selecciÓn Óptima de unidades, utilizandobibdigital.epn.edu.ec/bitstream/15000/5720/1/t567.pdf ·...
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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
ESPECIALIZACION EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
SELECCIÓN ÓPTIMA DE UNIDADES, UTILIZANDO
PROGRAMACIÓN ENTERA
Tesis previa a la obtención del
Título de Ingeniero Eléctrico
en la Especializacion de Potencia
MARCO ANTONIO- BORJA MALDONADO.
Quito, Octubre de 1983
CERTIFICO QUE ESTA TESIS HA SIDO
DESARROLLADA EN SU TOTALIDAD POR
EL SR. MARCO ANTONIO EORJA MALDO
NADO.
KTG. ALFREDO MENA PACHANO
DIRECTOR DE TESIS.
ÍNDICE
CAPITULO I . •PAGINA
INTRODUCCIÓN
1.1.- GENERALIDADES ' 1
1.2.- OBJETIVO Y ALCANCE DE ESTA TESIS 6
CAPITULO II
TEORÍA GENERAL DEL PROGRAMA DE SELECCIÓN DE UNIDADES
2,1.- INTRODUCCIÓN 8
2.2.- FUNCIÓN DE COSTOS . • 8
2.3. - RESTRICCIONES DEL PROBLEMA 12
2.4.- DETERMINACIÓN DE LA POTENCIA DE RESERVA EN OPERACIÓN 15
2.5.- PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. DE SELECCIÓN DE UNIDADES
CCM) PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN ENTERO-MIXTA ' 21
CAPITULO III
ALGORITMO MATEMÁTICO. -
3.1.- INTRODUCCIÓN . 25
3.2.- PROBLEMA GENERAL LINEAL ENTERO-MIXTO 26
3.2.1.- ESTRATEGIA DEL LIMITE INFERIOR 26
3.2.2.- ESTRATEGIA DE RAMIFICACIÓN 28
3.2.2.1.- PENALIZACION 30
3.2.3.- ESTRATEGIA DE BÚSQUEDA 32
3.2.3.1.- ESTADO INICIAL 32
• 1J- PAGINA
3.2.3.2.- INaUIR Y CORTAR 35
3.2.3.3.- CONTINUACIÓN DE LA- BÚSQUEDA 37
3.2.3.4.- OTRA ESTRATEGIA 40
3.2.4.- REQUERIMIENTOS DE EFICIENCIA . , 41
3.3.- MODIFICACIONES HECHAS PARA EL PROBLEMA DE SELECCIÓN
DE UNIDADES 43
CAPITULO IV
DIAGRAMAS DE FLUJO
4.1.- INTRODUCCIÓN ' 48
4.2.- DIAGRAMA DE FLUJO GENERAL 48
4.3. - SUBRUTINAS DEL PROGRAMA DIGITAL 54
CAPITULO V
APLICACIONES
5.1.- INTRODUCCIÓN 60
5.2.- EJEMPLOS DE LITERATURA TÉCNICA - 60
5.2.1.- EJEMPLO 1 60
5.2.2.- EJEMPLO 2 63
5.2.3.- EJEMPLO 3 -.. . 65
5.3.- EJEMPLO DE APLICACIÓN A E JE. QUITO S .A 71
5.4.- RESULTADOS DEL PROGRAMA. DIGITAL 73
CAPITULO VI
ANÁLISIS DE RESULTADOS
6.1. - INTRODUCCIÓN 91
6.2.- ANÁLISIS DEL EJEMPLO 1 91
6.3.- ANÁLISIS DEL EJEMPLO 2 93
6.4.- ANÁLISIS DEL EJEMPLO 3 94
6.5.- ANÁLISIS DEL EJEMPLO 4 96
111
PAGINA
CAPITULO VII
CONCLUSIONES Y RECOENDACIONES
7.1.- INTRODUCCIÓN .', 7 99
7.2.- CONCLUSIONES ,. 99
7.3.- RECOMENDACIONES 100
APÉNDICE A ' .
MÉTODO SMPLEX DE PROGRAMACIÓN LINEAL .
A.l.- INTRODUCCIÓN . 102
A.2.- TRANSFORMACIÓN DEL PROBLEMA LINEAL A LA FORMA
NORMAL ' 103 "
A.3. - FORMA CANÓNICA , 107
A.4. - RUTINA DE EVALUACIÓN 108
A.S. - FASE I DEL PROBLEMA .......... 110
A.6.- EL ALGORITMO S1MPLEX .. 115
A.6.I.- EL ESTADO INICIAL , 115
A.6.2.- CRITERIO PARA TERMINAR 117
A.6.2.1.- FUNCIÓN OBJETIVO ILIMI
TADA POR LO BAJO 118
A.6-.3.- MEJORANDO A UNA SOLUCIÓN BÁSICA FACTIBLE
• - NO ÓPTIMA 121
A.6.4.- OPERACIÓN PIVOTE 124
' A.6.5.- PROCESO ITERATIVO ' 125
A.7. - EL MÉTODO GRAN-M 125
APÉNDICE B
MANUAL DE USO DEL PROGRAMA'DIGITAL PARA LA SELECION ÓP-
TIMA DE UNIDADES, 'UTILIZANDO EL MÉTODO"BRANCH AND BOUND"'
IV
PAGINA
DE PROGRAMACIÓN ENTERA
B.I.- INTRODUCCIÓN '.' 129
B.2.- MÉTODO DE SOLUCIÓN 129
B.3. - DESCRIPCIÓN DEL PROGRAMA 130
B.4. - NaMENCLATURA • 130
B.4.I.- VARIABLES DE ENTRADA 130
B.4.2.- VARIABLES DE SALIDA • 132
B.5.- FORMA DE PROPORCIONAR LOS DATOS AL PROGRAMA 133
B.6. - RESTRICCIONES 134
APÉNDICE C
LISTADO DEL'PROGRAMA'DIGITAL 144
' REFERENCIAS • 164
CAPITULO I
INTRODUCCIÓN
1.1.- GENERALIDADES'.-
• En los últimos años se ha observado un gran, incre
mentó en el tamaño y complejidad de los sistemas eléctricos de potencia.
Este período se ha caracterizado por un notable aumento en los costos
de los diversos tipos de combustible, por lo cual, se hace necesaria la
determinación más sistemática de las unidades de generación que deben
cubrir la demanda del sistema.
La ingeniería ha trabajado, con relativo éxito, en el aumen
to de rendimiento de calderas, turbinas y generadores, habiéndose con
seguido un continuo mejoramiento, de tal modo, que se puede afirmar -
que cada unidad nueva que se agrega a una central térmica, opera con
mejor rendimiento que cualquiera de las unidades viejas. Cuando un -
sistema opera para una condición dada de carga, se debe trabajar de -
modo que el costo de operación sea mínimo.
Hay tres aspectos muy relacionados entre si, los cuales son
[6]:
1.- Proyección de demanda, tanto para períodos cortos como
para períodos largos.
2.- Selección de unidades de generación,,
- 1 -
3.- Despacho económico de carga.
Por proyección de demanda se entiende, la predicción de la
carga del sistema por hora de funcionamiento [6] . En cambio, por se
lección de unidades, se refiere a la determinación y uso de una combi
nación óptima de generadores para cubrir la demanda de carga, hora por
hora. El tercer punto, despacho económico de carga, trata sobre la -
optimización de niveles de carga para cada una de- las unidades, con una
combinación dada de generadores en funcionamiento.
Mientras que, en el problema de despacho económico de.carga,
se tiene que minimizar los costos de combustible de las unidades, en -
el problema de selección de unidades se minimizan- todos los factores -
de costo, incluyendo los costos de combustible del problema de despa-
cho económico.
Se deben tratar varios puntos, en un problema de selección de
unidades: [6]
1.- Proyección de demanda para un período corto.
2.- Requerimientos de reserva del sistema.
3.- Seguridad del sistema.
4. - Costos de encendido de todas las unidades
5.- Costos de apagado de todas las unidades.
6. - Costos de generación mínima para todas las unidades.'
7.- Costo incremental de combustible para cada unidad.
8.- Costos de mantenimiento.
9.- Costos debidos a pérdidas en las .líneas de transmisión.
10.- Costo por el intercambio de potencia entre los sistemas.
Si las unidades están conectadas a una misma barra (una sola
central) , el resultado de la selección de unidades se constituye en el
despacho económico de carga de esa central, en cambio, si las unidades
'no se encuentran en la misma central, la selección de unidades viene
a ser un predespacho económico [9].
Un método primitivo de reducir al mínimo el costo de opera
• ción del sistema [10] , consistía en suministrar energía para pequeñas
cargas desde la central de mejor rendimiento. Al ir aumentando la -
carga, se debía suministrar la energía desde la central de mejor ren-
dimiento hasta alcanzar el punto de rendimiento óptimo de tal central.
Al seguir aumentando la carga, se tenía que seguir suministrando ener_
gía al sistema desde la segunda central de mejor rendimiento, no en -
trando la tercera hasta sobrepasar el punto de rendimiento óptimo de
la segunda. . Este método fallaba en la búsqueda'de dicho mínimo. '
Actualmente hay varios métodos aplicables al problema de -
selección de Unidades, tres de los cuales son [6]:
A.- SELECCIÓN POR LISTA PRIORIDAD.- Este método esencialmen
te ubica a las unidades en algún orden de preferencia. Las unidades
podrían ser ordenadas, por ejemplo, en orden ascendente de acuerdo a
sus costos de combustible por W-hora. El orden de preferencia podría
ser modificado para corregir la seguridad de determinada área del sis_
tema de potencia, o las pérdidas del mismo, etc.. El uso de la lista •
de prioridad, sirve para que el operador considere la suma de la deman.
da de carga más los requerimientos de reserva de cada hora, y escoja
las suficientes unidades (en orden de prioridad) para satisfacer dicha
suma. Para el apagado de las unidades, la lista de prioridad debe ser
considerada en orden inverso. La regla para el apagado de cada unidad
debe ser relacionada con el número.de .horas necesarias para el encend_i
do de la unidad. Una vez que las unidades han sido seleccionadas para
el servicio, se puede aplicar el criterio de igual costo incremental -
de combustible ( \ para "cargar" a las unidades, asumiendo que el -
.- 4 -
sistema tiene en'servicio un computador que haga el despacho económi-
co.
B.- PROGRAMACIÓN DINÁMICA.- Esta técnica constituye otro -
intento de optimizar el proceso de selección de unidades., para un pe-
ríodo dado de tiempo. El período es dividido en segmentos de tiempo,
usualmente de una hora cada uno. Se asume que la demanda de carga, a.
sí como los requerimientos de reserva y otras restricciones de opera-
ción., se conocen con anticipación para el período total. Se deben mi
nimizar los costos totales sobre todo el período. El procedimiento -
es el siguiente:
[a] Para cada hora futura,, se forman todas las combinaciones
posibles que satisfacerán la demanda total de carga proyec
tada, reserva del sistema y restricciones de operación.
Como ejemplo, se -tienaitodas las posibles combinaciones para
un período de dos horas ( fig.1.1.-) donde las letras A3B,,
C, etc., representan unidades de generación funcionando en
las distintas combinaciones.
HORA PRESENTE
AB
HORA 2
ACDF
Fig.1.1.
(b) Se .calculan los costos totales de operación para ir de la
hora "o" a cada una de las posibles combinaciones de la. ho
ra "1". Estos costos deben incluir los costos de operación '
de la hora "o" más los costos de producción de la hora "1",
más cualquier costo de encendido que ocurra al ir de la ho
ra "o" a la hora "1".
(c) Luego, se determina el camino de menor costo para ir de
la hora "o" a la hora "2", para todas las posibles combina,
ciones. Por ejemplo, en la figura 1.1., el camino de menor
costo para la- combinación ABCD es a través de ACD en la -
hora "1"'. Los tres caminos óptimos se visualizan al final
de la hora 2.
(d) Se procede con la hora "3" y se repite el procedimiento
general del paso (c) . Se continua con el proceso para cada
hora del período. El error introducido al escoger el cami
no de menor costo, se llama " error fin-efecto". Este e -
rror generalmente se reduce a un mínimo al escoger a la -
hora de carga -pico como la última hora del período.
C.- PROGRAMACIÓN ENTERA.- El objetivo de este método es el
mismo de los anteriores, esto es, minimizar los costos mientras se sa-
tisface la demanda., más las diferentes restricciones. Se utiliza mé-
todos de PROGRAMACIÓN LINEAL para optimizar la expresión del costo, -
donde todas las variables son enteras o continuas.
El método que se emplea en esta tesis es el "BRANCH AND BOUND'1
(Límite y Ramificación) de programación entera y alguna de sus venta-
jas son [11]:
1.- Si existe una solución factible, éste método garantiza el
que sé pueda encontrarla.
2.- El método es garantizado para localizar la solución ópti-
ma según como se defina la función objetivo, sea maximiza-
ción o minimización.
3.- No existe límite en el número y tipo de restricciones
que se puedan aplicar al problema., puesto que se puede exa-
minar todas las posibilidades tanto individual como colecti
vamente, para asegurar que no haya contradicción en las res
tricciones. . -
1.2.- OBJETIVO Y ALCANCE DE ESTA'TESISL-
El objetivo de esta tesis es
la implementación de un programa digital que sirva para solucionar el
problema de SELECCIÓN DE UNIDADES, utilizando el método "BRANCH -AND
J30UND" de programación entera.
. • Para esto, se asume conocida la .proyección de demanda para
un período corto, de 24 horas a lo .mucho..
En cuanto a los requerimientos de reserva y seguridad del
sistema, se trata en el capítulo II, sección 2.4.
En la tesis rio se toma en cuenta a los costos por manteni -
miento, ni costos por intercambio de potencia entre sistemas. Tampo-
co se consideran los costos .por pérdidas en las líneas de transmisión,
ya que, se asume que las unidades térmicas están en la misma central
o muy cerca entre sí, por lo cual, se pueden despreciar dichas pérdi-
das.
Este programa digital servirá únicamente para unidades ter
micas de generación, puesto que no es posible compararunidades moneta
rias - de las unidades térmicas- con caudal de agua -de las unidades
hidráulicas- [9],
En esta tesis, se trata de lograr una aproximación para el
problema de Selección de Unidades, al resolver al problema período por
- 7 - '
período ( hora por hora ) por separado, haciendo algunas modificacio-
nes al método.
El programa digital, servirá para máximo 20 unidades térmi-
cas y se lo probará con cuatro ejemplos de referencias técnicas. La
teoría básica está desarrollada en los capítulos II y III y en el A-
péndice A.
CAPITULO II
TEORÍA GENERAL DEL PROBLEMA DE SELECCIÓN DE UNIDADES
2.1.- INTRODUCCIÓN.-
En los últimos años se ha observado un incremen-
to tanto en el tamaño como en la complejidad de los sistemas de poten
cia , Este período se ha caracterizado por un incremento en los cos-
tos de los diversos tipos de combustible, por esto, se hace necesario
la determinación más sistemática de las unidades de generación, a ser
seleccionadas, para cubrir la demanda del sistema.
Como consecuencia, el objetivo general del problema de se -
lección de unidades es, minimizar los costos totales de operación del
sistema de potencia, satisfaciendo las restricciones físicas del mis-
mo . Similtáneamente se puede proveer la suficiente capacidad de re-
serva para cumplir un nivel dado de seguridad.
2.2.- FUNCIÓN DE COSTOS.-
La función objetivo del problema de selec -
ción de unidades, es la función de costos de operación del sistema, -
la misma que incluye a los costos de generación, costos de encendido
y de apagado de las unidades de generación. Esta función de costos -
debe ser minimizada.
a) Los costos de generación son dados por:
9 -
T NTh
'gen - (P-Jgi ^ rtr (2.1)
Donde: T = número de intervalos de tiempo en el período de selec -
ción
NTh = numero de unidades térmicas.
F ^ CP.J-J = costo de producir P (M\ de -potencia de la uni-5 - - J-*-
da i en cada intervalo de tiempo t.
La función de costos F . (P) es de la siguiente forma:_
,2F . (P) = AP + BP + Cgi ^ J (2.2.a)
Donde: A « $/Mr
B = $/iW
•C = costo fijo
Generalmente A <<^B, por-lo cual la curva F - (P) resulta -
muy aproximada a una recta, por esto se la puede dividir en varios -
segmentos lineales, con lo cual la ecuación (2.2.a) queda así:
NBF . (P) = F ., min^ J j
K. (2.2.b)
Aplicado a la unidad i, se tiene:
NBF . (P.J = a.. F ., min +gi ^ it it gi' K.. P...]i ]it (2.2.C)
Donde: F - } min = costo de producir la potencia mínima en la uni -
dad i.
P-- = potencia adicional producida, por la unidad i, en -
el período t, correspondiente al segmento-lineal j,
K-- = Costo de producir la potencia P-- t"
'1 si la unidad es seleccionada para generar en el
período t.
O en otro caso.
it
- 10 -
NB - número de segmentos lineales, usados para modelar la
unidad térmica.
Si. por ejemplo se tiene una unidad con estas característi -
cas : .
P = 6 0 Mímax.
P . =15 M<ímin.
