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Ecuaciones Diferenciales Conceptos Básicos Resumen Preparado por: Rosa De Peña Ecuación Diferencial: Es una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes. Ecuación Diferencial Ordinaria: Es una ecuación diferencial que contiene una sola variable independiente. Ej:

1) kAdtdA

−= 2) 062

2

=+− ydxdy

dxyd

Ecuación diferencial en derivadas parciales: Es una ecuación diferencial que contiene una o más de una variable independiente. Ej:

1) yxf 8=∂∂

2) xv

yu

∂∂

−=∂∂

Solución Particular de Ecuación Diferencial

Orden de una ecuación diferencial: Se define por la mayor derivada obtenida de la función primitiva. Ej:

xeydxdy

dxyd

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+ 36

5

3

3

Ecuación diferencial de orden tres o de tercer orden

Grado de una ecuación diferencial: Es el grado algebraico que se obtiene en la derivada de mayor orden de una ecuación diferencial. Ej:

xeydxdy

dxyd

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+ 36

5

3

3

Ecuación diferencial de primer grado

Forma implícita de una ecuación diferencial: F (x, y, y ’, y ’’, ..., y(n) ) = 0 Ej: 4x y ’ + y = x Forma explícita o normal de una ecuación diferencial: Dn y = f (x, y, y ’, y ’’, ..., y(n – 1))

Ej: xyxy

4' −=

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Ecuación Diferencial Lineal:

)()()(...)()( 01)1(

)1(

)1( xgyxAdxdyxA

dxydxA

dxydxA n

n

nn

n

n =++++ −

−

−

La variable dependiente y sus derivadas son de primer grado. Cada coeficiente solo depende de x. x es la variable independiente. Ej: 4xy’ + y = x Ecuación lineal respecto a y. Solución de una ecuación diferencial ordinaria: Es una función φ(x) definida en un intervalo I, que posee al menos n derivadas contínuas en I, que al sustituirse en una ecuación diferencial ordinaria de orden n la reducen en una identidad. Desprovista de derivadas o diferenciales y contiene un número de constantes esenciales atendiendo al orden de la ecuación diferencial que corresponde. Representa una familia infinita de curvas. Es decir, si F (x, y, y’, ..., y(n) ) = 0 y = φ(x) es solución en I. F (x, φ(x) , φ’(x), ..., φ(n)(x) ) = 0 ∀x ∈ I. Intervalo de definición: Intervalo de validez, intervalo de existencia. Es el dominio de la solución. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden y Primer Grado.

a) Ecuación Diferencial de Variables Separables.

)()( yhxgdxdy

=

b) Ecuaciones de la forma: )( CByAxGdxdy

++=

Mediante: z = Ax + By + C se logra la separación de variables.

c) Función homogénea. F ( t x , t y ) = t α f ( x, y ) α = Número real, f es una función homogénea de grado α. La ecuación diferencial: M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0

Es homogénea si N, M son funciones homogéneas del mismo grado. Mediante: y = v x ó x = v y se logra la separación de variables.

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d) Ecuación de coeficientes lineales

222

111

cybxacybxa

dxdy

++++

=

Cuando: d.1) c1 = 0 , c2 = 0 la ecuación es homogénea

d.2) kbb

aa

==2

1

2

1 la ecuación se resuelve mediante la

sustitución z = a1 x + b1 y + c1 ó z = a1 x + b1 y

d.3) 2

1

2

1

bb

aa

≠ para hallar la solución se hace una traslación de ejes

mediante x = u + h y = w + k

e) Diferencial total: z = f (x, y) ; dyyfdx

xfdz

∂∂

+∂∂

=

Ecuación Diferencial Exacta:

M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 . Es exacta si xN

yM

∂∂

=∂∂

F(x, y) = ∫ M ∂x + φ (y) = ∫ N ∂y + φ (x) = C φ (y), φ (x) son funciones a determinar. Ecuación Diferencial Inexacta:

xN

yM

∂∂

≠∂∂

; xy NM ≠

∫=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −dx

N

NM xy

ex)(µ ∫=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −dy

MMyN x

ey)(µ

Factor integrante es una función que transforma una ecuación diferencial inexacta en exacta.

