root locus cap_9_parte_2_color

Prof. Fernando [email protected]

Escuela de Ingeniera EléctricaPontifica Universidad Católica de Valparaíso

23 de octubre de 200923 de octubre de 2009

Resumen� Parte I:� Parte I:

� Propuestas de “nuevos” controladores:

� PI + ceros:

Ventaja: e(∞)=0, Desventaja: respuesta + lenta

� Por atraso de fase (Lag Compensator):

s

K

KsK

s

KKsC

+

=+= 1

21

21)(

� Cero cerca del polo

� Polo en la origen

� Por atraso de fase (Lag Compensator):

Ventaja: Respuesta + rápida, Desventaja: e(∞)≠0

)(

)()(

c

c

ps

zsKsC

++= � Pareja polo-cero

cerca de la origen

Contenido Parte II� Controlador PD� Controlador PD

� Mejorar respuesta transitoria

� Controlador D ideal

� Ventajas

� Desventajas

� Controlador por Adelanto (Lead Compensator)

� Parte III…

Ideas para mejorar Respuesta Transitoria

Formas de mejorar:Formas de mejorar:

1. Compensador PD (Proportional-plus-DerivativeController)

� Añadir un diferenciador puro en la malla directa para compensación derivativa ideal (red activa)

� Diseñar una respuesta que respecta un valor deseable de sobrepaso, con menores tiempo de asentamiento ( ↓ ts = settlingtime)time)

2. Controlador por Adelanto de Fase (Lead Controller)� Hace diferenciación aproximada usando red pasiva (añade un

cero y un polo distante en la malla directa)

Compensación Derivativa Ideal (PD)

zssC +=)( czssC +=)(• Selección adecuada de la ubicación para garantizar respuesta + rápida• Modifica RL!• Ejemplo:

)5)(2)(1()(

+++=

sss

KsGPlanta �

)2( += sK

Propuestas deControladores �PD

)5)(2)(1(

)2()()(

++++=

sss

sKsGsC

)5)(2)(1(

)3()()(

++++=

sss

sKsGsC

)5)(2)(1(

)4()()(

++++=

sss

sKsGsC

� Zero en zc= -2

� Zero en zc= -3

� Zero en zc= -4


)5)(2)(1()(

+++=

sss

KsG

)5)(2)(1(

)3()()(

++++=

sss

sKsGsC

)5)(2)(1(

)2()()(

++++=

sss

sKsGsC

)5)(2)(1(

)4()()(

++++=

sss

sKsGsC


)5)(2)(1()(

+++=

sss

KsG

)5)(2)(1(

)3()()(

++++=

sss

sKsGsC

Conclusiones:1) Partes reales + negativas

� ↓ ts

)5)(2)(1(

)2()()(

++++=

sss

sKsGsC

)5)(2)(1(

)4()()(

++++=

sss

sKsGsC

� ↓ ts


)5)(2)(1()(

+++=

sss

KsG

)5)(2)(1(

)3()()(

++++=

sss

sKsGsC

Conclusiones:2) Mismo ζ

≅ OS%

)5)(2)(1(

)2()()(

++++=

sss

sKsGsC

)5)(2)(1(

)4()()(

++++=

sss

sKsGsC

≅ OS%


)5)(2)(1()(

+++=

sss

KsG

)5)(2)(1(

)3()()(

++++=

sss

sKsGsC

Conclusiones:3) Mayores partes imaginarias� ↓ Tp (tiempos de pico)

)5)(2)(1(

)2()()(

++++=

sss

sKsGsC

)5)(2)(1(

)4()()(

++++=

sss

sKsGsC

� ↓ Tp (tiempos de pico)


)5)(2)(1()(

+++=

sss

KsG

)5)(2)(1(

)3()()(

++++=

sss

sKsGsC

Conclusiones:4) Cuanto más alejado esta el cero de los

polos dominantes � los polos de lazo

)5)(2)(1(

)2()()(

++++=

sss

sKsGsC

)5)(2)(1(

)4()()(

++++=

sss

sKsGsC

polos dominantes � los polos de lazo cerrado se mueven más cerca de los polos no compensados