F (P) = 0.0051 P2 + 2.2034 P + 15
Fgi3 min = F (15) = $ 49.20
Si NB = 3
Donde:- Nivel 1 : 15-30 MJV
Nivel 2 : 30-45 Mí
Nivel 3 : 45-60 Mí
Se obtiene: = " 'FC50] ' - F(15) =
30- -15 Mí
_ F[45) - FC3Q) , 2.586 $
2 45-30 Mí
0 60-453
Por lo tanto: F(P) =49.20 + YL K. P._
Los costos de encendido se pueden expresar como: [1]
F . = [ K . (1- R ) + Kp. ] Y.,_ (2.3)si L ci ^ ^ -* Ti J it ^ J
Donde: K . = costo de encender el caldero i. cuando ha estado -ex y
enfriándose.
^ . = Constante de tiempo del enfriamiento .
'Kp. = Costo de encender la turbina i.
L = Tiempo que el caldero i ha estado enfriándose.
Si el caldero está banqueado (STANDBY) , los costos de ericen
- 11 -
dido se representa por:
F- = riC-'T + K m . l Y . • f? 4- ?nc ñ L avp -í ^ T1! J i -f- *." • " • J
Donde: JL.. - Costo de tener en "Standby" a la unidad i, por in-
tervalo de tiempo.
I = Tiempo entre operaciones.
"1 si la unidad i es encendida en el período t.
_0 en otro caso..
Se puede visualizar el gráfico de la ecuación [2.3) en la
figura 2.1. .
C % + KCÍ)
KTi
si Y.,it
si
Figura 2.1
Gráfico de la función Fc
Para simplificar el problema de selección de unidades se pue
de asumir un costo constante de encendido de la unidad i: [1]
Kei . + K .i ci
F . = K . Y-.si ei it (2.4.b)
c) Los costos de apagado de las unidades, caracterizan el -
desperdicio de combustible que se produce al efectuar dicha operación
- 12 - .
y se representan como F, . . Generalmente, en la práctica, este costo
se desprecia [3] ,
El costo de producir potencia, en un sistema que contiene
NTh unidades térmicas, esta dado por:
T NTh
F = ) ) • [ F . (P.J + F . + F,. Z._ ] (2.5)¿_ _ / _ L gi ^ itr si di it J ^ J
t=l i=l '
Donde: Z. = 1 si 'la unidad i es apagada en el período t.
. O en otro caso .
2.5.- RESTRICCIONES DEL PROBLEMA. -
' De acuerdo', a la ecuación (2.2.c),
la potencia de una unidad térmica se puede dar por: [1] .NB
P. = P. . a., + Y~ P... (2.6)it i, mm it 4- iit ^ J3"! •
Donde: P. . = Potencia mínima que puede generar la unidad térmii,min n ±- & _
ca i.
Por analogía para una unidad hidráulica: .
PHit = PHi, min it + (2 '-
Donde: PTT. - = Potencia mínima que puede generar la unidad Hi-Hi, muí ^. f &
dráulica i.
NHS = Numero de segmentos lineales utilizados para mo
delar a la unidad hidráulica i. •
pHjit = Potencia adicional producida, correspondiente a
los segmentos lineales j ,
Las variables a. y arr-tj son variables 0,1 que toman el -
valor "O" cuando la unidad no está operando y "1" cuando si está fun
cionando .
Las unidades que se seleccionan deben cumplir con ciertas -
- 13 -
restricciones impuestas sobre el sistema.
La generación del sistema debe satisfacer la demanda con sus
respectivas pérdidas. Si se llama P, al valor de la demanda más la
respectiva pérdida, se tiene la siguiente ecuación:
NTb NH
=PLt t-l,...,T C2-8)
Donde: NH = numero de unidades -hidráulicas.
Cada unidad térmica tiene también restricciones en su capa- •
cidad de generación, determinadas por su límite térmico, de funciona-
miento y la capacidad de la máquina motriz [ó] . La potencia transfe
rida de la barra del generador al sistema podría también estar limi-
tada por consideraciones de estabilidad. Para unidades térmicas los
límites en la capacidad de producción de potencia se pueden expresar
así: [1].
NB
i=l,...,NTh [2.9]> } ^ Jfr it v i,max i,min-
El mismo razonamiento, en lo que respecta a la capacidad de
generación, se puede hacer para unidades hidráulicas:
NHS
¿_ Hjit— "Tiit Hi,max Hi,min ? * • • ? ••JXL
La demanda del' sistema cambia constantemente y la producción
de potencia debe seguir dicho cambio. Debido a esto5existe un límite-
en el rango de cambio de producción de potencia de cada "unidad térmi-
ca: [1].
P._ -P.it it-1 .,max i=l,...,NTh • [2-11)
Si se ha previsto un máximo cambio en la demanda del siste-
ma, las unidades escogidas deben seguir dicho cambio: [1].
- 14 - -
NTh NH
(2.12)
En cuanto a las unidades hidráulicas, las reservas de agua
son finitas. Esto se puede expresar de la siguiente manera: [1].
t
k=l
t
C Qj P^-T - J^--, ) T, V- - V. . (2.13)^ n Hik Hik ' lk — 1,0 a,nun ^ ^
PHik 3 Tk^Vi?max ~ Vi,o C2.14)
Donde: C = Constante que convierte la potencia en MV a flujo en
3/m / s,
V. = Es el volumen incial de agua del reservorio para cada1,0 ° r
intervalo i.-r
= Tiempo de uso del flujo de agua, en segundos.3
J = Flujo.de agua, en m /s, que entra al reservorio.
Para las desigualdades (2.13) y (2.14) se ha asumido que la
alimentación de agua al reservorio es constante. (J = 'Constante)
Con las unidades* hidráulicas, se tiene restricción en el uso
del agua en el día:
Para plantas , con reserva de agua, de período corto:
T
C
Para plantas, con reserva de agua, de largo período:
T
I C °H PHit - T
t=l
- 15 - .
Donde: V- = volumen de agua del reservorio, ya previsto por es
tadística.
V- , se determijia a partir de un largo período de uso del
reservorio.
En Lina planta dada, con varias unidades, puede haber un lími
te en cuanto al numero de unidades a ser encendidas al .mismo tiempo,
debido a requerimientos de personal existente:
S ' -
. Z Yit NSt . ^^-¿=1
Donde: S = Numero de unidades, de una estación dada.
Nc,t= Numero máximo de unidades que pueden ser encendidas en
el ' intervalo de tiempo t . .
Se debe satisfacer una relación entre las variables indica-
doras de encendido y apagado de unidades, Y-, y Z. , con la variable
a- . :it
Y.+ - Z., = a., - a. •• .. i=l,..,,NTnit it it it-1 * *
. Además, dependiendo de cada problema específico, se puede in
cluir otras restricciones como el número de unidades que pueden ser _a
pagadas simultáneamente, en una misma planta, o requerimientos de segu
ridad para el sistema.
2.4.- DETERMINACIÓN DE' LA POTENCIA DE RESERVA EN OPERACIÓN. -
Se tiene
dos aproximaciones básicas para la estimación de la confiabilidad del
sistema de generación de un sistema de potencia: la aproximación de-
termiaística y la probalística. [7] .
La aproximación determinística, básicamente, requiere de --
ciertos cálculos como flujos de carga y estudios de estabilidad para
- 16. -- .
posibles contingencias, que se espera sucedan en el sistema. Los re-
sultados de este estudio son'revisados y se llega a la decisión de to
mar o no una acción correctiva que trate de mantener un nivel adecua-
do de conflabilidad en el sistema. Este-método de evaluar la acción
correctiva, no toma en cuenta el hecho de que las diversas contingen-
cias no tienenla misma frecuencia de ocurrencia. [7].
La otra aproximación esto es, la probalística,, no es inde -
pendiente de la aproximación determinística, mas bien empieza cuando
ésta termina.
En este subcapítulo se verá la probabilidad de alteración -
de la seguridad de un sistema de potencia. Dicha alteración se define
[7] 'como una inadecuada capacidad de generación en giro, bajo nivel
de voltaje en algún punto del sistema, sobrecarga en alguna -línea de
transmisión u otro equipo, pérdida de la estabilidad del sistema o --
cualquier otra condición de operación que no pueda ser tolerada por -
el sistema.
Ya que se busca evaluar la seguridad para períodos cercanos
en el futuro ( de unas pocas horas ), se debe usar métodos de análisis
probalísticos y no de estado estable, por eso la función S, de seguri
dad debe ser función del tiempo:
S (t) = / P. (t) Q. (t) (2.19)1 1 .
i
Donde: El sumatorio es sobre todos los posibles estados del sistema.
Pi (t) = Probabilidad de que el sistema esté en el estado i,
al tiempo t.
Q. (t) = Probabilidad condicional de que el estado i, cons-
tituya una alteración de la seguridad del sistema,
al tiempo t.
La aplicación de la acuación (2.19) requiere que un conjunto
- 17 -
de -estados 'de operación,, mutuamente exclusivos, sean definidos pa
ra el sistema. Un estado de operación se define [7] como una -
configuración particular de operación, consistente de algunos gene-
radores funcionando, unos disponibles y otros en indisponibili -
dad, líneas en servicio y líneas fuera de servicio , etc., es de-
cir, se necesitaría un número muy grande de estados para des -
cribir por completo al sistema. . Sin embargo, se puede estimar
S (t) , con aceptable seguridad, con- un reducido número de es--
tados, los cuales son creados a partir del estado existente en
el tiempo ( t = O ) , para un número mínimo de contingencias , u -
sualmente dos o tres. [7]
El calculo de P. (t) requiere de la resolución de un -
conjunto de n ecuaciones de la forma: [7]
n
p.. (t + t) = PÍ (t) PÍ (t) + _ pj ct) PJÍ
i = O,..., n (2.20)
Donde : p - (t) = Probabilidad de no transición fuera del estado i,-
en el intervalo de tiempo ( t , t + /\ .
p.-.(t) = Probabilidad de transición del estado j al esta
do* i, en el intervalo ( t,t + A t) .
Las ecuaciones dadas por (2.20) se deben resolver para -
las condiciones iniciales PQ (0) = 1 y P. (0) = O para i 0. El
subíndice "O" denota el estado conocido al tiempo t = 0. [7]
Todavía no se entiende por completo a la naturaleza de la
probabilidad de transición de estado (p) para un sistema de potencia.
- 18 - •
Sin embargo [7] es posible que la probabilidad "p" dependa sólo del
estado actual y que además la razón de transición de un estado a otro
sea invariante con el tiempo. Esto implicaría que los tiempos de en-
cendido y apagado, para generadores individuales, líneas, etc., ten-
gan distribución exponencial. .
En dicho caso, el sistema puede ser representado como un pro
ceso estacionario de Markov:
(t) = 1-At ¿_ P.. (2.21)j=0 J 1J .
(2.21) y [2.22) son sólo para valores pequeños de At.
P . . = Razón de transición del estado i al estado j .•- ' J rj .
Usualmente, la razón de transición / , es igual a la razón
de salida o reparación de un generador, línea o cualquier pieza de -
algún aparato en particular [7] .
Reemplazando (2.21) y (2.22) en (2.20) y restando P.(t) a
ambos lados de la ecuación, dividiendo para A t y tomando el límite
(lím) se tiene un conjunto de ecuaciones diferenciales de la forma :At-K>
[7] .
n n:. + }1D / D D
P. (t) - P. (t) P:. + P.(t) .. , i=0,...',n'
(2.23)
Las ecuaciones (2.23), se pueden resolver en un computador
utilizando cualquier método numérico adecuado.
Respecto a Q-(t), si se conoce el valor exacto de una carga
futura al tiempo t, Q-(t) es lo 0? dependiendo si a dicho tiempo,, el
estado i constituye una alteración o no de la seguridad. Si la carga
-19 -
futura al tiempo t no es conocida, como ocurre en la realidad, Q. (t)
podría tomar cualquier valor entre O y 1, dependiendo de la probabili
dad de varios niveles de carga.
Para la evaluación de la reserva en giro, sólo interesa sa-
ber si la capacidad de generación es suficiente o no para satisfacer
la demanda, sin tomar en cuenta los problemas de transirás ion. Por lo
tanto, respecto a la ecuación (2.19), S(t) es 1a probabilidad de que
la carga exceda la capacidad de generación en giro al tiempo t y
Q. (t) es la probabilidad condicional de que la capacidad disponible
en el estado i sea menor que la demanda al tiempo t.
El mayor problema, consiste en determinar las probabilidades
de estado P. (t). Para esto se puede tener muchos modelos de cálculo,
algunos simples y otros muy complicados, El objetivo de este traba-
jo no es el cálculo de S (t), por esta razón no se plantea ningún mo-
delo. En todo caso, para el problema de selección de unidades, no es
posible obtener" una expresión analítica de S (t), sino que se debe ha
cer un proceso iterativo entre un programa que determine la selección
óptima de unidades y otro que haga el cálculo de la seguridad. Esto
último, se ilustra en el diagrama de flujo de la figura 2.2. [1].
- 20 -
DATOS DE
ENTRADA .
DETERMINACIÓN DE LA SELEC
CION ÓPTIMA DE UNIDADES
CALCULO DE
s
CALCULO DE LA CONFIABILI-
DAD DE LOS REQUERIMIENTOS
DE RESERVA
No ¿ SE SATISFACEN LOS REQUE
RIMIENTOS DE LA RESERVA?.
SELECCIÓN ÓPTIMA, FINAL,
DE UNIDADES
fig.2.2.
- 21 -
2.5.- PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE SELECCIÓN DE UNIDADES COM3 PROBLE-
MA DE PROGRAMACIÓN ENTERO-MIXTA. -
La función objetivo del proble-
ma de selección de unidades térmicas es la función de costos:
T NTh
[ Vt=l • i=i
Donde se han despreciado los costos de apagado con respecto
a la relación (2.5). Si en-la expresión [2.24} se reemplazan las, ex-
presiones (2.2.c) y (2.4.b), se obtiene:
T NTh
L Lt-1 Í=l
F = } ) [a-^ F . - + > (K-. P..J •*• K . Y.J' / _ ¿ _ L it gx,mxn / _ L jx jxf ei xtj
(2.25)
Claramente se puede ver que F es una función lineal, donde
F - - , K.. y K . son valores- dados. a., y Y., son variables en-^ 31 J ex 3 xt J xt
teras 0,1 y P... es una variable continua.Jit
Las restricciones que se consideran para la iinplementación
del programa digital son las expresiones dadas por, (2.8), restricción
que tiene que ver con la demanda del sistema y (2.9), restricción en
la capacidad de generación. Además, entra la restricción de que las
variables enteras son ~i 1 y la restricción (2.18) acerca de las
variables indicadoras de encendido y apagado de las unidades.
No se consideran, en el problema de selección de unidades
térmicas, a las unidades hidráulicas y sus respectivas restricciones
- 22 -
debido a que las unidades hidráulicas no tienen costo de generación de
potencia, sino mas bien, restricciones en cuanto al volumen de agua -
de su respectivo reservorio y por ende del tiempo de. uso del agua. Es
decir, el problema de selección de unidades, con unidades hidráulicas
requiere un tratamiento diferente.. En algunos casos [1], en sistemas
en los que domina la generación • térmica, se utiliza a las unidades hi
dráulicas para aumentar la reserva del sistema.
Para visualizar de mejor forma el planteamiento del problema
se expone un problema de'dos unidades térmicas y dos períodos, de una
hora cada uno.
2 2_
r^ ^ •*- \. . Av - x.)i rjit ivei it
__
F = > } [a., F . . + K. . P - . . + K¿_ Z_ lí: gi;t=l i-J
(2.26)
Donde NB - 1, significa que se ha considerado un nivel en la
curva de costo de producción de potencia. La relación (2.26) en for-
ma desarrollada queda así:
F - F n - a-- + F - . a . 0 + F 0 . a«- + F „ . a0^gl ,min 11 gl,min 12 g2 ,mm 21 g2 ,maji 22
K - Yn1 + K n YT« + K 9 Y91 + K 0 Y«0el 11 el 12 e2 21 e2 22
P112 + K12 P121 + K12 P122
(2.27)
La función dada por (2.27) está sujeta a las siguientes restricciones,
'RESTRICCIONES DE DEMANDA:
- 23 -
+ p = p21 r
P + P = Pr!2 r22 rL2
De acuerdo a la expresión (2.6)
P = P a +rll l,min all
P = P 3 4-
^ a21.
= P a +a!2
(2.28)
(2.29)
p - p a22 23min 22
Reemplazado (2.29) en (2.28):
P a + P a + P + P = p
(2.30)
P- - a-0 + P0 - a00 + P I I O +l,min 12 2>min- 22 112
RESTRICCIONES DE CAPACIDAD;
P ^ a f P - P )111 11 ^ l.max l,min J
p - a f P - P )112 12 L l,niax l,min
(2.31)
121 21 ^ 2,max 2,min
P - a f P - P122 22 ^ 2.,max "¿
RESTRICCIONES DE VARIABLES" ENTERAS:
7 = o11 11
- 24 -
Y12 " Z12 al2
Y21 " Z21 a21 • (2.32)
Y22 " Z22 R22 " a21
3 ^ 1 - Y ^ 1 - 7 - 1a -1 ' X12 -1 ' LI21Z (.2.33)
a ^ 1 • Y £ 1 - 7 ^ 1a21 ' 21 . ' 21
é 1 • Y22 X ' 22
En resumen, para el problema de dos unidades térmicas y dos
períodos3 con NB=1, se tiene una función objetivo con 12 variables 0,1
y cuatro variables continuas, y la función está sujeta a 22 restriccio_
nes. Si el problema fuera de. 20 unidades térmicas y 24 períodos, con
NB = 35 se tendría, 1440 variables 0,1; 1440 variables continuas y .
