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OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES EN CONTEXTOS GEOMÉTRICOS Nestor Sánchez León Colegio Champagnat [email protected] Resumen El concepto de optimización de funciones es abstracto, más aún si se aborda en situaciones asociadas a la geometría del espacio, a pesar de ello, es posible enseñar dicho concepto de manera intuitiva a los alumnos de secundaria aprovechando elementos de su entorno. El presente trabajo, en base a las ideas de David Tall (1991), muestra una propuesta de cómo generar la noción intuitiva de máximo local a partir de la construcción de la carpa de un circo. Para tal fin, en un primer momento se pide construir la carpa de un circo, este diseño permite identificar dos sólidos geométricos: el cilindro y el cono, uno de ellos inscrito en el otro. A partir de esta situación se pide expresar el volumen del cilindro inscrito en términos de su radio, dicha expresión será usada para completar una tabla que permitirá generar la noción intuitiva de máximo local por medio de la representación de puntos en el plano que muestren la variación del columen del cilindro. Finalmente, se usará Cabri 3D para animar la situación propuesta. Palabras claves: optimización de funciones, intuición y rigor. Pertinencia El uso de la intuición visual en las matemáticas ha sugerido teoremas que permiten dar grandes saltos en investigación, pero también puede llevar a establecer conjeturas erróneas (Tall, 1991), por ello no se debe separar la intuición del rigor matemático. En el artículo “Intuition and rigour: the role of visualization in thecalculus” David Tall nos muestra la

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OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES EN CONTEXTOS GEOMÉTRICOS

Nestor Sánchez León

Colegio Champagnat

[email protected]

Resumen

El concepto de optimización de funciones es abstracto, más

aún si se aborda en situaciones asociadas a la geometría del

espacio, a pesar de ello, es posible enseñar dicho concepto de

manera intuitiva a los alumnos de secundaria aprovechando

elementos de su entorno.

El presente trabajo, en base a las ideas de David Tall (1991),

muestra una propuesta de cómo generar la noción intuitiva de

máximo local a partir de la construcción de la carpa de un

circo. Para tal fin, en un primer momento se pide construir la

carpa de un circo, este diseño permite identificar dos sólidos

geométricos: el cilindro y el cono, uno de ellos inscrito en el

otro. A partir de esta situación se pide expresar el volumen del

cilindro inscrito en términos de su radio, dicha expresión será

usada para completar una tabla que permitirá generar la

noción intuitiva de máximo local por medio de la

representación de puntos en el plano que muestren la

variación del columen del cilindro. Finalmente, se usará Cabri

3D para animar la situación propuesta.

Palabras claves: optimización de funciones, intuición y rigor.

Pertinencia

El uso de la intuición visual en las matemáticas ha sugerido

teoremas que permiten dar grandes saltos en investigación,

pero también puede llevar a establecer conjeturas erróneas

(Tall, 1991), por ello no se debe separar la intuición del rigor

matemático. En el artículo “Intuition and rigour: the role of

visualization in thecalculus” David Tall nos muestra la

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Socializaciones de Experiencias

importancia de la intuición al momento de descubrir

propiedades matemáticas, y como éstas necesitan de un

proceso de validación (rigor matemático) para ser aceptadas;

así, intuición y rigor van de la mano en la exploración de ideas

matemáticas.

En ese sentido, la intuición y el rigor son dos procesos que no

se contraponen, el primero es el generador de ideas mientras

que el segundo es necesario para validar dichas ideas u

observaciones; por ello, la intuición no solo se debe usar para

explorar ideas, sino que además debe permitir un posterior

desarrollo del concepto formal del objeto matemático

estudiado.

Propuesta didáctica para desarrollar la noción de

optimización

a) Tema:

Optimización de funciones en contextos geométricos

b) Nivel educativo

5to. de secundaria

c) Objetivo:

- Desarrollar la noción intuitiva de máximo local partiendo de

una situación contextualizada extraída de un contexto de la

geometría del espacio.