)(xµ , )(yµ representan factores integrantes.

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f) Ecuación Diferencial Lineal:

A1 (x) dxdy

+ A0 (x) y = g (x) Es decir: e.1 ) dxdy

+ P (x) y = Q(x)

µ (x) = e ∫ P (x) dx µ (x) y = ∫ µ (x) Q(x) dx + C Solución de ecuación diferencial lineal e.1

e.2) dydx

+ P (y) x = Q(y)

µ (y) x = ∫ µ (y) Q(y) dy + C Solución de ecuación diferencial lineal e.2

Ecuación de Bernoulli:

1) dxdy

+ P (x) y = Q (x) yn siendo: n ≠ 0 ∧ n ≠ 1

2) dydx

+ P (y) x = Q (y) xn siendo: n ≠ 0 ∧ n ≠ 1

Aplicaciones Trayectorias Ortogonales: Dos familias infinitas de curvas definen trayectorias ortogonales si se cortan atendiendo a un ángulo de 900 a) Coordenadas rectangulares:

f (x, y, C ) = 0 ∧ g (x, y, k ) = 0 mf mg = -1

f ∧ g son ortogonales si mf es perpendicular a mg

b) Coordenadas polares:

f (r, θ, C ) = 0 ∧ g (r, θ, k) = 0 mf mg = -1

Tg ψ = r dθ dr

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Modelo matemático Es la representación de todas las características importantes de un sistema con el propósito de derivar las ecuaciones matemáticas que determinen su comportamiento. Debe incluir los mínimos detalles del sistema tal que dicho comportamiento pueda ser representado por una ecuación. Puede ser lineal o no lineal. Un modelo matemático permite soluciones rápidas y simples, sin embargo los modelos no lineales, revelan algunas veces ciertas características del sistema que los modelos lineales no proporcionan. La descripción matemática de un sistema o fenómeno se llama modelo matemático.. Con frecuencia podemos describir el comportamiento de algún sistema o ecosistema estudiando el crecimiento de las poblaciones de animales o podríamos tratar de fechar fósiles analizando la desintegración de una sustancia radiactiva o cualquier fenómeno de la vida real en términos matemáticos; dicho sistema puede ser físico, sociológico o hasta económico. La formulación de un modelo matemático de un sistema se inicia: 1) En un problema del mundo real, identificar las variables causantes del cambio del sistema. 2) Formular el modelo. Establecer un conjunto de hipótesis razonables que incluya todas las leyes empíricas aplicables al Sistema. Dado que las hipótesis acerca de un sistema implican con frecuencia la razón, o tasa, de cambio de una o más de las variables, el enunciado matemático de todas esas hipótesis es una o más ecuaciones donde intervienen derivadas. En otras palabras, el modelo matemático puede ser una ecuación o un sistema de ecuaciones diferenciales. 3) Resolver el modelo planteado. 4) Interpretar la conclusión matemática. Juzgamos que el modelo es razonable si su solución es consistente con los datos experimentales o los hechos conocidos acerca del comportamiento del sistema Si las predicciones que se basan en la solución son deficientes, podemos aumentar el nivel de resolución del modelo o elaborar hipótesis alternativas sobre los mecanismos de cambio del sistema; entonces, se repiten los pasos del proceso modelado.

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Crecimiento Demográfico KPdtdP

=

P(t) es la población de un país en cualquier momento t. k es una constante de proporcionalidad. dP/dt = tasa de cambio de la población (1/p) ( dp/dt) = tasa de crecimiento

Desintegración radiactiva Kmdtdm

= m(t) = es la masa restante a partir de una masa inicial de una sustancia después de un tiempo t -(1/m) (dm/dt) = tasa de desintegración relativa. La ley de la desintegración radiactiva predice el decrecimiento con el tiempo del número de núcleos de una sustancia radiactiva dada, que van quedando sin desintegrar. Ley de Newton del enfriamiento o calentamiento

)( mTTKdtdT

−=

T(t) representa la temperatura del objeto al tiempo t Tm es la temperatura constante del medio que lo rodea dT/dt es la razón con que la temperatura del cuerpo cambia k es una constante de proporcionalidad. Para calentamiento o enfriamiento, si Tm es constante es razonable suponer que k < 0.

