Download - Resumen Métodos Numéricos_v5
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Resumen Mtodos Numricos aplicables en Simulacin de
procesos en estado estacionario
Modelamiento y simulacin
Ingeniera Metalrgica
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Tipos de Errores Criterios de Parada en Calculo numricos iterativos
Errores Experimentales. Sistemticos Asociados al sistema, sin
posibilidad de tratamiento estadstico.
Personales.
De escala.
Accidentales: Aleatorios, con posibilidad de tratamiento estadstico.
Modelamiento y simulacin
Ingeniera Metalrgica
Errores en manipulacin numrica
Redondeo. Truncamiento.
Calculo de Errores. Error verdadero o absoluto
Error verdadero o absoluto relativo
Error aproximado
Error aproximado relativo
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Solucin a las ecuaciones no lineales
Mtodos Cerrados
aprovechan el hecho de que una funcin cambia designo en la vecindad de una raz. A estas tcnicas seles llama mtodos cerrados, o de intervalos, porque senecesita de dos valores iniciales para la raz. Como sunombre lo indica, dichos valores iniciales debenencerrar, o estar a ambos lados de la raz.
La aplicacin repetida de estos mtodos siempregenera aproximaciones cada vez ms cercanas a laraz. Se dice que tales mtodos son convergentesporque se acercan progresivamente a la raz a medidaque se avanza en el clculo
Mtodos Abiertos
En contraste, los mtodos abiertos se basan en frmulasque requieren nicamente de un solo valor de inicio o queempiecen con un par de ellos, pero que nonecesariamente encierran la raz. stos, algunas vecesdivergen o se alejan de la raz verdadera a medida que seavanza en el clculo. Sin embargo, cuando los mtodosabiertos convergen, en general lo hacen mucho msrpido que los mtodos cerrados.
Modelamiento y simulacin
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Mtodos de Intervalos: El Mtodo de la biseccin
Problema: Anlisis Global del Mtodo
Modelamiento y simulacin
Ingeniera Metalrgica
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Condiciones de Entrada para la solucin del Mtodo
Aprox. Der 14
Aprox. Izq 2
Toleracia 0.0000001
N It permit. 100
Raiz real 7,145
Entradas =
= ||/
=
= | |/Condiciones para todos los mtodos.
Modelamiento y simulacin
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Resultados Excel - IteracionesIteracin Aprox. Raiz (pm) F(pm) Error Verd. E.Ver.Rel Eaprox. Eaprox. Rel
1 8,000 -3,300 -0,855 12,0% 8,000 100,0%
2 5,000 5,700 2,145 30,0% -3,000 60,0%
3 6,500 2,100 0,645 9,0% 1,500 23,1%
4 7,250 -0,375 -0,105 1,5% 0,750 10,3%
5 6,875 0,919 0,270 3,8% -0,375 5,5%
6 7,063 0,286 0,082 1,1% 0,188 2,7%
7 7,156 -0,041 -0,012 0,2% 0,094 1,3%
8 7,109 0,123 0,035 0,5% -0,047 0,7%
9 7,133 0,041 0,012 0,2% 0,023 0,3%
10 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,012 0,2%
11 7,150 -0,020 -0,006 0,1% 0,006 0,1%
12 7,147 -0,010 -0,003 0,0% -0,003 0,0%
13 7,146 -0,005 -0,001 0,0% -0,001 0,0%
14 7,145 -0,002 -0,001 0,0% -0,001 0,0%
15 7,145 -0,001 0,000 0,0% 0,000 0,0%
16 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%
17 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%
18 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%
19 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%
20 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%
21 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%
22 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%
23 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%
24 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%
25 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%
26 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%
Modelamiento y simulacin
Ingeniera Metalrgica
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Anlisis
12 3 4
1er intervalo
Modelamiento y simulacin
Ingeniera Metalrgica
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Anlisis
12 3 4
La naturaleza desigual del error verdadero se debe aque, en el mtodo de la biseccin, la raz exacta se
encuentra en cualquier lugar dentro del intervalo
cerrado.
