semana 07 conteo de figuras

7/24/2019 Semana 07 Conteo de Figuras

1/7

1

2

34

56

7

8

Rpta : .

Rpta : .

Rpta : .

1 2 3 n

SESIN 07

CONTEO DE FIGURAS

APRENDIZAJES ESPRADOS:

Ejercitar y potenciar la facultad de

obseraci!n y percepci!n " isual.

#escubrir y aplicar $%todos para reali&ar elconteo de diersas '(uras.

CONTEO DE FIGURAS

Para algunos de estos problemas se dispone deciertos mtodos sistemticos o frmulaspreestablecidas, mientras que para otros solopodemos contar con nuestra intuicin e imaginacinpara obtener la solucin. Haremos entonces un

estudio por separado de los casos que se conoce.

1. MTODO COMBINATORIO

El presente mtodo consiste en anotar unnmero o smbolo en c/u de las partes de lafigura, de modo que cada nueva figura quedetectemos quede asociada a un nmero ocombinacin de nmeros. uego contamos lascombinaciones anotadas ! el resultado ser lacantidad pedida.

EJEMPLO

". #$untos tringulos %a! en esta figura&

Solucin .'

$olocamos un dgito a cada parte(

os tringulos son(

)e *"+ ( " - 0 1 2 34 3

)e *-+ "- 01 23 4

)e *0+ ( "- 0123 23"- 01

4

Rpta: "1 tringulos

-. #$untos tringulos %a! en la figura&

. #$untos cuadrados %a! en la figura&*)ibu5ada en cuadriculados+

FRMULAS PARA CASOS NOTABLES

A. CONTEO DE SEGMENTOS.-

6rmula(

7s4 89 de segmentos

n 4 7 de espacios sobre la lnea.

EJEMPLO

#$untos elementos %a! en la siguiente figura&

B. CONTEO DE TRINGULOS

6rmula(

EJEMPLO

nn)321

*s+

E,-R/

*t +

*t + 0 de

trin(ulos


2/7

Rpta : .Rpta : .

1 2 3 4

$

2

1 2 3 4 n

1 2 3 14 15

Rpta : . Rpta : .

123

4

n

2 3 4 n

* +

2

n

1 2 3 $

Rpta : .Rpta : .

#$untos tringulos %a! en las siguientes figuras&

i+ ii+

C. CONTEO DE CUADRILTEROS

i+

ii+

EJEMPLO

#$untos cuadrilteros %a! en c/u de las figuras&

i+ ii+

D. CONTEO DE CUADRADOS:

i) La figura principal es un cuadrado.-

6rmula(

a figura debe ser un cuadrado de n :n

n 4 7 de casilleros por lado.

ii) La figura principal es un rectngulo

Frula:

!" de cuadrados:

.n # $%&)$n-&)#$-')$n-')#(

EJEMPLO

En cada caso *allar el !" de cuadrados.

i) ii)

E. CONTEO DE CUBOS Y PARALELEPPEDOS

!r$ul

*c + 0 de

cuadrilteros

!r$ul

n + *casilleros en la base$ + * casilleros sobre un


3/7

12

1

n 12

n

!r$ula:

0cubos+

n + *casilleros por

lado

11

!

" 1

#

!r$ula:

0de cubos + $np$"1n)1p)1$)2n)2p)2

11

"

! 1

#

Rpta : .

Rpta :

a .

b .

c .

i) +onteo de +u,os $+u,os siples)

Pero si el slido es un paraleleppedo formado porcubos simples, entonces(

; se contina %asta que uno de los factores sea ".

ii) +onteo de Paraleleppedos.

6rmula(

89 de paraleleppedos(

EJEMPLO

". #$untos cubos %a!&

-. En la figura(

a+ #$untos paraleleppedos %a!&b+ #$untos cubos %a!&c+ #$untos paraleleppedos que no son

cubos %a!&

EJER++OS RES/EL0OS

&. #$untos sectores circulares %a! en la figura&

1 23

n

Resolucin:como %a!


4/7

Recuerda BCE i Duere$os contar '(uras solo nos interesar la for$a de estas.

Este es el principio funda$ental de estos proble$as. no se tienen en cuenta el ta$ao.

F

G

H

E / C # I RJ-

B

A

12

3

3@

4 3 2 1

2

3

4

5

=1 @

= 1 5

4 > 52

5 > 62

8mero de cuadrilteros 4 "> ? "0 4 "0>

2. #$untos cuadrilteros %a! en la figura&

@esolucin(

$ontando directamente, encontraremos "3, peroel mtodo ms rpido sera(

$

'

$

%$

1

$

8mero de cuadrilteros ( ? 1 4 "3

En general("

$

1 . . . $ !

,uadrilteros 2 2

+ +=

n

21

.