Compensación Derivativa Ideal (PD)Step Response

1.2 Cero en -2Cero en -3

Am

plitu

de

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Sistema no Compensado

Cero en -4

Conclusiones:1. Partes reales + negativas

� ↓ ts;2. Mismo ζ � ≅ OS%;3. Mayores partes imaginarias

� ↓ Tp (tiempos de pico)

Time (sec)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

)5)(2)(1()(

+++=

sss

KsGPlanta �

Propuestas deControladores �PD

)5)(2)(1(

)2()()(

++++=

sss

sKsGsC

)5)(2)(1(

)3()()(

++++=

sss

sKsGsC

)5)(2)(1(

)4()()(

++++=

sss

sKsGsC

� Zero en zc= -2

� Zero en zc= -3

� Zero en zc= -4

Ventajas principales:• Menores ts,• Menores OS%.

� ↓ Tp (tiempos de pico)4. Cuanto más alejado esta el cero

de los polos dominantes � los polos de lazo cerrado se mueven más cerca de los polos no compensados


� Otro ejemplo: )6)(4( ++ sss

KR(s)

Y(s)E(s)+

-

� Requerimientos: %OS < 16%, 3 × ↓ ts

� Solución:

1. Descubriendo ζ deseado:

( )100/%ln OS−

>> num=1;>> zeta=(-log(16/100))/(sqrt(pi*pi+(log(16/100))^2))zeta =

Matlab:

( )( )100/%ln

100/%ln22 OS

OS

+−=

πζ =0,504

zeta =0.5039

>> den=poly([0 -4 -6]);>> g=tf(num,den);>> zpk(g)Zero/pole/gain:

1-------------s (s+6) (s+4)>>



KR(s)

Y(s)E(s)+

-


� Solución:

2. Verificando RL original…

>> zpk(g)Zero/pole/gain:

1

-------------

1

2

30.504

Root Locus

Ima

gina

ry A

xis

-------------

s (s+6) (s+4)

>> rlocus(g)>> sgrid(zeta,0)>> axis([-9 1 -3 3])

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-3

-2

-1

0

0.504

Real Axis

Ima

gina

ry A

xis



KR(s)

Y(s)E(s)+

-


� Solución:

3. Descubriendo K necesario…

>> [k,poles]=rlocfind(g)Select a point in the graphics windowselected_point =-1.2156 + 2.0031i

0

1

2

30.504

Root Locus

Imag

inar

y A

xis

-1.2156 + 2.0031ik =

41.6859

poles =-7.5532 -1.2234 + 2.0056i-1.2234 - 2.0056i

>>

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-3

-2

-1

0

0.504

Real Axis

Imag

inar

y A

xis


� Otro ejemplo:

↓

)6)(4( ++ sss

KR(s)

Y(s)E(s)+

-


� Solución:

4. Acelerando el sistema: ↓ Ts

poles =-7.5532 -1.2234 + 2.0056i-1.2234 - 2.0056i

>> Ts=4/real(-poles(2)) 0

1

2

30.504

Root Locus

Imag

inar

y A

xis

Ts original!

Respectando ζdeseado

>> Ts=4/real(-poles(2))Ts =

3.2696>> Ts=4/real(-poles(2))Ts =

3.2696> newTs=Ts/3newTs =

1.0899>> -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

-3

-2

-1

0

0.504

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

d

Tsσ4=

( )φσ

σ −=

⇒±−=−

dt

dd

wAe

tcjwpolesd cos

)(

σd

Nuevo Ts!


)6)(4( ++ sss

KR(s)

Y(s)E(s)+

-� Otro ejemplo:

↓

newTs =1.0899

>> newsigma=4/newTsnewsigma =

0

1

2

30.504

Root Locus

Imag

inar

y A

xis

Nuevo σ parael Nuevo T !

α=120.23o

θ=59.74o


� Solución:

5. Descubriendo la nueva posición

del polo de lazo cerrado para el nuevo ts

newsigma =3.6702

>> theta=acos(zeta)theta =

1.0427>> theta*180/pians =

59.7438>>

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-3

-2

-1

0

0.504

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

el Nuevo Ts !

nds w

Tζσ

44 ==

θζ cos=


)6)(4( ++ sss

KR(s)

Y(s)E(s)+

-� Otro ejemplo:

↓

>> newomega=newsigma*tan(theta)newomega =

6.2918>> hold on;