Aunque el error aproximado no proporciona unaestimacin exacta del error verdadero, la figura sugiere
que toma la tendencia general descendente de .Adems, la grfica muestra una caracterstica muy
interesante: que siempre es mayor que . Por lotanto, cuando es menor que () los clculos se
pueden terminar, con la confianza de saber que la raz
es al menos tan exacta como el nivel aceptable
predeterminado.
Modelamiento y simulacin
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Naturaleza Desigual del Error Verdadero1-er iteracin
12 3 4
Modelamiento y simulacin
Ingeniera Metalrgica
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Naturaleza Desigual del Error Verdadero2-er iteracin
12 3
Se observa como entre la primera y lasegunda iteracin, el error verdadero
aumenta en magnitud.
Se calcula el error aproximado.
Modelamiento y simulacin
Ingeniera Metalrgica
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Naturaleza Desigual del Error Verdadero3-er iteracin
12 3
Se observa como entre la segunda yla tercera iteracin, el error verdadero
disminuye en magnitud.
El error aproximado se hace menoren magnitud en esta iteracin, y
mantiene la tendencia decreciente
uniforme, si el mtodo converge.
Modelamiento y simulacin
Ingeniera Metalrgica
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Anlisis
12 3 4
Es conveniente tambin relacionar los
errores con el nmero de cifras
significativas en la aproximacin.
Es posible demostrar (Scarborough, 1966)que si el siguiente criterio se cumple, se
tendr la seguridad que el resultado escorrecto en al menos n cifras significativas.
() = (. )%
Un ejemplo podra ser la determinacin de
el criterio mnimo que asegura que un
resultado sea correcto en al menos tres
cifras significativas:
() = (. )%
() = . %
O la cantidad de cifras significativas para que el error de
la iteracin 26, est representado por un nmero de
dgitos significativos al menos correcto:
De la formula anterior se despeja el numero n.
= (. )%
Por otro lado, tambin es posible Determinar a priori el numero de iteraciones para obtener un error deseado
Donde x= x nuevo x anterior
Caso de Investigacin: Minimizacin de las evaluaciones de una
funcin en el mtodo de la biseccin, e implementacin de algoritmos.
Modelamiento y simulacin
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Seudocdigo(Chapra & Canale)
Modelamiento y simulacin
Ingeniera Metalrgica
Definicin de variables y tipo.
Inicializacin del contador de iteraciones.
Estructura de control Iterativa
Almacenamiento del calculo anterior.Calculo de la nueva aproximacin.
Estructura de control selectiva, calculo del error
aproximado relativo porcentual.
Evaluacin del cambio de signo.
Estructura de control selectiva, asignacin del nuevo
intervalo.
Cierre del ciclo.
Inicio del ciclo
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El Mtodo de la Falsa Posicin
Problema: Anlisis Global del Mtodo
https://www.youtube.com/watch?v=jDdaI4D6Qrw
Intervalo inicial
A
B
aa'
b
b
Semejanza de tringulos
=
()
=
()
()
()
Despejando la aproximacin a la raz:
= ()()
=()
() +
()
()
Modelamiento y simulacin
Ingeniera Metalrgica
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El Error verdadero en el mtodo de la falsa posicin
En este mtodo se obtiene una idea ms completa de la
eficiencia de los mtodos de biseccin y de falsa posicin
al observar la figura, donde se muestra el error relativo
porcentual verdadero para una funcin determinada f(x) .
Observe cmo el error decrece mucho ms rpidamente
en el mtodo de la falsa posicin que en el de la
biseccin, debido a un esquema ms eficiente en elmtodo de la falsa posicin para la localizacin de races.
