Revisión de Sistema de Control para una Mesa Vibratoria de Simulación de Sismos

JUAN SEBASTIÁN RASSA ROBAYO

Proyecto de grado para optar por el título de: Ingeniero Electrónico

Asesor Ing. Mauricio Duque Escobar, Phd

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGIENIERÍA

BOGOTÁ D.C. 2014

LISTA DE FIGURAS

Figura 1: Estructura del sistema…………………………………………………………………………………………..……..…4 Figura 2: Diagrama de bloques del sistema físico [4]………………………………………………………………..…..4 Figura 3: Imagen del sistema [4]……………………………………………………………………………………………........5 Figura 4: Imagen interacción mesa vibratoria [4] ………………………………………………………………………...5 Figura 5: Diagrama esquema de control con GPC ………………………………………………….....................10 Figura 6: Diagrama de bode del sistema en lazo abierto……………………………………………………………..11

Figura 7: Señal de entrada a la mesa vibratoria en el tiempo……………………………………………………….12

Figura 8: Comportamiento en frecuencia de señal de entrada…………………………………………………….12

Figura 9: Comportamiento en dominio del tiempo señal de salida……………………………………………...13

Figura 10: Polos del sistema identificado…………………………………………………………………………………….14

Figura 11: Respuesta en frecuencia del sistema identificado……………………………………………………….14

Figura 12: Espectro del ruido del sistema identificado…………………………………………………………………15

Figura 13: Respuesta en el dominio del tiempo del sistema en lazo cerrado, señal escalón………..16 Figura 14: Señal de entrada y salida en el dominio de la frecuencia (Hz), señal escalón………………16 Figura 15: Respuesta en el dominio del tiempo del sistema en lazo cerrado: sismo de UMBRIA…17 Figura 16: Señal de entrada y simulación en el dominio de la frecuencia (Hz)…………………………….17 Figura 17: Respuesta en el dominio del tiempo del sistema en lazo cerrado: sismo EL CENTRO….18 Figura 18: Señal de entrada y simulación en el dominio de la frecuencia (Hz)…………………………….18

DEDICATORIA

A mi familia que siempre creyó en mí. A mis abuelitos que nunca me dejaron solo. Y a mis compañeros electrónicos, que si algo aprendí de ellos, fue como vivir.

TABLA DE CONTENIDO

1. INTRODUCCIÓN…………………………………………………………………………………………..……..…1 2. OBJETIVOS ……………………………………………………………..…………………………………………….2 3. DESCRIPCIÓN DE LA PROBLEMÁTICA Y JUSTIFICACIÓN DEL TRABAJO……………………2 4. MARCO TEÓRICO…………………………………………………………………………………………………..3 5. CARACTERIZACIÓN DEL SISTEMA EN LAZO ABIERTO…………………………………………….10 6. RESULTADOS………………………………………………………………………………………………………..14 7. CONCLUSIONES…………………………………………………………………………………………………….18 8. REFERENCIAS………………………………………………………………………………………………………..19 9. APÉNDICE……………………………………………………………………………………………………………..20 10. ANEXO………………………………………………………………………………………………………………….22