3384 restricciones, es decir, el problema de selección de unidades es
un problema lineal entero-mixto,
Se puede obtener una fórmula para deducir el número de res -
tricciones de un problema, en función de NTh, T y NB
Número de restricciones = NTh-T (NB + 4 ) + T (2,34)
CAPITULO III
ALGORITMO MATEMÁTICO
3.1. INTRODUCCIÓN
M lEl algoritmo "BRANCH AND BOUND", es una aproximación muy uti-
lizada para resolver problemas de optimización discreta, mixta y en -
general problemas de programación entera.)
o?\i el numero total de soluciones factibles de un problema, con
sus respectivas restricciones, es pequeño, se podría evaluar en forma
individual cada una de esas soluciones y seleccionar de entre ellas -
la solución óptima por simple comparación. Este caso es el llamado -
método de enumeración total o exhaustiva [2] . En la mayoría de proble
mas prácticos la enumeración total no es posible, debido a que el nume
ro de soluciones factibles puede ser muy grande.
•2\ Este algoritmo provee una metodología para buscar la solución
óptima factible, haciendo una enumeración parcial. Conforme se avan-
za en el proceso, el conjunto total de soluciones factibles se divide
en muchos subconjuntos simples. En cada etapa del proceso se escoge
el subconjunto más favorable y se trata de encontrar una solución fac
tibie para el mismo, si ésta se encuentra se dice que el
ha sido sondeado a fondo, o si no, el subconjunto se divide-en dos
conjuntos simples y el proceso se repite de nuevo. I •% [>-ftj jftT f. -v
- 25 -
- 26 - -
La búsqueda de la solución se refuerza por una restricción
adicional, impuesta sobre cada subconjunto generado por partición. -
Estas restricciones se usan para seleccionar cada vez subconjuntos -
más favorables que puedan contener a la solución óptima y desechar al.
gunos subconjuntos que muy posiblemente no la contienen.
A veces la técnica de restricción aplicada a un subconjunto
específico, produce ~en forma fortuita la solución óptima de ese sub-_S\s*
conjunto y de este modo la búsqueda por esa dirección se corta x /
Los tópicos principales que se van a tratar en este capítu-
strategia de!Limite inferior.
- Estrategia de Ramificación.
- Estrategia de Búsqueda. (i
3.2.- PROBLEMA GENERAL' LINEAL ENTERO-MIXTO
El problema general lineal entero-mixto se puede expresar -
así:
Minimizar Z (x,y) ~ ex + dy ' [3.1)
AX + Dy - b f (3.2)
x-0, y^O (3.3)
y: vector entero [3-.4)
donde: A = matriz de dimensión m x n
D = matriz de dimensión m x nr
b =. vector independiente de m filas
Para resolver eate problema^con el método "BRANQi AND BOUND'
se debe implementar tres estrategias,, las cuales se desarrollan a -
continuación.
3.2.1.- ESTRATEGIA DEL LIMITE INFERIOR.-
- 27 - •
El valor mínimo de Z (x,y) se obtiene cuando el problema o-
riginal se resuelve satisfactoriamente. Esto puede llevar mucho es-
fuerzo, por eso, la estrategia del límite inferior calcula un límite
mínimo para el valor que puede tomar Z (x,y). Una de las maneras de
calcular el límite inferior, es la relajación de las restricciones -
que ofrecen mayor dificultad de ser cumplidas. Por relajación se en
tiende el hecho de no tomar en cuenta . ciertas restricciones especí-
ficas al resolver un problema,, más adelante se da un ejemplo demos-'
trativo. [2]..
Para el caso del problema general entero-mixto, se relajan
los requerimientos de que "y" sea vector entero (3.4) y se resuelve
al problema como un problema de programación lineal. El valor obter
nido Z (x,y), esto es Z° (x°,y0)., del problema original relajado, es
el límite inferior de Z (x,y) en el problema original. El problema
original relajado debe satisfacer únicamente los requerimientos de
(3.1), (3.2) y (3.3)
Si "y°" satisface los requerimientos de (3.4), la solución en
centrada es óptima para el problema original y el proceso de búsqueda
termina, en otro caso se debe continuar la búsqueda de .dicha solución.
Esto se visualiza en el ejemplo 3.1.
Ejemplo 3.1.
Min Z = 3x2 + 4x3 + 5x4 + 20
Sujeto a:
yl + X2 ~ 2X3 +X4 = 3/2
y + 2
xl -
c. - O
+ x-r - x . = 5/2
X3 - X4 = 4
enteros
i - 1,...,4
- 28 -
En forma de tabla:
V-i / o -"--i x^ x~- _?c. ¿j1 Z JL Z o 4
1 0 0 1 - 2 1 0
0 1 0 2 . 1 - 1 0
0 0 1 -1 '1 1 0
0 0 0 3 4 5 - 1
b
3/2
5/2
4
-20
Tabla 3.1.
El problema relajado no tebe tomar en cuenta para su solu -
ción que "y '' 7 "y '' deben ser enteros. Resolviendo el problema orí
ginal relajado como un problema de programación lineal, con el méto-
do "Simplex" por ejemplo, se obtiene la siguiente solución:
CylJ J2> xl, X2, X3, X4 ) = C 5/2> S/2> 4' °J °3 °
2° Cx°3y°) =20 -
Z°' C 0 0) constituye el límite inferior para el problema
original. En vista de que y1 , y~ no son enteros la solución encentra.
da no es la óptima, por lo tanto, se debe continuar la búsqueda.
Puesto que se utiliza programación lineal para la evaluación
del límite inferior, en el Apéndice "A" se da una breve explicación
del método Simplex de programación lineal.
3.2.2.- ESTRATEGIA DE RAMIFICACIÓN.-
La estrategia de ramifica-
- 29 -
ción divide al conjunto de todas las soluciones del problema original
en dos o más subconjuntos y cada uno de ellos es a su vez, el conjun-
to de las soluciones factibles de un problema obtenido al imponer res
tricciones adicionales al problema original.
Los problemas generados a partir del problema original se -
llaman problemas candidatos, los cuales deben generarse de modo que'-
se les pueda aplicar la estrategia.de! límite inferior.
Al aplicar la estrategia del límite inferior a un problema -
candidato, la solución que de él se obtiene, es óptima si satisface -
sus restricciones y el valor de la función objetivo es igual al lími-
te inferior del mismo. Si esto ocurre se dice que dicho problema can
didato ha sido sondeado a fondo.. ^
Si un problema candidato no es sondeado a fondo, su solución
constituye un límite inferior de su función objetivo y se le puede a-
plicar la estrategia de ramificación.
Cuando" se ramifica un problema candidato, éste genera dos sub_
problemas candidatos que deben cumplir.con las siguientes caracterís-
ticas [2] :
- Cada subproblema candidato se obtiene al imponer restric--
cienes adicionales al problema candidato.
- El conjunto de soluciones factibles del subproblema candi-
dato forma una partición del conjunto de soluciones facti-
bles del problema candidato.
- Los límites inferiores de la función objetivo, en los sub-
problemas candidatos, deben ser tan altos como sea posible.
Si Q es un subproblema candidato, generado cuando el proble-
ma candidato P se ramifica, entonces a P se lo conoce como problema -
matriz.
- 30 -
En el problema general entero-mixto se debe escoger una va-
riable del vector entero tryn, tal que "y." no sea entero (j=l,.. . ,n!).
Se tiene dos posibles casos [2]:
- Si "y." es una variable 0-1, se generan dos subproblemas
candidatos al imponer la restricción adicional "y. = O" o*]My — T i l
^j
- Si "y-" es una variable entera cualquiera., la ramificación
se logra haciendo que fy. ] sea el entero menor o igual
a "y-". De e_ste modo se genera dos subproblemas candida-
tos al imponer la restricción adicional:
"y- ~ [y- ]" o "y- [y. ] + 1 ", respectivamente,J J J J
Si el vector entero "y" consta de varias variables que no -
son enteras, la variable de ramificación se debe escoger de entre e-
llas, de forma que los límites inferiores de los subproblemas candi-
datos generados sean tan altos como sea posible. Los datos propor -
cionados por la-tabla simplex óptima del problema matriz relajado, -
sirven para calcular los montos por los cuales los límites inferió -
res de los subproblemas candidatos son mayores que el límite infe -
rior del problema matriz. La técnica que utiliza dichos montos para
seleccionar la variable de ramificación se llama "Penalización" [5] .
*^ 5.2.2.1.- PEMALIZACION.--
Este método es el más usado p_a
ra escoger la variable de ramificación y da un límite del cambio que
se requiere en la función objetivo, para forzar una variable no ente
ra a su valor entero adyacente.
El problema general entero-mixto 5 se puede expresar también
de este modo:
Minimizar x
- 31 -
Sujeto a: Ax = b
x.^0 (j=l,...3n)
Donde:
x. entero para j £l
I d (l,...,n)
C3.5)
(3.6)
(3.7)
(3.8)
La fila "O" es el costo y la columna "O" es el vector
unidad con un "1" en la primera posición
Si se resuelve el problema con las restricciones (3.5) y -
(3.6), es decir, el problema relajado como un problema de programación
lineal, la tabla final del proceso Simplex se puede escribir así [5] :
a . (-x.) (3.9)
Donde:
Donde:
x = a +o oo -x.)y
.-X. = a. + ,i 10 ¿—j
X- representa a las variables básicas y
x. en cambio representa a las no básicas
De acuerdo al criterio simplex:
(3.10)
a- :10
a .'oj
O
O para todos los i,j
Además para cada i C I
a- = [ á- ] + £. (o10 L 10 J 10 ^
-f.10 -1)
(3.11)
(3.12)
[a. 1 = entero menor adyacente a a-L ioj J 10.
Para una variable entera X , no satisfecha, se tiene: -[5]
X = aP L a . (-x.)PJ ^ y
£ = [ £ ] + £ • ( Opo po po fpo (3.13)
Si se asume que, al imponer un nuevo límite inferior para -
X , [a +'l], no hay un cambio en las variables básicas, esto impli_
ca que la función objetivo debe decrecer debido a la denominada "Pe-
nalización Superior":
- 32 -
(1-f ) á .r> "P ' M- P° °3P0- = Min - - • c •¿—S i, a . o
Pl - a .^J PJ
En forma similar se puede tener una M Penalización Inferior"
f a --n •• P° O]
PTP = Min . - •1 i, a . o -J Pl a .
PJ P3
Puesto que, para obtener P^ y P^ se asumió que no había
cambio en las variables básicas, dichas penalizaciones deben ser los
límites de la variación de la función objetivo, x . Esos límites se-
rán:
(a - P p) y Ca - PTP).w oo S J / L o o I '
Para escoger qué variable ramificar se tiene dos posibilida
des, la primera es, tomar la variable que posea la penalización más
pequeña en ambas direcciones, resolver el subproblema en cuestión y
poner en ]a"lista" al subproblema opuesto. La otra alternativa es,
encontrar la penalización menos favorable en ambas direcciones, poner
en la "lista" al subproblema y resolver al subproblema opuesto. Esto
último tiene el efecto de posponer en la búsqueda de la solución ópti
ma, la solución de subproblemas desfavorables. De acuerdo a- experien
cias la segunda alternativa es mejor [2].
3.2.3.- ESTRATEGIA DE BÚSQUEDA. -
3.2.3.1.- ESTADO INICIAL.-
Al inicio, el único problema
candidato es el problema original. A este problema se le aplica la -
estrategia del límite inferior.' La representación de este estado se
la hace con la figura 3.1.
Si'al aplicar la estrategia del límite inferior se obtuviera
la solución óptima, el problema terminaría en ese punto, en caso con-
trario, se aplica la estrategia de ramificación al problema original.
PROBLEMAORIGINAL LIMITE INFERIOR = Lo
Fig.3.1.
Supóngase que dicho problema original genera dos problemas candidatos,
los problemas 1 y 23 y que además en ellos se aplica la estrategia -
del límite inferior. La figura 3.2 representa esta situación.
PROBLEMA
ORIGINAL
PROBLEMA
CANDIDATO 1
PROBLEMA
CANDIDATO 2
Límite Inferior: L Límite Inferior: L2
Fig.3.2.
- 34 -'
Se ramificó el nodo correspondiente al problema original. -
Los nodos correspondientes a los problemas candidatos 1 y 2 no se ra
mifican todavía, por esto se los conoce como nodos finales para ese
estado de la búsqueda. La "lista" es la colección de todos los pro-
blemas candidatos no sondeados a fondo, correspondientes a los nodos
finales de dicho estado en particular.
Según la figura 3.2., el conjunto de todas las soluciones -
factibles de los problemas candidatos 1 y 2, forman una partición del
conjunto de soluciones factibles del problema original. Si se supone
que L- L9J hay la posibilidad de que la solución óptima del problej- ¿- • • —•
ma candidato 1, corresponda a un valor de la función objetivo menor
que L7, y si esto ocurriera la solución sería óptima para el problema¿j -
original. Hasta tanto el problema candidato 2 está en la "lista" si
la solución del problema candidato 1 no es óptima se le aplica la es-
trategia de ramificación.
' Si el problema candidato 1 genera dos nuevos •subproblemas
candidatos denominados problemas candidatos. 11 y 12, se remueve al -
problema candidato 1 de la "lista" y se añade los nuevos problemas
candidatos 11 y 12. A estos últimos se les aplica la estrategia del
límite inferior y se obtiene L-- y L-« . El estado de la búsqueda se
representa con la fig. 3.3.
El diagrama de la figura 3.3. se conoce como el "árbol de -
búsqueda" de ese estado. La "lista" hasta este púnelo consta de los
problemas candidatos 2,11 y 12.
- 35 -
PROBLEMA
ORIGINAL / L
PROBLEMA \2
CANDIDATO 12
o
Fig.3.3.
3.2.5.2.- INCLUIR Y.CORTAR.- . .
En cualquier estado de la
búsqueda, si uno o más de los problemas candidatos es sondeado a fon-
do, la solución factible que tenga el menor valor de 2 (x>y) > de en-
tre todas las soluciones factibles obtenidas hasta ese punto, se la
conoce, como la "solución incluida". La solución incluida se obtiene
cuando un problema es sondeado a fondo.
Se designa como Z al valor de 1 Cx?y) correspondiente a la
- 36 - •
solución incluida. • Si en este estado hay un problema candidato en -
la "lista", asociado con su límite inferior L, cuando L Z, no habrá
mejor solución que la solución incluida, ya que cualquier solución -
factible producto del problema candidato no podrá ser mejor que la -
solución incluida. Por esta razón, se puede borrar de la "lista" a
todos los problemas candidatos en los que se cumpla que L Z. A. es
ta operación se le llama "cortar".
Cuando se aplica la estrategia del límite inferior a un pro
blema candidato, se puede descubrir que no es factible su solución, -
por lo cual a ese problema candidato se le debe cortar.
• Supóngase que al aplicarle-a un problema candidato, la estra
tegia del límite inferior,' se lo ha sondeado a fondo y que la solución
óptima de dicho problema candidato, es igual a X, con el valor de la_, -^ / — ^
función objetivo igual a Z. Si Z Z, la solución X es una mejor so
lución para el problema original y se puede desechar a la solución inA
cluída, siendo Z la nueva solución incluida. Esta operación última,
se denomina " actualizar a la solución incluida".
Por lo tanto, en cualquier estado del algoritmo, la "lista"
consistirá de todos aquellos problemas que no han sido sondeados a
fondo y que no han sido cortados hasta ese punto. Además los proble-
mas de la "lista" deberán satisfacer las siguientes características
[2]:
a- Todas la soluciones factibles de los problemas candidatos
de la lista, son mutuamente independientes.
b- Si existe una solución incluida en ese estado, cualquier
solución factible del problema original que sea estricta
-mente mejor que dicha solución incluida, debe ser una S£
lución factible de algún problema candidato de la "lista".
c- Si no existe una solución incluida en ese estado, la unión
de los conjuntos de las soluciones factibles de los pro-
.blemas candidatos de la "lista", debe ser igual al conjun
to de soluciones factibles del problema original.
3.-2.S.3,- CONTINUACIÓN DE LA BÚSQUEDA.-
Según el árbol -
de búsqueda de la figura 3.3.,se tenía tres nodos finales correspon-
dientes a los problemas candidatos 2, 11 y 12. Si cualquiera de ellos
es sondeado a fondo se tendría una solución incluida y se podría ter-
minar la búsqueda en esa dirección. '
En este punto se debe encontrar al problema candidato con el
menor límite inferior, de'entre aquellos que están en la "lista". Sea
dicho problema candidato el problema "P". Se borra a P de la lista,
se le aplica la estrategia de ramificación y se calcula los límites -
inferiores de los dos problemas candidatos generados. Si alguno de -
ellos es no-factible se suspende la búsqueda en esa dirección del ár-
bol. Si cualquiera de ellos es sondeado a fondo, se actualiza a la
solución incluida. Si hay un cambio en la solución incluida se debe
revisar la "lista" y eliminar los problemas candidatos en los cuales
el límite inferior sea mayor o .igual que el límite inferior de la so_
lución incluida y luego, de entre .los nuevos problemas candidatos • g_e
nerados, se debe añadir a la lista aquellos problemas que no han si-
do sondeados a fondo o cortados. Después se prosigue al siguiente -
estado del algoritmo.