Modelamiento y simulacin
Ingeniera Metalrgica
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Iteracin Aprox. Raiz (pm) F(pm) Error Verd. E.Ver.Rel Eaprox. Eaprox. Rel
1 3,786 7,296 3,359 47,0% 3,786 100,0%
2 5,270 5,184 1,874 26,2% 1,485 28,2%
3 6,212 2,932 0,933 13,1% 0,941 15,2%
4 6,710 1,453 0,435 6,1% 0,498 7,4%
5 6,949 0,674 0,196 2,7% 0,239 3,4%
6 7,058 0,303 0,087 1,2% 0,109 1,5%
7 7,106 0,134 0,038 0,5% 0,049 0,7%
8 7,128 0,059 0,017 0,2% 0,021 0,3%
9 7,137 0,026 0,007 0,1% 0,009 0,1%
10 7,141 0,011 0,003 0,0% 0,004 0,1%
11 7,143 0,005 0,001 0,0% 0,002 0,0%
12 7,144 0,002 0,001 0,0% 0,001 0,0%
13 7,144 0,001 0,000 0,0% 0,000 0,0%
14 7,144 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%
15 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%
16 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%
17 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%
18 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%
19 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%
20 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%
21 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%
22 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%
23 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%
Se llega a calcular la raz con un numero de
iteraciones menor , en comparacin con el mtodo de
la biseccin, el error aproximado relativo continua
siendo mayor al error verdadero relativo, siendo este
ultimo regular un su tendencia decreciente.
Modelamiento y simulacin
Ingeniera Metalrgica Para el problema
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Seudocdigo del mtodo de la falsa posicin(Chapra & Canale)
Modelamiento y simulacin
Ingeniera Metalrgica
FP
FP
()
() +
()
()
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Mtodo de la Falsa Posicin modificado
Si f(x) es cncava entre xa y xb se dice que elmtodo es estacionario (su cambio es lento
en funcin del numero de iteraciones); esto
es, el punto xb es siempre uno de los dos
puntos usados para la siguiente iteracin
Lo mismo ocurrira si fuese convexa en las inmediaciones de la raz, provocando una
convergencia lineal en estos casos.
Una forma de disminuir la naturalezaunilateral de la falsa posicin consiste en
obtener un algoritmo que detecte cuando se
estanca uno de los lmites del intervalo. Siocurre esto, se divide a la mitad el valor de lafuncin en el punto de estancamiento.
Modelamiento y simulacin
Ingeniera Metalrgica
2 it.1 it.
3 it.
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Algoritmo de la Falsa Posicin modificado Variacin Illinois
Modelamiento y simulacin
Ingeniera Metalrgica
Deteccin de la Estacionariedad del mtodo,
contador de la repeticin del extremo del intervalo. El
mtodo se modifica cuando se detectan dos o mas
repeticiones.
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Mtodo de la Falsa Posicin modificado Algoritmo Illinois
Modelamiento y simulacin
Ingeniera Metalrgica
1 it. 2 it.
2 repeticiones
2 repeticiones
3 it. 4 it. 5 it.
Divisin de f(b) por 2
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Aceleradores de Convergencia pegaso e Illinois
Una mejora que lo hace ms eficiente consiste en aplicar la frmula:
xr =f(a)
f a f(b)b +
f(b)
f b f(a)a
a los puntos xi - 1 y xi + 1 , pero reemplazando
Yi-1 por yi-1, tal que 0 < < 1
De modo que:
xr =f(a)
f a f(b)b +
f(b)
f b f(a)a
Si = 0.5 , el mtodo se denomina Illinois.
Si =
++1, el mtodo se denomina pegasus.
Modelamiento y simulacin
Ingeniera Metalrgica
Para el caso de la Estacionariedad en a.
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Se llega a calcular la raz con un numero de
iteraciones menor , en comparacin con el mtodo de
la falsa posicin, y los errores se minimizan.