5

10

150.504

Root Locus

Imag

inar

y A

xis

ωd

θ

ζ

-3.6702 + j6.2918


� Solución:

5. Descubriendo la nueva posición

del polo de lazo cerrado para el nuevo ts

>> hold on;>> plot([-newsigma0.2],[newomega newomega],'b:')>> plot([-newsigma -newsigma],[-newomega newomega],'b:')

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-15

-10

-5

0

0.504

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-σd

θ

Punto deseado en el RL!Pero este lugar esta fuera del RL…

Punto deseado


� Otro ejemplo:

↓

)6)(4( ++ sss

KR(s)

Y(s)E(s)+

-

3

4

5

6

70.504

Root Locus

Punto deseado

en el nuevo RL!

-3.6702 + j6.2918


� Solución:

6. Determinando la posición

deseada para el cero del PD:

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-1

0

1

2

3

Real Axis

θp3=67.3o θp2=84.3o θp1=

11

8.2

o)12(180)()( +±=−∠−−∠ ∑∑ ipscsn

oj

mi

6

70.504

Root Locus

Punto deseado

en el nuevo RL!

-3.6702 + j6.2918

>> th_p1=atan2(newomega,-newsigma)

th_p1 =

2.0626

>> th_p1*180/pi

ans =

118.1757

6. Determinando la posición deseada para el cero del PD

)12(180)()( +±=−∠−−∠ ∑∑ ipscsn

oj

mi

2

3

4

5

6 -3.6702 + j6.2918118.1757

>> th_p2=atan2(newomega,4-newsigma)

th_p2 =

1.4710

>> th_p2*180/pi

ans =

84.2838


th_p3 =

1.1749

>> th_p3*180/pi

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-1

0

1

Real Axis

θp1θp2θp3

>> th_p3*180/pi

ans =

67.3164

>> sum_th_p=th_p1+th_p2+th_p3

sum_th_p =

4.7085

>> sum_th_p*180/pi

ans =

269.7759

>>

)12(180)()( +=−∠−−∠ ∑∑ ipscsn

oj

mi

6

70.504

Root Locus

Punto deseado

en el nuevo RL!

-3.6702 + j6.2918

>> th_p1=atan2(newomega,-newsigma)

th_p1 =

2.0626

>> th_p1*180/pi

ans =

118.1757


2

3

4

5

6 -3.6702 + j6.2918

=1

18

.2o

118.1757


th_p2 =

1.4710

>> th_p2*180/pi

ans =

84.2838


th_p3 =

1.1749

>> th_p3*180/pi

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-1

0

1

Real Axis

θp3=67.3o θp2=84.3o θp1=

11

8.2

>> th_p3*180/pi

ans =

67.3164


sum_th_p =

4.7085

>> sum_th_p*180/pi

ans =

269.7759

>>

6

70.504

Root Locus

Punto deseado

en el nuevo RL!

-3.6702 + j6.2918


sum_th_p =

4.7085

>> sum_th_p*180/pi

)12(180)()( +=−∠−−∠ ∑∑ ipscsn

oj

mi


2

3

4

5

6 -3.6702 + j6.2918>> sum_th_p*180/pi

ans =

269.7759

>>

>> th_c=sum_th_p-pi

th_c =

1.5669

>> th_c*180/pi

ans =

89.7759

>>

=1

18

.2o

θc=89.8o

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-1

0

1

Real Axis

θp3=67.3o θp2=84.3o θp1=

11

8.2

θc=89.8

σDeterminado el punto σPara el cero del PD!

6

70.504

Root Locus

Punto deseado

en el nuevo RL!

-3.6702 + j6.2918( )oo

sigma7759.89180tan

3702.3

2918.6 −=−


2

3

4

5

6 -3.6702 + j6.2918

=1

18

.2o

θc=89.8o

El PD se queda:

( )sigma

7759.89180tan3702.3

−=−

>> sigma = newsigma - ( newomega /

tan(pi -th_c) )

sigma =

3.3948

>>

)3948.3()( += sKsC

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-1

0

1

Real Axis

θp3=67.3o θp2=84.3o θp1=

11

8.2

θc=89.8

σ)6)(4(

)3948.3()()(

+++=

sss

sKsGsC

)3948.3()( += sKsCy:


� Otro ejemplo:

↓

)6)(4( ++ sss

KR(s)