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1 INTRODUCCIÓN

Un sismo es uno de los eventos más corrientes de la naturaleza. Diariamente se registran cientos de sismos, la mayoría de muy baja intensidad. Cada año algunos sismos de mayor dimensión causan graves daños y pérdidas de vidas humanas. Si bien la ciencia cada vez entiende mejor su origen y puede estimar el nivel de riesgo de cada región, así como la magnitud del sismo esperado y alguna idea de su frecuencia, saber con alguna exactitud cuando sucederá no está al alcance de la ciencia. Si bien el riego que representa un sismo no puede ser modificado, si la vulnerabilidad al mismo, pues los daños ocasionados sí pueden ser reducidos mediante el uso de los materiales adecuados y realizando las construcciones de forma adecuada. La simulación de un evento sísmico es de gran utilidad para realizar pruebas sobre las propiedades de las estructuras y de esta forma analizar algunas características importantes para la ingeniería civil como la elasticidad de los materiales y la resistencia de la estructura, entre otras [1]. Con este fin existen algunos simuladores de sismos que permiten observar la respuesta de los modelos de construcciones a estos eventos. La universidad de los Andes cuenta con una mesa vibratoria que permite la simulación de sismos. En la tesis de maestría presentada por el Ingeniero Juan Manuel Chaparro1 “Diseño e Implementación de un Sistema de Control para una Mesa Vibratoria de Simulación de Sismos”, se desarrolla un modelo físico para explicar el comportamiento en frecuencia de la mesa vibratoria que tiene actualmente el Departamento de Ingeniería Civil de la Universidad de los Andes. Esta mesa permite simular un sismo utilizando una edificación modelo de hasta 10 toneladas. El modelo físico del comportamiento de esta mesa vibratoria, la cual es movida por un servo hidráulico, está basado en el trabajo de De Negri [2] para el modelo de los mecanismos servo-hidráulicos, y en las ecuaciones presentadas en Maldonado y Chio Cho [3] para el modelaje de la interacción entre la mesa y la estructura modelo. La mesa vibratoria utiliza un esquema de control que permite obtener resultados más cercanos a los sismos que se desean simular, con respecto al sistema en lazo abierto. En este trabajo se evalúa la posibilidad de utilizar un sistema de control distinto, al analizar en la práctica el comportamiento de la mesa vibratoria. De esta forma se busca confirmar si este cambio permitiría una mejor simulación de los sismos, especialmente en el rango superior de las frecuencias, donde los movimientos no son del todo tenidos en cuenta por el sistema de control utilizado actualmente. En este trabajo, se realizó el diseño de un controlador predictivo generalizado para el Sistema de mesa vibratoria de simulación de sismos que se encuentra localizada en el Departamento de Ingeniería Civil de la Universidad de los Andes. A partir de unos datos

1 CHAPARRO FONSECA, Juan Manuel. Diseño e Implementación de un Sistema de Control para una Mesa Vibratoria de

Simulación de Sismos. Bogotá, 2009, 100 p., Tesis (Magister en Ingeniería Electrónica y Computadores. Universidad de los Andes. Facultad de Ingeniería. Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electrónica.

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obtenidos de unas pruebas realizadas sobre la mesa vibratoria se obtuvo una función de transferencia, mediante la herramienta Ident® de Matlab®, para posteriormente diseñar el sistema de control y evaluar si el sistema es capaz de replicar la señal sísmica que se desee sobre la mesa vibratoria. El análisis se realizó tanto en el dominio del tiempo como de la frecuencia. Finalmente, se muestran los resultados obtenidos y se analiza el desempeño del controlador en tiempo y en frecuencia.

2 OBJETIVOS

2.1 Objetivo General

Entender el comportamiento de la mesa vibratoria utilizada actualmente en la Universidad de los Andes para posteriormente diseñar un sistema de control utilizando Matlab®, e implementarlo utilizando la herramienta Simulink®. De esta forma se quiere determinar si es conveniente implementar otro tipo de sistema de control para la mesa vibratoria que se está utilizando para la simulación de eventos sísmicos.

2.2 Objetivos Específicos

Entender el modelo físico que determina la función de transferencia en lazo abierto de la mesa vibratoria.

Encontrar un nuevo modelo de la mesa utilizando una nueva muestra de datos.

Diseñar el esquema de control propuesto utilizando un controlador tipo control predictivo generalizado (GPC) para el modelo encontrado.

Probar el controlador y ajustarlo en MATLAB® y SIMULINK® para analizar su desempeño.

2.3 Alcance

Con el fin de entender el modelo teórico encontrado por Juan Manuel Chaparro [4], se desarrolló un programa que permite obtener los diagramas de Bode del sistema en lazo abierto, y el ancho de banda del sistema en función de la masa del modelo. Posteriormente, se utilizaron unos datos tomados del funcionamiento de la mesa vibratoria para encontrar la función de transferencia del sistema y desarrollar un sistema de control, con el fin de replicar los sismos de forma adecuada. Con base en estos programas computacionales, y comparando la respuesta tanto en tiempo como en frecuencia, finalmente se concluye.

