rm 8

Capt ulo

CRONOM ETRA8A. PROBLEMAS SOBRE CAMPANADAS O AFINES

Cuando nos referimos a un evento que implica una accin, como campanadas golpes, contactos seguidos a velocidadconstante, debemos considerar que el tiempo transcurrido es propiamente el de los periodos comprendidos entrecontacto y contacto, y no la duracin del contacto.

Ejemplo 1En el campanario de una iglesia se hace oscilar el pndulo dando tres campanadas en seis segundos. En cuntossegundos se dieron 7 campanadas?

Resolucin :1er mtodo :Graficando tenemos

1C 2C 3Ci i

Se observa que en tres campanadas hay 2 intervalos de tiempo (I) 2I = 6 seg

I = 3 segAhora en 7 campanadas habr 6 intervalos de tiempo, entonces el tiempo pedido ser :

6(3) = 18 seg.Finamente se deduce :

Nmero de intervalos de tiempo (I)

Nmero de campanadas

= 1

2 mtodo :

N de campanadas N de intervalos Tiempo37

26

6 seg x seg

DP

2x = 6(6)x = 18seg

Ejemplo 2Un reloj de pared indica la hora con igual nmero de campanadas; para indicar las 6 : 00 p.m. demora 9 segundos.Qu hora indica si dicho reloj ha tocado campanadas durante 18 segundos?

Resolucin :

Hora N de campanadas N de intervalos Tiempo

El reloj indica las

Raz. Matemtico

B. PROBLEMAS SOBRE CALENDARIOS

El calendario a lo largo de la historia :

* Todos los calendarios estn basados en los movimientos de los astros, principalmente el sol, la tierra y la luna.* A lo largo de la historia las diferentes civilizaciones han propuesto distintas soluciones al problema del cmputo del

tiempo, vindose obligadas siempre a establecer mecanismos de correccin. Segn el predominio de uno u otrociclo, los calendarios se pueden clasificar en lunares, solares y lunisolares. He aqu algunos ejemplos :

CALENDARIO DIS TRIBUCIN DEL AO CORRECCIN O DES VIACIN EGIPCIO 12 meses de 30 das + 5 das

festivos. Cada 1461 a os se retrasa 1 a o.

GRIEGO 12 meses de 29 das y 30 das. Cada 36 u 8 a os se a ade 1 mes. AZTECA 18 meses de 20 das + 5 das. Correcciones discrecionadas.

ISLMICO 12 meses de 29 das y 30 das. Ciclo de 30 a os con 12 bisiestos. HEBREO 50 semanas y 3; 4 5 das. Correccin por criterios lit rgicos. CHINO 12 meses de 29 y 30 das. A os bisiestos de 13 meses.

Observacin :En los problemas a tratar debemos tener a consideracin los aos bisiestos, los cuales son todos aquellos cuyas dosltimas cifras dan un nmero mltiplo de 4.

Ejm :

1932 32 4 si es bisiesto

1942 42 no es 4 no es bisiesto

Adems en aquellos aos que terminan en 2 ceros slo ser bisiesto si es que es mltiplo de 400.

Ejm :

1900 no fue bisiesto1600 si fue bisiesto

Ejemplo 3El 1 de Enero de cierto ao fue martes. Qu da fue el 24 de Enero de ese mismo ao?

Resolucin :De los datos se plantea lo siguiente :

Martes Mircoles Jueves Viernes S bado Domingo Lunes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

15 16 17 18 19 20 21

E N E R O 22 23 24

el 24 de Enero fue Jueves.

Observacin :Del cuadro se observa que los grupos de 7 das son de Martes a Lunes, y nos damos cuenta que de el 1 de enero al 24de enero, hay 3 grupos de 7 das ms 3 das, esto se consigue haciendo lo siguiente :

24 721 3 grupos de Martes a Lunes3

Ma Mi Jueves

Ejemplo 4Si el 8 de enero de 1912 fue Jueves. Qu da fue en ese ao el 10 de Junio?

Ejemplo 5Si el 2 de febrero de 1935 fue Viernes. Qu da fue en ese mismo ao 26 de Diciembre?

Ejemplo 6Si el 12 de Febrero de 1980 fue Mircoles. Qu da ser el 12 de Febrero del ao 2010?

Ejemplo 7Si el 16 de Octubre del ao 2004 fue Sbado. Qu da ser 25 de Noviembre del ao 2080?