Propagación de una enfermedad KXYdtdX

=

Denotemos con x (t) el número de personas que han contraído la enfermedad y con y (t) el número de personas que no ha estado expuesta, todavía, al contagio. La razón dx/dt a la que se propaga la enfermedad es proporcional al número de encuentros o interacciones entre estos dos grupos de personas. Sí suponemos que el número de interacciones es conjuntamente proporcional a x(t) y y(t) es proporcional a el producto xy. Siendo k la constante de proporcionalidad usual.

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Reacciones químicas KABdtdC

= En una reacción química elemental, las moléculas sencillas de dos reactivos A y B forman una molécula del producto C: A + B → C dC = K (A)( B) dt Si α y β son las cantidades de dos sustancias en t = 0 . Las cantidades instantáneas de A y B que no se han convertido en la sustancia C son (α – X ) y (β –X ), respectivamente. Por lo tanto, la rapidez de formación de C está dada por dX = k ( α - X ) (β - X ) dt 1

Drenado de un tanque

En hidrodinámica la ley de Torricelli: gyadtdv 2−=

y(t) = altura v(t) = volumen del agua en un tanque en un instante t. Se aplica si el agua se fuga por un agujero de area “a” que se encuentra en el fondo del tanque. g = aceleración debido a la gravedad. v =a y = el volumen de agua que sale del tanque Mezclas dA = Razón de entrada de solución – Razón de salida de solución = Ri - Ro La mezcla de dos soluciones salinas de distintas concentraciones, da lugar a una ecuacion de primer orden, que define la cantidad de sal que contiene la mezcla. Circuitos en serie Examinemos el circuito eléctrico simple: Que contiene una fuerza electromotríz (batería o generador) Produce un voltaje E(t) volts Con una corriente de I(t) amperes (A) en el instante t. Una resistencia de R ohms. Un inductor con una inductancia de L henrys (H). Según la segunda ley del Kirchhoff :

E(t) = L dtdI

+ R I

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Caída libre Mediante la segunda ley de Newton F = ma= m dv = mg - kv dt m es la masa del cuerpo. dv + k v = g dt m Ecuación Diferencial Lineal General: ⊗ L (y) = g (x)

Si g (x) = 0 entonces ⊗ es ecuación homogénea o ecuación reducida. La solución es: y = yc solución complementaria

Si g (x) ≠ 0 entonces ⊗ es ecuación no homogénea La solución es: y = yc + yp. Yp = solución particular. Si : L = An (x) Dn +A(n – 1)_(x) D(n – 1) + ... + A1 (x) D + A0 (x) La solución general de una ecuación diferencial homogénea es: Y = c1 y1 + c2 y2 + ... + cn yn Wronskiano: Considere funciones f1 (x), f2 (x), ..., fn (x) que poseen al menos (n – 1) derivadas. f1 f2 ... fn W (f1, f2, ..., fn) = f1’ f2’ ... fn’ . . . . . . . . . f1(n –1) f2(n – 1) fn(n – 1) Si w ≠ 0 entonces las funciones son linealmente independientes. Si w = 0 entonces las funciones son linealmente dependientes. Conjunto Fundamental de Soluciones: Son las soluciones de una ecuación diferencial homogénea y1, y2, ..., yn que existen en un intervalo I.