Iteracin Aprox. Raiz (pm) F(pm) Error Verd. E.Ver.Rel Eaprox. Eaprox. Rel
1 5,109 5,499 2,036 28,5% 5,109 100,0%
2 6,923 0,759 0,221 3,1% 1,814 26,2%
3 7,165 -0,072 -0,020 0,3% 0,242 3,4%
4 7,154 -0,033 -0,009 0,1% -0,011 0,2%
5 7,149 -0,016 -0,005 0,1% -0,005 0,1%
6 7,147 -0,008 -0,002 0,0% -0,002 0,0%
7 7,146 -0,004 -0,001 0,0% -0,001 0,0%
8 7,145 -0,002 -0,001 0,0% -0,001 0,0%
9 7,145 -0,001 0,000 0,0% 0,000 0,0%
10 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%
11 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%
12 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%
13 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%
14 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%
15 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%
16 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%
17 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%
18 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%
19 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%
20 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%
Modelamiento y simulacin
Ingeniera Metalrgica Para el problema Implementacin acelerador de
Convergencia Illinois
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Mtodos Abiertos: El Mtodo de Newton Rhapson
Problema: Anlisis Global del Mtodo
https://www.youtube.com/watch?v=sjBXn10c5Ic
Modelamiento y simulacin
Ingeniera Metalrgica
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Mtodos Abiertos: El Mtodo de Newton Rhapson
Problema: Anlisis Global del Mtodo
Iteracin Aprox. Raiz (pm) F(pm) Error Verd. E.Ver.Rel Eaprox. Eaprox. Rel
1 15,833 -60,744 -8,689 121,6% 12,833 81,1%
2 10,243 -14,735 -3,099 43,4% -5,590 54,6%
3 7,939 -3,046 -0,794 11,1% -2,304 29,0%
4 7,270 -0,447 -0,125 1,8% -0,669 9,2%
5 7,159 -0,049 -0,014 0,2% -0,111 1,6%
6 7,146 -0,005 -0,001 0,0% -0,013 0,2%
7 7,145 -0,001 0,000 0,0% -0,001 0,0%
8 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%
9 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%
10 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%
11 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%
12 7,145 0,000 0,000 0,0% 0,000 0,0%
Modelamiento y simulacin
Ingeniera Metalrgica
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Mtodos Abiertos: El Mtodo de Newton Rhapson
Cdigo VBA
Funcin y Derivada programada en un modulo estndar.
Modelamiento y simulacin
Ingeniera Metalrgica
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Mtodos Abiertos: El Mtodo de Newton Rhapson
Drawbacks del Mtodo
Modelamiento y simulacin
Ingeniera Metalrgica
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Convergencia Orden de convergencia: En anlisis numrico la velocidad con la cual una sucesin converge a sulmite es llamada orden de convergencia. Este concepto es, desde el punto de vista prctico, muy importante si
necesitamos trabajar con secuencias de sucesivas aproximaciones de un mtodo iterativo. Incluso puede hacer la diferencia
entre necesitar diez o un milln de iteraciones
Modelamiento y simulacin
Ingeniera Metalrgica
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Sistemas de Ecuaciones linealesGauss-Seidel
Notacin de un sistema de ecuaciones lineales:
11313212111 ... cxaxaxaxa nn
2n2n323222121 cxa...xaxaxa
nnnnnnn cxaxaxaxa ...332211
. .
. .
. .
Modelamiento y simulacin
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Sistemas de Ecuaciones linealesGauss-Seidel
Caractersticas del mtodo iterativo de Gauss Seidel para solucionar sistemas de ecuaciones lineales :
1. Permite al usuario el control del error por redondeo, en comparacin con los mtodos LU y eliminacin gaussiana, los cuales son propensos a dicho error.
2. Si la fsica del problema es bien conocida, se puede estimar un vector inicial de condiciones, el cual
permita disminuir el numero de iteraciones, para obtener un resultado deseado.
