Universidad Fermín Toro

Sistema de Aprendizaje Interactivo A Distancia

Cabudare-Estado Lara

TRABAJO NRO 3

Participante.

Rubén Viteznik

V-20.502.114

Algebra Lineal

SAIA “B”.

Asignación de Álgebra Lineal

1. Considere el espacio vectorial . Determinar si los siguientes

conjuntos son subespacios vectoriales de .

a) .

b)

Solución

a) Determinaremos que es: (i) no vacío, (ii) cerrado bajo la adición

usual y (iii) cerrado bajo el producto de un escalar y un vector

usual. Es fácil verificar (i), en efecto ya que

ciertamente satisface la ecuación y por tanto

es no vacío.Probamos (ii) y (iii) del siguiente modo; supongamos que

e están en y sea un

escalar arbitrario, queremos ver que también está en .

Esto es fácil, pues si entonces es claro que:

Luego, y por lo tanto:

De manera que satisface la ecuación y en consecuencia

que es lo que queríamos demostrar. Luego es un

subespacio de .

b) Nuevamente, como en el ejercicio anterior, verificamos las 3

condiciones. En primer lugar, es fácil ver que es no vacío, basta

con hacer lo que claramente implica que

.

Ahora bien. Supongamos que

y sea un escalar arbitrario. Probaremos que . En

efecto, si entonces existe números reales tales

que . Análogamente, existen números

tales que . Entonces:

Por lo tanto, tomando y vemos

que el vector lo que finalmente demuestra que es un

subespacio de .

2. Dé un ejemplo de un subconjunto de matrices reales cuadradas

que contenga al vector nulo, que sea cerrado bajo la suma

pero que no sea un subespacio vectorial de .

Solución

Denotemos por al subconjunto de todas las matrices con

entradas de números racionales. Es fácil ver que este subconjunto es no vacío, pues la matriz nula (aquella cuyas entradas es el 0, es decir,

para cada ) está en . Asimismo, si consideramos

la suma usual de matrices, vemos que dada dos matrices

entonces y donde y son números racionales para

todo , y por tanto ya que y

para cada es un número racional. Luego es cerrado

bajo la adición usual. Pero este subconjunto no puede ser un subespacio

vectorial, ya que si entonces donde es la

matriz dada por para cada y no es un número

racional. Este argumento demuestra que, dado un vector ,

existe por lo menos un escalar (en este caso o cualquier

número irracional) de manera que y por tanto no

puede ser cerrado bajo la multiplicación de un vector por un escalar.

3. Encuentre los valores de para los cuales son linealmente

dependientes los siguientes conjuntos

a)

b)

Solución

Recordemos que dado dos vectores de un espacio vectorial; es fácil

demostrar que son linealmente dependientes si y solo si son paralelos,

es decir, existe un número real tal que . Entonces:

a) Supongamos que existe un número real tal que .

Por tanto

De aquí vemos que la primera ecuación nos dice que estos

vectores son paralelos si y solo si . Mientras la segunda

ecuación nos sugiere hacer .

b) Nuevamente, supongamos que existe un número tal que

Esto implica que

Resolviendo la primera ecuación, tenemos que .

Sustituyéndola en la segunda ecuación y despejando , finalmente

se tiene:

Luego:

Es el único valor que hace que los vectores sean linealmente dependientes.