ∈R tal que 3x + 3−x = π. Calcule el valor de 9x + 9−x.

6. Demuestre que no existe un numero  x ∈R tal que  x2 + x + 1 = 0.

7. Sean  x, y ∈ N  tales que 2x2 − 4x + 4 + y2 − 2xy = 0, determine el valor de   x 

y3 − 4.

8. Sean  x, y, z ,w ∈ R+ tales que (x + y + z + w)2 = 4(x + z)(y + w). Calcule el valor de

x + z

y + w2

+ x − y

z −

w2

.

9. Sean  x, y ∈ R+ tales que  x2 + y2 = 62xy, determine el valor de

x + y√ 

xy

1

3

.

10. Sean  x, y ∈ R  tales que  x > y > 0. Determine el valor numerico de la expresion

E  = [log(x)]2 − [log(y)]2

log(x/y)  + log

xlog(y)

donde  x1+log(y) =  10

y .

11. Sean  a, b ∈R+ tales que

a

b

n

+ 4

b

a

n

= 725. Determine el valor de   3

 an + 2bn√ 

anbn.

12. Racionalice y simplifique la siguiente expresion

3√ 

2 − √ 6

6√ 

2(3 +√ 

3).

13. Determine el valor simplificado de

A = 2log2(2−3) + 4−8−1/3

+ (log3(27) + log3(3))− log16(2)log(√ 10)

c2016 Todos los derechos reservados. Prohibida su reproduccion parcial o total.

1

8/16/2019 Semana3-ejercicios

http://slidepdf.com/reader/full/semana3-ejercicios 2/5U   P   N  i  v  e e

  n M  a  t  e U

   P

  a  t  e

 U   P   N

  i  v  e e  n M

  a  t  e U

   P

  a  t  e U   P

   N  i  v  e

 e  n M  a  t  e

 U   P

  a  t  e

 U   P

   N  i  v  e  a  t

14. Justifique por que son falsas las siguientes proposiciones

a ) ∀a ∈R,   [ (a + 1)2 = a2 + 1 ]

b) ∀x ∈R,   [  x2 − 1 = (x − 1)2 ]

15. Calcule el valor de

  16 17(2

4

− 1)(2

8

+ 1)(2

16

+ 1) + 1.16. Si  a − b = 5 y  a2 + b2 = 3, calcule el valor de  T   = a3 − b3.

17. Sean  b > 1 y  x > 0. Si  b2x + b−2x =√ 

5, determine el valor de  C  = b2x − b−2x.

18. Demuestre que no existen numeros  a, b ∈R tales que  a + b = −2 y  ab  = 2.

19. Sea  r > 0 tal que   3√ 

r +  13√ 

r = 3, determine el valor de  r3 +

  1

r3.

20. Si  x > 0 y  x2 + 3x = 9, calcule 

x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1.

21. Si  x  = √ 2 + 1, determine el valor de  4 √ 2(x + 1)(x

2

+ 1)(x4

+ 1) + (x − √ 2).

22. Sea  x ∈R− {0}. Determinar el valor numerico de la expresion

E  =

x4 + 1

x2

2

−

x4 − 1

x2

2

23. Si  x + 1

x − 1 = −1

y, calcule  L  =

 (1 + x2)(1 + y2)

(x + y)2  +

  (x + y)2

(1 + x2)(1 + y2)

24. Los numeros  x  e  y   satisfacen las siguientes ecuaciones:

(x + 1)2 + (1 + y)2 = (10 − x − y)2

xy + x + y = 11

Calcule el valor de  x + y.

25. Sean  a, b ∈R tales que  ab(a + b) = 1 y   a3b3(a3 + b3) =  5

2. Calcule  a2b2(a2 + b2).

26. Sean  x, y ∈ R  tales que  x2 + y2 = 2x − 1. Calcule el valor de  x + y.

27. Sean  x, y, z ∈ R tales que  x − y + z  = 0, determine el valor de  x3 + z3 + 2xyz

y3 − xyz  .

28. Sean  x, y ∈ R+ tales que

  x

2y +

 2y

x = 2, determine el valor de

x

y

8

.