Y(s)E(s)+

-


� Solución:

5

10

150.504

Root Locus

Imag

inar

y A

xis

ωd

θ

ζ

-3.6702 + j6.2918

)3948.3()( += sKsC

)6)(4(

)3948.3()()(

+++=

sss

sKsGsC

7. Verificando el RL final…

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-15

-10

-5

0

0.504

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-σd

θ


� Otro ejemplo:

↓

)6)(4(

)(

+++

sss

sK σR(s)

Y(s)E(s)+

-


� Solución:

)3948.3()( += sKsC

)6)(4(

)3948.3()()(

+++=

sss

sKsGsC

>> num2=[1 sigma];

>> den2=den;

>> cg=tf(num2,den2);

>> zpk(cg)

Zero/pole/gain:

(s+3.395)

7. Verificando el RL final y K necesario…

(s+3.395)

-------------

s (s+6) (s+4)

>>

>> figure(3);rlocus(cg)


)6)(4(

)(

+++

sss

sK σR(s)

Y(s)E(s)+

-� Otro ejemplo:

↓

)3948.3()( += sKsC

)6)(4(

)3948.3()()(

+++=

sss

sKsGsC

0

5

10

15

0.504

Root Locus

Ima

gina

ry A

xis


� Solución:

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-15

-10

-5

0

0.504

Real Axis

Ima

gina

ry A

xis

7. Verificando el RL final y K necesario…


� Otro ejemplo:

Requerimientos: %OS

)6)(4(

)(

+++

sss

sK σR(s)

Y(s)E(s)+

-

� Requerimientos: %OS< 16%, 3 × ↓ ts

� Solución:

� Verificando el RL final y K necesario…

>> figure(3);rlocus(cg)

>> sgrid(zeta,0)

>> axis([-7 1 -7 7]) 0

5

0.504

Root Locus

Ima

gin

ary

Axi

s

K=42

>> axis([-7 1 -7 7])

>> rlocfind(cg)

Select a point in the graphics window

selected_point =

-3.4076 + 5.7174i

ans =

42.0068

>> -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

-5

0

0.504

Real Axis

Ima

gin

ary

Axi

s


� Otro ejemplo:

Requerimientos: %OS

)6)(4(

)(

+++

sss

sK σR(s)

Y(s)E(s)+

-


� Solución:

� Comparando respuestas…

>> tf1=feedback(43.35*g,1);

K=42

0.8

1

1.2

1.4 Step Response

Am

plitu

de

>> tf2=feedback(42*cg,1);

>> figure(4);step(tf1,tf2)

>> legend('no compensado','PD')

>>

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

Time (sec)

Am

plitu

de

no compensadoPD


� Otro ejemplo:

Requerimientos: %OS

)6)(4(

)(

+++

sss

sK σR(s)

Y(s)E(s)+

-


� Solución:

� Comparando respuestas…

>> tf1=feedback(43.35*g,1); 0.8

1

1.2

1.4 Step Response

Am

plitu

de

K=42

>> tf2=feedback(42*cg,1);

>> figure(5);ltiview(tf1,tf2)

>>

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

Time (sec)

Am

plitu

de

no compensadoPD


� Idea original:

� Mejorar (acelerar) la respuesta transitoria 0.6

0.8

1

1.2

1.4 Step Response

Am

plitu

de

no compensadoPD

� Realización mediante Controlador derivativo (PD):

� Desventajas:1. Requiere circuito activo para realizar la diferenciación;

2. Diferenciación puede generar malos resultados en caso de procesos ruidosos

Por ejemplo, suponga que tenemos el siguiente señal:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

Time (sec)

PD

� Por ejemplo, suponga que tenemos el siguiente señal:

� donde:� sin(t) = señal original de frecuencia = 1 rad/s y amplitud = 1;

� an = amplitud del ruido, de frecuencia = 100 rad/s.

��

ruído

n wtatty )sen()sen()( ⋅+=

1

2y(t)


� Por ejemplo, suponga que tenemos el siguiente


0 1 2 3 4 5 6 7-2

-1

0

t(s)

1

2dy(kT)

� Por ejemplo, suponga que tenemos el siguiente señal:

� donde:

� sin(t) = señal original de frecuencia = 1 rad/s y amplitud = 1;

� an = amplitud del ruido, de frecuencia = 100 rad/s.

