Sea , encontrar todos los tal que . 1

Sea , encontrar todos los tal que .

SOLUCIÓN:

Tenemos que , veamos para se cumple que :

Dividimos entre : y denominamos:

tal que

Sustituyendo obtenemos que es la definición de la

circunferencia unidad, centro C (0,0) y radio .

Como podemos encontrar un denominador común de al que

llamaremos tal que ℤ, es decir,

con ℤ y c

Sustituyendo en la circunferencia:

con ℤ y c .

Sabemos que ( cumple luego con ℤ también lo

cumple; de aquí deducimos que pertenece a la misma circunferencia

unidad que ( . Luego, si nos fijamos en la paridad de ( los tres a la vez no

pueden ser pares puesto que serían múltiplos de 2.

Sabemos que

Sea , encontrar todos los tal que . 2

Luego, si c es par, es necesariamente un múltiplo de 4 puesto que con ℤ

con ℤ.

Puesto que acabamos de ver que ( no pueden ser pares a la vez, la única opción

para que c sea par es que ( sean impares, es decir,

ℤ

Luego sustituyendo en la circunferencia tenemos que:

Esto es FALSO porque es un múltiplo de 4 y no lo es.

Luego no es par. Así que tiene que ser impar y esto implica que ó bien es par y

impar ó viceversa.

Sin pérdida de generalidad vamos a estudiar el caso en que es par y impar. Sean

entonces impares y , tenemos que tanto la suma como la diferencia

son pares en ℤ, es decir,

ℤ

Operamos y tenemos que:

+

Sea , encontrar todos los tal que . 3

Si sustituimos en la circunferencia :

con ℤ

Por tanto para formar una terna pitagórica todo lo que tenemos que hacer es elegir

tal que sea un cuadrado perfecto, lo que equivale a que sea un

cuadrado perfecto (puesto que y ya lo es). Esto implica que no pueden

tener factores comunes.

Ahora, para que un número sea cuadrado perfecto, es condición necesaria y suficiente,

que al realizar su factorización en números primos, éstos salgan un número par de

veces. Entonces como es un cuadrado perfecto, en su descomposición factorial en

números primos cumple la condición anterior. Como no tienen factores

comunes, resulta que de la factorización en primos de obtenemos que los pares

de apariciones de un factor primo están ó en ó en . Es decir, cada primo que divide

a tiene que aparecer un número par de veces en la factorización de y ninguna en la

de , y lo mismo con los primos de éste. Por tanto, se deduce que son cuadrados

perfectos por sí solos.

Entonces lo que tenemos que hacer es elegir dos números que no tengan factores

comunes como por ejemplo ℤ y elevarlos al cuadrado. Uno de ellos será mayor

que el otro, por tanto . Sustituyendo obtenemos que:

con ℤ

Sea , encontrar todos los tal que . 4

Usando el cambio de variable y la elección de , tenemos que:

Son todos los puntos de la circunferencia unitaria.

Cada punto en la circunferencia unitaria se puede identificar mediante un ángulo . Si

un punto se encuentra en la circunferencia unidad, entonces

Siempre porque en el caso de que

la tangente en

estos puntos será .

Resumiendo, sea todos los que cumplen que

son de la siguiente forma:

Sustituyendo:

Donde ℤ y tal que y que no tengan factores comunes.

x

Sea , encontrar todos los tal que . 5

EJEMPLO:

Sean por ejemplo y tal que ℤ , y ambos no tienen factores

comunes.

Veamos que se cumple con si

Cierto, cumplen

Vida Y Obra Vida Y Obra Vida Y Obra Vida Y Obra De Godfrey De Godfrey De Godfrey De Godfrey

Harold HardyHarold HardyHarold HardyHarold Hardy (Profesor “Lardy” en la novela “El Rescoldo” de Joaquín Leguina)(Profesor “Lardy” en la novela “El Rescoldo” de Joaquín Leguina)(Profesor “Lardy” en la novela “El Rescoldo” de Joaquín Leguina)(Profesor “Lardy” en la novela “El Rescoldo” de Joaquín Leguina)

Salvador Peñalva García

Hoy en el campus del Trinity College de Cambrigde no es un día como los

demás, se aprecia una actividad inusual y se pueden observar múltiples

corrillos de alumnos y profesores que, cobijándose de la molesta lluvia de

otoño de 1947, comentan con profundo respeto que el viejo profesor Hardy,

un ser singular y único, esta a punto de dejar este mundo.