Supóngase que el problema candidato 2 se ramifica, producién
dose los problemas candidatos 21 y 22, asociados a los límites infe-
riores L~- y L?7 respectivamente.
El árbol acualizado es el de la Figura 3.4.
- 38 -
PROBLEMA
ORIGINAL
PROBLEMA
CANDIDATO 2
PROBLEMA
CANDIDATO 1
PROBLEMA
CANDIDATO 22CANDIDATO
CANDIDATO21
CANDIDATO12
Fig.3.4
Si LI? es el. menor límite inferior entre L LI? L?1 y L^,
esto implica que, el problema candidato 12 es el que debe ser ramifi-
cado. Después de dicha ramificación el árbol queda como consta en la
figura 3.5.
El árbol se lo gráfica únicamente para ilustrar el avance de
la búsqueda. En la práctica el algoritmo trabaja con la lista de pro
blemas candidatos y con la .solución incluida, cuando ésta ha sido ob-
tenida, la cual se la actualiza después de cada paso de la búsqueda.
El proceso termina cuando la "lista" está vacía. Al termi--
nar? si existe una solución incluida ésta es la óptima para el proble
ma original, caso contrario el problema original no tiene solución --
factible. .
PROBLEMA.
CANDIDATO 2
L122
Fig.3.5
En general, la estrategia de búsqueda indica la secuencia en
la cual se van generando los nodos examinados. La estrategia de bus
queda tratada en este capítulo se denomina "Estrategia de Salto-ras-
treo", ya que, siempre se salta para examinar el nodo con el menor lí-
mite inferior de entre aquellos que se encuentran en la "lista".
Esta estrategia se conoce también como "Estrategia de Prioridad", -
puesto que el criterio de prioridad es el de menor límite inferior.
- 40 - .
3.2.3.4.- OTRA ESTRATEGIA. -
Existe otra estrategia cono
cida como estrategia de rastreo hacia atrás, la misma que reserva a
uno de los problemas condidatos de la "lista", con el propósito de bus
car la solución óptima y lo denomina "Problema candidato actual".
Los otros problemas candidatos de la lista constituyen el llamado -
1 'conjunto1'. _______„__»_»
Si el problema candidato actual no es sondeado a fondo, se
le aplica la estrategia de- ramificación y también la estrategia del
límite inferior a los subproblemas candidatos generados. Si ambos -
subproblemas son sondeados a fondo,, la solución incluida se actuali-
za y dichos subproblemas se borran del "conjunto". Luego se escoge
del "conjunto" un nuevo subproblema. Si sólo uno de los subproblemas
generados es sondeado a fondo, se actualiza la solución incluida y -
si el otro subproblema no es "cortado" éste constituye el nuevo pro-
blema candidato actual-y el algoritmo continúa. Si ninguno de los -
dos subproblemas candidatos se sondea a fondo, el subproblema más
"prometedor" de ambos ( puede ser aquel asociado con el menor límite
inferior) pasa a ser el problema candidato actual y el otro pasa a -
formar parte del "conjunto".
Cuando se tiene que seleccionar un problema del "conjunto",
el criterio de selección es el de escoger el último problema añadido
s s **a este. Este criterio se denomina "ultimo en entrar, primero en sa-
lir". Si se emplea este criterio al algoritmo termina cuando se hace
necesario escoger un problema del "conjunto" y éste se encuentra va -
cío. Si se tiene una solución incluida ésta es la óptima, de otra -
forma significa que el problema original no tiene solución factible
[2].
- 41 '-
3.2.4.- REQUERIMIÉMTOS DE EFICIENCIA.- X""
Para que la implementa -
ción del algoritmo "BRANCH AND BOUND" sea aceptable, su estrategia -
del límite inferior debe proporcionar un valor razonablemente cerca
del mínimo buscado, con un esfuerzo pequeño de la computadora. La
estrategia de ramificación debe generar subproblemas candidatos
que tengan límites inferiores tan .altos como sea posible,
Un buen método "BRANCH AND BOUND" debería permitir en-
contrar la solución óptima con una fracción pequeña del conjunto
de todas las soluciones factibles. Por esta razón los métodos
"BRANCH AND BOUND" se conocen como métodos de enumeración parcial
[2].
Para completar la idea acerca del algoritmo "BRANCH AND
BOUND" se muestra la solución del ejemplo dado al inicio:
Puesto que la solución óptima del problema original rela-
jado no satisface que "y- " y " y« " sean enteros, el problema
original debe ser ramificado.
El árbol de búsqueda se da en la figura 3.6. las mismas
restricciones que constan dentro de cada nodo son restricciones a-
dicionales impuestas sobre el problema original.
Min Z. = 3x9 + 4x~ + 5x, + 20i-, O *T
- 42 -
Solución óptima relajada:
Z= Límite inferior ~ 20Variable de ramificación
PROBLEMAORIGINAL
q 1 7 10 7 ±L i o ni>**> 4»4'u^u-1
Z = 83/4
Variable de ramifi-cación = y-
-i j 2 í - - i í
Z « 90/4
Primera solución incluida
= (2,2,19/5,1/10,3/10,0)
Z = 86/4
Segunda solución incluida
= [1,3/2,9/2,1/2,0,0)
Z= 86/4
Este nodo se corta
Fig.3.6
- 43 -
La búsqueda se corta debido a que el límite inferior del proble
nía candidato ll.es igual al límite inferior del problema candidato 12,
que es la segunda solución incluida. Como ya no quedan problemas can-
didatos en la lista la búsqueda termina y la solución óptima es la se-
gunda solución incluida,
5.5 JvmiFICACIQNES HECHAS PARA'EL'PROBLEMA'DE SELECCIÓN DE UNIDADES. -
De acuerdo a la teoría desarrollada en los subcapítulos ante -
riores, el algoritmo "BRANCH AN BOUND" es apto para resolver problemas
lineales entero-mixtos. En el subcapítulo 2.5.5.se planteó al proble-
ma de selección de unidades como un problema lineal entero-mixto, por
lo cual,, el algoritmo en cuestión, se puede utilizar para resolver el
problema de selección de unidades.
También se vio en el subcapítulo 2.5, que un problema con 20 -
unidades térmicas y 24 períodos_, de una hora cada uno, tiene: 1440 va-
riables enteras o,l; 1440 variables continuas y 3384 restricciones. De
esas 3384 restricciones, 24 son del tipo " — " ya que:
NThP ^ - Pit Lt
y las restantes 3360 restricciones son del tipo " - " .
La búsqueda de la solución óptima, de acuerdo al algoritmo -
"BRANCH AND BOUND",, empieza al aplicarle la estrategia del límite in-
ferior al problema original, por lo que, la función objetivo y res -
tricciones del problema de selección de unidades, se deben plantear -
como un problema de programación lineal, debido a la relajación de la
restricción de que las variables enteras sean O ó 1.
• - 44 -
Para plantear un problema de programación lineal} en la forma
•normal ( Apéndice A )3 a cualquier restricción del tipo " — " se le
resta una variable holgura "x" y si la restricción es del tipo " ~ ",
se le suma una variable holgura "x".
Para resolver un problema de programación lineal con el algo-
ritmo Simplex, se debe tener una solución básica factible inicial
( Apéndice A ) para lo cual, se debe formar una matriz unitaria, con
formada por vectores básicos.. Una variable holgura " +x ", forma un
vector básico apto para integrar la matriz unitaria., en cambio, una -
variable holgura " -x " no sirve para formar a la matriz unitaria.
Cuando se tiene una variable holgura " -x. ". para poder for -
mar-un vector básico, se le debe sumar una variable artificial " t "y
a la vez añadir a la función objetivo el valor TIMt", donde M es un -
valor muy grande, por ejemplo: 10 . Este último es el llamado méto-
do Gran-M, (Apéndice A ) . Es decir, por cada restricción del tipo -
" - " se debe añadir una variable holgura " +x " y por cualquier res_
tricción del tipo " - " se añade una variable holgura " -x " y una -
variable artificial " +t n.
Por lo tanto, en el caso de NTh. unidades térmicas y T perío-
dos, para resolver el problema original relajado con el algoritmo Sim
plex, se debe formar una matriz de dimensión F x C . Donde:
F : número de filas = número de restricciones
C : número de columnas = (número de restricciones) x2 +
+NRM +1 .. (3.14)
NRM: número de restricciones del tipo " - "
El número "1" se agrega debido a la columna de términos inde-
. - 45 -
pendientes .
Por eso, si se aplica al problema de 20 unidades térmicas y
24 períodos, con 3384 restricciones, la dimensión de la matriz es:
3384 x 6793
Para formar una matriz de un' tamaño tan grande se requiere un
computador de gran capacidad de memoria.
Por lo expuesto, se ve claramente que, en la forma como está
planteado el problema de selección de unidades, utilizando el método
"BRANCH AND BOUND" de programación entera, es muy difícil una imple -
mentación práctica en el computador, por lo cual, se modificó el plan
teamiento del problema para tratar de obtener buenos resultados con -
menos esfuerzo.
Las modificaciones son las siguientes:
1.- Se resuelve al problema en forma "desacoplada" [1] ., esto
es, no se plantea al problema para los T períodos de una
sola vez, sino que se resuelve el problema período por'p_e_
ríodo. Al hacer de este modo se desprecia a los indicado_
res de encendido y apagado de unidades, Y-, , Z., . La 're/ i & ' itj it —
lación (2.34) para el número de restricciones, queda así:
Numero de restricciones = 1+ NTh (NB+1)
El problema de 20 unidades térmicas y NB = 3, tiene 81 re_s_
tricciones para cada período, en vez de las 3384 restric-
ciones para 24 períodos. Con esto se logra una apreciable
reducción en los requerimientos de memoria, pues la dimen-
sión de la matriz sería: 81 x 164 ( según (3.14)).
2.- Par a "disminuir el tiempo de búsqueda de la solución óptima
- 46 -
se forma previamente Lina lista de prioridad de las unida-
des térmicas [3], la misma que se la hace en base a los
valores de costo incremental de las unidades ($ / MV) . De
acuerdo al desarrollo de ésta tesis, esa lista de priori-
dad es necesaria para la solución del problema y para cal_
cular correctamente los costos de operación de las unida-
des.
Por ejemplo, si se tiene dos vanidades térmicas:
Unidad 1: Potencia mínima = 75 MV • '
Rango de Potencia = 75-300 MW
Costo incremental ($/Mf) =19,74
Costo generación mínima = $ 1.480,50
Unidad 2: Potencia mínima = 60 MÍV
Rango de Potencia = 60-250 MV
Costo incremental ($/W) =20,34
Costo de generación mínima = $ 1.220,40
En este caso, la unidad 1 es prioritaria con respecto a -
la unidad. 2, debido a que 19,74 $/MW <L 20,34 $ / MV.
3,- Se toma en cuenta también, el número de horas necesarias
para el encendido de las unidades térmicas, por el cual,
una unidad que luego de ser utilizada se apaga, no podrá
ser tomada en cuenta para el problema hasta que transcurra
el numero de horas requerido para su encendido,
4.- Así mismo, para acelerar la búsqueda de la solución óptima
•se forma una restricción adicional, la que especifica el
número mínimo de unidades que deben ser encendidas en cada
- 47 -
período, para que se satisfagan los requerimientos de de-
manda y reserva de dicho período [1] .
La bondad de estas modificaciones, se analiza en el capítulo
VI.
CAPITULO IV
DIAGRAMAS "DE FLUJO
4.1.- INTRODUCCIÓN;-
En este capítulo se muestra los .diagramas de flu
jo de las partes más importantes de la implementación del problema de
selección de unidades. También se explica el propósito de cada subru-
tina empleada en el programa digital, cuyo listado se encuentra en el
Apéndice C,
4.2.- DIAGRAMA-DE FLUJO GENERAL. -
El diagrama de fluj o general del pro
blema correspondiente al problema de selección de unidades,, se muestra
en la Fig. 4.1.
Lectura de datos acercade las unidades.
Formación de la matrizy función objetivo delproblema original reíajado. Esto se graba enun archivo de disco
- 48 -
SI
Se lee el dato acercade la curva de deman-da, dividida en períodos de "una hora cadauno
JLSe llama a la subrutina DATOS - ~
IMx = O
N P P = N P P + 1N P P es el númerodel período parcial
IMx « 1 ? \o
Lectura de datos de lafunción objetivo y ma-triz del problema ori-ginal relajado
noEl valor de demanda es igual a ce siro
no IMx = 1 ? si
no
El valor de demandadel período actuales igual al valorde demanda del períqdo anterior ?
Se forma la restric-ción adicional parael problema, en elperíodo específico
V
Se llama a la Subrutina GRABAD.
NODE =
ITYPE =
1
0
©
no
51f—4
Se llama a la subrutinasimple .
Se comprueba si las va-riables 0-1, toman ó novalores enteros, IN=1 6IN=2
-t-
¿NODE = 1 y IN=1 ?
IN = 1 ? si
Se actualiza el valor -de la solución incluida.Se llama a la subrutina"CALCUN".
si / ITYPE< 2 no
Se busca la solución fsctibie con el valor de sufunción objetivo más ba-ja, de entre las soluciones factibles que han o-currido: "ZMIN".
- 52 -x-—•7
Es ZMIN igual a la solución del nodo presente? si
ITYPE-ITYPE+1
Se llama a la subrutinaRESTRI (5)
no ITYPE =1 ? si
Se llama a la subrutina"FACTIB", como resulta-do se obtiene el indica,dor 1NFEAS.
no INFEAS = 1 ? \i
El subproblema en cues-tión no es factible deresolverlo.
no ITYPE = 1 ? si
Se llama a la subrutinalrO\LCUM" y a la subrutina "FORMA".
Se llama a la subrutina"FORMA"
Se termina el problemacorrespondiente al pe-ríodo en cuestión
N P P = N P T ?N P T = numero total deperíodos.
Se imprime el resultadode la selección de uni-dades.
(FIN)
Fig, 4,1.
- 54 - .
4.3.- SUBRUTINAS DEL PROGRAMA DIGITAL.-
En la figura 4.1., correspon-
diente al subcapítulo 4.1., se desarrolló el diagrama de flujo gene-
ral del programa principal del problema de selección de unidades, En
dicha figura se'señaló con letras ( A , por ejemplo ), a los blo -
ques más interesantes del programa. A continuación se van a expli -
car en forma breve dichos bloques.
- BLOQUE A.- ( Subrutina "Datos"}.
En el bloque A3 se llama a la subrutina "Datos", en la cual
se imprimen los datos correspondientes a las unidades térmicas. Tam
bien se imprime el dato acerca de los valores de demanda durante ca-
da período de una hora. • Todos los datos aparecen en cuadros.
" BLOQUE B.-' ( Restricción adicional) .
En este bloque se analiza a las unidades respecto al valor
de demanda en cada período específico. Se trata de poner una restric
ción adicional al problema, en dicho período, para tratar que la solu
ción óptima factible se encuentre lo más pronto posible. Para esto,
los datos de las unidades deben haberse introducido de acuerdo a la
"Lista de prioridad" [3].
En la fig.4.2. s.e expone el diagrama de flujo correspondien
te a este bloque.
PROGRAMA PRINCIPAL
AJ=0. ; MM= OZZ= PL (NPP)PL (NPP) : valor de demarida, correspondiente al -período NPP.
- 55 -s1
si
3K-no
sNPP * 2 ? no
I = 1, NÚNÚ: numero de unidades
Al valor de demanda sele resta la potencia .máxinia de la unidad I3
C VPTCD).XX = ZZ - VPT [I)
siAJ - AJ+1,ZZ = XX
I = 13NU
La unidad "I" fue escogida en el período an-terior ?,
no
I = 1, NÚ
no
no
- 56©Al valor de demanda sele resta la potencia -máxima de la unidad I.XX = ZZ - VPT (I) .
XX>0. ?
Se revisa si es que elvalor de demanda del .período "NPP" es igualo menor que el valorde demanda de cualquierperíodo ñasta (NPP+1 ++NHEN OM) donde MÍEN(MM) es el múmero dehoras necesarias parael encendido de la unidad MM. Si esto ocurreIMJ = 1.
no
Se compara el valor dedemanda del período"NPP"3 con el valor dedemanda del período anterior.
CCMP=PL(NPP-l)
no MM^AJ y CCMP^O,10?
MM - AJ
AJ = MM
El valor de Md da el nú-mero mínimo de unidadessobre las cuales se va ahacer la selección del -período en cuestión.
Se revisa si es que alguna unidad no cumple conel número mínimo de horaspara el encendido. Si es-to ocurre, a esa unidad nose la toma en cuenta en -el período "NPP".
PROGRAMA PRINCIPAL
- 58 -
- BLOQUE C.- (Subrutina "Grabad")
La subrutina "Grabad" escribe en un archivo de disco, en for
ma secuencial, tanto el problema inicial como los problemas subsecuen
tes, para una referencia futura.