C. PROBLEMAS SOBRE TIEMPO TRANSCURRIDOLa referencia en ste caso es a problemas que en su enunciado establezcan una relacin entre un intervalo de tiempotranscurrido y otro que falte por transcurrir; de tal manera que ambos intervalos sumen un periodo conocido como sonlas 24 horas de un da, los 7 das de la semana, los 30 das del mes de Abril, los 365 das de un ao ordinario, etc.He aqu algunos ejemplos :

Ejemplo 8Si el tiempo que falta transcurrir del da es la tercera parte del tiempo transcurrido. Qu hora es?

Raz. Matemtico

Resolucin:De los datos se hace del siguiente diagrama :

Hora(x) (24 x)

Tiempo transcurrido

Tiempo que falta transcurrir

24 horas

Del enunciado :

3x)x24(

72 - 3x = x72 = 4x18 = x

La hora es 18 : 00 h < > 6 p.m.

Ejemplo 9Si fuera 5 horas ms tarde de lo que es, faltaran para acabar el da, el triple de las horas que haban transcurrido hastahace 3 horas.Qu hora es?

Resolucin :Sea "x" el tiempo transcurrido hasta hace 3 horas. Entonces "3x" ser el tiempo que faltar para acabar el da dentro de5 horas.Ahora veamos el siguiente esquema :

Hora

3h 5hx 3x

24 horas

Del grfico se deduce : x + 3 + 5 + 3x = 24Resolviendo : x = 4

La hora es : x + 3 = 7 : 00 h

Ejemplo 10

A qu hora los 32

de lo que queda del da es igual al tiempo transcurrido?

Ejemplo 11Cuando sean 2 horas ms tarde de lo que es, faltarn para las 14 : 00 h el doble del nmero de minutos transcurridodesde las 10 : 00 h. Qu hora ser dentro de 20 minutos?

Ejemplo 12Trilcito se cas en 1997 cuando la mitad del tiempo transcurrido de aquel ao era igual a la cuarta parte de lo quefaltaba por transcurrir. En qu fecha y hora se cas?

D. RELACIN ENTRE LOS RECORRIDOS DEL HORARIO Y MINUTEROObservamos el siguiente esquema :

12

3

6

9

4

5

8

7

10

11 1

2

30

M

H 5 divisiones

En la circunferencia de un reloj hay :60 divisiones < > 60 minutos < > 360

Simplificando se obtiene :

1 divisin < > 1 minuto < > 6

Cada hora :Espacio recorrido por el horario = 5 divisiones(E R H)Espacio recorrido por el minutero = 60 divisiones(E R M)

Se deduce :

121

ERMERH

Observacin :

n

x

321

Esta relacin respecto a los espacios

recorridos1212n

12x

362412

H M 12

Raz. Matemtico

Ejemplo 13Qu hora indica el reloj mostrado?

12

3

6

9

4

5

8

7

10

11

2M

H

2

Ejemplo 14A qu hora entre las 7 y las 8, el minutero ha pasado a la marca de las 9 tantas divisiones como el triple de lasdivisiones que le falta al horario para llegar a las 8?

F. USO DE LA FRMULA GENERAL

)H(30)M(2

11

Ejemplo 15Qu ngulo forman las manecillas del reloj a las siguientes horas?I. 08 : 26 h

II. 02 : 48 h

III. 12 : 18 h

Ejemplo 16A qu hora entre las 4 y las 5 las agujas del reloj forman un ngulo de :I. 80 por primera vez.

II. 80 por segunda vez

Ejemplo 17A qu hora entre la 1 y las 2, las agujas del un reloj forman un ngulo de 100 por segunda vez?

