r.m. 4to.grado-teoría de exponentes-polinomios-logaritmo

I.E. “Teodosio Franco Garcia” Matemática Cuarto Secundaria - 2016

Equipo de Matemática http://luiscanedocortez.blogspot.pe/ Prof. Luis Cañedo Cortez

Teoría de exponentes

Potenciación:

an =

2n,nsi;a.aa.a

1n:si;a

veces"n"

TEOREMAS

Si a m, n

1. Multiplicación de

potencias bases

iguales.

am . an = am+n

2. División potencias

de bases iguales

nmn

ma

a

a

3. Potencia de una

multiplicación.

(a.b.c)n = an.bn.cn

4. Potencia de una

Fracción n n

n

a a

b b

; b ≠ 0

5. Potencia de

potencias.

([ ] )Pm n mnpa a

Observación:

m mn na a

6. Potencia de

exponente negativo

n na b

b a

Radicación

Donde: n: índice (n 2n )

a: radicando o cantidad subradical

r: raíz n-ésima principal de “a”

TEOREMAS

Si n

a y n

b existen, entonces se cumple:

1. Raíz de una Multiplicación.

2. Raíz de una División.

3. Raíz de una Radicación.

Nota:

* m n p

cba = p.n.mn.mm cba

* m n

aa =

n.m na

Ejercicios:

1. Reducir: 22

2

45.35

49.25.15M

a) 3

1 b)

2

1 c)

9

1 d)

5

1 e) 5

2. Simplificar: 4n

3n4n

2

22N

a) 2 b) 3 c) 1/3 d) 1/2 e) 1/5

3. Calcular:

1382532F

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

4. Calcular: 1 10,2 0,250,25 (0,2) 1P

a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25

5. Efectuar:

1 13 2 08 4 39 4 6

a) 6 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

6. Efectuar:

37753

4010864

x.......x.x.x.x

x........x.x.x.xM

a) x60 b) x54 c) x57 d) x63 e) x51

7. Simplificar: 1

4

11

3

11

2

1

4

1

3

1

2

1N

a) 287 b) 281 c) 235 d) 123 e) 435

an = P ; a ; n

Exponente Cero: a0 = 1 a 0

Exponente Negativo: n

n

a

1a ; a 0

Exponente Fraccionario:

n mn

m

aa n 2; n

ran

rn = a

nnnb.aab

nnn abb.a

n

nn

b

a

b

a

n.mm nbb

nnn abb.a

http://luiscanedocortez.blogspot.pe/



11 2 2 5 3

3A

3 3 2

22

m m

mm m

x x

x x

8. Halle el exponente final de “x”.

cba3

veces"b"

acacacabcbca

))x((

x......x.x.)x(.)x(

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

9. Si: 2xxx . Calcular:

xxxxxP

a) 2 b) 1/2 c) 4 d) 2 e) 4

2

10. Si: 2

1a5b ba . Calcular:

1abaR

a) 30 b) 32 c) 34 d) 35 e) 33

11. Calcular:

7

60502

7

74249.7.7E

a) 650 b) 754 c) 755 d) 741 e) 1

12. Determine el inverso multiplicativo de 30A, donde:

a) 1/77 b) -1/77 c) 77 d) -1/30 e) 2/77

13. Reducir: 3 2

2 32 2

a)0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

14. Reduzca la expresión, considere m ,

x

a) 0 b) 1 c) m d) x e) xm

15. Reducir: 54 33 2 a.a.aN

a) 12 47a b) a46/12 c)

12 113 aa d) a11 e) a47

16. Reducir:

8

72 324 324 224 323 4

7

77377.27M

a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) N.A.

17. Reducir: aa

a

21

21R

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

18. Calcular: 3

1

5

3

3

1

)32(64T

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

19. Calcular: 3 4 3 5 40732 2222I

a) 3

2 b) 3

8 c) 3

4 d) 3

22 e) 1

20. Si 4 25 5

5

x x

xA

y

5 33 3

3

y y

yB

.

