Barquisimeto, 09 Noviembre 2013

INTEGRANTESRangel, Luis

Pérez, JoséPinto Herling

Urdaneta, Ariadny

¿Cómo utilizar tu revista digital?

Esta revista posee material teórico – práctico sobre los tópicos que se refieren a las aplicaciones de la derivada.

Primeramente debes leer los contenidos teóricos con los ejemplos allí explicados, debes comprenderlo a total cabalidad, para luego pasar a las secciones de ejercicios prácticos, donde los temas se encuentran mezclados.

La teoría allí manejada se encuentra plasmada de la manera mas sencilla y fresca posible, que le permite al estudiante comprender un poco mejor los temas que aprende de los libros de texto.

No queda más nada que invitarte a estudiar este tema, el cual es muy interesante ya que plasma las verdaderas aplicaciones de uno de los contenidos más estudiados en calculo….LA DERIVADA…

1. Máximos y mínimosEn muchos casos de la vida cotidiana nos toca enfrentarnos a problemas

donde deseamos maximizar o minimizar una función, por ejemplo, un granjero puede necesitar escoger la mezcla de cultivos que sea la más apropiada y que genere la mayor ganancia, o un medico puede necesitar conocer la mínima cantidad de una droga para curar una enfermedad.

En todos estos casos, los métodos de cálculo proporcionan una herramienta poderosa para resolver el problema.

Para conseguir los puntos máximos y mínimos de una función, se realizan los siguientes pasos:

1. Se encuentran los puntos críticos de f en el intervalo dado, lo cual se logra sacando la derivada, y observando para que valores de x la misma es cero, asimismo los extremos del intervalo dado también son puntos críticos.

2. Luego cada uno de estos puntos críticos se evalúan en la función original, la imagen que sea mayor corresponderá al máximo de la función, y la que sea menor corresponderá al mínimo de la función.

Ejemplo 1:

Sea , determinar el punto máximo y el punto mínimo de

esta función en el intervalo [-1/2 , 2].

Siguiendo los pasos anteriormente explicados, primero calculamos la derivada de la función:

Al sacar factor común 6x tenemos:

Por ende los puntos críticos de la función son x=0 y x=1, así como también los extremos x=-1/2 y x=2.

NOTA: Si los puntos críticos obtenidos se encuentran fuera del intervalo especificado, los mismos se deben descartar.

Luego siguiendo el paso 2, debemos evaluar estos dos números en la función original, así:

De los resultados anteriormente obtenidos, se puede apreciar que el valor máximo que alcanza la función es 1, el cual se alcanza en x=1 y x=-1/2, y el valor mínimo de la función es -4 el cual se alcanza en x=2.

Ejemplo 2

Determinar los valores máximo y mínimo de en el intervalo

La derivada de la función es: , para que esta función sea cero,

el sen(x) debe ser igual a ½, en el intervalo dado los únicos valores que

satisfacen esa condición son y .

Tomando en cuenta los valores donde la derivada es cero, y los extremos del

intervalo dado, los puntos críticos de la función serán , , y

.

Al sustituir estos valores de x en la función original tenemos que:

Por lo tanto, la función alcanza un valor máximo de 8.28 cuando x=2π, y alcanza una valor mínimo de -5.14 cuando x =-π

2. Monotonía y concavidadAl momento de observar la grafica de una función, se puede observar

fácilmente donde esta es creciente o decreciente, así como también podemos determinar visualmente donde la misma es cóncava hacia abajo, o donde es cóncava hacia arriba. Sin embargo, al no conocer la gráfica de una función, existen herramientas matemáticas que me permiten saber estos hechos, las mismas están basadas en las derivadas de una función, y forma parte de las aplicaciones de la derivada.

Teorema de la monotonía:

Si f es continua en un intervalo I, y es derivable en todo punto de I, entonces:

1. Si f´(x)>0, para toda x en I, entonces f(x) es creciente en I2. Si f´(x)<0, para toda x en I, entonces f(x) es decreciente en I

Una manera más sencilla de interpretar este teorema es a través de los siguientes pasos:

1. Hallar la derivada de la función, y encontrar los puntos críticos.2. Establecer intervalos entre estos puntos críticos.3. Evaluar la derivada en el interior de estos intervalos.4. Donde la derivada de un numero positivo la función es creciente, si

por el contrario arroja un numero negativos es decreciente.

Ejemplo 1

Sea , hallar donde f es decreciente y donde f es

creciente.

Utilizando los pasos explicados previamente:

1. La derivada de la función es , al utilizar la ecuación

de segundo grado podemos determinar que la derivada se hace cero en x=-1 y en x=2.