Según comenta el profesor Laurent, gran conocedor de los principios y

andanzas de Hardy, éste no espera encontrarse con Dios en el más allá

porque siempre lo consideró su enemigo personal, incluso desde joven se

negó a pisar cualquier recinto sagrado.

Los alumnos jóvenes no tienen conciencia de la pérdida que para el ámbito

universitario supone la muerte del profesor Hardy y, al ver tanto revuelo

entre el profesorado, se acercan como moscas a la miel a un grupo muy

especial que se está formando en los soportales del recinto. Lo preside el

profesor Laurent, un hombre respetado por todos, profesor de filosofía,

grandes dotes de observación y amigo personal del viejo profesor.

Un ambiente de respeto y silencio rodea al grupo. Sólo la voz de Laurent

rompe el silencio para dirigirse a sus inquietos alumnos y contarles cuanto

sabe sobre el profesor Hardy.

Laurent entre apesadumbrado y satisfecho, se vanagloria de conocer muy

bien a Hardy, al fin y al cabo son del mismo pueblo, Cranleigh y su padre

maestro de escuela tenia una estrecha relación con los padres de Hardy que

también eran maestros.

Aunque cinco años más joven que su colega, quien había nacido en 1877,

recuerda con añoranza los tiempos de escuela, en los que Hardy

demostraba una capacidad e inteligencia magníficas, unidas a una

personalidad original y excéntrica que le dieron no pocos disgustos en su

relación con los demás colegiales.

Contaba cómo Hardy, desde muy niño, destacó por su inteligencia y ya a

los doce años, con las máximas calificaciones, ingresó en el Instituto de

Winchester y seis años más tarde en el Trinity College donde comenzó a

desarrollar sus teorías matemáticas, capaces de asombrar a los cerebros

más privilegiados.

En 1900 ya era profesor titular y, desde entonces, salvo algún tiempo en

Oxford, su vida se desarrolló en aquel recinto en el que miles de alumnos

habían conocido la genial originalidad el profesor Hardy.

- Escuchad muchachos- decía Laurent- en esta vida lo más importante

es mantenerse fiel a nuestros propios principios y ser consecuentes con

lo que realmente anhelamos. Hardy y yo hemos vivido una época

oscura y llena de incertidumbre, no en vano nos han tocado dos

guerras mundiales y, sin embargo él, siempre fiel a sus principios, se

declaró antibelicista de principio a fin en ambos conflictos. Incluso lo

expulsaron de esta universidad un tiempo por un panfleto contra el

servicio militar obligatorio. También recuerdo que, en otra ocasión, fue

encarcelado por pedir directamente al mismísimo presidente Wilson que

no entrase en la guerra.

Esta afirmación desencadena un murmullo de admiración e incredulidad

en el grupo, lo que sirve para picar la curiosidad de más alumnos, con lo

que progresivamente el grupo aumenta considerablemente el número de

sus componentes.

El profesor Laurent pensaba que aquello se estaba convirtiendo en una

especie de clase magistral al aire libre pero no le importaba. Se sentía

consolado y, a la vez, satisfecho de poder contar sus vivencias junto a un

hombre tan notable como Hardy. Por otra parte, la humedad y la niebla que

envolvía los soportales en los que se estaban cobijando daban un ambiente

íntimo y ciertamente sereno que invitaba a la reflexión.

Uno de los estudiantes jóvenes, locuaz e inquieto, interrumpió con decisión

la perorata del profesor y preguntó con jovial entonación:

-Disculpe profesor Laurent, todos conocemos que como matemático el

profesor Hardy es de los mejores que ha dado la ciencia y, en especial, esta

universidad. Quién no conoce sus innumerables libros cuajados de temas

matemáticos realmente sorprendentes y su “Ley de Hardy” versada sobre la

transmisión de caracteres mendelianos dominantes y recesivos que, sin

duda, constituirá en el futuro una decisiva aportación a la genética. Sin

embargo, si como matemático era un ser excepcional, me gustaría que nos

explicase por qué se le ha considerado toda su vida una persona

excéntrica, original y muy rara.