Modelamiento y simulacin
Ingeniera Metalrgica
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Gauss-SeidelAlgoritmo
Re-escribiendo cada ecuacin
11
131321211
a
xaxaxacx nn
nn
nnnnnn
n
nn
nnnnnnnnn
n
nn
a
xaxaxacx
a
xaxaxaxacx
a
xaxaxacx
11,2211
1,1
,122,122,111,11
1
22
232312122
From Equation 1
From equation 2
From equation n-1
From equation n
Modelamiento y simulacin
Ingeniera Metalrgica
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Gauss-Seidel
Forma General del Metodo
11
11
11
1a
xac
x
n
jj
jj
22
21
22
2a
xac
x
j
n
jj
j
1,1
11
,11
1
nn
n
njj
jjnn
na
xac
x
nn
n
njj
jnjn
na
xac
x
1
Modelamiento y simulacin
Ingeniera Metalrgica
-
Gauss-Seidel
Algoritmo
Formula general para cualquier i
.,,2,1,1
nia
xac
xii
n
ijj
jiji
i
Donde y como puede utilizarse esta ecuacin ?
Modelamiento y simulacin
Ingeniera Metalrgica
-
Gauss-SeidelDespejar las incognitas
Vector de suposiciones inciales
n
1-n
2
1
x
x
x
x
Modelamiento y simulacin
Ingeniera Metalrgica
-
Gauss-Seidel
Calcule el error aproximado relativo
100
new
i
old
i
new
i
ia x
xx
Compare el error con la tolerancia y decida si continuar o
detener el algoritmo.
Modelamiento y simulacin
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Convergencia del Metodo de Gasuss SeidelGauss-Seidel
- Extendiendo el anlisis a los conceptos bsicos del algebra de matrices, se sabe que la clase de
sistemas de ecuaciones que siempre convergen, son aquellos que son diagonalmente dominantes;
entonces, un sistema es diagonalmente dominante si:
Es decir que el coeficiente de la diagonal principal debe ser mayor en magnitud que la suma de los
coeficientes que lo rodean en la fila correspondiente. Si el orden original no cumple con estas
condiciones, es posible re-ordenar filas por columnas y asegurar la convergencia del mtodo.
Para todo i y Para al menos un i
Modelamiento y simulacin
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Metodo de Gasuss Seidel
Modelamiento y simulacin
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Calculo de races de ecuaciones no lineales y sistemas de ecuaciones lineales con las herramientas Goal Seek
(Buscar Objetivo) , Solver y funciones matriciales en Microsoft Excel.
Modelamiento y simulacin
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-
Goal Seek (Buscar Objetivo)
Modelamiento y simulacin
Ingeniera Metalrgica
Calcular las races de la siguiente ecuacin : 23 42 + 1 = 0Para el intervalo [0;2.5]
Versin Excel 2007.
Parmetros de la Herramienta Goal Seek - Buscar Objetivo.
Versin Excel 2013.
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Goal Seek (Buscar Objetivo) Calculo de una sola raz
Modelamiento y simulacin
Ingeniera Metalrgica
23 42 + 1 = 0 Para el intervalo [0;2.5] Del anlisis grafico se observa que las races del polinomio se aproximan a los valores de 0,5 y 1.7 aproximadamente.
Modelo de calculo:
Celda objetivo: Valor deseado; como se desea
calcular la raz, la imagen de la raz es igual a cero, en
la funcin polinomica. (Debe contener la formula de la funcin)
Variable independiente:
La raz, calculada por la
herramienta.
Solucin.
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Solver de MsExcel : A diferencia de la funcin buscar objetivo, nos brinda la opcin de calcular todas las races bajo el mismo procedimiento de
calculo.
Modelamiento y simulacin
Ingeniera Metalrgica
Calcular la races de la siguiente ecuacin : 23 42 + 1 = 0Para el intervalo [0;2.5]
Activacin de la
herramienta en Excel.
-
Solver de MsExcel
Modelamiento y simulacin
Ingeniera Metalrgica
Calcular la raz de la siguiente ecuacin : 23 42 + 1 = 0 Para el intervalo [0;2.5]
Modelo de clculo (Estrategia)
Celdas con la funcin polinomica, correspondientes a
dos valores cercanos a las races.
Sumatoria de la columna.
Valores
aproximados a las races..
