1

Semana 13 : Tema 10 Dinámica del

movimiento rotacional

• 10.1 Momento de una fuerza y aceleración

angular

• 10.2 Rotación alrededor de un eje en

movimiento

• 10.3 Trabajo y potencia en el movimiento

rotacional

• Capítulo 12 Dinámica de la rotación

2

Momento de una fuerza y

aceleración angular

3

Momento de una fuerza o Torca

. vectorelpor

dado está Oorigen

al en tornoposición cuya P puntoun en aislada

partícula una sobre actúa que fuerza una Sea

→

→

r

F

4

[ ] mN

rFFrrFdonde

Fr

Fyrdecruzproductovectorial

productodeltérminosendefine

seOorigenalrespectoconpartícula

unasobreactúaqueTORCALa

−=

===

×=

⊥⊥

→→→

→→

→

τ

θτ

τ

τ

)sen(

:)(

5

Ejemplo 13.1

• Dada la figura hallar la torca

6

Ejemplo 13.2Un fontanero que no puede aflojar una junta ensarta

un tramo de tubo en el mango de su llave de tuercas

y aplica todo su peso de 900 N al extremo del tubo

poniéndose encima de el. La distancia del centro de

la junta al punto donde

actúa el peso es de 0.80

m, y el mango del Tubo

forma un ángulo de 19°

con la horizontal. Calcule

la magnitud y dirección

del momento de torsión

que aplica respecto al centro de la junta.

7

• Sea un cuerpo rígido que pivotea alrededor

del eje “z”, como se ilustra:

φτ

φτφ

θφ

φ

ddW

drdF

rdF

sdFdW

rdds

=⇒

==

==

=•=

=

⊥

→→

)cos(..

8dtIdK

dtd dt

d

dIdIdKIK

dt

dt

dddrFdW

FF

ext

i

n

i

iii

n

i

neto

ωα

αωαω

ωωωωω

ωτ

ωφ

φτφθ

=

==

==⇒=

Σ=

=== ∑∑==

→→

que obtenemos como

22

1

2

1

:parteotraPor )(

como;)()cos(

:rotacióndeejesuanormalplano

elencuerpodelpuntosdiferentesa

aplicanse,...,,fuerzasvariasSi

2

11

21

9

maF

NewtondeleySegundaLade

rotaciónladeoanáelEs

I

obteniendo

dtIdtdKdW

da

EnergíaTrabajoteoremaElLuego

ext

ext

ext

=Σ

=Σ

=Σ⇒=

log

)(

:

)(

:

ατ

ωαωτ

10

.

log

:

traslacióndemovimientoalpara

FvProtacióndeaanálaEs

dt

d

dt

dWP

parteotraPor

=

=== τωφτ

11

12

Ejemplo 13.3:

:calcular,1distanciaunacaídoham

bloqueelCuandoreposo.delliberasesistema

elqueyresbalasenocuerdalaquepolea,la

deejeelenfricciónhaynoquesSupondremo

.5.0radiosuy.5inercia

demomentountienepolealay,5y

2masastienenbloqueslosfigura,laEn

2

2

2

1

mh

mRmkgI

kgm

kgm

=

==

=

=

13

• (a) la velocidad lineal de los bloques, (b) la

velocidad angular de la polea, c) la

aceleración lineal de las masas, (d) la

aceleración angular de la polea, y (e) la

tensión de la cuerda en ambos lados de la

polea.

14

Ejemplo 13.4: Cable que se desenrolla I:

Un cable ligero, flexible y que no se estira está

enrollado en el tambor de un torno, un cilindro

sólido de 50 kg y 0.12 m de diámetro, que gira

sobre un eje fijo horizontal montado en cojinetes

sin fricción. Una fuerza constante de magnitud

9.0 N tira del extremo libre del cable una

distancia de 2.0 m. El cable no resbala, y gira el

cilindro al desenrollarse. Si el cilindro estaba en

reposo, calcule su velocidad angular y la rapidez

final del cable

15

16

Ejemplo 13.5:Cable que se desenrolla II:En un experimento para probar la conservación de la energía en el movimiento de rotación, enrollamos un cable ligero flexible en un cilindro sólido de masa M=3 kg y radio R=0.12 m. El cilindro gira con fricción insignificante sobre un eje horizontal fijo. Atamos el extremo libre del cable a una masa m= 1.2 kg y soltamos esta sin velocidad inicial a una altura h=1 m sobre el piso. Al caer la masa, el cable se desenrolla sin estirarse ni resbalar, haciendo girar el cilindro. Calcule la rapidez de la masa y la velocidad angular del cilindro justo antes de que la masa golpee el piso

17

18

Movimiento de rotación y

traslación combinado

αω

ωθ

θ

Rdt

dR

dt

dVa

Rdt

dR

dt

dsV

Rs

cmcm

cm

===

===

=

19

Eje Instantáneo de Rotación

20

CMTCMRCMCM

CMCM

CMCM

CMi

KKMVI

R

VMRI

RvperoMRI

MhIIK

,,

22

2

222

222

222

2

1

2

1

2

1

2

1

,2

1

2

1

)(2

1

2

1

:tenemos

cilindrodeltotalenergíalaaRespecto

+=+=

+=

=+=

+==

ω

ω

ωωω

ωω

21

Ejemplo 13.6:Rapidez de un yoyo básico:

Se hace un yoyo básico enrollando un cordel varias veces alrededor de un cilindro sólido de masa M= 0.5 kg y radio R=0.06 m. Usted sostiene fijamente el extremo del cordel y suelta el cilindro desde el reposo. El cordel se desenrolla sin resbalar ni estirarse

a medida que el cilindro

gira y cae. Use conside-

raciones de energía para

calcular la rapidez del CM

del cilindro sólido después

de caer una altura h= 1m.

22

Ejemplo 13.7:Carrera de cuerpos rodantes

En una demostración, un profesor pone a

“competir” diversos cuerpos rígidos redondos

soltándolos del reposo desde arriba de un plano

inclinado.¿Qué forma debe tener un cuerpo

para llegar el primero a la base?

23

Ejemplo 13.8:

Una barra uniforme de longitud 1.5 m y masa de 3kg

que está pivoteada en su extremo inferior en el punto

O se libera a partir del reposo cuando está en posi-

ción vertical. Cuando pasa por la posición horizontal,

calcular: (a) la velocidad angular de la varilla,b) su

aceleración angular, c) las compo-

nentes horizontal y vertical de la

aceleración del CM , y (d) las com-

ponentes horizontal y vertical de la

fuerza de reacción que ejerce el

pivote sobre la varilla. Suponer

que no hay fricción.

24

Ejemplo 13.9Determina la velocidad de rotación de una esfera de

radio 0.3 m y masa 5 kg que puede girar en torno a

un eje que pasa por su centro geométrico, sabiendo

que parte del reposo y

que se aplica una

fuerza de 50 N

tangencial en un

punto del ecuador

durante 6 s.

25

Tarea 17

El profesor orienta la tarea y se pone de

acuerdo con los estudiantes hasta que día se

hace el examen correspondiente a esta tarea.