Calcular 36A

SB

a) 10 b) 100 c) 100/36 d) 216 e) 600

21. Si 2aa , calcular el valor de E: 1 2aa aE a a

a) 6 b) 12 c) 8 d) 20 e) 32




Polinomio

Expresión algebraica Es la representación de una o más operaciones algebraicas.

Ejemplos:

E(x) = x3 – 2x + x

3 E(x,y) =

1y

x3xy2

R(x) = 1 + x + x2 + x3 ………..

Clases de expresiones algebraicas

A) Por su forma o naturaleza Expresión algebraica racional. Es aquella que luego de ser reducida o simplificada, presenta en todas las variables del numerador exponentes enteros. Expresión algebraica racional entera. Los exponentes de todas sus variables son números naturales. Ejemplo: P(x; y; z) = 3x2y + z2x2y + 2xy Expresión algebraica racional fraccionaria. Es cuando por lo menos una de sus variables tiene exponentes enteros negativos en el numerador.

Ejemplo: 2 7

2

7 1( , ) 2

3A x y x y

x xyz

Expresión algebraica irracional. Es cuando al menos una de sus variables tiene exponentes fraccionarios o signo radical.

Ejemplo: 21( ) 2

2P x x x

B) Por su número de términos Monomio: 1 término Es aquella expresión algebraica racional en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural. Ejemplos: 8x

5y

3; – 2x; 5

Polinomio: 2 ó más términos.

Ejemplo: 3x2 – 2x + x3 + 8 ; x2 + x – 1 ; x + 2

Nota: si un polinomio tiene 2 términos recibe el nombre de binomio; si tiene 3, recibe el nombre de trinomio. Si tiene "n" términos se le denomina polinomio de "n" términos.

Término algebraico Es una expresión algebraica racional (entera, fraccionaria y/o racional) que consta de una parte numérica (coeficiente) y una parte literal (variables gobernadas solo por las operaciones de multiplicación y potenciación).

Términos semejantes Son aquellos términos algebraicos que sin importar sus coeficientes poseen las mismas variables afectadas del mismo exponente (misma parte literal).

Ejemplos: Son términos semejantes: Igual parte literal:

10x7y-1 ; -8x

7y-1 ;

𝑏

𝑎x

7y-1 x

7y-1

3x1/2

y-1/2 ; 2x

1/2y-1/2

; ax1/2

y-1/2 x

1/2y-1/2

Grado de las expresiones algebraicas Es la categoría que se le asigna a un polinomio racional entero. Tipos de grado Grado relativo (GR): se da respecto a una de sus variables. Grado absoluto (GA): o simplemente grado. Se da respecto a todas sus variables.

GRADOS:

Grado Relativo de un Monomio: Esta dado por el exponente de la variable indicada. M(x, y, z) = 4x

2y

4z

5

GR(x) = 2 GR(y) = 4 GR(z) = 5

Grado Absoluto de un Monomio (G.A.): Esta dado por la suma de los exponentes de las variables. M(x, y, z) = 32x4y5z7

G.A. = 4 + 5 + 7 = 16

Grado Relativo de un Polinomio: Estado dado por el mayor exponente de la variable referida. Ejm.: P(x, y) = 2x4y2 + 6x3y5 + 7x7

GR(x) = 7 ; GR(y) = 5

Grado Absoluto de un Polinomio: Esta dado por el monomio de mayor grado.

P(x, y) =

10

64

7

52

5

23 yx6yx2yx4

G. A. (P) = 10

POLINOMIOS ESPECIALES Son aquellos que presentan ciertas características particulares relacionadas a los exponentes de las variables o a los coeficientes de las mismas. Los más importantes son:

1. Polinomio Mónico:

Un polinomio de una variable que tiene coeficiente principal uno se le denomina mónico.

Ejemplos: A(x) = 1 + x2 + 3x

B(x) = 7 – 2x2 + x

3

C(x) = x

2. Polinomio Ordenado Es aquel donde los exponentes de la variable van aumentando o disminuyendo.

Ejm.: P(x, y) = x16 – 2x10 + x2 + 1

Polinomio Ordenado Descendente

Q(x, y) = 2 + x4 + 5x7 + x10 Polinomio Ordenado Ascendente




3. Polinomio Completo Es aquel donde aparecen todos los exponentes de la variable, desde el mayor, hasta el término independiente.

