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INSTITUTO INTEGRADO DE COMERCIO – BARBOSA, SANTANDER GUÍAS DE TRABAJO ACADÉMICO

Emergencia sanitaria COVID 19 - 4° PERIODO 2020

Semana 7 y 8

FUNCIÓN CUADRÁTICA Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑠𝑜𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑦 𝑎 ≠ 0 𝐷𝑜𝑚𝑓(𝑥): 𝑅𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑅𝑎𝑛𝑓(𝑥): Ejemplo: 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 1

Términos en la ecuación cuadrática: en esta ecuación cada término tiene su nombre 𝑎𝑥2 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑏𝑥 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑐 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

Gráfica de la función cuadrática: esta función tiene como representación gráfica una parábola, que puede abrirse hacia arriba o hacia abajo dependiendo del signo de 𝑎

Elementos de la Parábola:

Orientación de la parábola: la orientación o concavidad de la parábola depende del valor de "𝒂" así: Si 𝑎 > 0 (es decir positivo) la parábola abre hacia arriba, en este caso decimos que es cóncava Si 𝑎 < 0 (es decir negativo) la parábola abre hacia abajo, en este caso decimos que es convexa

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Además, si "𝑎 > 1" la parábola será más cerrada, a su vez cuando "𝑎 < 1" la parábola es más abierta.

Punto de corte con el eje de ordenadas o eje "𝑦": Una parábola siempre corta el eje de ordenadas o eje “𝑦” en un punto. donde 𝑥 = 0, y es el punto de coordenadas (0, 𝑐). Este punto se llama el intercepto con el eje “𝑦”.

Ejemplo: halle el intercepto con el eje “𝑦” de: 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2 Solución: en esta función 𝑐 = 2, por lo tanto el intercepto es el puno (0,2)

El eje de simetría: es la recta que divide la parábola en dos partes exactamente iguales.

El vértice: es el punto máximo o mínimo de la parábola. Las coordenadas del vértice de una parábola son:

𝑏 𝑏

Ejemplo: describa las características de la gráfica de: 𝑓 = 3𝑥2 − 2𝑥– 7

Es una parábola que abre hacia arriba (𝑎 = 3 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜) Además es más cerrada ya que 𝑎 > 1

Puntos de corte con el eje “x”: estos puntos se denominan las

𝑥 = − 𝑦 = 𝑓 (− ) 2𝑎 2𝑎

Ejemplo: encuentre el vértice de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 1 Solución: los datos son los de la ecuación: 𝑎 = 1 𝑏 = −4 𝑐 = 1 Se calcula 𝑥:

raíces o los interceptos con el eje “x”. Para hallar estos valores se iguala la ecuación a cero (𝑓 = 0), y se pueden halar utilizando la fórmula:

𝑏 𝑥 = −

2𝑎

−4 𝑥 = −

2 ∗ 1

4 =

2 = 2

𝑥 =

−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Se calcula 𝑦:

𝑦 = 𝑓 (− 𝑏

) 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 1

Ejemplo: calcule las raíces o interceptos con el eje “x” de: 𝑓 = 𝑥2 − 𝑥 − 6

Solución: se iguala la función a cero 𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0

Datos: son los coeficientes de la ecuación

Como 𝑥 = 1 2𝑎

𝑦 = 22 − 4 ∗ 2 + 1 𝑦 = −3

𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒: (2, −3)

𝑎 = 1 𝑏 = −1 𝑐 = −6 Se aplica la ecuación

Como la parábola abre hacia arriba este punto es un MÍNIMO

𝑥 = −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎 𝑥 =

−(−1) ± √(−1)2 − 4 ∗ 1 ∗ −6

2 ∗ 1

𝑥 = 1 ± √1 + 24

2 𝑥 =

1 ± √25

2 𝑥 =

1 ± 5

2

Son dos valores, uno para (+) y el otro para (−)

Ver a gráfica

𝑥 = 1 + 5

2 = 3 𝑥 =

1 − 5

2 = −2

Actividad Calcular los puntos de corte con el eje "𝑥" y con el eje "𝑦". Calcule las coordenadas del vértice y diga si es mínimo o máximo, para 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 – 8𝑥 + 4 Luego haga una tabla de datos y trace la gráfica

𝑎 < 0 𝑎 > 0

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ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Una ecuación cuadrática o de segundo grado es una igualdad en la que la incógnita está elevada al cuadrado. La forma general de la ecuación cuadrática es:

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 donde: 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ 0 Ejemplo: 5x2 − 3x + 8 = 0

Entonces se despejan los valores de la variable y estos valores son las raíces o solución. Ejemplo: resuelva 𝑥2 + 5𝑥 + 6 = 0 Solución: se factorizar:

(𝑥 + 3)(𝑥 + 2) = 0 Se igualan los factores a cero

(𝑥 + 3) = 0 ó (𝑥 + 2) = 0 Se despeja “x” de cada factor:

𝑥 = −3 ó 𝑥 = −2 Solución de ecuaciones de segundo grado Un gráfico de la función cuadrática en el plano cartesiano, muestra la posición relativa de la parábola respecto al eje "𝑥"

Respuestas: 𝑥1 = −3 𝑥2 = −2

y sus raíces o soluciones (interceptos con el eje "𝑥").