- Querido alumno- respondió Laurent- ser un genio matemático y tener

un cerebro tan especialmente organizado tiene sus contrapartidas que

hacen que la persona dotada de estas virtudes tenga también sus

problemas. Comenzaré por describir al profesor Hardy en sus tiempos

de plétora intelectual y juventud como un personaje en verdad

atractivo, alto, de facciones recias, colores vivos, expresión sana y

cabellos claros que invadían su frente en forma de onda. Estas

características le caracterizaron como un personaje agraciado y

resultón. Sin embargo, se convirtió en un solterón empedernido y

vivió toda su vida bajo la protección y cuidados de su querida e

inseparable hermana. Por significarle alguna peculiaridad, le diré que

nunca le gustó verse plasmado en los espejos o que le fotografiaran,

quizás pensaba que le robaban algo de su personalidad o imagen y esta

idea le generaba notable angustia. Jamás usaba reloj y siempre

escribió con lápiz o a tinta pues le repugnaban las estilográficas. Por

supuesto, repudiaba el teléfono que, según sus manifestaciones,

constituía un instrumento demoníaco que le robaba la voz.

Comprenderá, por tanto, que con estas rarezas, su relación

interpersonal sumada a sus teorías matemáticas tan áridas y, a

menudo incompresibles, no facilitaban en absoluto sus relaciones

sociales. He de admitir que, incluso a mí, me costaba muchas veces

sacarle de su mundo. Sólo los deportes como el cricket, el béisbol o el

tenis, lograban evadirlo de sus pensamientos.

- Perdone profesor- inquirió Frank, un alumno de brillantes ojos que

traslucían una inteligencia singular, famoso en Cambridge por ser un

apasionado de los libros escritos por Hardy y capaz de establecer

teoremas espectaculares, realmente sorprendentes. Como usted sabe

muy bien, paso mucho tiempo en la biblioteca en la sección de Análisis

y Teoremas de los números y me gusta analizar la obra del profesor

Hardy, en especial los titulados:

A course of pure mathemathics (curso de matemática pura)

General theory of Dirichlet´s series (Teoría general de la serie de

Dirichlet´s).

Inedqualites (desigualdades)

Introduction to the theory of numbers (introducción a la teoría de los

números)

A mathemathican´s apology (Apología de un matemático)

El profesor Laurent le interrumpe bruscamente con gesto incómodo

- ¡perdone mi querido discípulo! pero no pensará recitar en este momento

los más de 100 libros publicados por el profesor Hardy.

- ¡Oh, no…….! -respondió el pelirrojo visiblemente ruborizado- es que me

estaba emocionando al recordar tanta obra extraordinaria. Discúlpeme

profesor Laurent. Sólo quería preguntarle por uno de los libros,

concretamente el que lleva por título Ramanujan.

-¡Ah……., Ramanujan!- exclamó el profesor-.Quizás acaba de dar usted con

la esencia del profesor Hardy y lo que él denominó como “su mayor

contribución a las matemáticas ”, el descubrimiento de un matemático sin

formación previa, ya que trabajaba como oficinista en Madras (India), de

cuyo cerebro surgían los teoremas matemáticos más complejos que el

propio Hardy era incapaz de enunciar. Efectivamente, el libro al que usted

se refiere es un homenaje de Hardy a ese simple oficinista que en 1913 le

envío unos teoremas que dejaban entrever su enorme potencial

matemático, que solo el profesor Hardy pudo ver. Le sorprendió tanto, que

le consiguió una beca para trabajar con él en esta universidad y puedo

decirle, sin temor a equivocarme, que fue la relación científica más intensa

que he conocido en mi vida. Desgraciadamente la salud de Ramanujan era

muy débil y sólo pudieron trabajar juntos durante tres años. Recuerdo una

ocasión en que los profesores estábamos a punto de comenzar el almuerzo

en el comedor universitario, cuando irrumpió en la estancia el profesor

Hardy visiblemente satisfecho. Venía de visitar a su colega Ramanujan del

hospital, ya que se encontraba ingresado por unas fiebres, y comenzó a

relatar que al saludar al enfermo, le comentó que había acudido en un taxi

cuyo número era el 1729 y se lo representó como un número ciertamente

aburrido, y que en cuestión de segundos, el profesor Ramanujan le había

corregido exclamando : ¡al contrario Hardy ¡ es un número muy interesante

porque si se fija usted bien, es el resultado de la suma de los cubos de dos

números diferentes, 103 + 93 y de 123 + 13 y eso que la fiebre le estaba

atacando de manera inmisericorde.