Ejm.: P(x) = 6x2 + 2x + 3x3 + 5

4 términos

Q(x) = 2 + x + 3x2 + 5x3 + 4x4 5 términos

Propiedad: En todo polinomio completo se cumple:

# Términos = Grado + 1

Sea: P(x) = 2x2 + 5x + 1

Tiene 3 términos: 3 = 2 + 1

4. Polinomio Homogéneo Es aquel donde todos sus términos tienen el mismo grado absoluto.

Ejm.:

a. P(x, y) = º2

2

º2º2

2 yxyx6

b. Q(x, y) = º6

6

º6

33

º6

24 yyx3yx2

5. Polinomio Idénticamente Nulo Es aquel donde para cualquier valor asignado a su variable, el resultado es siempre cero.

P(x; y; z) = Ax2y2 + Bxz2 + Cy3z 0 A = B = C = 0

6. Polinomios idénticos Son aquellos cuyos coeficientes que afectan a sus términos semejantes son iguales. Ejemplos: R(x) = (x+7)

2; T(x) = x

2 + 14x +49: son polinomios

idénticos R(x) T(x)

Ejercicios:

b) Hallar el grado del siguiente monomio: M(x; y; z) = – 3a(x2y3)4 . z2

A. 22 B. 26 C. 20 D. 25

c) Sea el polinomio:

F(x; y) = xm + 8.ym – 4 + xm + 7.ym + x2m + 1.y8 ; cuyo

grado es 27. Calcular: G.R.(x) + G.R.(y)

A. 28 B. 30 C. 26 D. 25

d) El polinomio: P(x) = axa + 2 + 3axa + 4 – 4xa; es de grado 8.

Calcular la suma de sus coeficientes.

A. 16 B. 12 C. 14 D. 18

e) En el polinomio:

P(x; y) 2xn+3ym-2z6-n + xn+2ym+3 el G.A. = 16

y G.R.(x) – GR(y) = 5.

Calcular el valor de: 2m + n + 1

a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25

f) Dado el polinomio:

P(x; y) = xa-2yb+5 + 2xa-3yb + 7xa-1yb+6

Donde: G.A. = 17 G.R.(x) = 4

Calcular: (a - b)2

a) 1 b) 2 c) 4 d) 9 e) 16

g) Si: P(x) = x2 + x – 2; calcular: P(8) + P(2)

A. 56 B. 49 C. 54 D. 74

h) Si: F(2x – 1) = x2 – 3x – 4 ; calcular: F(3) – F(1)

A. – 12 B. – 6 C. 4 D. 0

i) Hallar: a + b

ax2 + bx + 7 k(3x2 – 2x + 1)

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

j) Calcular: m + 2n en:

m(x + n) + n(x + m) 3x - 56

a) -3 b) -2 c) -1 d) 3 e) 5

k) Hallar: a + b + c. Si el polinomio es idénticamente nulo.

P(x) = a(3x2 – x + 2) + b(2x - 1) - c(x2 - x) – 6x

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

l) Si: P(x) es un polinomio completo y ordenado ascendentemente. Hallar: (a + b + c + d)

P(x) = xa+d-1 + 2xb-c+1 + 3xa+b-4

a) 9 b) 10 c) 8 d) 7 e) 11

m) Hallar: (a + b), si el polinomio es homogéneo:

P(x, y) = 3x2a-5y4b + 5x2a-4by3 + x4y9

a) 8 b) 9 c) 10 d) 7 e) 5

n) Halla el coeficiente del monomio:

P(x; y) = 9m + 1

.3-n

.x3m + 2n

.y5m - n

, si su grado

absoluto es 10 y el grado con respecto a x es 7.

A) 9 B) 3 C) 18 D) 27 E) 81

o) El polinomio:

P(x; y) = mx2y + nx2y - 4x2y + mxy - xy – nxy es

idénticamente nulo. Halla: 4mn

A) 8 B) 12 C) 15 D) 10 E) 18

p) En el siguiente polinomio:

P(x; y) = xmyn - 1 + xm + 1yn - xm-2yn + 2 + xm + 3yn + 1 el GR(x) = 12 y GA(P) = 18. Calcula el GR(y).