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A partir de ⊗ podemos formar la Ecuación Característica, Ecuación discriminante o Ecuación Auxiliar: An rn + A(n – 1) r(n – 1) + A(n – 2) r(n – 2) + … + A1r + A0 = 0 Si la ecuación auxiliar y posee raíces reales distintas su solución es: r x r x r x Y = C1 e 1 + C2 e 2 + ... + Cn e 3 Si la ecuación auxiliar posee “n” raíces reales repetidas su solución es: Y = [ C1 + C2x + ... + Cnx(n – 1) ] er x

Siendo n un número par. Si la ecuación auxiliar posee raíces complejas: Para un par conjugado: r1 = α + βi r2 = α - βi La solucion es : Y = eα x ( C1 cos β x + C2 sen β x ) Para todas las raices complejas repetidas, si la suma de constantes esenciales es igual a n, la solucion es : Y = e

α x [ (A0 + A1x + A2x2 + ... + A (m – 1) x (m – 1) ) cos βx + (B0 + B1x + B2x2 + … + B (m –1) x (m – 1)) sen βx ]

A partir de las series :

...

!3!2!11

32

++++=xxxex

...

!4!21cos

42

−+−=xxx

...

!5!3

53

++−=xxxsenx

Tenemos la fórmula de Euler: ei x = cos x + i sen x e – i x = cos x – i sen x

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Soluciones de Ecuación ⊗ . Ecuaciones No Homogéneas. Determinación de Solucion particular yp. a) Coeficientes Indeterminados: A partir de g (x) se puede usar siempre

que las derivadas de g(x) sean finitas o periódicas. g(x) = p (x) . sen Bx . eα x g(x) = p (x) . cos Bx, . eα x p(x) es un polinomio. P(x) = An xn + A (n – 1) x (n – 1) + ... + A1 x + A0

Yp se forma atendiendo al tipo de función de g(x). Tomando en cuenta la repetición de raíz que exista en g(x) y en la solución complementaria yc.

b) Variación de Parámetros: A partir de Yc, cambiando las constantes por parámetros Tenemos: Yp = µ 1 (x) y1 (x) + µ 2 (x) y2 (x) + ... + µ n (x) yn (x)

Construimos el sistema siguiente:

µ 1’ (x) y1 (x) + µ 2’ (x) y2 (x) + ... + µ n’ (x) yn (x) = 0

µ 1’ (x) y1’ (x) + µ 2’ (x) y2’ (x) + ... + µ n’ (x) yn’ (x) = 0 . . .

µ 1’ (x) y1(n-1) (x) + µ 2’ (x) y2

(n-1) (x) + ... + µ n’ (x) yn(n-1) (x) = g(x)

WWk

k ='µ k = 1, 2, ... , n dxWWk

k ∫=µ

c) Operadores. Método Abreviado.

1) f (D) (ea x y ) = ea x f (D + a) y 2) f (D 2) sen a x = f ( - a 2) sen a x 3) f (D 2) cos a x = f ( - a 2) cos a x

4) axax eaF

eDF

y)(

1)(

1== , F (a) 0≠

11

5) )()(

1)()(

122 baxsen

aFbaxsen

DFy +

−=+= , F( -a2 ) ≠ 0

6) )cos()(

1)cos()(

122 bax

aFbax

DFy +

−=+= , F( -a2 ) ≠ 0

7) mmm

m xDaDaDaaxDF

y )...()(

1 2210 ++++== , ao ≠ 0

8) VaDF

eVeDF

y axax

)(1

)(1

+==

9) { }

VDFDFV

DFXXV

DFy 2)(

)(')(

1)(

1−==

Ecuación de Cauchy – Euler: Es de la forma:

An xn n

n

dxyd

+ A (n – 1) x (n-1) )1(

)1(

−

−

n

n

dxyd

+ … + A1xdxdy

+ A0 y = g (x)

y=xm , m es un valor a determinar. Cada termino se transforma en un polinomio en m, multiplicado por xm. Asi y = xm es la solucion de la ecuación diferencial siempre que m sea una solucion de la ecuación auxiliar. Solución para raíces reales diferentes : Y = C1 x r1 + C2 x r2 + ... + Cn x rn Raíces reales e iguales: Y = C1 x r1 + C2 x r2 lnx +... + Cn x rn ln x Raíces complejas conjugadas:

Para un par conjugado r = α ± βi Y = Xα [ C1 cos (β ln x) + C2 sen (β ln x)]

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TRANSFORMADA DE LAPLACE ( )

La transformada de Laplace es una herramienta de gran alcance formulada para solucionar una variedad amplia de problemas del inicial-valor.

