REVISTA MEXICANA DE FISICA S53 (7) 70–73 DICIEMBRE 2007

Dispersion en moleculas artificiales auto-ensambladas

M. Adames y A.S. Camacho B.Departamento de Fısica, Universidad de Los Andes,Cr 1E No. 18A-10, Edificio H, Bogota, Colombia.

Recibido el 30 de noviembre de 2006; aceptado el 8 de octubre de 2007

Se calcula la tasa de dispersion considerando la interaccion electron-fonon por el mecanismo de potencial de deformacion y variando elparametro de acoplamiento cuantico de dos puntos cuanticos acoplados. En particular, se estudia las transiciones electronicas inducidas porfonones LA en puntos cuanticos acoplados, teniendo en cuenta tanto las transiciones en el planoxy como en la direccion de crecimientoz.En los dos casos las tasas presentan oscilaciones dependiente del acoplamiento.

Descriptores:Puntos cuanticos; interaccion electron-fonon.

We calculate the scattering rate considering the electron-phonon interaction via the deformation potential mechanism and varying the cou-pling parameter for coupled quantum dots. In particular, we study the electron transitions induced by LA phonons in coupled quantumdots, taking into account both transitions in the planexy and transitions in the growth directionz. In both cases, the scattering rates havecoupling-depended oscillations.

Keywords:Quantum dots; electron-phonon interaction.

PACS: 73.21.La; 73.61.Ey; 72.10.Di

1. Introduccion

Los tiempos de vida de un electron en puntos cuanticosbasados en GaAs estan limitados al orden de nanosegun-dos [1, 2]. La dispersion de portadores por fonones longitu-dinales acusticos (LA) representan una fuente importante dedecoherencia para un electron en uno o varios puntos cuanti-cos acoplados, cuando la separacion entre los niveles discre-tos no excede los 10 meV [3, 4]. La prediccion y el controlde las tasas de dispersion es una necesidad para implemen-tar aplicaciones posibles para sistemas de puntos cuanticos,que van desde la implementacion de compuertas cuanticas [5]hasta laseres eficientes construidos de puntos cuanticos [6,7].Por lo tanto, el conocimiento de la fısica de la interaccion en-tre el electron y fonones acusticos en dichas nanoestructurases de gran interes. En uno de los trabajos pioneros, Bockel-man [8] estudio teoricamante la influencia del confinamientoespacial y magnetico en las tasas de dispersion de un electronel un punto cuantico.El considero el acoplamiento por poten-cial de deformacion entre electrones y fonones LA. Recien-temente, ha sido calculada la tasa de dispersion para puntoscuanticos acoplados verticalmente usando fonones LA [9].Una fuerte modulacion de los tiempos de vida del electronen los estados excitados ha sido hallada variando el campomagnetico externo. Los resultados fueron obtenidos usandoel metodo de la regla de oro de Fermi y una descripcion tri-dimensional de las estados cuanticos electronicos. En el casode puntos cuanticos acoplados el comportamiento de las ta-sas es complicado por el hecho que dos escalas de longitud(la dimension de cada punto y la dimension de los puntosacoplados como un todo) juegan un papel importante. En es-te trabajo, se calcula la tasa de dispersion considerando lainteraccion electron-fonon LA por el mecanismo de poten-cial de deformacion y variando el parametro de acoplamiento

cuantico de dos puntos cuanticos acoplados. En particular,se estudia las transiciones electronicas inducidas por fononesLA en dos puntos cuanticos auto-ensamblados identicos deInAs, los cuales estan separados por una barrera de GaAs, te-niendo en cuenta tanto las transiciones en el planoxy comoen la direccion de acoplamientoz.