En sus años de relación, el caudal de teoremas matemáticos

verdaderamente complejos fue tal, que el profesor escribió este libro en su

honor.

Pero mi querido discípulo, ya que usted me ha preguntado por Ramanujan

le diré que además de este insigne cerebro, existió otro deslumbrante

matemático, el profesor Littlewood, también de esta universidad que,

durante más de 32 años tuvo una estrecha relación con Hardy. Además del

cierto gusto por los números primos que ambos matemáticos compartían y

que les llevaría a expresar la llamada “conjetura los primos gemelos” o “de

Hardy-Littlewood”, llegaron a generar tal cantidad de teoremas

matemáticos que, durante muchos años, en el mundo de la matemática

pura se decía que existían tres genios incomparables a nivel internacional:

Hardy, Littlewood y……. ¡Hardy-Littlewood! Esto le dará una idea de la

importancia de esta relación y, si revisa en la biblioteca, encontrará

numerosas obras realizadas por los dos.

La oscuridad iba dominando la bruma del patio universitario y la baja

temperatura sumada a la humedad, hacían incómoda la estancia en los

soportales. Sin embargo, nadie se movía, todos escuchaban absortos al

profesor Laurent. Él se regocijaba y se entristecía al mismo tiempo por ser

protagonista mediático de aquella jornada tan dolorosa para él. Al fin y al

cabo, estaba reflejando su vida en la de su amigo y esto le emocionaba

sobremanera. Se ajustó la capa y el sombrero, hizo un ademán de frotar

sus manos enguantadas y siguió con su relato.

- Muchos de ustedes estoy seguro que aman las matemáticas, sin

embargo para mí colega Hardy, la matemática era una verdadera

filosofía de vida, algo exclusivo e inusual y así lo manifestó en su obra

“Apología de un matemático” a la edad de sesenta y tres años alegando

que ya era mayor para esta ciencia exacta. Además, el profesor Hardy

siempre defendió que la verdadera matemática, tiene que ser

fundamentalmente inservible.

Al decir esto, un rumor se extendió entre los estudiantes.

- ¿Inservible?- comentó James ciertamente sorprendido.

- Sí, absolutamente inservible- repitió el profesor- para mi amigo Hardy

las matemáticas aplicadas son repugnantes y feas. La verdadera belleza

de un teorema matemático está en las ideas, como lo está también en

las palabras del poeta o los colores del pintor. Bien es necesario que se

presenten en armonía pero es fundamental que no sirvan para nada;

eso es lo que les da la absoluta belleza. Para él, las ideas matemáticas

no se inventan ni elaboran sino que se descubren. Las matemáticas

están "ahí fuera", esperando la mirada correcta y adiestrada que las

sepa reconocer. Entiendo que es complicado para ustedes pero les

estoy hablando de un hombre excepcional y original que se puede

permitir este tipo de reflexiones sin vacilar.

Un ser tan vital como el profesor Hardy sólo merece nuestro respeto nos

ayudará a comprender porqué una sucesión de acontecimientos trágicos

como su infarto en 1940 y la merma posterior de sus capacidades

intelectuales le hundieron en la depresión y le arrastraron a un intento de

suicidio. Desgraciadamente, las consecuencias de estos sucesos trágicos

nos han reunido aquí hoy, esperando el anuncio de su muerte.

- Solo les pido que guarden en su memoria el recuerdo de un hombre

muy especial entregado a su pasión, las matemáticas y utilicen esta

universidad como fuente de conocimiento para que sus teoremas,

aunque él pensara que eran inservibles, signifiquen progreso y

evolución en todos los campos científicos.

Ya era noche cerrada y el grupo se va dispersando lentamente, el profesor

Laurent se dirige hacia la habitación de Hardy en la que su hermana, como

siempre, le prodiga todo tipo de cuidados. Al entrar Laurent le susurra a su

amigo y colega:

-Hola Hardy… puedes descansar tranquilo. Tus alumnos te respetan,

sabrán valorar tu obra y las próximas generaciones estarán totalmente

dispuestas a aprovechar tu legado. Descansa en paz, mi querido y venerado

amigo...