Resumen 1 Parcial Terico Anlisis MatemticoUNIDAD I: Variables, Ecuaciones, Funciones.Transformaciones TrigonomtricasTodas las frmulas y deducciones estn expresadas en la carpeta y en el material terico

Ecuaciones de primer y segundo gradoLa ecuacin general de la recta es y=ax + b (o y=mx +n), en donde a es la pendiente de la recta sobre el eje de las y, es decir, el valor de la tangente del ngulo que la recta forma con el eje de ordenadas; y en donde b se denomina ordenada al origen, que el valor que adopta la funcin sobre el eje de las abscisas, es decir, el valor de y cuando x=0.Para poder resolver esta funcin necesitamos poseer -por lo menos- dos elementos de la recta: la pendiente y la ordenada al origen; la pendiente y un punto determinado; o bien, conocer dos puntos determinados de la recta.

Ahora bien, si analizamos el ngulo entre dos rectas (VER IMAGEN), tenemos:

Podemos deducir que la tag()=a1 (pendiente de la primera recta), mientras que la tag()=a2 (pendiente de la segunda recta). Por lo que podramos expresarla as:

De ah podemos afirmar que la condicin para que dos rectas sean paralelas es necesario que la diferencia entre sus ngulos sea cero: 0, y la tangente de cero vale tambin cero, lo cual, en base a la ltima frmula, solo ocurre cuando a1 a2 = 0, lo que nos lleva a decir que a1 = a2. Ahora bien, la condicin para que sean perpendiculares es que se corten en 90, es decir, que -==90, y tag(90)= , y esto se da nicamente cuando el denominador vale cero, es decir, cuando 1+a1a2=0, de modo que podemos concluir que a1=-1/a2, o sea, que la pendiente de una recta es igual a la inversa multiplicativa de la otra cambiada de signo.

La recta tambin puede expresarse en forma segmentaria, es decir: en donde m y n son las coordenadas en que la recta corta al eje x e y respectivamente.

Ahora analizamos la ecuacin de segundo grado completa: ax2+bx+c=0 (ecuacin parablica) tomada como funcin, es decir, igualada a y.

El valor de las races (valores que debe adoptar la variable independiente para que la funcin adopte el valor 0) es el que surge de la frmula:Grficamente las races son los puntos en que la parbola se interseca con el eje de las abscisas. Dichos puntos de interseccin pueden ser: dos diferentes (existen dos races reales distintas); dos iguales (existen dos races idnticas, o bien, una raz doble); o pueden no haber puntos (en dicho caso las races se dicen que son imaginarias).Analizando el valor de a (coeficiente cuadrtica) podemos afirmar que si el mismo es positivo, las ramas irn hacia arriba, y si es negativo, hacia abajo.Tambin es importante analizar las propiedades de las races: La suma de las races de una ecuacin cuadrtica coincide con el cociente entre su coeficiente principal y su coeficiente cuadrtico, cambiado de signo: x1 + x2 = -b/a El producto entre las races de una ecuacin cuadrtica coincide con el cociente entre su trmino independiente y su coeficiente cuadrtico: x1 * x2 = c/aOtra ecuacin muy utilizada es la bicuadrada, o sea, ax4 + bx2 + c = 0, ya que si decimos que x2=X obtenemos una nueva ecuacin X2 + bX + c = 0, donde podemos observar que se trata de una ecuacin de segundo, por lo que podemos aplicar bascara. Luego de ello, obtendremos dos races X1 y X2, y como nuestra ecuacin originaria o era de cuarto grado, ya sabemos que tendr cuatro races:

Estas races pueden: ser 4 reales, 2 reales y 2 imaginarias, o 4 imaginarias.Ecuaciones de Segunda Grado: CnicasSon aquellas que se logran entre los puntos comunes a un plano y la superficie lateral de un cono. Estas son: parbola, elipse, circunferencia e hiprbola.a) Parbola: la figura se logra de los puntos que resultan comunes al plano y a la superficie lateral del cono, cuando el plano que interseca al cono es paralelo a la generatriz de dicho cono.

b) Circunferencia: la figura se logra de los puntos que resultan comunes al plano y a la superficie lateral del cono, cuando el plano que interseca al cono es paralelo a la base del cono, o bien perpendicular al eje de simetra de dicho cono.