Raz. Matemtico

EJERCICIOS PROPUESTOS

01. Un reloj da 6 campanadas en 8 segundos.Cuntas campanadas dar en 24 segundos?

a) 14 b) 15 c) 16d) 17 e) 18

02. Un reloj da 7 campanadas en 20 segundos.En cuntos segundos dar 13 campanadas?

a) 40 b) 45 c) 35d) 30 e) 32

03. Un reloj toca tantas campanadas en cada hora como lahora marca en ese instante.Cuntas campanadas tocar en 3 das?

a) 465 b) 463 c) 348d) 460 e) 468

04. El 12 de Enero de 1960 fue Martes.Qu da fue el 18 de Mayo de ese mismo ao?

a) Martes b) Juevesc) Lunes d) Viernese) Mircoles

05. El 9 de Abril de 1996 fue Sbado.Qu da fue el 24 de Octubre de ese mismo ao?

a) Martes b) Mircolesc) Lunes d) Domingoe) Sbado

06. Si el 19 de Febrero de 1992 fue Viernes, entonces el15 de Marzo de 1997 fue :

a) Lunes b) Sbadoc) Mircoles d) Domingoe) Martes

07. Si el 8 de Enero de 1926 fue Lunes, entonces el 15 deMarzo de 1975 fue :

a) Lunes b) Mircolesc) Jueves d) Martese) Viernes

08. Ricardo naci en 1972 a las 06 : 00 h, de un da tal que

los das transcurridos eran 51

de los das que faltan

transcurrir de ese ao.En qu da naci Ricardo, si el 1 de Enero de ese aofue Lunes?

a) Lunes b) Mircolesc) Sbado d) Martese) Jueves

09. Kike le dice a Flor : "Nos encontraremos en el lugar de

siempre, cuando las horas transcurridas del da sean

53

de las horas que faltan transcurrir"

A qu hora fue el encuentro?

a) 08 : 00 b) 09 : 00 c) 10 : 00d) 08 : 30 e) 09 : 30

10. Si el 14 de Febrero de 1992 fue Sbado.Qu da fue el 19 de Agosto de ese mismo ao?

a) Mircoles b) Martesc) Jueves d) Viernese) Sbado

11. Un reloj da tantas campanadas en cada hora como lahora marca en ese instante.Cuntas campanadas dar en 2 das?

a) 256 b) 312 c) 144d) 272 e) 324

12. Si el 7 de Enero de 1972 fue Viernes.Qu da fue el 16 de Abril de ese mismo ao?

a) Sbado b) Viernesc) Domingo d) Lunese) Martes

13. Un reloj de manecillas da tantas campanadas como lahora marca en ese instante y adems da 1 campanadaal primer cuarto de hora, 2 campanadas el segundocuarto de hora y 3 campanadas para indicar el tercercuarto de hora.Cuntas campanadas dar en 1 da completo?

a) 280 b) 300 c) 228d) 310 e) 296

14. Son ms de las 8:00 a.m., pero an no son las 9:00a.m. Dentro de 25 minutos el tiempo que faltar para

las 10:00 a.m. ser 35

del tiempo que ha transcurrido

desde las 8:00 a.m. hasta hace 15 minutos.

Qu hora es?

a) 8 : 25 a.m. b) 8 : 30 a.m.c) 8 : 35 a.m. d) 8 : 40 a.m.e) 8 : 45 a.m.

15. Un reloj demora 1m2 segundos en tocar 2mcampanadas.Cuntas campanadas tocar en (m 1) segundos?

a) 1 b) m c) 3md) 4 e) 2m

16. Si el 5 de Mayo de 1970 fue Lunes.Qu da fue el 5 de Agosto de 1999?

a) Martes b) Juevesc) Lunes d) Mircolese) Domingo

17. Si el 19 de Agosto de 1968 fue Domingo.Qu da fue el 19 de Agosto de 1989?

a) Lunes b) Martesc) Viernes d) Domingoe) Jueves

18. Se sabe que el campanario de un reloj toca 2

campanadas cada vez que transcurre 41

de hora, pero

cuando sucede una hora en punto la indica con unnmero de campanadas igual al cuadrado de la horaque seala.Cuntas campanadas tocar desde las 12:00 de lanoche hasta el medio da de hoy?