A) 6 B) 7 C) 8 D) 10 E) 5

q) Calcular “a + b”, si los siguientes términos son

semejantes: t1(x; y) = nxa + 1yb + 3 t2(x; y) = xby2b

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

r) Si: F(x + 3) = x2 + 2x – 15; hallar: F(x + 5)

A. x2 + 6x – 7 B. x

2 + 6x C. x

2 – 7 D. x

2 + 5x + 7




22 ba4

3x

1x 2

2

x

1x

5x

1x

44

x

1x

10

1b.a

5

22

22

)162()162(

)37()37(R

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

Para multiplicar polinomios utilizaremos la propiedad distributiva. Ejemplo:

PRODUCTOS NOTABLES

Son aquellas multiplicaciones cuyos productos se obtienen de forma directa sin necesidad de realizar operación alguna.

BINOMIO AL CUADRADO:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

IDENTIDADES DE LEGENDRE:

(a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)

(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab

BINOMIO AL CUBO:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = a3 – b3 – 3ab(a – b)

SUMA POR DIFERENCIA DE BINOMIOS:

(Diferencia de cuadrados) (a + b)(a – b) = a2 – b

2

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON TÉRMINO COM ÚN:

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

MULTI PLICACIÓN DE UN BINOMIO POR UN TRINOMIO

: (a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3 Suma de cubos

(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3 Diferencia de cubos

PRINCIPALES IDENTIDADES:

Desarrollo de un trinomio al cuadrado:

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac)

Desarrollo de un trinomio al cubo:

(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(a + c)

(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c)(ab + bc + ac) – 3abc

Identidad trinómica (Argand):

(x2 + x + 1)(x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1

(x2 + xy + y2)(x2 – xy + y2) = x4 + x2y2 + y4

IGUALDADES CONDICIONALES:

Si: a + b + c = 0 , se cumple:

I. a3 + b3 + c3 = 3abc

II. a2 + b2 + c2 = –2(ab + ac + bc)

III. (ab + bc + ac)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ac)2

Nota: Sean: a; b; c ∈ lR y m; n ∈ lN

a2n + b2m = 0 ⇒ a = b = 0

a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac ⇒ a = b = c

Ejercicios:

1. Sabiendo a + b = 11; ab = 20. Calcular:

a) 11 b) 10 c) 9 d) 8 e) 7

2. Si: x + y = 3 xy = 1

Indicar el valor de: (x - y)2

a) 2 b) 4 c) 5 d) 7 e) 1

3. Si: . Calcular:

a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 8

4. Si: . Dar el valor de:

a) 5 b) 7 c) 25 d) 13 e) 10

5. Si:

Hallar el valor de: W = (5a + 3b)2 - (5a - 3b)2

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

6. Dar el valor más simple de:

a) 5 b) 10 c) 25 d) e) 15

7. Simplificar:

a) 1 b) 0.2 c) 0.4 d) 0.5 e) 2

8. Reducir:

A = (x + y)(x2 + y2)(x4 + y4)(x8 + y8)(x - y) + y16

a) x b) 2x2 c) x4 d) x16 e) x8

9. Simplificar: (x + 1)2 – (x + 2)2 – (x + 3)2 + (x + 4)2

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

10. Efectuar: (4x + 3)(2x + 1) – 8(x + 1)2 + 6(x + 2)

A. 3 B. 5 C. 7 D. 9

11. Efectuar: (x + 1)(x + 2) – (x + 3)2 + (x– 3)2 – (x– 4)(x– 5)

A. – 14 B. – 16 C. – 18 D. – 20

12. Efectuar: (x + 4)3 – (x + 3)(x + 4)(x + 5)

A. x + 4 B. x + 3 C. x + 2 D. x – 1

13. Hallar el área de la siguiente figura:

A. 10x2 + 30x + 45

B. 10x2 + 34x + 15

C. 15x2 + 34x + 45

D. 15x2 + 30x + 15

14. Efectuar: (x + y + 1)3 – (x + y)3 – 3(x + y)(x + y + 1)

A. – 2 B. – 1 C. 0 D. 1

15. Reducir: (x2 + 8x + 11)2 – (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7)

A. 2 B. 4 C. 8 D. 16

16. Si: a = 2 1 b = 2 1

Calcular el valor de: a2 + b2 + 3ab A. 3 B. 5 C. 7 D. 9

16 16842 1)15)(15)(15)(15(26T




17. Si: a + b + c = 0 ; reducir:

(2a + b + c)3 + (a + 2b + c)3 + (a + b + 2c)3

A. – 3 B. 3abc C. – 3abc D. 3

18. Si: x = 2 3 5 y = 2 3 5

Evaluar: N = (x + 1)2 + (y + 1)2 + 2xy – 1

A. 23 B. 25 C. 34 D. 36

19. Si: m + n = 5 mn = 1 ; calcular: (m2 – n2)2

A. 25 B. 5 C. 5 D. 5 5

LOGARITMO

Definición. Se denomina logaritmo de un número real positivo, al exponente a que se debe elevar una base positiva y distinta de la unidad, para obtener una potencia igual al número propuesto.

Entonces: LogbN = N = b

Donde:

= Logaritmo; R

b = base; b > 0 ; b 1 N = número al cual se le toma logaritmo. N > 0

Ejemplos:

Log525 = 2 ; porque: 25 = 52

Log1/3

9 = -2 ; porque: 9 = (1/3)-2

Log31 = 0 ; porque: 1 = 30

Identidad Fundamental: NbNb

Log

x > 0 a R+ - {1}

Ejemplos:

1. 53 53Log

2. 98 9Log8

Observación:

decimalesaritmoslogllamansearitmoslogdetipoEste

10ogNLNogL

Ejemplos:

1. Log100 x10Log 210

102 = 10x

2. Log1000 x10Log 310

103 = 10x

NdenaturalaritmologcomoconocesearitmologdetipoEste

e NlogLnN

Ejemplos:

1. Ln e xeLoge e1 = ex , x = 1

2. Lne5 = 5 3. Lne6 = 6

Debemos saber: Log2 0,3 Log10 = 1

Log3 0.47 Log5 0,69

PROPIEDADES:

a) 01Logb

Ejemplo Log31 = 0

b) 1bLogb

Ejemplo Log33 = 1 ; log

55 = 1

c) Logxab = Log

xa + Log

xb (a, b, x R+)

Ejemplo

Log10

6 = Log10

2 + Log10

3

= 0,3 + 0,47 = 0,77

d) Logx(a/b) = Log

xa - Log

xb (a, b, x R+)

Ejemplo

Log10 2

3 = Log10

3 - Log10

2

= 0,47 - 0,3 = 0,17

e) NLogm

nNLog a

nma

(n R; m R; N > 0)

Propiedad del Sombrero

Ejemplo

1) 3Log3

23Log

52

35

2) 2Log4

32Log

33

43

3) 3Log23Log5

215

4) 2Log2

12Log

31

23

f) bLogaLog

1a

b

Propiedad Inversa

Ejemplo

1) 2Log3Log

13

2

2) 2Log6Log

16

2

x = 2

x = 3

Este sistema fue implementado por Neper cuya base es

e 2,718…




g) Cambio de base.

bLog

aLogaLog

x

xb

Ejemplo 1: 3Log8Log

3Log

85

5

Ejemplo 2: 3Log3

5Log3

2

3Log

5Log

27Log

25Log

2

2

32

232

2

8

5Log9

23

BLOQUE I

1. Determina los siguientes logaritmos.

a) Log30 =

b) Log2

3=

c) Log24 =

d) Log39 =

e) Log36 =

2. Aplicando la identidad fundamental determinar

el valor de las siguientes expresiones:

a) 5

3Log

3 =

b) 2

5Log

5 =

c) 5

4Log

43 =

d) 2

4Log2

4 =

e) 37Log3

7 =

f)