29. Racionalice cada una de las siguientes expresiones:

a )  x +

√ x2 − 1

x − √ x2 − 1

b)

√ x + h − √ 

x

h

c )  1 − √ 

x

1 − x

d )  1 − √ 

1 − x2

x

30. Justifique por que son falsas las siguientes proposiciones

a ) ∀x ∈R,   [ (x + 1)3 = x3 + 1 ]

2

8/16/2019 Semana3-ejercicios

http://slidepdf.com/reader/full/semana3-ejercicios 3/5U   P   N  i  v  e e

  n M  a  t  e U

   P

  a  t  e

 U   P   N

  i  v  e e  n M

  a  t  e U

   P

  a  t  e U   P

   N  i  v  e

 e  n M  a  t  e

 U   P

  a  t  e

 U   P

   N  i  v  e  a  t

b) ∀x ∈R,   [  x3 − 1 = (x − 1)(x2 − x + 1) ]

c ) ∀x ∈R,   [  x6 − 1 = (x3 − 1)2 ]

31. Si p(x) = (a2− 9)x3 + (5 − b)x + 7 es un polinomio lineal monico, determine el menor valor de  a + b.

32. Si el polinomio  p(x) = (a − 1)x

3

+ (b − 2)x

2

+ 3x + 8 es de grado 2 y monico, determine el valor dea + b.

33. Dado  p(x) = xn + xn−1 + 5x − 3, calcule  p(−1)

34. El termino independiente y el coeficiente principal del polinomio

 p(x) = (x2 + 5 − 3x)(x + n + 6xn)(x2 + 2x4 + n + 1)(−1 − 5xn + 10xn−1)

son iguales. Determine el grado de  p(x).

35. Determine el grado del siguiente polinomio

 p(x) = (x + 1)(x2 − 1)(x3 + 1)(x4 − 1)(x5 + 99).

36. Sean   p(x) y   q (x) dos polinomios tales que grad( pq ) = grad( p). Si   p(x) no es el polinomio nulo,demuestre que  q (x) es un polinomio constante no nulo.

37. Si  p(x) = 2x − 2, calcule p( p( p(1))).

38. Determine el termino central del polinomio

 p(x) = nx + (n − 1)x2 + (n − 2)x3 + · · · + xn

Sabiendo que la suma de sus coeficientes es 153.

39. Si p(x) es un polinomio tal que  p(5) = 10 y  p(x + 1) = p(2x + 1) − x + 2, determine el valor de p(3).

40. Si  p(x) = x2 + 2x4 + 3x6 + . . . + 51x102, determine el valor de

E  =  p(3) + p(1) − p(−3)

41. Dados los siguientes polinomios:

 p(x) = −5(x2 − 3x − 1)6(2 − x)5 y   q (x) = (1 + x)(1 + x2)(x − x2) + x5.

Calcule el termino independiente y la suma de coeficientes del polinomio  p(x) + q (x). Tambien,

determine el grado de los polinomios  p(x),  q (x) y  p(x)q (x).

42. Si  p(x − 1) = 2x + 4, determine p(x + 5).

43. Sea  p(x + 1) = x2 + 1. Calcule la suma de coeficientes de  q (x), si se cumple que

q (x − 1) = p(x + 3) + p(3 − x)

44. Sea el polinomio p(2x − 1) = (5x − 1)m + (2x + 1)m − 2x + 1

Determine el valor de  m  si se cumple, en el polinomio  p(x), que la suma de coeficientes y su termino

independiente suman 24 + (32)

m

+ 2m

.

3

8/16/2019 Semana3-ejercicios

http://slidepdf.com/reader/full/semana3-ejercicios 4/5U   P   N  i  v  e e

  n M  a  t  e U

   P

  a  t  e

 U   P   N

  i  v  e e  n M

  a  t  e U

   P

  a  t  e U   P

   N  i  v  e

 e  n M  a  t  e

 U   P

  a  t  e

 U   P

   N  i  v  e  a  t

45. Sean  p(x) y  q (x) dos polinomios tales que  p(q (x) − 4) = x  + 4 y   p(x + 2) =  x − 1. Calcule elvalor de  q (1).