2. Teorıa

Se considera una estructura compuesta de dos puntoscuanticos (forma cilındrica) auto-ensamblados verticalmen-te identicos de InAs separados por una barrera de GaAs. Elpotencial de confinamiento es modelado como un pozo do-ble en la direccion z [10], formado por una diferencia deenergıas en la banda de conduccion Vo, mientras que en elplanoxy es considerado un confinamiento parabolico bidi-mensional [11]. Nosotros solo consideramos la tasa de dis-persion electron-fonon LA porque las energıas de transicionconsideradas son un orden de magnitud mas pequenas que laenergıa de un fonon longitudinaloptico (LO) [3, 4], por lotanto la interaccion electron-fonon LO via el HamiltonianoFrohlich no es efectiva.

La tasa de dispersion es calculada usando la regla de orode Fermi

τ−1i→f =

2π

~∑

q

| 〈ψf |W |ψi〉 |2δ(Ef − Ei ± Eq)

×[nB(Eq, Tl) +

12± 1

2

], (1)

donde la interaccion W , en terminos del factor de forma delelectron-fononΛ(q), esta dado por

W = Λ(q)e∓iqr . (2)

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El signo− (+) se refiere a emision (absorsion) de fononespor un electron en el estado inicialψi. La suma se extiendesobre todos los vectores de ondaq. La ocupacion termica defonones de energıa Eq y temperatura de la redTl esta dadopor la funcion de distribucion de Bose-EinsteinnB . El aco-plamiento de los electrones a fonones LA considerando elpotencial de deformacionD esta descrito por

Λe−LA(q) =

√~q

2ρcsD , (3)

asumiendo una dispersion isotropica del fononωq = csq. Pa-ra los estados electronicos dados anteriormente, los elemen-tos matriciales son

〈ψi| eiqr |ψf 〉 = M (xy)(qxy)M (z)(qz) . (4)

Para un pozo de potencial de barreras infinitas (Vo →∞),el terminoM (z)(qz) ya ha sido previamente calculado porPrice [12], quien muestra que el cuadrado del elemento ma-tricial decrece rapidamente paraqz > 2π/Lz. Esto reflejaun comportamiento general de la interaccion electron-fonon:El acoplamiento es debil cuando en cierta direccion la longi-tud de onda del fonon es pequena conparada con la variacionespacial de de la funcion de onda del electron. Una expre-sion para el elemento matricial en la direccion z puede serhallada tomando en cuenta un pozo de potencial de paredesfinitas [13]. El vector de onda del fonon escrito en cordenadasesfericas esq = q(cos φ sin ϑ, sin φ sin ϑ, cosϑ). El elemen-to matricial en el planoxy es el siguiente

M (xy)(qxy, n,m, n′,m′) = 〈n,m| eiqxyr |n′,m′〉 . (5)

La sustitucion de las Ecs. (2)-(5) en la Ec. (1) da

τ−1i→f =

D2q3o

4πρ~c2s

[nB(Eq, Tl) +

12± 1

2

]

×∫ π/2

0

dϑ sin ϑ|M (z)(qo cos ϑ)|2

× |M (xy)(qo sin ϑ, ni,mi, nf , mf )|2 , (6)

dondeqo = |Ei − Ef |/(~cs). La Ec. (6) describe la disper-sion del electron en presencia de un confinamiento espaciallateral.

3. Resultados

Para un mejor entendimiento de las contribuciones a la ta-sa de dispersion de las diferentes componentes de la matrizde dipersion se grafica en la Fig. 1 el elemento matricialM (z) = 〈φz| eiqo cos ϑz |φz〉 = 〈+| eiqo cos ϑz |+〉 para dospuntos cuanticos acoplados en funcion delanguloϑ para di-ferentes valores de la enegıa de la transicion.

FIGURA 1. Componente enz de la matriz de dispersion para dospuntos cuanticos acoplados como funcion delanguloϑ para valo-res de energıa de transicion de: 1, 2, 3 y 4 meV. En la direccion zlos dos puntos son identicos de ancho 4 nm y la separacion de lospuntos es 8 nm.B = 0.

FIGURA 2. Componente en el planoxy de la matriz de dispersionpara dos puntos cuanticos acoplados como funcion del anguloϑpara valores de energıa de transicion de: 1, 2, 3 y 4 meV. En ladireccion z los dos puntos son identicos de ancho 4 nm y la sepa-racion de los puntos es 8 nm.B = 0.