25

Log543 =

3. Determinar el valor de:

E = Log10 + Log1000 + 1

a) 3 b) 2 c) 4 d) 5 e) 6

4. Determinar el valor de:

A = Log104 + Log

ee

5 + Ine

a) 1 b) 2 c) 5 d) 3 e) 10

5. Hallar “x” en cada uno de los siguientes logaritmos:

a) Log39 = x

b) Log5625 = x

c) Log5x = 2

d) Logx25 = 2

e) Logx36 = 2

6. Hallar: “E ” Si: 3Log2Log

6LogE

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

7. Indicar el valor de:

4

3Log

3

2Log

2

4LogA

222

a) 1 b) 2 c) 0 d) -1 e) 4

8. Si: Log2 = 0,3 Log3 = 0,4

Hallar el valor de: E = Log39 + Log

24 + Log6

a) 1,4 b) 4,3 c) 4,7 d) 4,9 e) 5,3


a) Log327 =

b) 8Log2

=

c) 325

5Log =

d) 3Log3

=

10. Hallar “x” en: 3

5Log

5100Logx a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

BLOQUE II

1. Calcular:

9

1Log

3,0

a) 1 b) 2 c) 3 d) 0 e) 4

2. Simplificar:

243

32Log

81

50Log

16

75LogG

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

3. Calcular: 12

3

3Log2Log

1E

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

4. Reducir: (Log23 + Log

25) . Log

152

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

5. Calcular: 2LogM64

6. Calcular: 3 2

33LogM


3

1Log27LogE

232/13

a) 4/3 b) 5/2 c) ½ d) 3/2 e) 4/5

8. Reducir: 3( 10 )

3Log Log Lne

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

9. El valor de “x” en la ecuación:

1)8(Log3

1)16(Log

2

1)x(Log

es: a) 18 b) 20 c) 10 d) 30 e) 25

10. Calcular: 3Log(2x) + 2Logx = Log1/4

a) 0,5 b) 1 c) -5 d) 2 e) -1/2

11. Calcular: 22LogLog816

a) -1/4 b) 4 c) -4 d) 1/2 e) -8




TEMA: LOGARITMOS – PROPIEDADES

1. Cologaritmo. Cologaritmo de un número se define como el logaritmo de la inversa del número dado.

cologbN = - logbN Ejemplo 1: colog25 = - log25

Ejemplo 2:

3Log3

13Log

3

1Log3logCo

31

332727

= 3

1

2. Antilogaritmo

Nb

bNaritmologAnti

Nota: Logb(antilogbN) = N

Antilogb(logbN) = N

Ejemplo 1: Antilog23 = 23 = 8

Ejemplo 2: Antilog3[antilog23 – 7]

= Antilog3[23 – 7] = 31 = 3

3. Regla de la cadena.

Logba . Log

cb . Log

dc = Log

da

Ejemplo

Log35 . Log

23 . Log

252 = Log

255 = 5Log 2

5

= 2

15Log

2

15

EJERCICIOS: 1. Transforma y simplificar de ser posible:

a) Log2 a base 3

b) Log9 a base 3

c) Log5 a base 5

d) Log32 a base 2

e) Log75 a base 5

f) Log62 a base 2

g) Log916 a base 32

2. Hallar aquello que se indica en cada caso:

a) colog24

b) colog5125

c) colog20,5

d) colog2(log381)

e) colog4(log5625) Rpta: - 1

f) log log 6426

co Rpta: - 2

g) antilog2(log27)

h) antilog3(log381)

i) antilog(colog100) Rpta: 1/100

j) antilog2(log83) Rpta: 3 3

k) antilog2(log162) Rpta: 4 2

3. Indicar el producto de logaritmos:

a) Log2

3 . Log3

2 =

b) Log5

2 . Log2

5=

4. Hallar: nmmn nLog.mLogE

Siendo (m, n Z+ > 10)

a) m + n b) n

m c)

m

n d) 1 e)

nm

nm

5. Evaluar: A = Log53 . Log

27125

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

6. Indicar el valor de: E = Log53 . Log

34 Log

47

a) Log37 b) Log

47 c) Log

75 d)

5Log

1

7

e) N.A.

