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OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES EN CONTEXTOS GEOMÉTRICOS
Nestor Sánchez León
Colegio Champagnat
Resumen
El concepto de optimización de funciones es abstracto, más
aún si se aborda en situaciones asociadas a la geometría del
espacio, a pesar de ello, es posible enseñar dicho concepto de
manera intuitiva a los alumnos de secundaria aprovechando
elementos de su entorno.
El presente trabajo, en base a las ideas de David Tall (1991),
muestra una propuesta de cómo generar la noción intuitiva de
máximo local a partir de la construcción de la carpa de un
circo. Para tal fin, en un primer momento se pide construir la
carpa de un circo, este diseño permite identificar dos sólidos
geométricos: el cilindro y el cono, uno de ellos inscrito en el
otro. A partir de esta situación se pide expresar el volumen del
cilindro inscrito en términos de su radio, dicha expresión será
usada para completar una tabla que permitirá generar la
noción intuitiva de máximo local por medio de la
representación de puntos en el plano que muestren la
variación del columen del cilindro. Finalmente, se usará Cabri
3D para animar la situación propuesta.
Palabras claves: optimización de funciones, intuición y rigor.
Pertinencia
El uso de la intuición visual en las matemáticas ha sugerido
teoremas que permiten dar grandes saltos en investigación,
pero también puede llevar a establecer conjeturas erróneas
(Tall, 1991), por ello no se debe separar la intuición del rigor
matemático. En el artículo “Intuition and rigour: the role of
visualization in thecalculus” David Tall nos muestra la
Socializaciones de Experiencias
importancia de la intuición al momento de descubrir
propiedades matemáticas, y como éstas necesitan de un
proceso de validación (rigor matemático) para ser aceptadas;
así, intuición y rigor van de la mano en la exploración de ideas
matemáticas.
En ese sentido, la intuición y el rigor son dos procesos que no
se contraponen, el primero es el generador de ideas mientras
que el segundo es necesario para validar dichas ideas u
observaciones; por ello, la intuición no solo se debe usar para
explorar ideas, sino que además debe permitir un posterior
desarrollo del concepto formal del objeto matemático
estudiado.
Propuesta didáctica para desarrollar la noción de
optimización
a) Tema:
Optimización de funciones en contextos geométricos
b) Nivel educativo
5to. de secundaria
c) Objetivo:
- Desarrollar la noción intuitiva de máximo local partiendo de
una situación contextualizada extraída de un contexto de la
geometría del espacio.
- Relacionar los registros de representación gráfico,
numérico y simbólico asociados a la situación propuesta.
- Propiciar el trabajo cooperativo.
Construyendo la carpa de un circo
Las carpas de circo se forman a partir del uso de sólidos
geométricos, la forma clásica es la que se genera a partir de un
cono y un cilindro inscrito en dicho cono.
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Fuente: http://sumate.files.wordpress.com/2012/03/circo_carpa.jpg
Materiales:
- Regla
- Calculadora
- Papel milimetrado
- Cartulina
- Goma
Actividad 1 (Parte individual: Construcción de una carpa de
circo con cartulina)
En la red podemos encontrar diversas páginas que nos
permiten construir carpas de circo, a continuación
presentamos una adaptación para la construcción de una carpa
de circo extraída del blog “Todo Manualidades”
(http://www.todomanualidades.net/2012/05/como-hacer-la-
carpa-de-un-circo-con-papel/).
1. Recortar la plantilla.
Socializaciones de Experiencias
2. En la figura circular, has el corte según se indica, el corte
debe ir hasta el centro del círculo.
3. Con ayuda de la goma, superpone sobre las cuatro
secciones sin colorear con las cuatro primerassecciones
pintadas, de esta manera transformarás la figura circular en
un toldo con forma de cono de 2,25cm de radio. Presiona
sobre estas áreas para que quede bien pegadas.
4. Pega las otras dos piezas restantes sobre una cartulina,
colocándolas de lado a lado para que parezca una sola
pieza.
5. Recortar la pieza y pegarla, uniendo los extremos por
medio de la pestaña, así se genera una elescenario del circo
que tiene la forma de un cilindro de 2cm de radio y 3,1cm
de altura.
6. Coloca el techo de la carpa sobre el cilindro, así generamos
la carpa de circo.
7. Calcule el volumen del cilindro generado con la cartulina,
proporcione su respuesta con aproximaciónal centésimo.
Nota: El cilindro es un sólido geométrico, su volumen
depende del radio de la base circular y su altura, así para un
radio r y altura h, el volumen del cilindro es igual a πr 2 h.
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Actividad 2 (Grupos de 3 alumnos: Estudiando el cilindro
inscrito en un cono circular)
El escenario del circo se genera inscribiendo un cilindro en un
cono circular.
En un cono circular de radio 3cm y altura 3cm podemos
inscribir cilindros de radio r cm (0 < r < 3) y altura h cm
(0 < h < 3).
1. Tomando una vista frontal se obtiene la siguiente vista:
Use la figura mostrada para hallar la relación entre la altura
h y el radio de la base r, del cilindro inscrito en un cono
circular de 3cm de radio y 3cm de altura.
2. Halle una expresión para el volumen del cilindro inscrito, V,
en términos del radio, r.
3. Usando la expresión obtenida en 2., complete la siguiente
tabla aproximando al centésimo.
r 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 2,75
V(r)
4. En el papel milimetrado, represente en el plano cartesiano
los datos de la tabla.
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5. ¿Según los datos de la tabla y la gráfica obtenida a partir de
la misma, que pueden decir de los valores del volumen del
cilindro inscrito?
6. Se desea construir un pequeño joyero similar a la carpa de
circo armada en la actividad 1, el recipientesería el cilindro
y la tapa es el cono. ¿Cuáles serían las dimensiones más
convenientes para elrecipiente, si se desea que su altura
(incluida tapa y recipiente) sea de 5cm y el radio de la base
delrecipiente no exceda a 5cm? Justifique su respuesta.
Referencias
Sophie y Pierre René de Cotret. (2007). Manual de Cabri 3D v2.
Cabrilog. Recuperado 10 de julio de 2013
enhttp://www.cabri.com/download-cabri-3d.html.
Tall, David. (1991) “Intuition and rigour: the role of
visualization in the calculus”.Visualization in teaching and
learningmathematics.105 - 119. Recuperado 20 de julio
de 2013
enhttp://homepages.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdf
s/dot1991a-int-rigour-maa.pdf.
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