3 DESCRIPCIÓN DE LA PROBLEMÁTICA Y JUSTIFICACIÓN DEL TRABAJO

Dado que los terremotos son factores naturales que no permiten predecir la intensidad y el momento exacto en el que sucederán, estos no pueden ser prevenidos o detenidos. Sin embargo, su daño en las estructuras sí puede ser estudiado y minimizado, aunque depende de algunos factores que no pueden ser controlados como la magnitud y localización del sismo, la duración del movimiento del suelo y el tipo del suelo. El daño a

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las estructuras también depende de otros factores controlables en el momento del diseño de las edificaciones como los materiales y el tipo de construcción. Debido a lo anterior, se necesitan estructuras como la mesa vibratoria que tiene el Departamento de Ingeniería Civil de la Universidad de los Andes para poder simular los eventos sísmicos y estudiar la respuesta de distintas construcciones a estos. Actualmente, esta es la única mesa en Latinoamérica de este tipo aunque a nivel internacional se han realizado distintos proyectos para la simulación de sismos. La mesa vibratoria utilizada actualmente por la Universidad de los Andes permite la simulación de características cercanas a la realidad como una duración de los terremotos de hasta 50 segundos y con un desplazamiento horizontal de hasta 60 centímetros. Este trabajo se realiza con el fin de diseñar un sistema de control basado en una función de transferencia identificada a través de una nueva prueba de datos.

4 MARCO TEÓRICO

4.1 Señales Sísmicas

En un terremoto, se lleva a cabo una liberación de energía ante la reorganización de las placas tectónicas. En este se distingue el hipocentro que es la zona del origen del terremoto, y el epicentro, el área de la superficie perpendicular al hipocentro. Durante un terremoto se transmiten ondas al interior de la tierra que se conocen como ondas centrales o de cuerpo con bajo poder destructivo y se dividen en primarias (P) y secundarias (S). También se transmiten ondas en la superficie que generan los mayores efectos y se dividen en Rayleigh y Love. En general las ondas de propagación de los sismos tienen un ancho de banda de entre 1Hz y 30Hz; el rango de frecuencias de mayor interés para el sistema de control es entre 0.1 y 10Hz, debido a que las ondas sísmicas de frecuencias que se encuentran en este rango son las que generan mayores daños a las estructuras2.

4.2. Sistema Mesa Vibratoria

La mesa vibratoria utilizada actualmente por la Universidad de los Andes, permite reproducir un terremoto en una dimensión por medio del desplazamiento de la mesa sobre la cual se encuentra un modelo, con el fin que este se someta a dinámicas similares a las que observaría la edificación en la vida real. Esta permite un desplazamiento máximo de 60 cms en las dos direcciones, el máximo movimiento que se ha tenido para un sismo, pesa 10 toneladas y tiene una capacidad para modelos estructurales entre 2.5 y 5 toneladas.

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http://upcommons.upc.edu/pfc/bitstream/2099.1/10676/7/Mem%C3%B2ria_V.pdf

4

En la figura1 se puede observar el esquema del simulador, el cual utiliza un sistema de control para replicar el desplazamiento sísmico deseado (se desea mover la mesa con el modelo de una forma proporcional a la señal de referencia aplicada). Inicialmente se trató que el desplazamiento deseado ocurriera mediante una entrada de un voltaje proporcional al sismo replicado, pero posteriormente se concluyó que a pesar que existía un modelo para obtener la función de transferencia del desplazamiento con respecto al voltaje de entrada, era necesario un sistema de control con el fin de lograr mayor precisión en la simulación del sismo.

figura 1: Estructura del sistema

Este sistema, cuya estructura física se puede observar en la figura 2, está compuesto por los siguientes elementos físicos: un cilindro hidráulico, una válvula proporcional, una bomba hidráulica, un sensor de desplazamiento, y el modelo estructural. La imagen del sistema se puede observar en la figura 3.

figura 2: Diagrama de bloques del sistema físico3

3 Fuente: Chaparro [4]

Fuente de Potencia

Hidráulica

Servo válvulaActuador

Hidráulico Mesa Vibratoria

Sensor Magneto resistivo

Presión

Voltaje Control

Voltaje Sensor

Desplazamiento

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figura 3: Imagen del sistema4

El funcionamiento de la mesa se da de la siguiente forma: por medio de un sistema de control se acciona una válvula hidráulica que contiene un pistón que genera el movimiento. Este sistema utiliza la señal del movimiento que se ha programado y transforma la señal del computador en una señal eléctrica que se encarga de controlar la apertura de la válvula, lo que se traduce en el movimiento que se le aplica a la mesa. Cuando la mesa está en movimiento el sistema obtiene el desplazamiento y el algoritmo de control realiza las correcciones pertinentes para asemejar el movimiento real de la mesa al movimiento que se requiere para cada ensayo.