Es un procedimiento desarrollado por el matemático y astrónomo francés Pierre Simón Marques de Laplace (1749 – 1827) que permite cambiar funciones de la variable del tiempo t a una función de la variable compleja s.

Las características fundamentales de la transformada de Laplace son:

• Es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales.

• Las funciones senoidales, senoidales amortiguadas y exponenciales se pueden convertir en funciones algebraicas lineales en la variable S.

• Sirve para reemplazar operaciones como derivación e integración, por operaciones algebraicas en el plano complejo de la variable S.

• Este método permite usar técnicas gráficas para predecir el funcionamiento de un sistema sin necesidad de resolver el sistema de ecuaciones diferenciales correspondiente.

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE ( ) La transformada de Laplace de una función f(t) f: ℜ→ℜ es una función F (s)

calculada como

La transformada de Laplace de una función f(t) existe si la integral de Laplace converge. La integral ha de converger si f(t) es seccionalmente continua en todo intervalo finito dentro del rango t > 0 y si es de orden exponencial cuando t tiende a infinito. Se dice que una función es seccionalmente continua o continua a trazos en un intervalo de “infinito” si es posible partir el intervalo en un número finito de subintervalos de tal manera que la función sea continua en cada uno de ellos y tenga límites a izquierda y derecha.

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TRANSFORMADA DE FUNCIONES ELEMENTALES 1. Suma y Resta Sean F1(s) y F2(s) las transformadas de Laplace de f1(t) y f2(t) respectivamente. Entonces:

{ f1(t) + f2(t) } = F1(s) + F2(s) 2. Multiplicación por una constante Sea k una constante y F(s) la transformada de Laplace de f(t). Entonces:

{ kf(t)}

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE DERIVADAS Siendo: {f(t)}= ∫ ∞0 e-st f(t) dt = F(s) Para n=1:

{f ‘(t)}= s {f (t)} – f (0) = s F(s) – f(0) Si n=2:

{f “(t)}= s {f ‘(t)} – f ‘(0) = s [s F(s) – f(0)] – f ‘(0) = s2 F(s) – s f(0) – f ’(0) Si n=3:

{f ‘”(t)}= s {f “(t)} – f “(0) = s [s2 F(s) – s f ’(0)] – f “(0) = s3 F (s) – s2 f(0) – s f ’(0) – f “(0) En general:

[f(n) (t)] (s) = sn F(s) - sn-1 f(0+ ) - sn-2 f’(0+ ) - ··· - f(n-1) (0+ ) , (s > )

.

TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

Definición. Si la transformada de Laplace de una función F(t) es f(s), es decir, si

{F(t)} = f(s), entonces F(t) se llama una transformada inversa de Laplace

de f(s) y se expresa por F(t) = -1 {f(s)} , donde -1 se llama el operador transformada inversa de Laplace. Cuando evaluamos transformadas inversas, con frecuencia sucede que una función de s que consideramos no corresponde exactamente a la forma de una transformada de Laplace F(s) como aparece en una tabla, por lo que será necesario reajustar la función para que exista en la tabla.

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La transformada inversa de Laplace es lineal. Puede no ser unica. Procedimiento para resolver una ecuación diferencial con valor inicial y coeficientes constantes: 1) Aplique la transformada de Laplace. La ecuación diferencial transformada es

una ecuación algebraica en y(s). 2) Resolvemos la ecuación transformada para determinar y(s). 3) Aplicamos la transformada inversa. 4) Determine la y(t) desconocida que satisfaga la ecuación diferencial y las

condiciones iniciales. Función escalón unitario o función de Heaviside. Nos permite definir funciones que surgen en Ingenieria activadas o desactivadas, encendidas o apagadas. La funcion U (t-a) se define como:

⎩⎨⎧

=−,1,0

)( atµ at

at≥

⟨≤0