- BLOQUE D.- (Subrutina "Simple")
La subrutina "Simple"3 resuelve al problema de programación
lineal con el algoritmo Sinrplex. Mayor información de esto se encuen
tra en el Apéndice A.
- BLOQUE E.- (Subrutina '-'Restri")
Esta subrutina plantea a los subproblemas con sus respecti-
vas restricciones adicionales.
a) Si, ITYPE = 1
se forma, una restricción del tipo " - "
b) Si, ITYPE = 2
se forma una restricción del tipo " - "
La subrutina comienza localizando al subproblema que se va
a resolver. Esto lo hace en el mismo archivo utilizado en la subru
tina "Grabad". Dependiendo del indicador "ITYPE", al subproblema le
agrega una restricción del tipo " ^ " o " - " 3 con la respectiva mo-
dificación de la función objetivo.
- BLOQUE F.- (Subrutiua "Factib")
La subrutina "Factib" revisa si es que las restricciones adi.
cionales inpuestas a cada subproblema conforme avanza la búsqueda son
factibles. Por ejemplo, las dos restricciones siguientes:
- '2
No son factibles, ya que no tienen congruencia.
- 59 -
- BLOQUE G.- (Subrutina "Calcun" y subrutina "Forma")
La subrutina "Calcun", convierte los resultados dados por la
subrutina "Simple", a valores apropiados de potencia de las unidades
escogidas en cada período.
La subrutina "Forma"3 en cambio, obtiene para cada período
el valor de costo de generación de potencia, incluyendo los costos -
de encendido de las unidades.
CAPITULO V
5.1.- INTRODUCCIÓN.'- ' .
En este capítulo se presentan los ejemplos con los
cuales se probó el programa digital, implementado para resolver el pro
blema de selección de unidades. Son tres ejemplos tomados de la Lite-
ratura técnica y un ejemplo de aplicación sobre las unidades térmicas
de la Empresa Eléctrica Quito.S.A., que se tomó de la tesis " Selec-
ción de Unidades Generadoras" [9].
Como aclaración, se asume [4] que para los costos
de encendido de las unidades al tiempo t=0 todas ellas están listas -
para entrar a funcionar, por lo que, para el primer período no se to-
ma en cuenta dichos costos. Sí se conociera el "historial" de las u-
nidades no haría falta tal consideración.
5.2.- EJEMPLOS DE LITERATURA TÉCNICA.-
5.2.1.- EJEMPLO 1.-
Los datos para este ejemplo se toman de la re
ferencia [3]. Se trata de 4 unidades térmicas y 6 períodos de selec-
ción, de una hora cada uno. Los datos que se obtienen de la referen-
cia, se presentan en la Tabla 5.1-.
- 60 -
- 61 - .
UNIDAD
1
2
3
. 4
POTENCIAMÁXIMA(Mif)
80
250
300
60
POTENCIAMÍNIMA(W)
25
60
75
20
F(P1 == AP
23.54 P
20.34 P
19.74 P
28.0 P
COSTO DEENCENDI-DO ($)
350
400
1100
0
HORAS PARAH, ENCENDIDO
4
5
' 5
0
Tabla 5.1.
En la tabla -5.1., F(P) =^\P, donde P está en MV y A en
$ /MW. La curva de costo versas potencia generada es una recta (Fi-
gura 5.1.)-
Costo de gene_ración mínima.
F($)
F(P)
min PTiiax
Figura 5.1.
P
Puesto que, la función de costo versus potencia es una recta,
existe sólo un nivel de generación entre la potencia mínima y la poten-
- 62 - .
cia máxima de cada unidad.
Hay que ordenar a las unidades de acuerdo a una "lista de
prioridad". El valor de comparación es el de A ($/MW) .
Unidad 1: .
Unidad 2:
Unidad 3:
Unidad 4:
\ = 13-54
\ = 20.34
13 = 19-74
A , = 28.00
Comparando los A 3 la lista de prioridad se configura así:
Unidad 3
Unidad 2
Unidad 1
Unidad 4
De la tabla 5.1., después del reordenamiento, se obtiene la
tabla 5.2.
UNIDAD
l'-(3)
2 '(2)
3'(1)
4 '(4]
NIVEL
1
1
1
1
RANGO DELNIVEL(MW)
75-300
60-250
25-80
20-60
COSTO DEGENERACIÓNMÍNIMA ($)
1480.50
1220.40
588.50
560.00
COSTO PORNIVEL($AiW)
19.74
20.34
23.54
28.00
COSTO ENCEÑDIDO($)
1100
400
350
0
HORAS PARA EL ENCEÑDIDO.
5
5
4
0
Tabla 5.2,
- 63 -
Los valores de demanda de potencia., se presentan en la ta-
bla 5.3.
PERIODO
.1
2
3
4
5
6
DEMANDA(MW)
450
530
600
540 .
' 400
420
Tabla 5.3.
Los resultados de este ejemplo., proporcionados por el progra.
ma digital,se dan al final del capítulo.
5.2.2.- EJEMPLO 2.-
Este ejemplo es de la referencia [1]. El-pro
blema se basa en 5 unidades térmicas y 13 períodos de una hora cada -
uno. Los datos se muestran en la tabla 5.4.
Las unidades, de acuerdo a la referencia [1],
ya están ordenadas de acuerdo a una lista de prioridad. Puesto que,
en dicha referencia a las unidades no se les asigna horas para el en
cendido3 se asume dicho dato comparando las potencias máximas de las
unidades, de la tabla 5.4., con las unidades dadas en la referencia
[4].'(Tabla 5.5.)
- 64 -
UNIDAD
1
2
3
4
5
NIVEL
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
RANGO DELNIVEL CMW)
75-95
95-135
.135-150
40-60
60-92
92-100
20-30
30-40
40-50
15-30
30-40
40-50
0-5
5-15
15-25
COSTO DEGENERACIÓNMÍNIMA ($)
27.97
17.50
8.54
8.25
2.0
COSTO PORNIVELC$/MW]
0.29
0.31
0.33
0.33
.0.38
0.55
0.371
0.381
0.489
0.45
0.465
0.549
0.40
0.45
0.50
COSTO DEENCENDI-DO ($)
50
30
10
12.5
5
Tabla 5.4.
UNIDAD
1
2
3
4
5
HORAS PARAEL ENCENDÍDO
4
3
3
4
1
Tabla 5.5.
- 65
El dato de la demanda por período, se da en la Tabla 5.6,
PERIODO
1
2
3
4
5
"6
7
8
9
. 10
11
12
13
DEMANDA• (MJV)
220
200
160
160
- 200
225 •
275
225
200
220
275
350
275
Tabla 5.6.
Los resultados arrojados por el programa digital, se dan al
final del capítulo.
5.2.3.- EJEMPLO 3.-
De la referencia [4], se obtuvo los datos -
para plantear el ejemplo 3. Consta de 10 unidades térmicas y 24 pe-
ríodos de selección, de una hora cada uno. En la tabla 5.7., se pre
senta los datos procedentes de la referencia [4].
Hay que transformar cada curva de costo vs. potencia gene-
rada, a una curva compuesta por segmentos lineales. En este y todos• o
los casos se procura dividir a la función F(P) = A + BP + CP , en 3
segmentos lineales, (NB = 3, (2.2.c)), según se muestra en la fig.5.2,
66 -
UNIDAD
1
2
3 '
4
5
6
7
8
9
10
CAPACIDADCMW)
60
80
100
120
150 '
280
320
445
520
550
POTENCIAMÍNIMACMW)
15
20
30
25
50
75
120
125
250
250
PARÁMETROS DE LA CURVADE COSTO PC?)AC$)
15
25
40
32
29
72
49
82
105
100
BC$/MW)
2:2034
1.9161
1.8518
1,6966
1;8015
1.5354
1.2643
1.2136
1.1954
1.1285
, C o$/(W)z
0.00510
0.00396
0.00393
0.00382
0.00212
0.00261
0.00289
0.00148
0.00127
0.00135
HORAS PARA EL mCENDIDOT
3
3
3
4
4
6
8
10
12
12
COSTO DEENCENDÍ -DIDO ($)
85
101
114
94
113
176
187
227
267
282
Tabla 5.7.
P . P . P0man 1 2 P P(W)max. "• J
Figura 5 .2 .
- 67 -
Entre P . y ?„_ se trata de formar los segmentos linealesIÍLÍ.-1-L IILcLA.
en incrementos de potencia más o menos iguales.
P o r ejemplo: . . .
F(P . ,^ mojí)
P .mrn
1 7 ~P P*2 *1
) - F(PJA _ max L 2J
^3 P - P0max 2
Una vez realizados los cálculos, se obtiene la tabla 5.8.
Para formar la lista de prioridad se deben comparar los -
" A " promedio de cada unidad, tomando como referencia el
valor de potencia de "la unidad más pequeña, esto es, 60 MW.\r tanto , de cada unidad se debe obtener el A ($/MlV)
para 60 m.
- 68 -
UNIDAD
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
•
NIVEL
1
2
3 '
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
RANGO DELNIVELCMW) •
15-30
30-45
45-60
20-40
40-60
60-80
30-53
53-76
76-100
25-56
56-87
87-120
50-83
83-116
116-150
75-143
143-211
211-280
120-186
186-252
252-320
125-231
231-337
337-445 .
250-340
340-430
430-520
250-350
350-450
450-550
COSTO DE GE-NERACIÓN MÍ-NIMA ($)
49.20
64,90
99,09
76.80
124.37
201.83
242,33
256.82
-
483.22
466,50
COSTO PORNIVEL($/MY)
2.432
2.586
2.739
2.153
2.312
2.470
2.178
2.358
2.543
2.006
2.242
2.487
2.083
2.223
2.365
2.104
2.459
2.817
2.148
2.530
2.917
: 1.7402.054
2.371 •
1.944
2.173
2.402
1.938
2.208
2.478
Tabla 5.8.
- 69 -
d 1 4.Q 70 1 •A 1 = -~ ( ~~^- + i C 2.432 + 2.586 + 2.739)) = 2.9328
( ^- + ¿ [ 2.153 + 2.312)) = 2.7388
1 99 09 1( ^ * f 2'178 + 2-358) = 2.7855
= i ( Z|± + I ( 2.006 + 2.242)) - 2.5982"-r L, ¿j O ¿
2.083) = 2.2852
A = 201.83A6
120
256.82125
483.22
- 2-. 0546
= 1,250
466.50 = 1.866250
Las -unidades qiiedan en el siguiente orden:
Unidad 10
Unidad 9
Unidad 7
Unidad 8
Unidad 5
Unidad 4
Unidad 6
Unidad 2
Unidad 3
Unidad 1
De la tabla 5.8 reordenada y aumentada se obtiene la tabla 5.9
- 70 -
UNIDAD
1'(10)
2'
(9)
3'
(7)
4'
(8D
5'
(5)
6'
(4)
7'
(6)
8'
(2)
9'
(3)
10'
d)
NIVEL
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
'2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3 -
RANGO DELNIVEL(MW)
250-350
350-450
450-550
250-340
340-430
430-520 '
120-186
186-252
252-320
125-231
231-337
337-445
50-83
83-116
116-150
25-56
56-87
87-120
75-143
143-211
211-280
20-40
40-60
60-80
30-53
53-76
76-100
15-30
30-45
45-60
COSTO DEGENERACIÓNMÍNIMA ($)
466.50
483.22
242.33
256.82
124.37
76.80
201.83
64.90
99.09
49.20
COSTO PORNIVEL($/M)
1.938
2.208
2.478
1.944
2.173
2.402
2.148
2.530
2.917
1.740
2.054
2.371 '
2.083
2.223
2.365
2.006
2.2428
2.487
2.104
2,459
2.817
2.153
2,312
2.470
2.178
2.358
2.543
2.432
2.586
2.739
COSTO DEENCENDI-DO C$)
282.0
267.0
187.0 •
227.0
113.0
94.0
176.0
101.0
114.0
85.0
HORAS -PARA ELENCENDÍDO.
12
12
8
-
10
4
4
6
•
3
3
3
Tabla 5.9.
- 71 -
Los valores de demanda se dan en la tabla 5.10
PERIODO
1 '
2
3 . '
4
5'
6
- 78
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
DEMANDA (Mf)
2000
1980
1940
1900
1840
1870
1820
1700
1510
1410
1320
1260
1200
1160
1140
1160
1260
1380
1560
1700
1820
1900
1950
1990
Tabla 5.10.
Los resultados correspondientes al programa digital, se dan
al final del capítulo.
5.3.- EJEMPLO DE APLICACIÓN A E. E. QUITO S.A. -
Los datos para este -
- 72 -
ejemplo se obtuvieron de la tesis, "Selección de Unidades Generadoras''
[9]. Consta de 18 unidades térmicas y la selección se hace sobre 24
períodos, de una hora cada uno.
Las unidades son las siguientes: (Tabla
UNIDAD
1-6
7-9
10-14
15-18
CAPACIDAD(K1Y)
5720
3040
2160
2160
POTENCIAMÍNIMA
(KW)
2000
1000
600
600
PARÁMETROS DE LA CURVADE COSTO. FCP>A+BP+CP2' AC$)
250
169
100
105
BC$/KW)
0.183
0.233
0.240
0.245
c($/KW)2
2355.10~5
5,18.1o"5
icT4
lo'4
HORASPARA ELENCENDÍDO
1 -
1
1
1
COSTODE ENCENDIDO ($3
600
550
500
495
Tabla 5.11
La curva F(P) = A+BP+CP , es una parábola e igual que en el e-
jemplo 3, se procede a " Iinealizar3a". Se escoge así mismo 3 niveles
(NB=3). Luego del proceso se obtiene la tabla 5.12.
( Desde la unidad 1 hasta 6 corresponden a las unidades de la
Central Guangopolo y desde la 7 hasta la 18, corresponden a la Central
Luluncoto). '
Se debe formar la lista de prioridad de las unidades. El va-
lor de comparación es el de 2160 KW, que es el valor de la unidad más
pequeña.
- 73
Unidades 1-6: A C$/KW1 = 1 f 718.08 + 0.31672 ) = 0,33781 2 2000
Unidades 7-9: 1 , 453.81 .0.37185 + 0.442312 ^ 1000 2
Unidades 10-14: "\($/KlV) = 1 , 280 . 0,412 + 0.516+ 0.620,
n ,ín.°*4304
2 6ÜO" 3
Unidades 15-18:2 ^ 600
288 0.417 + 0.521 + O•
0 5005
Es decir las unidades ya están ordenadas según la prioridad d_e
bída. Los resultados del programa digital, respecto a este ejemplo., se
presentan al final de este capítulo.
UNIDAD
1-6
7-9
10-14
15-18
NIVEL
1
2 .
3
1
2
3
1
2
3
' 1
2
2'
RANGO DELNIVEL (KW)
2000-3240
3240-4480
4480-5720
1000-1680
1680-2360
2360-3040
600-1120
1120-1640
1640-2160
600-1120
1120-1640
1640-2160
COSTO DE GENERACION MINIMA.($)
718 . 08
453.81
280.0
288.0
COSTO PORNIVEL($/KW)
0.31672
0.38001
0.44330
0.37185
0.44231
0.51277
0.412
0.516
0.620
0.417
0.521
. .0.625. .
COSTO DEENCENDIDO($)
600
550
. 500
495
HORAS PARA EL ENCENDIDO.
1
1
1
•
1
Tabla 5,12.
5.4.- RESULTADOS DEL PROGRAMA DIGITAL.-
A continuación, se tiene los re
sultados proporcionados por el programa digital, respecto a cada uno -
de los ejemplos.
<S
O
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Ci
- 91 -
CAPITULO VI
.ANÁLISIS DE RESULTADOS
6.1.- INTRODUCCIÓN.- •
En este capítulo se analizan los resultados de la
implementacióii del método de resolución del problema de selección de
unidades, basado en el algoritmo "BRANCH AMD BOUND". Se comparan los
resultados arrojados por el programa digital con los obtenidos de las
respectivas referencias.
6.2.- ANÁLISIS-DEL EJEMPLO 1.-
En cuanto al uso de las unidades, el re_
sultado de este trabajo coincide con el de la referencia [3],
REFERENCIA:
UNIDADES I1 2' 3' "4'
HORA
1
2
3
4
5
6
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0.
0
0
0
0
0
•o1
0
0
0
* 1: unidad en funcionamiento
0: unidad apagada.
Tabla 6.1.
- 92
ESTA 'TESIS:
UNIDADES 1' 2' 3' • 4'HORA
1
2
3
4
5
6
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
10
0
0
Tabla 6.2.
Respecto a los costos totales, se tiene lo siguiente:
COSTO TOTAL (Referencia) = $ 60.105
COSTO TOTAL (Tesis) = .$ 59,103
Si se toma como valor verdadero el de la referencia,, se tie
ne el siguiente porcentaje de error:
% ERROR = (59.103 - 60.105) > x 10Q =_1>66
60.105
Hay que tomar en cuenta la asumpción que se hizo en (5.1),
por la cual no se consideran los costos de encendido para el primer -
período. Si dicha asumpción se deja de lado, el costo total sería:
NUEVO COSTO TOTAL (TESIS) = $ 59.103 + $1.100 + $400
= $ 60.603
El nuevo porcentaje de error es:
% ERROR = (60.603 - 60.105) x 100 - O 8260.105
- 93 -
La diferencia entre los costos totales de ésta tesis y la -
referencia, se debe también a que en este trabajo se sonsideran a
los costos de encendido como un solo valor y no como una función exp£
nencial. Por lo tanto, el resultado de este ejemplo es muy satisfac-
torio .