4.4. Modelo Mesa Vibratoria

4.4.1 Interacción Mesa Vibratoria con Modelo Estructural no Rígido

figura 4 : Imagen interacción mesa vibratoria5

En la figura 4 se puede observar el modelo de esta interacción. Un pistón actúa con una fuerza Fc sobre una masa Ma, sobre la que se encuentra una masa Mb (que equivale al modelo utilizado). El sistema tiene un resorte con una rigidez k [kg/cm] y un amortiguamiento viscoso con una constante c [kg*s/cm]. Este sistema, de acuerdo a Maldonado y Chio Cho [3], se puede solucionar como un oscilador simple y de esta forma encuentran la siguiente función de transferencia (en el dominio de la frecuencia) del desplazamiento dada la fuerza aplicada por medio del pistón:

4 Fuente: Chaparro [4]

5 Fuente: Chaparro [4]

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( )

donde las variables corresponden a : X: desplazamiento de la mesa. Pc: presión ejercida por el pistón. : área anular del pistón C: coeficiente de amortiguamiento del modelo (la estructura a la que se simulará el sismo) K: coeficiente de elasticidad del modelo (la estructura a la que se simulará el sismo)

4.4.2 Sistema Servo-hidráulico

En la interacción de este sistema, de acuerdo al trabajo del Ingeniero Juan Manuel Chaparro 6, se plantea una ecuación del principio de continuidad en los flujos en el sistema hidráulico y una ecuación que relaciona los movimientos en los distintos componentes. Inicialmente plantean la ecuación de la conservación de la masa para un volumen controlado que se especifica dentro del sistema. El volumen es controlado y debe permanecer constante en el sistema, por lo que cuando aumenta o disminuye la superficie, el volumen cambia en esa sección pero se mantiene constante para el sistema. La ecuación resultante del sistema hidráulico es la siguiente:

donde Qvc se refiere al volumen aplicado para el movimiento del cilindro. La siguiente ecuación relaciona el flujo que existe en la servo-válvula. Este control depende del movimiento interno de la válvula, de la presión que se aplica al cilindro para cada simulación en particular y de coeficientes característicos de la válvula que se emplea:

4.4.3 Función de Transferencia en Lazo Abierto

Se añade la siguiente la función de transferencia del desplazamiento del pistón con respecto al voltaje aplicado, que De Negri [1] representa como un sistema de segundo orden:

6 CHAPARRO FONSECA, Juan Manuel. Diseño e Implementación de un Sistema de Control para una Mesa Vibratoria de

Simulación de Sismos. Bogotá, 2009, 100 p., Tesis (Magister en Ingeniería Electrónica y Computadores. Universidad de los Andes. Facultad de Ingeniería. Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electrónica.

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z y wn fueron calculadas a partir de la respuesta en frecuencia de la servoválvula. Finalmente, el Chaparro [4] encuentra la siguiente función de transferencia de lazo abierto para el sistema:

[ ]

[

] [

]

Donde:

Wn: frecuencia corte servoválvula. : Ganancia de flujo de la válvula. : Ganancia flujo-presión de la válvula. Ma: Masa de la mesa Mb: Masa del modelo : área anular del pistón : Coeficiente compresibilidad, relaciona la masa del fluido con la presión en cilindro hidráulico : Volumen total en cilindro hidráulico. Z: Coeficiente de amortiguamiento crítico de la respuesta en frecuencia de la servoválvula.

4.5. Controlador tipo GPC

En este tipo de controlador, se utiliza un modelo para predecir la secuencia futura de la señal a controlar. El modelo utilizado es un modelo auto regresivo que incluye un integrador, dado que utiliza polinomios de rezago, y se denomina CARIMA (Controlled Auto-regressive and moving-Average model). Este tipo de control permite estabilizar los procesos en caso que los datos de la identificación del sistema permitan una identificación razonable del mismo [7]. La representación utilizada es la siguiente [9]:

)()1(

111 k

qCkuqBkyqA

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donde u(k) corresponde a la señal de control y corresponde a una secuencia de ruido blanco (observaciones no correlacionadas). Por otra parte, A, B y C corresponden a polinomios (estables) de rezago, motivo por el cual el modelo tiene un integrador implícito. Estos polinomios tienen la siguiente forma:

7 D.W. Clarke, C. Mohtadi, and P.S. Tuffs. “Generalized Predictive Control PartI. The Basic Algorithm”. Automatica.

Vol.23, No. 2, 1987. pp. 137-148

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Para calcular la ley de control, se obtiene un predictor j pasos adelante, y dado que se conoce la secuencia de referencias futuras (w+k), la señal de control se obtiene de minimizar la siguiente función de costo seleccionando el horizonte y un parámetro ponderador:

{ ∑ [ ]

∑ [ ]

}

donde:

- N1 es el número de retardos que el sistema debe controlar - N2 el tiempo de respuesta deseado de la planta en malla cerrada - La secuencia de permite obtener una secuencia de ponderación en el horizonte

deseado. - y(k-j) es la predicción de la variable y j pasos adelante en el tiempo k. - w(k-j) es la trayectoria futura de referencia j pasos adelante en el tiempo k.