La Fig. 1 se muestra el elemento matricial para valoresde energıa de 1, 2, 3 y 4 meV. Para valores grandes de∆Ey valores pequenos deϑ se observa queM (z) va desapare-ciendo. Tambien se observa que la componentez de la matrizde dispersion tiene un comportamiento oscilatorio. Cuandoϑ = π/2 ≈ 1.57, M (z) es igual a uno y se verifica que lafuncion de onda en la direccionz esta normalizada. La alturade la barrera de potencialVo es716.9 meV . Las masas efec-tivas del electron en los pozos (InAs) y el las barreras (GaAs)son 0.023mo y 0.063mo, respectivamente, dondemo es lamasa del electron en el vacıo.

La Fig. 2 muestra la componente en el plano dela matriz de dispersion, es decir, el elemento matricialM (xy)(qo sin ϑ, 0, 0, 1,−1) de la Ec. (5). La Fig. 2 muestra elelemento matricial para valores de energıa de 1, 2, 3 y 4 meV.A diferencia de la componente enz, en el planoxy la proba-

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FIGURA 3. Tasa de dispersion τ−1 de un electron asistido por unfonon LA para dos puntos cuanticos acoplados como funcion de laenergıa de la transicion∆E igual a la energıa de confinamiento pa-rabolico ~ωo. El campo magnetico es ceroB = 0. Los dos puntosson identicos, con un ancho de4 nm y la separacion de los puntoses: 8 nm, 6 nm, 4 nm y 2.1 nm.

FIGURA 4. Componente enz de la matriz de dispersion para dospuntos cuanticos acoplados como funcion del anguloϑ para tresvalores de separacion de los puntos: 8, 6 y 4 nm. En la direccionz los dos puntos son identicos de ancho 4 nm y el campo magneti-co es ceroB = 0. La transicion considerada es:|−, 1,−1〉 →|+, 1,−1〉.

bilidad de emision desaparece para valores grandes de∆E yϑ. Paraϑ = 0, la funcion M (xy) es igual a cero debido a laortogonalidad de los estados.

En la Fig. 3 se muestra la tasa de dispersion τ−1 de unelectron como funcion de la energıa de la transicion ∆Eigual a la energıa de confinamiento parabolico ~ωo paraun sistema conformado por dos puntos cuanticos acoplados.Se presenta la transicion entre los estados de Fock-Darwin|1,−1〉 → |0, 0〉.

En la curva de la Fig. 3, se observa que cuando la energıade la transicion, es decir, la energıa del fonon emitido es muypequena, τ−1 decrece debido al termino proporcional aqo

de la Ec. (6). Para el lımite opuesto, cuando la energıa de la

transicion es grande, la longitud de las oscilaciones del fononllegan a ser mas pequenas que la escala de longitud tıpica dela funcion de onda del electron τ−1 tambien decrece. Para laregion intermedia, la curva oscila y el patron de las oscilacio-nes depende de la geometrıa del sistema [5]. Si la distanciaentre puntos incrementa, la distancia en energıas entre maxi-mos decrece y el numero de oscilaciones aumenta, con picosde intensidad tales que la curva de los puntos acoplados es laenvolvente de la curva de un solo punto. El patron de oscila-ciones es el resultados de la descripcion de los estados per-fectamente coherentes, en situaciones reales, las oscilacionesserıan afectadas por acoplamiento con grados de libertad ex-ternos durante la preparacion del estado.