- Relacionar los registros de representación gráfico,

numérico y simbólico asociados a la situación propuesta.

- Propiciar el trabajo cooperativo.

Construyendo la carpa de un circo

Las carpas de circo se forman a partir del uso de sólidos

geométricos, la forma clásica es la que se genera a partir de un

cono y un cilindro inscrito en dicho cono.

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Fuente: http://sumate.files.wordpress.com/2012/03/circo_carpa.jpg

Materiales:

- Regla

- Calculadora

- Papel milimetrado

- Cartulina

- Goma

Actividad 1 (Parte individual: Construcción de una carpa de

circo con cartulina)

En la red podemos encontrar diversas páginas que nos

permiten construir carpas de circo, a continuación

presentamos una adaptación para la construcción de una carpa

de circo extraída del blog “Todo Manualidades”

(http://www.todomanualidades.net/2012/05/como-hacer-la-

carpa-de-un-circo-con-papel/).

1. Recortar la plantilla.

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Socializaciones de Experiencias

2. En la figura circular, has el corte según se indica, el corte

debe ir hasta el centro del círculo.

3. Con ayuda de la goma, superpone sobre las cuatro

secciones sin colorear con las cuatro primerassecciones

pintadas, de esta manera transformarás la figura circular en

un toldo con forma de cono de 2,25cm de radio. Presiona

sobre estas áreas para que quede bien pegadas.

4. Pega las otras dos piezas restantes sobre una cartulina,

colocándolas de lado a lado para que parezca una sola

pieza.

5. Recortar la pieza y pegarla, uniendo los extremos por

medio de la pestaña, así se genera una elescenario del circo

que tiene la forma de un cilindro de 2cm de radio y 3,1cm

de altura.

6. Coloca el techo de la carpa sobre el cilindro, así generamos

la carpa de circo.

7. Calcule el volumen del cilindro generado con la cartulina,

proporcione su respuesta con aproximaciónal centésimo.

Nota: El cilindro es un sólido geométrico, su volumen

depende del radio de la base circular y su altura, así para un

radio r y altura h, el volumen del cilindro es igual a πr 2 h.

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Actividad 2 (Grupos de 3 alumnos: Estudiando el cilindro

inscrito en un cono circular)

El escenario del circo se genera inscribiendo un cilindro en un

cono circular.

En un cono circular de radio 3cm y altura 3cm podemos

inscribir cilindros de radio r cm (0 < r < 3) y altura h cm

(0 < h < 3).

1. Tomando una vista frontal se obtiene la siguiente vista:

Use la figura mostrada para hallar la relación entre la altura

h y el radio de la base r, del cilindro inscrito en un cono

circular de 3cm de radio y 3cm de altura.

2. Halle una expresión para el volumen del cilindro inscrito, V,

en términos del radio, r.

3. Usando la expresión obtenida en 2., complete la siguiente

tabla aproximando al centésimo.

r 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 2,75

V(r)

4. En el papel milimetrado, represente en el plano cartesiano

los datos de la tabla.

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5. ¿Según los datos de la tabla y la gráfica obtenida a partir de

la misma, que pueden decir de los valores del volumen del

cilindro inscrito?

6. Se desea construir un pequeño joyero similar a la carpa de

circo armada en la actividad 1, el recipientesería el cilindro

y la tapa es el cono. ¿Cuáles serían las dimensiones más

convenientes para elrecipiente, si se desea que su altura

(incluida tapa y recipiente) sea de 5cm y el radio de la base

delrecipiente no exceda a 5cm? Justifique su respuesta.

Referencias

Sophie y Pierre René de Cotret. (2007). Manual de Cabri 3D v2.

Cabrilog. Recuperado 10 de julio de 2013

enhttp://www.cabri.com/download-cabri-3d.html.

Tall, David. (1991) “Intuition and rigour: the role of

visualization in the calculus”.Visualization in teaching and

learningmathematics.105 - 119. Recuperado 20 de julio

de 2013

enhttp://homepages.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdf

s/dot1991a-int-rigour-maa.pdf.

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