.

.

.

.

. . . . .1 2 $1

2

A

09$ero de n n 18 $ $ 18 p p 18> >

Aaralelep;pedos 2 2 2

+ + +=

3. #$untos tringulos %a! en la figura&

1

2

3

4

5

6

@esolucin(

AnaliBando casos particulares nos daremoscuenta que cumple con la frmula(

n n 18

2

+

6 > 7n9$ero de trin(ulos + + 212

EJERCICIOS DE CLASE

".Hallar el nmero de tringulos en(

a+ "3

b+ "C

c+ ->

d+ -"

e+ 8.A.

-. Hallar el total de segmentos en(

a+ 03

b+ 0C

c+ 1>

d+ 1"

e+ 8.A.

. $untos ngulos agudos se encuentran en(

a+ 10

b+ -0

c+ 0d+ 10

e+ 8.A.

. Halar el total de tringulos

a+ 0>

b+ 0

c+ -0

d+ >

e+ 8.A.

0. Hallar el nmero de cuadrilteros.


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24

?6?8

1@@

135

?7??

1

2

3

4

2@

1 2 3 2@

a+ "3

b+ ->

c+ -"

d+ "2

e+ "C

1. #$untos segmentos se cuentan en total&

a+ "" ""-

b+ "" """

c+ "- """

d+ " ""-

e+ " -""

2. #$untas pirmides de base cuadrangular %a! en lafigura&

a+ 0-b+ 0

c+ 3

d+ 1-

e+ C

3. En la figura

D. #$untos cuadrilteros %a!&DD. #$untos cuadrados %a!&DDD. #$untos cuadrilteros que no son

cuadrados se pueden observar&

a+ "C> "> "-> d+ ->0>"0>b+ "C0 -> "> e+ -">0>"1>c+ ->> >">

C. Halle el nmero total de trapecios circulares.

a+ ">>

b+ C>

c+ 3>

d+ 2>

e+ 1>

">. #$untos cuadrilteros e:isten, como m:imo, en lasiguiente figura&

a+ -

b+

c+ 0d+ 1

e+

"". Halle el nmero de tringulos(

a+ 1>

b+ 1"

c+ 1-

d+ 1

e+ 8.A.

"-. Halle el nmero total de puntos de corte en(

a+ "0> b+ "1> c+ "3>

d+ "-> e+ 8.A.

". Halle en la figura(

D. El nmero de cubos comoel sombreado

DD. El nmero total de cubosDDD. El nmero de

paraleleppedos

D. El nmero deparaleleppedos que no soncubos.

a+ 1> C>C>>3"> d+ 3>C>C>>3">

b+ 3>">>C>>3>> e+ 8.A.

c+ 1>3>C>>3->

". Halle el nmero de paraleleppedos que no soncubos.

a+ 20

b+ 21

c+ 22

d+ 23

e+ 8.A.

"0. #$untos cubitos como mnimo se debe agregar encada caso para obtener un cubo compacto.


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12341@@ a+ "1>-> d+ "11-b+ "1> e+ 8.A.c+ "1--3

"1. #$untos cuadrilteros como m:imo se puedencontar&

I8 15

K8 32

,8 25

#8 3@

E8 6@

"2. #cuntos cuadrilteros %a! en la figura&

a+ C b+ "- c+ ">d+ 3 e+ "

"3. En la figura, #$untos tringulos poseen en suinterior slo asterisco&

a+ 3

b+ C

c+ ">

d+ ""

e+ 8.A.

"C. $alcule el m:imo nmero de sectores circularesen cada caso.

a+ - ! "

b+ > ! -

c+ 0 ! 1"d+ -3 ! 1

e+ 0> ! -

->. )etermina el m:imo nmero de tringulos en cadacaso.

a+ C ; 1>

b+ 0> ; 1"

c+ 3 ; 0C

d+ 2 ; 1-

e+ 8.A.

-". $alcule el nmero total de puntos de corte entrelas figuras dadas.

a+ 3">

b+ 3>>

c+ 2C>

d+ 23>

e+ 8.A.

--. En la figura , #$untos cuadrados como m:imo sepuede contar&

a+ ->"

b+ ->-

c+ ->

d+ ->0

e+ ->1

-. Halle el nmero total de tringulos.

a+ >

b+ 2

c+ 0

d+ -

e+

-. Halle el m:imo nmero de cuadrilteros.

a+ >b+ -C

c+ -3

d+ -2

e+ -1

-0. Halle el m:imo nmero de tringulos.

a+ "1

b+ -1

c+ -

d+ 3e+ >

-1. #$untas pirmide de base cuadrada %a! en elslido mostrado&

a+ 1

b+ 2>

c+ 22

d+ C3

e+ ">0


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