El objetivo del diseño es el cálculo de la secuencia de control futura, con el fin de minimizar la función de costo mencionada anteriormente, de tal forma que la trayectoria esperada del sistema se desvié lo menos posible de la trayectoria de referencia. La predicción optima de la señal y, j pasos adelante, con la información en el instante k se puede escribir de la siguiente forma:

y(k+j/k) = Gju(k+j-1) + Fjy(k)

con

Vectorialmente esta ecuación es equivalente a:

Donde:

[ ] [ ]

[ ] [ ]

De acuerdo a [7] la estructura de la matriz G es una triangular inferior de la forma:

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[

]

Adicionando la siguiente definición:

[ ] La ecuación de costo se puede escribir de la forma:

{ }

Minimizando la expresión anterior se obtiene:

Dado que el primer elemento de es u(k), la señal de control a aplicar es:

donde es la primera columna de

Para la elección del horizonte de predicción, en [6] se recomienda que este sea al menos igual al orden de la planta. Adicionalmente, en [7] se sugiere que el factor de ponderación sea cercano a cero. Finalmente, se debe resaltar que el uso de este tipo de controlador tiene algunas ventajas como:

- Sistema robusto a cambios en los parámetros. - Señal de control que utiliza una mayor cantidad de información (utiliza el horizonte

deseado de la señal del sismo.

Con el fin de implementar el GPC en Simulink®, se encontró una versión polinomial equivalente en tres polinomios (anticipación (T), cascada(S) y Realimentación (R)). Para esto se utilizó la siguiente función diseñada por el Ingeniero Mauricio Duque [9]: [R,S,T]=gpc_rst(A,B,N1,N2,Nu,lambda,int). En esta función A y B corresponden a la numerador y denominador de la función de transferencia en tiempo discreto respectivamente.N1, N2, Un y lambda fueron descritos anteriormente, mientras que el parámetro int se refiere al número de integradores del sistema de control. Esta función realiza el procedimiento mencionado anteriormente y encuentra unos polinomios R, S y T. La siguiente grafica muestra el diagrama del sistema de control utilizado en este trabajo:

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figura 5: Diagrama esquema de control con GPC

En la parte de los resultados se señalan los parámetros utilizados y los polinomios R, S y T obtenidos.

5 Caracterización del Sistema en Lazo Abierto

En esta sección, se presenta la caracterización del sistema en lazo abierto.

5.1. Caracterización del Sistema con el Modelo Teórico

Tomando como referencia los valores señalados en el trabajo de Chaparro [3], y en el caso en el que la masa de la mesa vibratoria y del modelo tienen un peso de 15 toneladas de forma conjunta, se parte del siguiente modelo para la posición en función de la fuerza ejercida por el pistón:

Para obtener el ancho de banda, fue necesario quitar el integrador de la función de transferencia. Para hacer esto, primero se obtuvieron las raíces del polinomio del denominador. Posteriormente, se construyó un polinomio para el denominador de la función de transferencia a partir de las raíces encontradas previamente, pero sin tener en cuenta el integrador. Después de hacer esto, se verificó que la función de transferencia fuera plana en la parte inicial con el fin de tomar un valor de referencia y evaluar la frecuencia en la cual la ganancia se reduzca en 3dB. En la figura 6, se observa el diagrama de bode de la función de transferencia con el procedimiento mencionado anteriormente; el ancho de banda encontrado de este modelo es de 44Hz.

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figura 6: Diagrama de bode del sistema en lazo abierto

5.2. Caracterización del Sistema con los datos tomados

Con el fin de encontrar la función de transferencia de la mesa vibratoria utilizando datos tomados en lazo abierto utilizando el software Labview®, se tomaron datos con una señal de entrada tipo PRBS. A continuación se puede observar la señal de entrada:

figura 7: Señal de entrada a la mesa vibratoria en el tiempo

La señal observada anteriormente tiene tendencia ya que la posición x=0 de la válvula fue distinta a la mitad de la mesa. Por otra parte, a continuación se muestra el comportamiento en frecuencia de la señal de entrada, la cual se encuentra concentrada principalmente entre 0 y 10 Hz.