46. Determinar que polinomios pertenecen a  Z[x].

a )   p1(x) = x4

−x3 + x2

−x + π

b)   p2(x) = (√ 2x + 1)(√ 2x − 1) + 2

c )   p3(x) = (x + π)2 − π2

d )   p4(x) =   x2

2   +   (x+1)2

2   +   64 .

47. En el polinomio p(x) = (2x−1)2n+1+n(2x2−3x+1)n2

+2n+5 se cumple que la suma de coeficienteses igual al termino independiente. Determinar el grado del polinomio.

48. Sean   n ∈  N. Si el polinomio  p(x) =  nxn + (n − 1)xn−1 + · · · + 2x2 + x  satisface que su suma decoeficientes es 10, determine el grado del polinomio  p(x)2( p(x) + 1)3.

49. Sea p(x) un polinomio cumpliendo  p(x + 1) = p(x)−

x2 + 4. Encuentre el termino independiente de p(x), sabiendo que la suma de sus coeficientes es 10.

50. Sea  a ∈N, determine el grado de los siguientes polinomios

a )   p(x) = (1 − xa)(xa + x3a)(1 + xa) + x5a.

b)   q (x) = (1 + x)a(1 − xa)(1 + x2)a.

51. Sea  p(x) un polinomio no nulo. Demuestre que grad( p2) = 2grad( p).

52. Sean  p(x) = 2x + 4 y  q (x) = x − 1 dos polinomios. Calcule el valor de  p(q ( p(q (4)))).

53. Sean  p(x) = 3x + 7 y  q (x) = 3x

− 2 dos polinomios. Determine el valor de:

E  =  p(q (1)) + q ( p(1)).

54. Dado el polinomio p(x − 1) = 4(x − 2)4 + 5x − 8, determine la suma de coeficientes.

55. Determine un polinomio monico de grado 2 cuya suma de coeficientes es igual a 2 y su terminoindependiente es igual a 1.

56. Si  q (x) = 3b(1 − x)101 − √ 8 y  p(x) =  π(1 − x)99 + b

√ 2 son polinomios. Sabiendo que el termino

independiente de  q  es√ 

2, determinar la suma de coeficientes del polinomio  p.

57. Sea  p(x

− 1) = 16x96

− 2x99 + 2x + 3. Calcule la suma de coeficientes del polinomio  p(x).

58. Si  p(x) es un polinomio tal que  p(x + 1) − p(x) = x, determine el valor de

 p(4) − p(0).   p(2) − p(−2).

59. Sea  p(x − 1) = 16x96 − 2x99 + 2x + 3. Calcule  p(1).

60. Sea p(x) = ax2+ bx+c un polinomio de grado 2 tal que p(1) = 0. Determine el valor de (a+ b)3+c3.

61. Sean a, b, c ∈ R tales que p(x) = ax2+b y p( p(x)) = 8x4+24x2+c, determine el valor de E  =  a+b+c.

62. Sea  n ∈N y  p(x) = 1 + x + x2n + x4n + x6n + . . . + x2n(n+1), determine el valor de

E  =  p(2) + p(1) + p(−1) − p(−2).

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8/16/2019 Semana3-ejercicios

http://slidepdf.com/reader/full/semana3-ejercicios 5/5U   PN  i  v  e e

  n M  a  t  e U

   P

  a  t  e

 U   P   N

  i  v  e e  n M

  a  t  e U

   P

  a  t  e U   P

   N  i  v  e

 e  n M  a  t  e

 U   P

  a  t  e

 U   P

   N  i  v  e  a  t

63. Sea  n ∈N y  p(x) = x2n + x4n + x6n + . . . + x2n2−2n + x2n2 , determine el valor de

E  =  p(2) + p(1) − p(−2).

64. Determine la suma de coeficientes del polinomio p(x) si se sabe que

 p(2x + 1) = 2(4x − 2)8 − (x − 1)(x − 2)9 + (3x − 1)11

65. Determine cual de los polinomios pertenece a  Z[x]

a )   p1(x) = (x + π)2 + (x − π)2

b)   p2(x) = x3 + x2 + 1

c )   p3(x) = x2

3  +

 x

6 +

 1

6

5