La parábola corta el eje 𝑥 en dos puntos

Por fórmula general No todas las ecuaciones cuadráticas son factorizables, cuando el proceso de factorización no es sencillo se puede usar la fórmula general, que se da enseguida.

En este caso la ecuación cuadrática tiene dos soluciones o raíces reales y son los puntos donde la curva

𝑥 = −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

intersecta el eje. (puntos 𝐴 𝑦 𝐵)

La parábola toca el eje 𝑥 (es tangente al eje).

En este caso la ecuación cuadrática tiene una solución o

Donde 𝑎, 𝑏, 𝑐 son números reales así: 𝑎: 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑏: 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑎 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐: 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

Ejemplo: resuelva 3𝑥2 − 4𝑥 + 1 = 0 𝑎 = 3 𝑏 = −4 𝑐 = 1

−(−4) ± √(−4)2 − 4(3)(1)

raíz real y es el punto donde la curva intersecta el eje. (puntos 𝐴)

𝑥 =

4 ± √16 − 12

2(3)

4 ± √4

4 ± 2

La parábola NO intersecta el eje "𝑥"

𝑥 = 6

=

6

6 =

6

2 1

En este caso la ecuación cuadrática

𝑥1 = 6

= 1 ó 𝑥2 = 6

= 3

NO tiene solución o raíz real (la gráfica no intersecta el eje 𝑥), la

Respuesta: las raíces son 𝑥1 1

= 1 𝑦 𝑥2 = 3

solución está en los números imaginarios.

Se denomina Discriminante a la expresión

Y se puede interpretar así:

∆= √𝑏2 − 4𝑎𝑐

Se pueden utilizar dos formas: por factorización o utilizando la fórmula general cuadrática.

Por factorización: Después de ordenar la ecuación igualándola a cero, se factoriza (en dos factores), luego se aplica la propiedad:

𝑎 ∗ 𝑏 = 0 ↔ 𝑎 = 0 ó 𝑏 = 0 ó 𝑎𝑚𝑏𝑎𝑠

Si el √𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0, la ecuación tiene única solución real

Si el √𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales

Si el √𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0, la ecuación no tiene solución real. La

solución es Imaginaria.

Actividad: Resuelva por factorización las siguientes ecuaciones

a. 𝑥2 − 4𝑥 − 60 = 0 b. 𝑥2 + 8𝑥 + 15 = 0

Actividad: Resuelva por fórmula general las siguientes ecuaciones

a. 6𝑥2 + 7𝑥 + 2 = 0 b. 4𝑥2 − 11𝑥 − 3 = 0

Para resolver una ecuación cuadrática lo primero que se debe hacer es ordenarla con base en el mayor exponente, así: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

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PROBLEMAS CON ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Recomendaciones En general para solucionar problemas con ecuaciones cuadráticas se recomienda:

0 = 𝑥2 – 26𝑥 + 169 − 2𝑥 − 22 𝑥2 – 28𝑥 + 147 = 0

Aplicando la Fórmula:

− (−28) ± √784 − 4 ∗ (1) ∗ (147)

𝑥 =

2 ∗ (1) Leer y comprender el enunciado Identificar la incógnita

𝑥 =

28 ± √784 − 588

2 𝑥 =

28 ± √196

2

Traducir a lenguaje algebraico y plantear la ecuación Resolver factorizando o aplicando la fórmula general Comprobar las soluciones

𝑥1 = 28 + 14

2 =

28 − 14

42

2 𝑥 = 21

14

Ejemplo: La suma de los cuadrados de dos números naturales 𝑥2 = 2

= 2

𝑥 = 7

consecutivos es 313. ¿Cuáles son los números?

Primer número: 𝑥 El consecutivo: 𝑥 + 1 Sus cuadrados: 𝑥2 𝑦 ( 𝑥 + 1)2

Ecuación: 𝑥2 + (𝑥 + 1)2 = 313

Desarrollando: 𝑥2 + 𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 313 Simplificando:

2𝑥2 + 2𝑥 − 312 = 0

Aplicando la ecuación cuadrática:

Por lo tanto la edad de Pedro es 21 años.

Actividad Resuelva los siguientes problemas

1. El área de un rectángulo es 600 cm2. Calcula las dimensiones del rectángulo sabiendo que su perímetro es 100 metros (perímetro es la suma de todos sus lados).

2. La suma de dos números es 20 y la suma de sus cuadrados

es igual a 208. ¿Cuáles son los números?

𝑥 = −2 ± √22 − 4 ∗ 2 ∗ (−312)

2 ∗ 2