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figura 8: Comportamiento en frecuencia de señal de entrada

Sobre los datos utilizados para encontrar la función de transferencia, se debe resaltar que se utilizó una señal tipo PRBS con un tiempo de muestreo de 0.001 segundos y no se utilizaron entradas sinodales dado que cada señal sinodal solo tiene una frecuencia, a diferencia de las señales tipo PRBS. Por otra parte, la señal de posición de la mesa vibratoria de salida (que también tiene una tendencia) se muestra en la figura 9. La tendencia en la señal de salida no solo obedece a la tendencia de la señal de entrada, sino al hecho que intuitivamente en caso que se mantuviera una señal constante de entrada, la salida debería tener una deriva (motivo por el cual la función de transferencia encontrada debe tener un integrador):

figura 9: Comportamiento en dominio del tiempo señal de salida

Utilizando la herramienta Ident, se realizó el siguiente procedimiento: inicialmente se ingresaron las señales de entrada y de salida del sistema. Teniendo en cuenta que el sistema teórico presenta 5 polos, se pidió a la herramienta que obtuviera la función de transferencia para 4, 5 y 6 polos. Posteriormente se escogió la función de transferencia que tuviera el mejor ajuste, al tiempo que tuviera un polo en 1, que implica que esta tiene

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un integrador. De esta forma se encontró la siguiente función de transferencia para el sistema:

La herramienta logró un ajuste del 71% de la entrada con este modelo. En la siguiente grafica se muestran los polos del sistema:

figura 10: Polos del sistema identificado

Como se observa en la figura 10, existe un polo en 1, por lo cual se confirma que el sistema tiene un integrador. Como se mencionó anteriormente, esto era de esperarse en el comportamiento del sistema. Finalmente, como se puede observar en la figura 11, el sistema identificado tiene una respuesta en frecuencia diferente a la que presenta el modelo teórico. Se debe mencionar que el diagrama de bode de este sistema, se realizó con el mismo procedimiento que se hizo con el modelo teórico, removiendo primero el integrador. Como resultado de esto, se encontró que el ancho de banda de este sistema es de 9.9Hz.

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figura 11: Respuesta en frecuencia del sistema identificado

Finalmente, se presenta el ruido del sistema identificado. Como se puede observar en la figura 12, el espectro del ruido es constante y se encuentra en frecuencias bastante bajas:

figura 12: Espectro del ruido del sistema identificado

6 Resultados

En el diseño del sistema de control, se tuvieron en cuenta las recomendaciones mencionadas anteriormente y se realizaron pruebas con distintos valores para los distintos parámetros. Las pruebas buscaron que la correlación entre la serie de entrada y la salida del sistema tuviera el mayor valor posible, además observando que no existiera una pérdida de amplitud importante en la salida del mismo. Los valores de las distintas variables se probaron en los siguientes rangos:

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- Se probó N1 entre 1 y 3. - Se probó N2 entre 5 (el orden del sistema) y 10. - Se probó Nu entre 1 y 5. - Se probó con lambda entre 10 y 0. - El parámetro de integrador se probó en 1 y 0.

Finalmente, con los criterios mencionados anteriormente, se tomaron los valores: N1=1, N2=5, Nu=2, lambda=0 e int=0. Con estos valores, los polinomios R, S y T calculados por la función y utilizados en el diagrama descrito en la figura 5, fueron los siguientes:

Después de calcular el controlador tipo GPC, se realizaron algunos ejercicios con el fin de verificar si el sistema podría seguir la señal de entrada con el fin de realizar una simulación adecuada de los sismos. Los ejercicios fueron realizados para varios sismos, distintas señales y distintos tiempos de muestro que se detallan en esta sección. Señal escalón Inicialmente, se comprobó el funcionamiento del sistema con una señal de entrada escalón con un tiempo de muestreo de 0.01 segundos. Como se puede observar en las figuras 13 y 14, el sistema logra capturar de una forma adecuada los sismos, tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia.

figura 13: Respuesta en el dominio del tiempo del sistema en lazo cerrado, señal escalón

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figura 14: Señal de entrada y salida en el dominio de la frecuencia (Hz), señal escalón

