Prof. Guillermo Moreno - Universidad de Carabobo - Anlisis Matemtico I 1

1. Anlisis Mat I Rapidez de variacin

El gas escapa de un globo esfrico a razn de 2pies3

mn. Qu tan rpido decrece el rea de la

supercie del globo cuando el radio es de 12 pies?

1.1. Solucin

a) Esquema o grco - Datos:

V = volumen del globo (pies3) ) dVdt= 2 pies3=mn

b) Modelo matemtico:

V = volumen del globo (pies3) ) V = 43r3

c) Ecuaciones auxiliares - Modelo:

S = rea de la supercie del globo (pies2) ) S = 4r2 ) r =rS

4

Modelo ) V = 43r3 ) V = 4

3

rS

4

!3) V = 1

6p

pS3 )

pS3 = 6

pV

S = 3p36

3pV 2

d) Derivada:

S = 3p36

3pV 2 ) dS

dt=

2

3V3p36

3pV 2dV

dt

e) Evaluacin:

dS

dt=

2

3V3p36

3pV 2dV

dt) dV

dt= 2 pies3=mn ) r = 12 pies

V =4

3r3 =

4

3 (12)3 ) V = 2304 pies3

dS

dt=

2

3 (2304)3p36 3

q(2304)2 (2) ) dS

dt= 1

3pies2=mn

f) Conclusin:

El rea de la supercie disminuye a razn de1

3pies2=mn en el instante indicado.