� Si aplicamos la derivada por sobre el señal anterior, mismo que si la amplitud del ruido corresponda a

��

ruído

n wtatty )sen()sen()( ⋅+=

0 1 2 3 4 5 6 7-2

-1

0

t(s) T=0.01

mismo que si la amplitud del ruido corresponda a solamente 1% de amplitud del señal original (an = 0,01), tendremos como respuesta el señal como mostrado en la parte de debajo de la figura al lado

� Perciba que la derivada (continua) de este señal nos conduce a:

)cos()cos()(

wtwatdt

tdyn ⋅⋅+= “derivative kicks”


� Idea original:� Mejorar (acelerar) la respuesta transitoria

� Realización mediante Controlador derivativo (PD):� Realización mediante Controlador derivativo (PD):� Desventajas:

1. Requiere circuito activo para realizar la diferenciación;


K2s

+=+=

2

1212)(

K

KsKKsKsC

R(s) Y(s)E(s)+

-K1 G(s)

U(s)

Derivativo

Proporcional

++

SISOTOOL SISO Design Tool.SISOTOOL opens the SISO Design Tool. This Graphical User

Interface lets you design single-input/single-output (SISO) compensators by graphically interacting with the root locus, Bode, and Nichols plots of the open-loop system. To import the plant data into the SISO Tool, select the Import item from the File menu. By default,

For example >> sisotool({'nichols','bode'})select the Import item from the File menu. By default,

the control system configuration is

r -->[ F ]-->O--->[ C ]--->[ G ]----+---> y

- | |

+-------[ H ]----------+

where C and F are tunable compensators.

SISOTOOL(G) specifies the plant model G to be used in the SISO Tool. Here G is any linear model created with TF, ZPK, or SS.

SISOTOOL(G,C) and SISOTOOL(G,C,H,F) further specify values for the feedback compensator C, sensor H, and prefilterF. By default, C, H, and F are all unit gains.

>> sisotool({'nichols','bode'})

Opens a SISO Design Tool showing the Nichols plot and Bode diagrams for the open loop CGH.

SISOTOOL(INITDATA) initializes the SISO Design Tool with more general control system configurations. Use SISOINIT to build the initialization data structure INITDATA.

SISOTOOL(SESSIONDATA) opens the SISO Design Tool with a previously saved session where SESSIONDATA is the MAT file for the saved session.F. By default, C, H, and F are all unit gains.

SISOTOOL(VIEWS) or SISOTOOL(VIEWS,G,...) specifies the initial set of views for graphically editing C and F. You can set VIEWS to any of the following strings or combination of strings:

'rlocus' Root locus plot

'bode' Bode diagram of the open-loop response

'nichols' Nichols plot of the open-loop response

'filter' Bode diagram of the prefilter F

session.

See also sisoinit, ltiview, rlocus, bode, nichols.

Reference page in Help browserdoc sisotool

>>

>> sisotool(.)

>> sisotool(g,1)

>>

>> sisotool(.)

>> sisotool(g,1)

Editando Editando visualización:

1) Ventana “Control and EstimationTools Manager”,

2) Pestana “GraphicalTuning”,Tuning”,

3) Plot 2, Open Loop1, Seleccionar de “Open-LoopBode” para “None”

>> sisotool(.)

>> sisotool(g,1)

Editando Editando visualización:

4) Ventana “Figure X: SISO…”,

5) Pressionar botonderecho por sobre la venta grafica,

6) Seleccionar “Design“DesignRequitements”, New,

7) Seleccionar “Damping Ratio” y alterar valor

>> sisotool(g)

Step Response

Pole-Zero Map

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

1.5

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0-4

-2

0

2

4

Time (sec)

Am

plitu

de

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1

>> sisotool(.)

>> sisotool(g,1)

0Open-Loop Bode Editor for Open Loop 1 (OL1)

15Root Locus Editor for Open Loop 1 (OL1)

>>

-90-150

-100

-50

G.M.: 47.6 dBFreq: 4.9 rad/secStable loop0

5

10

10-2

100

102

104

-270

-225

-180

-135

P.M.: 89 degFreq: 0.0417 rad/sec

Frequency (rad/sec)

-20 -15 -10 -5 0 5-15

-10

-5

Real Axis

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