a) 600 b) 720 c) 872d) 722 e) 572

19. El 28 de Julio de 1950 fue Mircoles.Qu da fue el 28 de Julio de 1986?

a) Jueves b) Viernesc) Mircoles e) Sbadoe) Domingo

20. Si el 12 de Octubre de 1964 fue Sbado, entonces el25 de Diciembre de 1992 fue :

a) Sbado b) Domingoc) Mircoles d) Martese) Viernes

21. Qu ngulo forman las agujas de un reloj a las 09 : 26h?(Dar como respuesta el ngulo menor)

a) 127 b) 125 c) 120d) 117 e) 140

22. Qu ngulo forman las agujas de un reloj a las 04 : 38h?

a) 250 b) 88 c) 88,5d) 271 e) 90

23. A qu hora entre las 4 y las 5, las agujas de un relojforman un ngulo cuya medida es de 60 por primeravez?

a) 04h 10min b) 04h min111013

c) 04h min111010 d) 04h 05min

e) 04h min11912

24. A qu hora entre las 2 y las 3, las agujas de un relojforman un ngulo cuya medida es de 130 por segundavez?

a) 02h min11852 b) 02h 50min

c) 02h min11349 d) 02h 51min

e) 02h min10347

25. Qu hora es en el grfico mostrado?

12

3

6

9

4

5

8

7

10

11

M

H

2

a) 06h min7511 b) 06h 11min

c) 06h 10min d) 06h min7612

e) 06h 13min

26. Qu hora marca el reloj de la figura?

12

3

6

9

4

5

8

7

1

2M

H

a) 05h 43min b) 05h min13246

c) 05h min8345 d) 05h min

11242

e) 05h 47min

Raz. Matemtico

27. A qu hora inmediatamente despus de las 2, el horarioadelanta a la marca de las 12 tanto como el minuteroadelanta al horario?

a) 02 : 24 h b) 02 : 32 hc) 02 : 25 h d) 02 : 28 he) 02 : 30 h


12

3

6

9

4

5

8

7

1

2MH

a) min11148h2 b) min

13249h2

c) min11149h2 d) min

11348h2

e) min13246h2

29. A qu hora entre las 3 y las 4 de la maana las agujasde un reloj se oponen?


11247h3


13148h3

e) min13249h3

30. A qu hora entre las 3 y las 4, las agujas de un relojestn superpuestas?


11215h3


11416h3

e) min11216h3

31. Qu hora es en el grfico mostrado?

12

3

6

9

4

57

10

11 1

2

MH

2

a) min11441h5 b) 5h 42min

c) min11442h5 d) 5h 43min

e) min11543h5

32. A qu hora entre las 4 y las 5, las agujas de un relojforman 90 por primera vez?

a) min1156h4 b) min

1175h4

c) min1136h4 d) min

1135h4

e) min1155h4

33. Cul es el menor ngulo que forman las agujas delreloj a las 6:30 h?

a) 0 b) 15 c) 10d) 20 e) 18

34. Segn el grfico, qu hora es?

12

3

6

9

5

8

7

10

11 1

2

M

H

Siendo : 40

a) min11318:2 b) min

11317:2

c) 2 : 18 min d) min11218:2

e) min11319:2

35. Qu ngulo forman las agujas de un reloj a las18:16 h?

a) 90 b) 93 c) 87d) 95 e) 92


12

3

6

9

4

5

8

7

1

2M

H

a) 6h min11555 b) 6h min

13555

d) 6h min11254 d) 6h min

11354

e) 6h min13755

37. Qu ngulo forman las agujas de un reloj a las 02:32h?

a) 114 b) 124 c) 108d) 144 e) 116

38. A qu hora inmediatamente despus de las 06:00 h,el minutero aventaja al horario 12 divisiones?


11945h6


11545h6

e) min11344h6

39. Qu hora es en el siguiente grfico?

12

3

6

9

4

5

10

11 1

2

M

H

3

a) 2:36 min b) 2:37 minc) 2:36.5 min d) 2:38 mine) 2:35.5 min

40. Qu hora indica el reloj mostrado en la figura?

12

3

6

9

8

7

10

11 1

2

M

H

a) min11327:2 b) min

11723:2

c) min11227:2 d) min

7221:2

e) min11322:2

41. A qu hora inmediatamente despus de las 3 de lamaana, el minutero adelanta al horario tanto como elhorario adelanta a la marca de las 12?

a) 03:36 h b) 03:24 hc) 03:48 h d) 03:32 he) 03:30 h

42.A qu hora entre las 2 y las 3, las agujas de un relojforman un ngulo de 120 por segunda vez?


11655h2


11354h2

e) min11754h2

43. Qu hora es .............. si hace 5 horas el tiempo quehaba transcurrido del da fue dos veces menos que eltiempo que restara para acabar el da dentro de 7 horas?

a) 8 a.m. b) 8 p.m. c) 10 a.m.d) 12 m. e) 2 p.m.

44. Segn el grfico, qu hora es?

12

3

6

9

4

5

8

7

10

11 1

23

a) 11325:08 h b)

11227:08 h

c) 08 : 27 h d) 11327:08 h

e) 08 : 26 h

45. Un reloj en lugar de tener 12 divisiones tiene 9 y da lavuelta una vez alrededor de su eje.Qu hora marcar dicho reloj a las 4 de la tarde?

a) 6 b) 4 c) 3d) 7 e) 9

46.La figura muestra el reflejo de un reloj en un espejo.