Se debe tener en cuenta que una de las races siempre ser menor que la otra en
este caso, de modo que adicionalmente el
modelo debe asegurar tal condicin, para
no se dupliquen los resultados
-
Solver de MsExcel
Modelamiento y simulacin
Ingeniera Metalrgica
Calcular la raz de la siguiente ecuacin : 23 42 + 1 = 0 Para el intervalo [0;2.5]
Modelo de clculo (Estrategia)
Se establece en la celda C2, que si el valor de la celda A1 es menor
que la celda A2, se imprima el numero 1, en caso contrario se imprima
el numero 2, en esta celda.
-
Solver de MsExcel
Modelamiento y simulacin
Ingeniera Metalrgica
Calcular la raz de la siguiente ecuacin : 23 42 + 1 = 0 Para el intervalo [0;2.5]
Modelo de clculo (Estrategia)
Se establece que el objetivo sea que la suma de los valores
anteriores (Imgenes de las aproximaciones) sea igual a cero.
Valor del objetivo.
Rango de valores a cambiar.
Restricciones: se obliga a que losvalores de la funcin sean iguales a
cero, variando los valores de la
aproximacin (celdas A1 y A2) , y
adicionalmente se obliga a que lacelda C2, siempre sea igual 1, o lo quendice que siempre el numero de la
celda A1 ser menor que el numero
calculado en la celda C2.
Resultados
-
Solucin de sistemas de Ecuaciones Lineales Herramienta
Solver
Modelamiento y simulacin
Ingeniera Metalrgica
Sea el siguiente sistema de ecuaciones:
Plantear un modelo en Solver para obtener la solucin del sistema de ecuaciones.
-
Solucin de sistemas de Ecuaciones lineales Herramienta
Solver
Modelamiento y simulacin
Ingeniera Metalrgica
Modelo planteado:
Igualacin de cada una de las
ecuaciones a cero.
Vector de trminos independientes.Matriz de coeficientes.
Vector supuesto inicial de
aproximaciones.
-
Solucin de sistemas de Ecuaciones Lineales Herramienta
Solver
Modelamiento y simulacin
Ingeniera Metalrgica
Modelo planteado:
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Solucin de sistemas de Ecuaciones Lineales Herramienta Solver
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Al resolver el modelo se obtienen los resultados:
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Solucin de sistemas de Ecuaciones Lineales Funciones Matriciales de Excel (Estrategia de resolucin)
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Sea el siguiente sistema de ecuaciones:
Y conociendo que un sistema matricial se puede representar de la forma:
axi = bEn donde a representa la matriz de coeficientes, xi las variables y b el vector de trminos
independientes.
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Solucin de sistemas de Ecuaciones Lineales Funciones Matriciales de Excel (Estrategia de resolucin)
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La solucin explicita para las variables puede expresarse como:
xi = (a1)b
Donde a-1, representa la matriz inversa de la matriz de coeficientes.
Representacin en Ms EXCEL de la
matriz de coeficientes y vector de
trminos independientes.
Vector de TI.
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Solucin de sistemas de Ecuaciones Lineales Funciones Matriciales de Excel (Estrategia de resolucin)
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Calculo de la matriz Inversa de coeficientes: Funcin MINVERSA(Rango)
Al presionar Enter, aparecer elresultado del primer elemento de la
matriz, (Tener en cuenta que la matriz
Inversa contiene el mismo numero de
elementos que la matriz decoeficientes
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Solucin de sistemas de Ecuaciones Lineales Funciones Matriciales de Excel (Estrategia de resolucin)
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Para extender los calculo de la matriz inversa, se extiende al rango total de la matriz y se
presiona la tecla F2 en el resultado obtenido :
Luego se debe presionar la combinacin de teclas CTRL+SHIFT+ENTER, que es como Excelinterpreta las ejecuciones matriciales
Matriz Inversa.