6.5.- ANÁLISIS DEL EJEMPLO 2. -
En este ejemplo, la tabla final que pro
porciona el programa digital es totalmente idéntica a la que se tiene
en la referencia [1] , en la página 2161. Estas unidades ya está ord_e
nadas de acuerdo a una "lista de prioridad" y además sus curvas de -
costo versus potencia generada ya vienen divididas en tres segmentos
lineales. Esto es, este e'jemplo es el que más cumple con todas las _a
sumpciones hechas en este trabajo, excepto en lo que se refiere a las
horas para el encendido de cada unidad.
La referencia [1] no proporciona el costo total de opera—
ción de este ejemplo, por lo cual, se asume que el costo suministrado
por el programa es correcto.
COSTO TOTAL [TESIS) = $ 1.121.
Si a este costo, se le agrega el costo por el encendido de
las unidades 1 y 2 ( Período # 1),. el nuevo costo será:
NUEVO COSTO TOTAL (TESIS) = $ 1.121 + $ 50 + $ 30
= $ 1.201.
El valor de $ 1.201, es el que se tomó para comparación en la
Tesis ."SELECCIÓN DE UNIDADES GENERADORAS" [9] .
Por todo lo anotado, se puede decir que el resultado obteni
do sobre este ejemplo es completamente satisfactorio.
- 94 -
6,4.- ANÁLISIS DEL EJEMPLO 3.-
guíente dato:
UNIDADES: 1'
HORA:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
1
1
1
1
1
1 .
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2'
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3'
1
1
1
1 .
1
1
1 '
1 -
1
1
1
1
'l
1
1
1
1
1
1 .
1
1
1 -
1 .
1
De la
4' 5'
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 '
1
1
1
1
0
0
0 .
0
0
0
111.1111
referencia [4] ,
6' 71 8'
1
1
1
1
1
1
1
1
. 1
0
0
0
0
0
0
0
. 0
0
111111
11111-1110
0
0
0
0
0
0
0
0
• o0
11111
11-1 (
1 1 11 1i 0 i1 1L_LJ0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1-11-
se oí
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0
0
0
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0
0
0
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0
o-0
0
0
o •0
0
0
0
0
0
Dtie1
10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
el si-
Tabla 6.3.
* 1: La unidad está funcionando
0: La unidad está apagada.
- 95 -
Del programa digital se puede deducir la tabla 6.4.
UNIDADES: 1' 2' 3' 4' 5' 6' 7' 8' 9! 10'
HORA:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
."l
1
. 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
' 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1-
1 '
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
'l
1
• 1
1
1
•1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
• 0
0
0
0
0
0 '
0
0
0
0
0
11111
111111110
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
11111
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
o"0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Tabla 6.4.
A continuación se comparan los costos respectivos
- 96 -
REFERENCIA ' PROGRAMA DIGITAL
COSTO DE GENERACIÓN: $ 78.802 $ 79.146
COSTO DE ENCENDIDO: $ 362 $ 270
COSTO TOTAL DE OPERACIÓN: $ 79.164 $ 79.416
% ERROR COSTO TOTAL = . (79-41f5 " 79-164) x 100 = 0.3179.164
% ERROR COSTO DE GENERACIÓN a'.C79.146 78.802) x IQO ==0.4378.802
En la tabla 6.3. se ha encerrado con líneas segmentadas a
tres valores de la unidad 8'. Así se ve que la unidad 8T es apaga-
da y encendida en dos períodos consecutivos a pesar de que el número
de horas necesarias para el encendido de esa unidad es de 3 horas.
Esto es incorrecto de acuerdo a como se ha planteado el problema de
selección de unidades en esta tesis.
Se tiene diferencias muy pequeñas ( en porcentaje ) entre
los datos de costos de la referencia [4] y de esta tesis. Si se asu-
me que el resultado proporcionado por la referencia es el óptimo,
esto implica que el resultado del programa digital es muy cercano al
óptimo. Nótese que existe una apreciable disminución en el costo- de
encendido obtenido en esta tesis, respecto al costo de encendido de
la referencia.
6.5.- ANÁLISIS DEL EJEKPLO 4.-
Este ejemplo se tomó de la referencia [9] ,
de la tesis "SELECCIÓN DE UNIDADES GENERADORAS" y corresponde a 18 uni
dades térmicas de la E.E. QUITO S.A., por lo cual, la comparación se -
- 97 -
la hará con el dato proporcionado por dicha referencia.
La-tabla de las unidades escogidas, obtenida por esta tesis,,
coincide con la respectiva tabla de-la referencia y es la tabla 6.5.
UNIDADES 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 -18
HORA
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14 .
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
0
0
' 0
0
1
1
1
1
1
1
1
' 1
1
" 1
1
1
1
1
. 1
1
1
1
• 1
1
0
0
0
0
11111111111111111111
0
0
0
0
0
0
111111111111111111
0
0
0
0
0
0
111111111111111111
0
0
0
0
0
0
111111111111111111
0
0
0
0
0
0
111111111111111111
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
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0
0
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0
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0
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0
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0
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0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
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0
0
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0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
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0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
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o -0
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0
0
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0
0
0
0
0
0
" 0
0
0
0
0
0
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0
0
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0
0
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0
0
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0
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0
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0
0
0
0
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0
0
0
0
0
0
f o•o0
0
0.
0
0
0
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0
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0
0
0
0
0
0
•o0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Tabla 6.5.
1: La unidad esfa trabajando
O: La unidad está apagada.
- 98 -
En cuanto a los costos, se tienen los siguientes valores:
ESTA TESIS REFERENCIA
COSTO TOTAL DE GENERACIÓN $ 184.434 $ 183.777
COSTO DE ENCENDIDO $ 3.600 $ 3.600
COSTO TOTAL DE OPERACIÓN * $ 188.034 $ 187.377
Si se asume que el resultado proporcionado por la referencia
es el óptimo, se tiene el siguiente porcentaje de error:
% ERROR DE COSTO TOTAL CE OPERACIÓN _ [188.034-187.377] -nn_ n ,c— XJ.UU— U . jo
187.377
Es un porcentaje' de error bastante pequeño, por lo cual, se
puede afirmar que el resultado proporcionado por esta tesis es satis-
factorio .
CAPITULO VII
CONCLUSIONES Y RECOMENDAC IONES
7.1.- INTRODUCCIÓN.-
A continuación se señalan los aspectos más i
tantes de este trabajo de tesis, así como algunas recomendaciones para
estudios futuros.
7.2.- CONCLUSIONES.-
*En la referencia [1] , se plantea al problema -
de Selección de Unidades de la siguiente manera:
Primero se resuelve al problema período por pe
ríodo ( forma desacoplada ) y del resultado se hace una selección pre
via de unidades. Si una unidad aparece en todos los periodos, se la
escoge en forjiía definitiva, si no aparece en ningún período , se la e-
limina. Luego, con las unidades restantes, ( que no han sido escogi-
das previamente ) se hace la selección de -unidades planteando al pro-
blema para el número total de períodos ( forma acoplada. ) .
En esta tesis, se resuelve al problema de Se-
lección de 'Unidades en forma desacoplada ( período por período ) , con.
las modificaciones indicadas en la sección ( 3.3.) del Capítulo III.
Los resultados obtenidos son óptimos o muy cercanos al óptimo y ade -- 99 -
- 100 -
más se consigue una considerable disminución en el requerimiento de
memoria y tiempo de ejecución del computador. Es decir, se logra una
buena aproximación para resolver al problema en cuestión.
' * La ventaja primordial del método "BRANCH AND
BOIMD" de programación entera, aplicado al problema de Selección de
Unidades es que, siempre que el problema tenga solución, la encuen-
tra .
* De acuerdo con las experiencias en el uso del
programa, con la restricción adicional, acerca del número mínimo de
unidades para satisfacer la demanda de cada período, se logra una -
gran reducción en el tiempo de búsqueda, ya que en la'mayoría de ve-
ces se encuentra la solución óptima con la solución del problema ori
ginal relajado.
* Luego de la determinación de la primera solución
factible [ problema original relajado ), el algoritmo "BRANCH AND
BOUND " examina sólo aquellas soluciones que tengan un valor de la
función objetivo menor que' el de la anterior solución encontrada.
* Con la formación de la "Lista de Prioridad" de
las unidades, se da un camino inicial para la búsqueda de la solución
óptima, pero el algoritmo se encarga de escoger la mejor solución.
Sin embargo, debe recalcarse que, para el uso del programa digital,
debe formarse una lista de prioridad de acuerdo a como se explica en
la sección ( 3.3.) del Capítulo III.
7.3.- RECOMENDACIONES.-
* De acuerdo al método de programación, en el
- 101 -
programa digital se forma una matriz "D" la cual requiere mucha memo
ria y además es una matriz "POROSA", es decir con la mayoría de sus
elementos iguales a O , lo que permitirá explotar esta característi
ca para que con alguna técnica de compactación se consiga menor re -
querimiento de memoria y menor tiempo de computación.
* Se sugiere. implementar en el programa de Se^
lección de Unidades, el cálculo de conflabilidad de los requerimien-
tos de reserva y el cálculo de la función de seguridad S(t), de a- -
cuerdo a la figura 2.2..del Capítulo II.
* Sería recomendable establecer una concatensí
ción entre este programa para la Selección Óptima de Unidades y un -
programa para el despacho económico de carga.
APÉNDICE A
MÉTODO SIMPLEX DE PROGRAMACIÓN LINEAL
A.I.- INTRODUCCIÓN.-
En na problema de programación lineal se debe op-
timizar la función objetivo, sujeta a restricciones de igualdad y/o
desigualdad y a restricciones de signo en las variables. Si no hay -
restricciones de signo en las variables y no se tiene restricciones
de desigualdad el problema se puede expresar así: [2]
Minimizar Z(x) = ex . (1)
Sujeto a: Ax = b (2)
Donde: "A" es una matriz dada y "b" y "c" son vectores dados.
En este caso Z(x) o es una constante en el conjunto de solu
cienes factibles del sistema, o puede divergir hacia (- co ) . Este -
tipo de problemas son triviales, por tanto, se asume que los proble -
mas de programación lineal a tratarse constan por lo menos, de una res_
tricción de desigualdad o una variable restringida en signo. Es decir
que el método que pueda encontrar la solución óptima, debe ser capaz
de buscar la solución óptima y satisfacer un sistema de restricciones
- 102 -
- 103 - .
lineales de igualdad y de desigualdad y restricciones de signo en las
variables. Sin embargo, ninguno de los métodos clásicos del Cálculo
o Algebra Lineal ofrece aproximación alguna para resolver problemas -
de programación lineal [2] , por tanto es conveniente encontrar una téc
nica o algoritmo para resolver este tipo de problemas.
El algoritmo más acertado para la resolución de problemas -
de programación lineal es el llamado "Algoritmo Simpléx" [2] , que fue
desarrollado por George B. Dantzig.
A. 2.- TRANSFORMACIÓN DEL PROBLEMA LINEAL A LA FORMA NORMAL.-
A continua
ción se expone, la forma de transformar un problema lineal a la forma
normal .
- Restricciones del límite inferior: Si en el problema exis-
te una. variable que tiene un límite inferior diferente de cero, por _e
jemplo_, x- -J' , donde £ - es un número específico, se puede reempla.
zar por, X-, = y- + J¡ -, , ya que la restricción x- - J( - es equivalen-
te a " x1 = yx + I 1" y " y1 - O" [2] .
- Restricciones de igualdad: Todas las restricciones restan-
tes de desigualdad, se pueden convertir en ecuaciones al introducir -
las variables holgura adecuadas [2] . Una restricción de la forma:
n
X * C3)
Se transforma a:
n
- 104
Y -una restricción de la forma:
n
N (5)
Se transforma a:
n
a2j Xj - = ' x - ° ' C6)
En esta parte x - y x ~ son variables holgura. El coe-
ficiente de la variable holgura depende de si la desigualdad original
fue " - " o " " "y además las variables holgura son siempre no
negativas.
La razón por la cual se transforma un sistema con restriccip_
nes de desigualdad a un sistema de ecuaciones, es por lo siguiente [2]
1.- En un sistema de ecuaciones se puede multiplicar coefi -
cientes de ambos lados de la ecuación por cualquier núme
ro diferente de cero.
2. - En un sistema de ecuaciones se puede multiplicar a una _e
cuación por un numero real y añadirla a otra ecuación.
El método simplex utiliza transformaciones del tipo de 1. y
2. para encontrar una solución óptima.
- Variables no-negativas: En la forma normal se requiere que
todas las variables sean no-negativas. Si en el problema original -
alguna variable no está restringida en signo, se la puede tratar del
siguiente modo [2] :
Si x- , es una variable no restringida en signo, X-, que es
una variable real, se puede expresar como la diferencia de dos varia
- 105 -
bles no-negativas:
xl = xl
Donde : 'x-j ^ O y x~ * O (8)
Por lo tanto , en un problema lineal X-, se debería reempla
zar por ( x- ~ x- ) que son variables no-negativas.
- Minimiz ación: La función objetivo siempre se puede expre -
sar en forma de minrmización. Si el problema original está en la --
forma:
n
Maximizar Z (x) = > c - x. (9)
Se puede cambiar el problema a la nueva solución objetivo:
n^ '"--i V tMinimizar Z(x) = - Z (x) = > - c . x. (10)
/—_ - -*
Este cambio no afecta al conjunto de soluciones óptimas fac
tibies del problema y la ecuación:
iMaximizar el valor de Z (x) = ~ [minimizar el valor de Z(x)]
Se puede utilizar para hallar el valor máximo de la función
objetivo original. '
Por lo tanto, el problema lineal:
- 106 -
n
Minimizar Z (x) . = c. x.
n
Sujeto a: a., x'. = b. (13)
x. 0.
En forma normal queda representado en la tabla A.l.
(14)
x- x0 ... x. ... x -Z1 2 3 n
a« -, a^ o . . . a« - .... a_. u11 ' 12 - lj In
a.. a.0 . . , a a. 0il i2 ij in
a - , a o . . . a • . . , a. umi m2 mj mn
C- C0 . . . C. . . . C 11 2 ] n
b
bl
bi
bm
0
Tabla A.l
Cada fila en la tabla A,1.3 (excepto la última), representa
una restricción del problema. La última fila de la tabla representa
la ecuación:
- 107 -
Z *
Esta fila se llama la "fila de costo" o la "fila objetivo".
Los términos c. se conocen como los coeficientes originales de eosj
to. Los números b., , . . . ,b , se conocen como los coeficientes cons-
tantes y los números a. . se conocen como los coeficientes entrada-
salida. Las variables x- , . . . ,x , _son variables del problema, inclu_L il *-~
yendo las variables holgura.
A. 3 . - FORMA CANÓNIGA. -
La tabla original, tabla A.I., está en forma ca
nónica si existe una matriz unitaria de orden "m", en las primeras m
filas de la tabla original ( después de que el problema se ha puesto
en la forma normal) . Cuando esto ocurre es fácil obtener una solu -
ción factible para. el problema a partir de la tabla. Este tipo es-
pecial de soluciones se conocen como soluciones básicas factibles y
corresponden a los puntos extremos del conjunto de soluciones facti-
bles [2] . Una consecuencia importante de esto es que si un proble-
ma lineal., en la forma normal , tiene una solución óptima factible , -
ésta debe ser una solución básica factible.
Al definir una solución básica del problema, las variables
se dividen en dos conjuntos llamados variables no básicas y varia --
bles básicas. En la solución básica factible, las variables no bás_i
cas son iguales a cero.
Si el problema está en la forma canónica, ordenando los nú-
meros de variables, de tal modo que los vectores columnas correspon-
dientes a las variables x. , . . , ,x , en la tabla, formen una matriz uJ_ m -
nitaria de orden m a lo largo de las primeras m filas, se seleccio
na a las variables asociadas con los vectores columnas de la. matriz uni
•- 108 -
taria, como variables básicas. Todas las otras variables en el pro-
blema., serán no básicas. Los vectores columnas asociados con las va
riables básicas se denominan vectores columnas básicos y todos los o-
tros vectores columna son llamados vectores columnas no básicos. ---
Quenado esto courre, la tabla toma la forma dada por la tabla A. 2.
VARIABLESBÁSICAS
Xm
•y ' -y "v -/• -v" — 7-A. , - , « , . .A. _/\ i -A. 'i . . » -A. ¿Jm+1 n 1 2 m
a- J - ... a- 1 0 . . . 0 0l,m+l l,n
a9 , _ - . . . a0 0 1 ... 0 02, m+1 2,n
a " - . . . a 0 0 1 0m,m+l . inn
C - , . . C C- C0 . . . C 1m+1 11 1 2 m
b
b2
0
Tabla A.2.
Al poner el problema en la forma normal, los coeficientes in-
dependientes, b-, ..., b , tienen que ser no negativos.