En la Fig. 4 se grafica la componente enz de la matriz dedispersion para dos puntos cuanticos acoplados como funciondel anguloϑ para tres valores de separacion de los puntos: 8,6 y 4 nm. A diferencia de la Fig. 1 la transicion considera-da en este caso es:|−, 1,−1〉 → |+, 1,−1〉. Es decir, que latransicion ocurre del estado antisimetrico, de alta energıa, alestado simetrico de mas baja energıa. No hay transicion enel planoxy. El interes por esta transicion esta en parte co-nectada con la demanda de tunelamiento coherente entre dospuntos para la implementacion de compuertas cuanticas ba-sadas en isoespın [14], y con el diseno de dispositivos laserde cascada hechos de puntos cuanticos [7]. La funcion de on-da de los fonones emitidos es controlada en este caso por laenergıa de tunelamiento la cual puede ser cambiada con laseparacion entre puntos. En la Fig. 4 se observan oscilacio-nes, las cuales a medida que disminuye la barrera tambiendisminuye la distancia entre los picos. El mınimo valor parael elemento matricial sucede aangulos pequenos y barrerasgrandes. Enϑ = π/2, el elemento matricial es cero debi-do a la ortogonalidad de los estados, es decir, debido a que〈+| −〉 = 0.

FIGURA 5. Componente en el planoxy de la matriz de dispersionpara dos puntos cuanticos acoplados como funcion del anguloϑpara tres valores de separcion entre puntos: 8 nm, 6 nm y 4 nm.La energıa de confinamiento en el plano es~ωo = 1 meV. Losparametros y a transicion considerada son los mismos de la Fig. 4.

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FIGURA 6. Tasa de dispersion τ−1 de un electron asistido por unfonon LA para dos puntos cuanticos acoplados como funcion dela separacion de los puntosb. ~ωo = 1 meV. Los parametros sepresentan en la leyenda de la Fig. 4.

En la Fig. 5 se muestra la componente en el planoxy dela matriz de dispersion para dos puntos cuanticos acopladoscomo funcion delanguloϑ para tres valores de separcion en-tre puntos: 8nm, 6 nm y 4 nm. En la direccion z los dospuntos son identicos de ancho4 nm y el campo magneticoes ceroB = 0. La transicion considerada es la misma de laFig. 4. Se observa que la componente en el plano decae fuer-temente paraangulos grandes y barreras pequenas. Aϑ = 0el elemento matricial es uno debido a la ortonormalidad delas funciones de onda, es decir,〈1,−1| 1,−1〉 = 1.

En la Fig. 6 se muestra la tasa de dispersion τ−1 de unelectron asistido por un fonon LA para dos puntos cuanticosacoplados como funcion de la separacion de los puntosb. LaFig. 6 muestra que la tasa de dispersion depende fuertementede la separacion entre puntos. Para esta transicion solo unaspocas oscilaciones son observadas, esto es debido al cambia

de la energıa de tunelamiento, la cual hace que la longitud deonda del fonon varıe exponencialmente conb.

Las oscilaciones de las tasas de dispersion observadas te-niendo en cuenta transiciones en la direccion de acoplamien-to, las cuales no se dan en puntos acoplados lateralmente [15],permiten reducir dramaticamente el tiempo de decoherenciaen estos dispositivos. Por esta razon, los puntos acopladosverticalmente presentan una gran ventaja para implementarcompuertas cuanticas.

4. Conclusiones

Se calculo la tasa de dispersion considerando la interaccionelectron-fonon LA por el mecanismo de potencial de defor-macion y variando el parametro de acoplamiento cuanticode dos puntos cuanticos acoplados. Se estudiaron las tran-siciones electronicas inducidas por fonones LA en dos pun-tos cuanticos auto-ensamblados identicos de InAs, los cualesestan separados por una barrera de GaAs, teniendo en cuen-ta tanto las transiciones en el planoxy como en la direccionde acoplamientoz. Para transiciones entre estados de Fock-Darwin, se encontraron oscilaciones de las tasas de disper-sion en funcion de la separacion entre los niveles. Si la dis-tancia entre puntos incrementa, la distancia en energıas entremaximos decrece y el numero de oscilaciones aumenta. Pa-ra transiciones entre el estados simetrico y antisimetrico enla direccion z, se observa que la tasa de dispersion dependefuertemente de la separacion entre puntos. Se presentan unaspocas oscilaciones que permiten reducir dramaticamente eltiempo de decoherencia e implementar compuertas cuanticasen estos dispositivos.

Agradecimientos

Este trabajo ha sido financiado por COLCIENCIAS.

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