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Solucin de sistemas de Ecuaciones lineales Funciones Matriciales de Excel (Estrategia de resolucin)
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Luego creamos el vector de soluciones de las variables x1, x2 y x3:
Para obtener la solucin debemos MULTIPLICAR la inversa de la matriz de coeficientes por el
vector de trminos independientes, para ello empleamos la funcin MMULT(Matrices).
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Solucin de sistemas de Ecuaciones Lineales Funciones Matriciales de Excel (Estrategia de resolucin)
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Luego de oprimir la tecla ENTER y extender el resultado al todo el rango del vector solucin
(CTRL+SHIFT+ENTER), se pueden visualizar los resultados:
Valores que satisfacen el sistema de ecuaciones planteado.
x1 -0,426
x2 0,064
x3 0,128
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Ejercicios Sistemas de ecuaciones lineales(Resolver utilizando las herramientas vistas anteriormente)
Modelamiento y simulacin
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:
.
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Solucin de sistemas de Ecuaciones No lineales
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Expresin de una ecuacin lineal:
A las ecuaciones algebraicas y trascendentes que no se pueden expresar de esta forma se les llama ecuaciones no lineales. Ejemplos son:
Sistema de dos ecuaciones
no lineales con dosincgnitas.
Pueden
expresarsede la forma:
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Solucin de sistemas de Ecuaciones No lineales
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Mtodo de Newton Rhapson Generalizado para la solucin de sistemas de ecuaciones No
Lineales.
Mtodo de Newton Rhapson para una ecuacin: (Expansin de la serie de Taylor al segundo
trmino).
En donde f(xi+1)=0 (interseccin con el eje x), de modo que la ecuacin puede reescribirse como:
Aproximacin en el mtodo de Newton
Rhapson.
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Solucin de sistemas de Ecuaciones No lineales
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Mtodo de Newton Rhapson Generalizado para la solucin de sistemas de ecuaciones No
Lineales.
Para el caso de dos variables independientes , se extiende el mismo concepto que para una sola,
de modo que la serie de Taylor para mltiples variables , se puede escribir como:
:Serie de Taylor para
variable u.
Serie de Taylor para
variable v
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Solucin de sistemas de Ecuaciones No lineales
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En este caso las races se encontrarn para los valores de x y y, donde las funciones u(x,y) y
v(x,y) (Imgenes de las aproximaciones), son iguales a cero, de modo que:
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Solucin de sistemas de Ecuaciones No lineales
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Llegndose a obtener la expresin para el calculo de las aproximaciones +1 y +1
Determinante Jacobiano del sistema
de ecuaciones no lineal.
Aproximacin de x.
Aproximacin de y.
la aproximacin de Newton- Raphsonpuede diverger si los valores iniciales
no estn lo suficientemente cercanos a
la raz verdadera.
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Solucin de sistemas de Ecuaciones No lineales Herramienta
Solver
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Tambin es posible plantear un modelo o estrategia de resolucin de sistemas de ecuaciones no
lineales con la herramienta Solver de Excel, como veremos a continuacin para el siguiente caso:
Lo primero consiste en expresar el sistema de arriba, como:
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Solucin de sistemas de Ecuaciones No lineales Herramienta
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Tambin es posible plantear un modelo o estrategia de resolucin de sistemas de ecuaciones no
lineales con la herramienta Solver de Excel, como veremos a continuacin para el siguiente caso:
Lo primero consiste en expresar el sistema de arriba, como funcin de , de tal forma que:
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Solucin de sistemas de Ecuaciones No lineales Herramienta
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Luego se establece en Ms Excel el sistema de la siguiente forma:
La suma de cuadrados de las funciones u(x,y) y v(x,y)
garantiza que las celdas B3 y B4 sean siempre cero ynunca de igual dimensincon signo contrario.
Funcin v(x,y)
Funcin u(x,y)
Valores x y y; independientes.
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Solucin de sistemas de Ecuaciones No lineales Herramienta
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Modelo Solver:
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Resultados con Solver:
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Resolver el siguiente sistema de ecuaciones no lineal, con la ayuda de la herramienta Solver.