Sismo de UMBRIA En la siguiente figura, se muestra los resultados para la simulación del sismo de UMBRIA, que presenta un tiempo de muestreo de 0.01 segundos. Como se puede observar la simulación de control fue apropiada.

figura 15: Respuesta en el dominio del tiempo del sistema en lazo cerrado: sismo de

UMBRIA Por otra parte, como se puede observar en la figura 16, la respuesta en frecuencia también parece ser similar, concentrada entre 0 y 5 Hz:

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figura 16: Señal de entrada y simulación en el dominio de la frecuencia (Hz)

Sismo El Centro

De igual forma, en la siguiente figura, se muestra los resultados para la simulación del sismo de El Centro, que presenta un tiempo de muestreo de 0.01 segundos. Como se puede se realiza un seguimiento de la señal con un error pequeño, y la respuesta en frecuencia es bastante similar (figura 18).

figura 17: Respuesta en el dominio del tiempo del sistema en lazo cerrado: sismo de EL

CENTRO

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figura 18: Señal de entrada y simulación en el dominio de la frecuencia (Hz)

7 Conclusiones

En este trabajo se encontró una función de transferencia para la mesa vibratoria, basada en una nueva toma de datos. Dadas las características de la planta, en las cuales ante una señal constante de entrada se daría un movimiento constante de la mesa, esta tiene un integrador; esto fue verificado mediante la función de transferencia encontrada, la cual tiene un polo en 1. Adicionalmente, se comparó esta función de transferencia con la teórica hallada en [4] y se encontró que presentan diferencias importantes (el ancho de banda del modelo teórico fue de 44 Hz mientras que el del modelo identificado fue de 9.9Hz) aunque se debe resaltar que en la toma de datos de este trabajo se utilizó un tiempo de muestreo menor (0.001 segundos vs. 0.01 segundos utilizados en el trabajo anterior). Por este motivo, sería recomendable adaptar el sistema de control a lo encontrado con funciones de transferencia halladas en la práctica. Utilizando la función de transferencia encontrada mediante la herramienta Ident, se calculó un sistema de control tipo GPC, que tuvo un funcionamiento óptimo y logró seguir el perfil de los sismos simulados. En cuanto a la posibilidad de utilizar la aceleración como referencia en lugar de la señal de posición, se considera que el sistema funciona adecuadamente, por lo cual no es necesario este cambio; además, el efecto derivador de la función de transferencia podría tener consecuencias negativas como la amplificación del ruido en el sistema, a pesar que los sismógrafos permiten obtener muestras directamente sobre la aceleración. Dado lo anterior, se concluye que el sistema en lazo cerrado tiene resultados satisfactorios para las pruebas realizadas. Como se mencionó en el marco teórico, las frecuencias más dañinas en los sismos, y en las cuales se tiene mayor interés en simular son menores a 10 Hz, en las cuales se observaron resultados óptimos. Como se observó en la respuesta en frecuencia del sistema y en las señales de entrada, el ancho de banda del sistema parece

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optimo, ya que la mayor magnitud de las componentes frecuenciales se ubican entre 0 y 10 Hz. Finalmente, se podría concluir que la implementación de un sistema de control basado en un modelo teórico y no en los datos observados puede traer problemas en los resultados de las simulaciones de los sismos. El modelo teórico lo obtuvo Chaparro [4] en 2009, con base en suposiciones de algunas idealidades, aproximaciones de las curvas de respuesta teóricas de la servo válvula con base en información del fabricante, y asumiendo valores típicos en algunos coeficiente.

8 Referencias

[1] C. Mehmet. Real-Time Seismic Monitoring of the Cape Girardeau Bridge and Preliminary Analyses of Recorder data: An Overview. Earthquake Spectra. Volume 22, No 3. Pag 609-630. August 2006.

[2] De Negri, Victor Juliano. Sistemas Hidraulicos e Pneumaticos para Automacao e Controle. Florianopolis, Marco de 2001. [3] Maldonado Rondón Esperanza, Chio Chio Gustavo. Dinámica Estructural. Bucaramanga Colombia : Universidad Industrial de Santander, Escuela de Ingeniería Civil. 202p. [4] CHAPARRO FONSECA, Juan Manuel. Diseño e Implementación de un Sistema de Control para una Mesa Vibratoria de Simulación de Sismos. Bogotá, 2009, 100 p., Tesis (Magister en Ingeniería Electrónica y Computadores. Universidad de los Andes. Facultad de Ingeniería. Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electrónica.