A.4.- RUTINA DE EVALUACIÓN.-
Se denomina operación de evaluación, a la
sustracción de múltiplos adecuados de las primeras, m filas de la fi
la costo, de taltmodo que los términos que están bajo los vectores co
- 109 -
lumnas básicos sean cero. La tabla resultante., tabla A.3, se conoce
como tabla canónica con respecto al vector básico actual [2].
VARIABLESBÁSICAS
x1
X-i
xm
-Z
X t - . . . X. . . . X X-, . . . X- . . . X -1m+1 j n 1 i m
ai WJ.i . . . a- .... a. 1 .. . 0 . , . 0 0ljin+1 Ij In
a. ., . . . a a- 0 . . 1 . . 0 0i,m+l i] in
a ^ • - . a a 0 . . . 0 . . . 1 0n^m+l nrj mn
c ^ .. . c. . . . c 0 0 0 1m+1 ] n
b
bl
b-
bm
-Zo
Tabla A. 3.
La solución básica factible inicial' es:
Todas las variables no básicas = O
Variable básica i
Valor objetivo =
b. 1=1,...,ra
(16)
(17)
(18)
El algoritmo sirnplex requiere empezar con una solución bási-
ca factible. Los términos c. se llaman "coeficientes relativos de
costo con respecto al vector básico (x,,... ,x] )", y representan a
las "razones marginales de cambio" [2].
- 110 -
En alguraos problemas la matriz original de coeficientes en-
trada-salida, puede no contener xana matriz unitaria, de orden m, co-
mo submatriz, por lo cual no se puede obtener directamente una solu-
ción básica factible de la tabla original. Para tales problemas exi¿
te un método para introducir variables artificiales y transformar el
problema en otro problema lineal. Tal problema lineal aumentado, se
formula de modo que se tenga una solución básica inicial [2] . Ini -
ciando con dicha solución básica factible se puede resolver el pro -
blema con el método simplex. El problema lineal aumentado se conoce
como "Fase I del Problema". La resolución del problema luego de ob-
tener la solucife. básica factible inicial, con el método simplex es
lo que se llama "Fase II del problema11.
Si un problema posee directamente una solución básica facti
ble, se pasa a resolver la Fase II del problema, con el algoritmo sim
plex.
A.5,- FASE I DEL PROBLEMA. -
La tabla A.l. es la tabla original del -
problema. Supóngase que las primeras m filas de esta tabla no contie_
nen la matriz unitaria de orden m como submatriz. Auméntese la ta-
bla con las variables artificiales x -i > • • -xn+:m > cuyos vectores co
lumna forman la matriz unitaria de orden m. Hágase igual a cero el
coeficiente de costo de cada una de estas variables artificiales en
la fila objetivo original.
El problema aumentado tiene ahora una' solución básica ini -
cial,. que se obtiene directamente:
xi = O i=l,...,n (19)
x - i=l,...,m (20)
111 -
Por lo.tanto, el problema aumentado está en la forma canóni
ca, con el vector artificial (xn+lí..., x ) como vector base.
Cualquier solución factible del problema aumentado, f:c- ,... /x ,1 n+1 :
"x )3 en el que las variables artificiales x ,-,....5c sean cen+m H-Í-IÍ > n+m _
ro, será una solución factible del problema original. Por esto, el
propósito principal de la fase I del problema es, empezar con la so-
lución básica inicial dada por (19) y (20), para-luego tratar de ob-
tener una solución factible del problema aumentado en el que todas -
las variables artificiales sean cero. Esto ultimo se puede lograr -
al restringir a todas las variables artificiales a valores no nega -
tivos y minimizar su suma., esto es-, [2] .
Minimizar W = x - + ... + xn+1 n+m (21)
W se conoce como la "función objetivo de la Fase I", o como
la "función costo de la Fase I", o como la "forma de no factibilidad",
En la tabla A,4. se muestra a la tabla aumentada.
VARIABLESBÁSICAS
xn+l
* n+m
-Z
-W
x- . . . x x , - ... x , -Z -W1 n t n+1 n+m
a- - ... a- 1 ... 0 0 011 In
a, ...a 0 . . . 1 0 0mi mn
c., . . . c 0 . . . 0 1 01 n
0 ... 0 1 ... 1 0 1
b
bl
bm
0
0
Tabla A.4.
- 112 -
En la tabla A. 4. la última fila es la'fila objetivo de la
Fase I". El problema de minimizar W3 empezando con una base comple-
ta de variables artificiales, es lo que se llama Problema Fase I.
Si se realiza la operación de "evaluación" de los vectores
columna básicos de la tabla aumentada,, al sustraer de la fila objeti
vo de la Fase I y de la fila objetivo de la Fase II (penúltima fila
de la tabla A.4), los múltiplos adecuados de las primeras m filas, -
de tal modo que los términos que están bajo las columnas básicas sean
cero,, se obtiene la tabla canónica inicial para el problema Fase I -
(tabla A. 5) [2] .
VARIABLESBÁSICAS
xm+l
n+m
-Z
-W
X-, . . . x x , - . . . x • -2 -W1 n ji+1 n+m
. ' a-- ... a- 1 , . . 0 0 011 In
a, ... a 0 ..'. 1 0 0lia . mn
• c. . . . c 0 . . . 0 1 01 n
a, . . . an o . . . o o í
b
\m
-7O
A
Tabla A.5.
Como el problema Fase I es un problema de programación lineal con
una solución básica factible} esto implica que se lo puede resolver
con el algoritmo- simplex [8].
- 113 -
Interpretando la Tabla A.5, se puede ver que las restriccio-
nes originales son:
n
a.- x- = b. i=l....,m (22)i] 3 i y ' J
x.' - O Para todos los j. (23)
Las correspondientes restricciones del problema Fase I, son:
n
3 = bi ' i=1---m C24)
x- - O Para todos los j y
x . = O Para i=l,.,.Jm (25)
De esto último se puede sacar las siguientes conclusiones :
[2]. .
1. - Si ( X.,,., . jX ) es una solución factible del problema
original, por la tanto, (x ,.., n^n+l> • • • £n+m ) , ¿on
de x ,-..... x , son variables iguales a cero, es unan+1 ' n+m & J
solución, factible del problema Fase I.
2. - Recíprocamente, si ( X-, 9.. , ,x 1,. . . 3x ) e's una soluj. n j. n ju. —
' ción factible del problema Fase I, en el que x -,...,
x son variables iguales a cero, entonces (x-,...,
x )• es una solución factible del problema original.
- 114 - .
3.- En las igualdades (24) y (25} } todas las variables ar-
tificiales x ....... .x , . son restringidas a valores -n+i n+m* °
no negativos . La suma de valores no negativos es siem-
pre un numero negativo. Por lo tanto, el valor de la -
función, objetivo de la Fase I es mayor o igual a cero ,
para el conjunto de soluciones factibles del problema -
Fase I.
4.- Si el problema original tiene una solución factible , por
I., se puede construir una solución factible del proble
ma Fase I al hacer todas las variables artificiales igua
les a cero. Esta solución factible hace que el valor de
W sea igual a cero. Puesto que W es no negativo para el
conjunto de soluciones factibles del problema Fase I, -
cualquier solución factible que hace a W igual a cero d_e
be ser una solución óptima. Por lo tanto, si el proble-
ma original tiene una solución factible, el mínimo valor
de W, en el problema Fase I, es cero.
5.- En forma recíproca, si en el problema Fase I el valor mí
nimo de W es cero, entonces, .debe existir tina solución -
factible ( x . . . ^ í - - - >xn+m ) que hace w igual a
cero , Por lo tanto , ' x +- , . . . ,x + - O . Puesto que cada
una de las variables, x ,.,..,. ,x , , es no negativa, por' n-i-P J n+m3 & 7 "
tanto, su suma es cero sólo si cada una de ellas es cero.
Entonces, í x., , . . . ,x ) es una solución factible del pro-3 *• 1' * ir x
blema original. En resumen, si el valor mínimo de W en
el problema Fase I es cero, el problema original tiene -
una solución factible.
6 . - De estos argumentos se concluye que ., el problema original
tiene una solución factible si, en el problema Fase I el
valor mínimo de W es cero.
7.- Cuando se resuelve el problema Fase I, pueden ocurrir -
dos cosas:
a) El valor mínimo de W es mayor que cero y por 6. se pue
de decir que el problema original no tiene una solución -
factible, esto es, las restricciones .originales y las res_
tricciones de signo deben ser inconsistentes. Un ejemplo
. de tal sistema es:
-y + y- = -1Xl X2
x-j^ ^ O X2 ~ °
b) El valor mínimo de W es cero. Por tanto, de una solu
ción óptima para el problema de Fase I, se tiene una so-
lución factible para el problema original, como en 2.
A.6.- EL ALGORITMO SIMPLBX.-
A.6.I.- EL ESTADO INICIAL.-
Este es un algoritmo que se puede u-
sar para resolver cualquier problema de programación lineal, que esté
en la forma normal y para el cual se conozca un vector básico facti -
ble inicial. Supóngase que el problema tiene la siguiente forma: .
N
Minimizar Z (x) ) c. x. • _ (26)
NSujeto a: > a., x. = b- i=l,,..,M (27)
-116 - .
^ O (28)
Supóngase que el vector básico inicial es (x«,.. . .x. f). La
tabla canónica con respecto a su vecto básico será la Tabla A.6.
VARIABLESBÁSICAS
XyrM
-Z
~v "v "v "v — 7.A-i f . -i • • » -<ViL T -<V"i » « • JM r LJM^l N 1 M
^MM+1" '^M-N ° "" l °
v,-, . . . . . ;
ACALORES
v
-Zo
Tabla A.6.
En cualquier tabla canónica., los vectores columna de las va
riables básicas, en su orden propio, forman una matriz unitaria y,1a
fila de costo tiene términos que son cero, bajo todos los vectores -
columna básicos. Los términos de la tabla canónica se llaman "térmi-
nos actualizados11., para distinguirlos de los términos de la tabla o-
riginal. La solución básica factible correspondiente a su vector bá
sico es:
VARIABLES NO BÁSICAS x. - Oi
(29)
VARIABLES BÁSICAS x. = b - i=l,. .. ,M (30)
VALOR DE LA FUNCIÓN OBJETIVO Z = Z (31)o ^ -
Para este problema una solución óptima factible es, una solu
ción factible que hace que la función objetivo tome su mínimo valor -
respecto de todas las soluciones factibles. Por lo tanto, una solu -
ción factible x = ( x- ,.. . x, ) es una solución óptima factible -
si, [8]
Z ( x ) - Z ( x) para todas las otras soluciones (32)
factibles de x.
A. 6.2. - ' CRITERIO' PARA' TERMINAR. -
Ahora se revisa el criterio -
para discernir si la solución básica factible actualizada es óptima
para el problema, es decir el criterio para terminar el problema.
La solución básica factible actualizada es óptima si, todos
los coeficientes relativos de costo con respecto a su vector base sonno
negativos, esto es, [2] .
c. - O para todos los j (33)
Por supuesto, si x- es una variable básica 3 c.. es cero. El
criterio dado por (33) requiere que los coeficientes relativos de cos_
to de todas las variables no básicas, sean no negativos.
La solución básica factible actualizada del problema llama a
la función objetivo: Z . Esto es, si se prueba que Z (x) - Z p_a
ra cualquier otra solución factible x, de acuerdo a (32) la solución
- 118 -
básica factible actualizada debe ser óptima. De la ultima fila de la
tabla canónica actualizada [Tabla A.6), se puede ver que:
N
c. x. - Z (x) = - Z [34)J J ^ } o L - J
j=M+l
Nr~S + ' \. x.o / J J
j=M+l
Donde x- debe ser no negativo para todos los ja en cualóuier
solución factible. Entonces, si c. es no negativo para todos los j,
Nc. x. debe ser no negativo y para cualquier solución básica
j=M+l
factible x, Z (x) debe ser mayor o igual que Z . Por tanto3 la sou —
lucion básica factible actualizada debe ser óptima, para el problema,
A.6,2.1.- FUNCIÓN OBJETIVO ILIMITADA POR LO BAJO.-
Una
función objetivo es ilimitada por lo bajo si, existe un s tal que en
un tabla canónica con respecto a algún vector básico factible, se cum
pie que: [2]
cs < O y a. O para i=l,. . . ,M (35)
Donde c es el coeficiente relativo de costo de" x con • -s . s
respecto a su vector base y a. , i=ls... ,M son los términos del vec-
tor columna correspondiente a x en la tabla canónica del respectivo
vector base.
- 119 -'
Considérese la tabla canónica con respecto a algún vector -
básico factible. Se asume que el vector básico es ( x1?.. .XM ) . Su-
póngase que el vector columna de x satisface el criterio de función
objetivo ilimitada por lo bajo en dicha tabla canónica. Si es necescí
rio se reordena los vectores columna, para obtener la tabla A.7.
VARIABLESBÁSICAS
Xl
*M
-Z
OTRAS VARIABLESNO BÁSICAS xs xr . . XM ~Z
á, 1 . . , 0 0Is •
Is 0 ... 1 '0
c 0 ... 0 1s
b
61<*-Z
Tabla A. 7
La solución básica factible actualizada es,
x- = b-i i(36)
Todas las variables no básicas
Punción objetivo Z
Puesto que es una solución factible, todos los b- deben ser
no negativos. Llámese a esta solución x. En x, todas las variables
•- 120 -'
no básicas , inclímyendo x , son cero. Si se aumenta el valor de x
a un valor no negativo A, manteniendo las restantes variables no bá-
sicas fijas en cero,, los valores de las variables básicas tienen que
cambiar de tal mido que se mantengan las siguientes ecuaciones: [2]
a-, x + x., = b-Is s 1 1
a2s Xs + X2 " b2
Xs + XM
e x -Z - -Zs s
Lo que implica que la nueva solución es:
xl
X2 = b2 a2s
Xi ~ bi " aisA '. • (38)
XM =
xs
Todas las variables no básicas = O
Z = Z + cs
- 121 - .
Ya que el vector columna de x satisface el criterio de que
la función objetivo sea ilimitada por lo bajo, se debe cumplir que
á. — O para todo i ye < 0. En la solución dada por £38),
los valores de las variables básicas se mantienen no negativos paraA A
cualquier A - 0. Por lo tanto, para cualquier A ^ O existe una
1solución factible, sin embargo, conforme /\, el valor corres_
pendiente a la función objetivo, que es igual a Z + c A , disminuj
ye indefinidamente debido a que c < O, Entonces, en este caso la
función objetivo Z (x), es ilimitada por lo bajo en el conjunto de so_
Iliciones factibles.
A. 6.5. - MEJORANDO A UNA SOLUCIÓN BÁSICA' FACTIBLE' NO' ÓPTIMA. -
Si
no se satisfacen los criterios de que la solución básica factible sea
óptima o de que la función objetivo sea ilimitada por lo bajo, el al-
goritmo simplex debe tender a buscar una mejor solución factible (una
solución factible x, se dice que es mejor que la solución factible -
actual x, si Z( x ) - Z(x)). El algoritmo simplex realiza esa
operación con el cambio del valor de una variable no básica, desde ce_
ro a un valor no negativo. La selección de dicha variable no básica
se la hace en forma sistemática. En cada paso, el algoritmo simplex
trata de cambiar el valor de sólo_una variable no básica [8], la .cual
se selecciona de tal modo que, el valor de la .función objetivo decrez_
ca como z~esultado de ese cambio. Se puede ver que dicho cambio ocu-
rre sólo si la variable no básica seleccionada tiene un coeficiente -
realativo de costo negativo en la tabla canónica actualizada.
Si la variable escogida es x , ésta debe satisfacer a:
cs < O (39)
Después cíe algunos cal culos, que se explicarán posteriormen-
te, se obtiene el nuevo valor de la variable no básica, 9 y se recaí-
culan los valores de las variables básicas. El valor modificado de -
por lo menos una de las variables básicas será cero, la misma que se-
rá borrada, de la lista de variables básicas y en su lugar entrará la
variable x . Se obtendrá un nuevo vector básico y así mismo una míe
va tabla canónica. Toda la operación descrita se denomina, "Introduc
ción de la variable no básica x al vector básico ". A x . en és-s . s*
ta operación., se la conoce como variable entrante.
• Cualquier variable no básica con un coeficiente relativo de
costo negativo, es candidata para ser variable entrante. El vector co
lumna de la variable entrante se denomina pivote. Cuando existen va-
rias variables no básicas, x., con c- -C O- , se debe seleccionar la -
variable entrante de modo que la solución del problema se complete con
el menor esfuerzo de la computadora. Hasta ahora no se desarrolla nin
gun. método que asegure lo anterior _, pero lo que se usa muy comúnmente
es escoger la variable donde se cumpla: [2],
c = mínimo [ c-, j = 1,..,,N ] . (40)• ' J
Si existiera un lazo en (40) se lo podría romper arbitraria,
mente [9]. Esta regla tiene la ventaja de que escoge la variable con
la mayor capacidad, por unidad, de reducir el valor de Z. Una regla
como ésta, que decide cual variable no básica sería escogida como la
variable entrante, se conoce como " regla para escoger la columna pi-
vote".' No hay ninguna justicación teórica, para creer que la regla -
para escoger la columna pivote resuelva cualquier problema lineal con
el menor esfuerzo computacional, sin embargo en la mayoría de los pr£
blemas prácticos da excelentes resultados.