7. Hallar: M = Log53 . Log

47 . Log

36 . Log

64

a) Log37 b) Log

73 c) Log

75 d) Log

57 e) Log

53

8. Determinar el valor de: E = Log53 . Log

35

a) 0 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5

9. Determinar: “E2”

Si: E = Log3 . Log710 . Log

37

a) 1 b) 4 c) 16 d) 9 e) 25

10. Hallar: “M”

Si: 3

4Log.4

3Log 5

3Log

95

Log.53

Log

3

5M

a) 25 b) 25/4 c) 25/3 d) 5 e) 1

11. Calcular:

E = - Colg4Antilog2log2antilog24 A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) N.A.

12. log3(log216 + 5) + antilog32

a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

13. log log 81 log 253 52

anti

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

14. Calcular

K= 49logloglogloglog 752532 anticoantianti

a) 2 b) 3 3 c) 3 d) 3 2 e) N.A

15. Calcular “x” en:

813logloglog 224 antiantianti x

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

16. Reducir:

R= 25log5log512log 932 coCo

a) -5 b) -7 c) -9 d) -11 e) 7

17. Reducir

P= 5loglog5loglog2log 22333 antiantianti

a) 15 b) 16 c) 18 d) 19 e) 20

18. Calcular:

5

22Log50

5

1Log

32,03

4,0

a) 5/6 b) 1/3 c) ½ d) 1/6 e) 5/3




19. Reducir: 8

5Log

57Log7

2Log

25

Log

25LogA

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

20. Calcular: 5 8

log 6 log36 1,5 27

P

a) 4 b) 5 c) 4,5 d) 4,25 e) 4,75

21. Hallar: 3 54log 9 log 2 log 53 4 5

R

a) 1/60 b) 1/30 c) 1/10 d) 1/40 e) 1/50 ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.

I. Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales: 1. 6

x – 9(2

x) – 4(3

x) + 36 = 0 Rpta: 2

2. 15x – 5

x – 125(3

x) + 125 = 0 Rpta: {0; 3}

3. 6x – 4(3

x) – 9(2

x) + 36 = 0 Rpta: 2

4. 6x – 3(2

x) – 16(3

x) + 48 = 0 Rpta: {1; 4}

5. 3x + 3

x – 1 + 3

x – 2 + 3

x – 3 + 3

x – 4 = 121

Rpta: 4

II. Determinar el valor de x en las siguientes ecuaciones logarítmicas:

1. log2x = log43 Rpta: 3

2. log2x = log2(3x – 12) Rpta: 6

3. log3x = log92 Rpta: 2

4. logx + logx3 = 16 Rpta: 104

III. Resolver los siguientes problemas:

1. Hallar “x” en: logx + log(x+1)=colog6-1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2. Hallar “x” en: antilog25 = 32

x

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

3. Hallar: “E”

Si: ...........xxxE

Además: x = Antilog5Log

52

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

4. Resolver: Antilog5x = 3

a) Log53 b) Log

35 c) Log3 d) Log5 e) Log10

5. Resolver:

13log8x.logx8 + logx3x + logx16 = 16 + logx

29

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

6. Calcular “x”:

log3(2x + 1) + log1/3(x + 8) = 0 A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

7. Calcular “x”, en: log2x + log4x = 3

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 16

8. Hallar “x” en: Logx = Log25 . Log

52

a) 1 b) 0 c) 10 d) 100 e) 1 000

9. Determinar el valor de x en la ecuación:

log2[log2(colog2x)] = 0

a) ¼ b) 1/3 c) 2 d) 4 e) ½

10. Resolver la ecuación: log log 22 2

2 log 2

x x

x

y

dar como respuesta la suma de las raíces

obtenidas.

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

11. Hallar x a partir de: 5x + 2

– 10 = 5x + 1

a) Log(2/5) b) –log(2/5) c) –log2/log5 d)

log2/log5 e) log(2,5)

12. Resolver: log2x + log8x = 4

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 16

13. Hallar x en: log 5232 3 log 1

5

x

a) log3

log5 b) log5

log3 c) log5

5log3 d) log3

3log5 e) log3

5log5

14. Hallar el valor de x en:

2logx + 1 = log45 + log25 – log32

a) 15/8 b) 8/15 c) 2/15 d) 4/15 e)

15/4


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