2. Estos puntos críticos dividen el eje de las x en 3 intervalos, como se muestra a continuación:

3. Luego debemos evaluar la derivada en cualquier número que se encuentre internamente en cada intervalo.

a. En el intervalo 1 evaluaremos en el número más cercano al extremo x=-2, así f’(-2)=24, por tanto la derivada es positiva.

b. En el intervalo 2 evaluaremos en el cero, el cual es el número más sencillo de evaluar y se encuentra dentro del intervalo, así f´(0)=-12, la derivada en este intervalo es negativa.

c. En el intervalo 3, evaluaremos en x=3, así f´(3)=24, la derivada en este intervalo es positiva.

4. Luego aplicando el teorema tenemos que:

a. En el intervalo 1 (-∞,-1), la función es creciente ya que la derivada es positiva.

b. En el intervalo (-1,2), la función es decreciente ya que la derivada es negativa.

c. En el intervalo (2,+∞), la función es creciente ya que la derivada es positiva.

-∞ +∞ -1 2

Intervalo 1 Intervalo 2 Intervalo 3

Teorema de la concavidad

Sea f dos veces derivable en un intervalo I

1. Si f´´(x)>0 en toda x en I, entonces la función es cóncava hacia arriba.2. Si f´´(x)<0 en toda x en I, entonces la función es cóncava hacia abajo

La explicación de este teorema es similar al de la monotonía, solo que hay que derivar dos veces, así al seguir los siguientes pasos se tiene una idea más clara de cómo saber la concavidad de una función:

1. Hallar la derivada de segundo orden la función, y encontrar los puntos donde esta se hace cero.

2. Establecer intervalos entre estos puntos encontrados.3. Evaluar la derivada de segundo orden en el interior de estos

intervalos.4. Donde la derivada de un numero positivo la función es cóncava hacia

arriba, si por el contrario arroja un numero negativos es cóncava hacia abajo.

Ejemplo 2: Determinar los intervalos donde es cóncava hacia arriba

o hacia abajo.

Utilizando los pasos explicados previamente:

1. La derivada de primer orden de la función es: ; así la

derivada de segundo orden de la función es . Como el

denominador siempre será positivo solo se necesita resolver el

numerados, los puntos donde se hace cero esta derivada son x=0, x=

y x=-

2. Estos puntos dividen el eje x en 4 intervalos como se observa en la siguiente figura:

3. Al evaluar la segunda derivada en números que se encuentren dentro en cada intervalo, se determino que f´´(x) es positiva en los intervalos 2 y 4, y es negativa en los intervalos 1 y 3.

4. Así podemos concluir que la función es cóncava hacia arriba en los intervalos 2 y 4 y es cóncava hacia abajo en los intervalos 1 y 3.

Ejercicio de Aplicación

Una caja de cartón se fabrica con una pieza de cartón la cual tiene 24 cm de largo por 9 cm de ancho, de la misma se cortan cuatro cuadro idénticos a partir de las cuatro esquinas y se doblan los lados hacia arriba como se muestra en la siguiente figura.

Intervalo 1

Intervalo 2 Intervalo 3

-∞ +∞ 0

Intervalo 4

Determinar las dimensiones de la caja de volumen máximo, ¿Cuál es este volumen?

El volumen de una caja rectangular es igual a V=l1*l2*h, donde l1 y l2 son los dos lados del rectángulo de abajo, y h es la altura de la caja, para este ejercicio queda de la siguiente manera:

Donde l1=24-2x, l2=9-2x, y h=x, así la formula nos queda:

El lado más pequeño de la caja es 9-2x, como esta expresión no puede ser mayor que 9 ya que no quedaría material, el valor máximo que puede tomar x es 4.5, así como el valor mínimo es cero ya que las dimensiones no pueden ser negativas, es por ello que debemos buscar el máximo de esta función en el intervalo [0,4.5]

Para conseguir el máximo debemos primer conseguir los números críticos, para ello derivamos la función, lo cual nos queda:

Por ende, los números críticos son x=9, y x=2, pero como x=9 no está en el intervalo vemos que solo hay 3 puntos críticos x=0, x=2, x=4.5

Ahora debemos evaluar la ecuación original del volumen en los tres puntos:

Por lo tanto el volumen máximo es 200 , y con x =valor de 2cm las

dimensiones de la caja para este volumen máximo son

Ejemplo 2

Un granjero tiene 100 metros de cerca de alambre, con la cual planea construir dos corrales adyacentes, ¿Cuáles son las dimensiones máximas de estos corrales?

Sea “x” el ancho y “y” el largo del área toral encerrada, ambas en metros, tenemos que

Por otro lado, el área total del cuadrado está dada por:

Como deben haber 3 lados del corral con longitud x, quiere decir que el máximo valor de x es 100/3 y el mínimo valor es 0 ya que las dimensiones no pueden ser negativas, así que buscaremos el máximo de la función en el intervalo [0,100/3]

Al derivar la función tenemos;

Cuando igualamos a cero la derivada del área, tenemos que x =50/3, así que existen tres puntos críticos x=0, x=50/3 y x=100/3 al evaluar en la función del área tenemos:

Así que las dimensiones deseadas para maximizar los corrales son, x=50/3=16.67 metros y y=25 metros.