Espejo

MH

Raz. Matemtico

Indique la hora que es, si el menor ngulo que se formaes 80.

a) 1119:11 h b)

1125:10 h

c) 1173:10 h d)

1163:10 h

e) 1153:10 h

47. En un ao comn celebr mi cumpleaos el 26 deSetiembre, queremos saber qu da fue y para ello slosabemos que este ao hay ms das Lunes que otros.Qu da ser la vspera de mi cumpleaos?

a) Lunes b) Martesc) Mircoles d) Domingoe) Sbado

48. Qu hora es segn el grfico?

16

4

8

12M

H

4 div.

a) 4 : 05 h b) 15304:4 h

c) 4 :06 h d) 15104:4 h

e) 15404:4 h

49. Un nuevo reloj tiene 16 divisiones horarias y el horariogira una sola vez en torno a su eje en un da, ademspor cada divisin horaria que avanza el horario, elminutero da una vuelta completa.Qu ngulo formarn las manecillas de dicho reloj, sien un reloj normal son las 6:00 p.m.?

a) 80 b) 120 c) 60d) 100 e) 90

50.Un reloj indica la hora con tantas campanadas como elnmero de horas transcurridas hasta ese instante.Sabemos que para tocar tantas campanadas como eltriple del tiempo que demor entre campanada ycampanada tard 70 segundos.Cuntas campanadas dar en 40 segundos?

a) 8 b) 9 c) 5d) 7 e) 6

51. Si el 25 de Agosto de 1948 fue Viernes.Qu da fue el 14 de Febrero de ese mismo ao?

a) Lunes b) Domingoc) Martes d) Juevese) Mircoles

52. Qu hora es en la figura mostrada?

12

3

6

9

8

7

10

11 1

2

M

H3 /2

a) 2h 20min b) min11220h2


11121h2

e) min11320h2

53. A qu hora entre las 7 y las 8 de la noche las agujas deun reloj forman un ngulo de 100 por segunda vez?


11358h7


11456h7

e) min11556h7

54. A qu hora inmediatamente despus de las 16:00 h elhorario adelanta al minutero tanto como el minuteroadelanta a la marca de los 12?


231010h4


111011h4

e) min23512h4

55. Un reloj de pared seala la hora con igual nmero decampanadas a la hora respectiva, si emplea 6 segundosen indicar las 16 horas.Calcule la medida del ngulo menor que forman elsegundero con el minutero al terminar de indicar las18 horas.

a) 60 b) 59 c) 54d) 29 e) 11

56. Qu hora ser dentro de 415 horas si se sabe que en

estos momentos el tiempo transcurrido es excedido en5 horas por lo que falta transcurrir del da?

a) 3 : 45 p.m. b) 3 : 25 p.m.c) 3 : 20 p.m. d) 2 : 20 p.m.e) 2 : 45 p.m.

57. En una maana de sol un rbol de m310 altura,arroja una sombra de 10m de longitud.Qu hora es?

a) 10:20 h b) 10:00 h c) 09:50 hd) 09:48 h e) 10:10 h

58. Los relojes de "A", "B" y "C" se sincronizaron a las 12:00horas. Si el reloj de "A" se atrasa 3 minutos por hora, elde "B" se adelanta 3 minutos por hora y el de "C" marchacorrectamente.Dentro de cunto tiempo los horarios de los 3 relojesequidistarn entre s?

a) 48 horas b) 60 horas c) 72 horasd) 80 horas e) 96 horas

59. Cuando sean dos horas ms tarde de lo que es, faltarnpara las 2:00 p.m. el doble del nmero de minutostranscurridos desde las 10:00 a.m.Qu hora ser dentro de veinte minutos?

a) 11:00 a.m. b) 12:00 a.m.c) 1:00 p.m. d) 2:00 p.m.e) 10:40 a.m.

60. Qu hora es segn el grfico?

Si : 2153

12

3

6

9

4

5

8

7

1

2M

H

a) 7:56 min b) 7:53 minc) 7:57 min d) 7:54 mine) 7:59 min

Raz. Matemtico

Claves Claves

c

a

e

e

c

a

d

c

b

c

b

c

b

e

b

d

c

d

e

c

a

d

c

a

d

b

a

e

a

d

b

e

b

d

e

b

e

b

a

a

a

c

a

d

c

c

b

e

e

b

a

a

d

b

a

e

b

d

a

c

01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08.

09.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

rm 8

Documents