[5] Ahmad’Athif Mohd Faudzi, Nu’man Din Mustafa, Khairuddin bin Osman, M. Asyraf Azman, Koichi Suzumori, GPC Controller Design for an Intelligent Pneumatic Actuator, Procedia Engineering, Volume 41, 2012, Pages 657-663, ISSN 1877-7058, .

[6] D.W. Clarke, C. Mohtadi, and P.S Tuffs. “Generalized Predictive Control.Part I. The basic Algorithm”. Automatica. Vol. 23, No. 2.1987. pp. 137-148.

[7] V. Boom and J.T., “Model based predictive control”. Delf University. 1996.

[8] D.W. Clarke, C. Mohtadi, and P.S. Tuffs. “Generalized Predictive Control PartI. The Basic Algorithm”. Automatica. Vol.23, No. 2, 1987. pp. 137-148 [9] M'Saad, M., Duque, M. (1989). "Example applications of the partial state model reference adaptive design technique." International Journal of Adaptive control and signal processing pp. 155-165.

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9 Apéndice

9.1. Conceptos Físicos8

Rigidez

El concepto de rigidez hace referencia a la relación entre la deformación que sufre un cuerpo y las fuerzas externas que generan la deformación. En el caso de un resorte, asumiendo un extremo como fijo, se define la rigidez como:

Donde P hace referencia a la fuerza externa aplicada al cuerpo y u al desplazamiento. Amortiguamiento Viscoso

El amortiguamiento se refiere a la perdida de energía cinética de un cuerpo cuando viaja dentro de un fluido, debido a la oposición al movimiento ante la viscosidad del fluido. La relación matemática está dada por:

Donde Fa se refiere a la fuerza aplicada por el amortiguador, c a una constante y x a la velocidad relativa en los extremos del amortiguador.

Elasticidad

La elasticidad se define como la capacidad de un material de volver a su dimensión o forma original después de aplicarle una fuerza externa o distorsionarlo. Existen materiales con relación directa entre esfuerzo y deformación que se conocen como linealmente elásticos, otros con relación diferente conocidos como no linealmente elásticos, y los inelásticos que son los materiales que se deforman permanentemente.

9.2. Tipo de Señales Sísmicas

Primaria Las ondas primarias (p) son ondas longitudinales, estas ondas viajan a través de cualquier material y las placas se comprimen y se dilatan durante la onda. Son ondas casi dos veces más rápidas que las secundarias.

8 Basados en: Chaparro [4]

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Secundaria Las ondas secundarias (S) son ondas en las que el suelo se desplaza perpendicularmente con respecto a la dirección en la que se propaga la onda. Solo pueden viajar a través de sólidos, tienen mayor amplitud que las ondas P y presentan mayor intensidad en la superficie. Rayleigh La tierra posee una superficie libre que permite que se propaguen ondas de manera similar a las ondas que se generan en la superficie del agua. Su máxima amplitud es en la superficie y a mayor profundidad va decreciendo. Love Estas ondas se generan en un cuerpo formado por capas diferentes, se propagan perpendicularmente a la dirección de la onda pero únicamente en la superficie y su amplitud disminuye con la profundidad.

9.3. Descripción de los Componentes Físicos del Sistema

Cilindro Hidráulico En los sistemas hidráulicos la energía es transmitida a través de tuberías. Esta energía depende del caudal y la presión que circula en el sistema. De acuerdo a lo anterior el cilindro es el dispositivo más común utilizado para convertir la energía hidráulica en energía mecánica. Los cilindros hidráulicos obtienen su energía de un fluido hidráulico que actúa bajo presión, y está conformado por dos piezas que son un cilindro y un pistón o émbolo. Servo Válvula Las servo-válvulas se utilizan para controlar el flujo o la presión de fluido que va hacia un motor hidráulico para poder controlar el movimiento. Se usan para aplicaciones industriales y para pruebas con equipos pesados. Estas válvulas ofrecen una presión de salida proporcional a la corriente o voltaje de entrada y generalmente son usadas en aplicaciones que requieren de precisión y respuesta rápida. Bomba Hidráulica Es una máquina que transforma la energía con la que se acciona en energía hidráulica del fluido que contiene. El fluido puede ser un líquido común o una mezcla heterogénea entre líquidos y sólidos. El movimiento se genera al crear una diferencia de presión entre dos puntos por compresión, succión, empuje entre otros.