- 123 - -
Se asume que el vector básico actualizado es (X- ,.. . ,XM) y que
la tabla canónica con respecto a este vector básico es la tabla A. 6; en
la solución siguiente, todas las variables no básicas, excepto la varia.
ble entrante x „ se mantienen igual a cero. Por lo tanto si x tomas to s
el valor de A _, la nueva solución (como en (38)) es:
x- = b. - a. A i=l,••-M
x =15 (41)
Todas las variables no básicas = O
Función objetivo - Z = Z + c AJ o s
El cambio en el valor de la función objetivo es c unidades -
del cambio por unidad en el valor de x [2]. Esta es la razón para res •
querir que el coeficiente relativo de costo de la variable entrante,sea
negativo. Si el coeficiente relativo de costo de la variable entrante
es cero, el valor de la función objetivo permanece invariante y si di-
cho coeficiente es positivo el valor de la función objetivo se incremen
tara.
Puesto que c < O, en este paso, la máxima disminución en el -
valor de la función objetivo, se puede lograr haciendo que A tome-su má
ximo valor posible, sin embargo, el valor de A debe ser tal que los -
nuevos valores de las variables básicas actualizadas sean no negativos.
Los nuevos valores de las variables básicas son , b. -a. A > 1=1,...,frA
pero se sabe que b- - O y también que A ^ o , por lo tanto, si
a- - O la restricción anterior se satisface automáticamente para cualis —•1 - \ -quier A o. Por otro lado,, si a- > O implica que A £ b./a.
Luego, el máximo valor que se puede dar a A es: [2]
9 = mínimo
- 124 -
_, tal que a. > O15- a-is
3 si al menos ion
(42)
= co , ti todos los a. - O i=l?..._,M
La segunda alternativa, 9 =co sólo ocurre cuando a. - Oto , is
para todos los i ( criterio de función ilimitada por lo bajo), Por -
tanto., el valor máximo que puede tomar x es:
mínimoars
. .b,—-— , tal que a- > Oa. is13
(43)
La relación (43) se conoce como la razón mínima en dicho paso.
La fila r, en la tabla canónica presente, se denomina la fila pivote.
El elemento a , que se encuentra en la columna pivote y en la fila pji
vote, se conoce como elemento pivote. La operación para el cálculo de
9 se conoce como "prueba de la mínima razón11 y su propósito es, garan-
tizar que la nueva solución básica, que se obtiene cuando x entra al
vector base, satisfaga la restricción de que las variables sean no ne-
gativas .
A.6.4.- OPERACIÓN PIVOTE.-
Al entrar la variable no básica x
al vector básico, como variable básica r , se produce una nueva tabla
canónica con respecto al nuevo vector básico, la misma que se consi-
gue al ejecutar las siguientes operaciones elementales: [2]
1,- Para cada i r, se sustrae de la fila i un múltiplo ade
cuado de la fila pivote, de tal modo que el término de la
fila i que se encuentre en la columna pivote se haga cero.
- 125 -
2.- En forma similar, se sustrae de la fila de costo un múl-
tiplo adecuado de la fila pivote, tal que, el término de
la fila de costo, que esté en la columna pivote, se haga
cero.
3.- Se divide la fila pivote para el elemento pivote.
El valor de la función objetivo correspondiente a la nueva -
solución básica factible será:
Nuevo valor de la función objetivo = valor previo de la fun
ción objetivo * 0 c
(44)
Puesto que 9 - 0 y c < O, la nueva solución básica s_e_
rá mejor que la anterior.
A.6.5.- PROCESO ITERATIVO.-
Se debe discernir cuándo se satisfa-
cen los criterios para terminar el proceso o para declarar a la fun -
ción ilimitada por lo bajo. Si no se cumplen, el proceso se debe re-
petir hasta que se satisfaga cualquiera de las dos. Esto ocurrirá -
después de un numero finito de operaciones pivote.
Si el algoritmo termina por haberse satisfecho el criterio
de terminación (A.6.2), la tabla canónica correspondiente al vector
básico final, se conoce como "tabla canónica óptima" para el proble -
ma. La solución básica factible proporcionada por dicha tabla canóni
ca, es la solución óptima del problema.
A.7.- EL MÉTODO GRAN-M.-
Para resolver un problema lineal general, el
algoritmo simplex se aplica primero al problema Fase I, para obtener
una solución básica factible inicial y luego al problema Fase II, que
- 126 - .
resuelve al problema original a partir del vector básico factible ob-
tenido al final del problema Fase I. El método Gran-M es aquel que
conbina estas dos fases en un solo problema. El símbolo "M11., se usa
para denotar a un número positivo extremadamente grande.
Considérese el problema lineal en la forma normal:
V~Minimizar Z (x) = ) c.
n
X-
suieto a: } a. . x. = b. i=l,....m [45]J i] 3 i ' ' ^ J
x- -' O para todos los j
Supóngase que se ha introducido un conjunto de variables artji
ficiales. Si dichas variables artificiales, se denominan por, t.,...,
t j el problema aumentado queda así:
Minimizar Z (x,t) = } c. x. + M ( , + ,.,+ t )
sujeto a: f , a - - x. + t. = b- i=l5...,m (46)-'•J J - - •*•
x., t. - O para todo .i,j
No es necesario dar un valor específico a M, ya que se lo tra
ta como un parámetro que es mucho mayor que cualquier número con que
es comparado. El problema es ahora, un problema lineal con (t,?...,t )
como vector básico factible inicial y por tanto el algoritmo siinplex
se puede aplicar para resolverlo.
- 127 -
Durante la aplicación del algoritmo simplex, el coeficiente
relativo de costo de x. , es de la forma c. + M c.. donde c. es el3 3 3 3
término constante [ proveniente de la función objetivo original ,
Z (x) ] y c* es el coeficiente del parámetro M. Si c* <C, O, su
coeficiente relativo de costo es negativo, puesto que M es muy gran
de. Si c. J> O, su coeficiente relativo de costo es positivo. Si
c. = O , el signo del coeficiente relativo de costo será el de c..* _ _*
Para hacer fáciles las operaciones, los c.. y los c. se mantienen
en diferentes filas de la tabla. Si x. es la variable entrante, se
debe efectuar la rutina de evaluación tanto en la fila c. como en3
la fila c. .
Cuando se aplica el método Gran-M al problema., el algoritmo
simplex podría terminar de varias formas:
1.- Si el algoritmo simplex encuentra una solución óptima
( x , t ) en la que t = O , luego, x es una solución
óptima factible del problema original.
2.» Si el algoritmo simplex llega a una solución óptima
( x , t ) en la que t r O , el problema original no
tiene solución factible.
3.- Si se satisface el criterio de función ilimitada por lo
bajo, independientemente de cuan grande sea M5 entonces
Z (x,t) en (46), será ilimitada por lo bajo para todos -
los valores de M suficientemente grandes. En este caso,
Z (x) en (45), también es ilimitada por lo bajo si es que
(45) es factible.
La factibilidad de (45) sólo puede ser determinada, en
dicho caso, por continuación del algoritmo, una vez que
la función objetivo original / c. x. se hace 0. Con
- 123 -
este cambio, la función objetivo de (46) será
Z1 (x,t) = M ( - +,..+ t ) y Z1 (x/t) ^ O para -
todas la soluciones factibles (x,t) de (46]. Por lo tan1
to, ' Z (x,t) es Ilimitada por lo bajo.
Hacer este cambio, es equivalente a hacer cero todos los
términos de la fila c. Por eso, los coeficientes rela-
tivos de costo son iguales a Me. para todos los j y -
por tanto tienen el mismo el mismo signo de c.. La apll] ~
cación del algoritmo simplex se continúa a partir de la
base actualizada.
Sea ( x,t ) la solución óptima obtenida. Si t-05 (45)
es factible y Z (x) es ilimitada por lo bajo. Si t O,
(45) no tiene solución factible.
Por lo tanto3 si (45) tiene una solución óptima factible, el
método Gran-M la encontrará después de aplicar el algoritmo simplex.
Si (45) es no factible o si Z (x) es ilimitada por lo bajo, se debe
aplicar dos veces el algoritmo . simplex antes de determinar completa-
mente el estado del problema.
Es imposible concluir teóricamente si el método Gran-M resuel_
ve los problemas lineales con menor esfuerzo computacional que las a-
proxlmaclones Pase I y II. Sin embargo, las experiencias parecen in-
dicar que ambos métodos requieren esfuerzos similares [2].
APÉNDICE B
MANUAL DE USO DEL PROGRAMA DIGITAL PARA LA SELECCIÓN ÓPTIMA DE UNIDA-
DES; UTILIZANDO EL MÉTODO "BRANCH AND BOUND" DE PROGRAMACIÓN ENTERA.
B.I.- INTRODUCCIÓN.-
El objetivo de este programa digital es resolver
el problema de Selección de Unidades, haciéndolo en forma óptima, al
minimizar los costos totales de operación de las unidades térmicas,
B. 2 . - MÉTODO DE SOLUCIÓN. -
Se utiliza el método "BRANCH AND BOUND" de
programación entera, cuyas características básicas son:
El Algoritmo,, provee una metodología para buscar la solu -
ción óptima factible de problemas de optimización discreta, mixta y
en general problemas de programación entera.
El conjunto total de soluciones factibles se divide en sub-
conjuntos cada vez más simples. En cada etapa del proceso se escoge
el subconjunto más favorable y se trata de encontrar una solución -
factible para el mismo. Si esto ocurre se dice que el subconjunto ha
sido sondeado a fondo., caso contrario, se divide en dos subconjuntos
más simples y el proceso se repite.
La búsqueda de la solución se refuerza con una restricción
adicional, impuesta sobre cada subconjunto generado por partición.
- 129 - .
- 130 -
Estas restricciones ayudan a escoger subconjuntos más favorables y a
desechar subconjuntos que no la contienen.
El Algoritmo se compone esencialmente de:
- Estrategia de Límite Inferior
- Estrategia de Ramificación
- Estrategia de Búsqueda.
Mayor información se encuentra en los capítulos III y IV.
B.3.- DESCRIPCIÓN DEL PROGRAMA.. -
La descripción del programa principal
y subrutinas, así -como los diagramas de flujo se encuentran en el ca-
pítulo IV.
B.4.- NOMENCLATURA."
B.4.I.- VARIABLES DE'ENTRALA.-
VARIABLE
NPT
NÚ
NB
TMJLTT
'FORMATO
13
13
13
F5.0
''DESCRIPCIÓN
Numero total de horas ? sobre
la cual se hace la Selección
de Unidades.
Numero de unidades térmicas
que intervienen en el proble
ma.
Número de niveles en los oía
les se divide la curva de p£
tencia vs. costo de combusti
ble, F(P).= A+BP+CP2 (Ver ca.
pítulo II, sección 2.2.)
Factor entero para el cual
se deben multiplicar los re-
- 131
VARIABLE FORMATO
CPOT
SNOMBR
NHEN
FCEB
VPT
PIMIN
COSKJ
A.2
A20
14
F8.0
F8.0
F8.0
F8.0
F8.0
DESCRIPCIÓN
saltados de la tabla de selección de .-
unidades, Los datos de potencia de djl
cha tabla, sólo permiten tres números
enteros.
Constante en la que viene expresada la
potencia de las unidades de generación.
Puede ser, 'W o "KW".
Representa al nombre del sistema en e_s_
tudio.
Numero de horas necesarias para el en-
cendido de cada unidad de generación.
Costo correspondiente al encendido de
cada- unidad.
Función correspondiente a los costos -
de generación mínima d.e cada unidad, -
luego se dispone los costos por nivel
de cada unidad ($/MW) o ($/KW), en el
mismo orden anterior y según la lista
de prioridad de las unidades.
Valor de potencia máxima de generación
de cada unidad.
Valor de potencia mínima de generación
de cada unidad.
Valor del rango de cada nivel de
generación de cada unidad t sea
en "MW" o en "KW11 . Por ejemplo, -
132 -
VARIABLE FORMATO
PL FIO. O
DESCRIPCIÓN
si el nivel de generación es en
tre 30 MY y 80 MW (30-80] el ran
go es 50.
Valor de demanda para cada perío
do de selección, en "MW11 o "KW".
B.4,2.- VARIABLES DE SALIDA. -
VARIABLE
CPOT
FI
FCEBI
MÍEN
PMI
RANGNI
PL
UNÍ
FMÜLTI
COSGEN
•"DESCRIPCIÓN
Variable alfanumérica que indica si los -
resultados están en W o "KW".
Variable que contiene a todos los costos
de generación.
Variable que expresa el costo de encendi-
do de cada unidad,
Variable que indica el número de horas de
encendido de cada unidad.
Variable que expresa la potencia mínima
de generación de cada unidad.
Indica el rango de cada nivel de generación
de cada unidad.
Indica el valor de demanda para cada hora.
Puede estar en 'MY11 o "KW11.
Variable que contiene el resultado de la
selección óptima de unidades.
Factor entero de multiplicación de la ta
bla de selección de unidades.
Indica los costos de generación corres -
VARIABLE DESCRIPCIÓN
pendiente a todos los periodos.
COSENO Represa los costos de encendido para todo el
período de selección.
COSTOT .' Da los costos totales de operación,
B.5.- FQRiMA DE PROPORCIONAR LOS DATOS AL PROGRAMA. -
1.- Los costo NPT, MU, NB, van en la misma'tarjeta. ( 1 tarje-
ta).
2.- Los datos FMULTI, CPOT3 SNGMBR, van en la misma tarjeta.
C 1 tarjeta }.
3.- El dato acerca de las horas de encendido va en una sola tar
jeta. Debe hacerse en el orden establecido por la lista -
de prioridad ( ver Capítulo V ) .
.4.- Los datos acerca de los costos de encendido de las unidades
van con formato "F8.0"-. entran 10 datos por tarjeta y deben •
ir según la lista de prioridad.
5.- Respecto a los datos de los costos de generación, primero
van los costos de generación mínima de cada unidad y luego
los costos por cada nivel de potencia de cada unidad, ($/MW)
o ($/Klf), en el* mismo orden anterior y de acuerdo a la lis-
ta de prioridad. Se dan con formato "F8.0" y entran 10 da-
tos por tarjeta.
6.- Tanto los datos de potencia mínima como máxima de cada uni-
dad, van con formato "F8.0", entran 10 datos por tarjeta y
se dan según la lista de prioridad. Deben ir expresados en
las mismas unidades, sea "M" o "KW". Deben ser números en
teros, por ejemplo no puede ser 50,05 MW, sino 50. MÍY o —
50050 KW.
- 134 -
7.- El dato de rangos del nivel de potencia de cada unidad,
debe ser 1 tarjeta por unidad, máximo pueden ser 3 nive-
les y van con formato "FS.O". Debe hacerse de acuerdo a
la lista de-prioridad.
8.- El dato acerca de la demanda del sistema, será para má-
ximo 24 horas (1 día),, entran 8 datos por tarjeta y -
siempre deben ir 3 tarjetas. Si el número de períodos
es menor que 24 deben ir tarjetas en blanco según sea
necesario. Estos datos van con formato "FIO.O".i
Se adjuntan hojas de codificación indicando la forma de in-
troducir los datos.
E.6.- RESTRICCIONES."
1.- El número de generadores, NÚ, no debe ser, mayor a 20.
2.- El número de períodos de selección, NPT, no debe ser nía
yor a 24.
3.- Los valores de PIMIN y VPT deben ser enteros, si no lo
son, se deben multiplicar por 1000 cada vez., hasta que
su parte decimal se pueda despreciar. Por ejemplo, en2
F(P) = A+BP+CP , para proceder a linearizar la función,
al valor B de la curva se le divide por el número que -
se multiplicó a PIMIN y VPT, y a C se le divide por el
cuadrado de ese número.
Ej emplo:
PIMIN- 2,0 Mí
VPT = 5,720 MW
A = 250 $
B - 183,0 Í/MSY
- 135 -
C = 25,52 $/MW2
Haciendo la conversión:
PIMIN - 2000 KW •
VPT = 5720 l<\\
A = 250 $
B =0.182 $/KW
C - 0.00002552 $/KW2
4.- El numero máxiono de segmentos lineales, NB, [Niveles de
generación de potencia de cada unidad) en los que se pue
de dividir la curva F[P) = A+BP+CP2, es 3.
Las características de los ejemplos utilizados con el progra_
ma digital, se encuentran en el capítulo V y sus resultados se encuen
tran al final del capítulo VI,
5.- Este programa digital sirve únicamente para la selección
entre unidades térmicas.
6.- Para el uso de este programa digital, las unidades deben
ordenarse según una lista de prioridad, de la forma en -
que se indica en la sección (3.3) del capítulo III y en
el capítulo V,
INS
TIT
UT
O D
E I
NF
OR
MÁ
TIC
A Y
CO
MP
UTA
CIÓ
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B Q O C O N T I N U ÉGO T O ( 9 0 0 , 1 0 0 0 ) , I T Y P E
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1300 CON TI NÚLR E T U R N
1400 XC1~-1.XC2=1.G O T O 3 C O
1500. X C l = l tX C 2 - - UGO TO 3 0 üEr-iO
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