La circunferencia tiene por ecuacin general: x2 + y2 + Ax + By + C =0. Y si tiene centro en el origen de coordenadas, la ecuacin ser: x2 + y2 = r2.c) Elipse: la figura se logra de los puntos que resultan comunes al plano y a la superficie lateral del cono, cuando el plano que interseca al cono en cualquier posicin NO perpendicular al eje de simetra de ste, y NO paralela a la generatriz.

La elipse responde a la siguiente ecuacin:

d) Hiprbola: la figura se logra de los puntos que resultan comunes al plano y a la superficie lateral del cono, cuando el plano que interseca al cono es paralelo al eje de simetra de dicho cono.

La hiprbola responde a la siguiente ecuacin: Como otra expresin especial podemos mencionar a la hiprbola equiltera xy=k o bien y=k/x, la cual tiene la caracterstica de ser asinttica a los ejes cartesianas.Otra expresin especial es la funcin hologrfica, la cual responde a la expresin:

Es decir, es el cociente de dos funciones lineales, cuya condicin de existencia es que c0, ya que de lo contrario no sera lineal. La principal caracterstica de dicha funcin es que son asintticas a ejes paralelos de los ejes de coordenadas.Interseccin de FuncionesDos funciones se pueden interceptar si estn en el mismo plano, y si al representarlas ambas poseen valores comunes, es decir, puntos donde sus grficas se cortan o coinciden.Por ejemplo, si poseemos dos rectas y=a1 x + b1, e y=a2 x + b2, y las mismas se intersecan, el valor de y de la primera recta ser igual al valor de y de la segunda, por lo que podemos obtener la siguiente expresin:Luego de obtener el valor de abscisa del punto de interseccin de coordenadas, basta con reemplazarlo en cualquiera de las funciones para hallar el de ordenada, y as encontrar el punto (x1;y1) donde las rectas se intersecan. Si en la formula, el denominador es nulo, no existe punto de interseccin alguno, ya que ello se produce solamente cuando las pendientes de las rectas son iguales, lo cual hace que las mismas sean paralelas.Resumiendo, dos funciones tendrn puntos de interseccin si para iguales valores de y existen iguales valores de x. Los mismos sern tantos como grado tiene la ecuacin, y si son trigonomtricas podrn ser infinitos, por ser peridicas.

Ahora podemos analizar que ocurre e/ una parbola (segundo grado) y=ax2+bx+c, y una recta y= mx + n. Como antes, igualamos las y, obteniendo que: ax2+x(b-m)+(c-n)=0.

Ante ello, podemos aplicar nuevamente Bascara para obtener las races:

Ahora bien, si tenemos la interseccin de una parbola con una circunferencia, al resolverlo quedar una ecuacin de 4, por lo tanto tendr cuatro puntos de interseccin.

Ahora si analizamos la relacin entre una funcin de tercer grado y= ax3+bx2+cx+d y una de segundo grado y=mx2+nx+p, al igualarlas y despejar obtendramos lo siguiente: ax3+x2(b-m)+x(c-n)+(d-p)=0. De ello podramos deducir, que si d-p=0 o bien, tanto b como p sean nulos, obtendramos que: ax3+x2(b-m)+x(c-n)=0, de la cual, aplicando factor comn x, lograramos la expresin: x [ax2+x(b-m)+(c-n)]=0, la cual, para que se cumpla, necesitamos que alguno de los dos factores sea nulo. De esta manera hallaramos una raz por simple deduccin x1=0 (que el primer factor sea nulo), y por Bascara el resto de las races reales.Variables, Constantes, ParmetrosAl definir una funcin surgen dos tipos de magnitudes: las variables (que pueden adoptar diferentes valores) y las constantes (en la situacin planteada no varan, sino que asumen un nico valor). Un conjunto de nmeros es designado por un smbolo que representante indistintamente a cada uno de ellos y recibe el nombre de variable.En una funcin se denomina parmetro a cada una de las cantidades que sirven para determinar las dimensiones o magnitudes de la curva. Por ejemplo, podemos expresar que y=f(x) en donde x=f() e y=g(), por lo tanto x e y tienen un parmetro . En una circunferencia, por ejemplo, el radio es un parmetro.FuncionesDados dos conjuntos X e Y, llamamos funcin de X en Y a una correspondencia que asocia a cada elemento x de X uno y solo un elemento y de Y. Los elementos del primer conjunto se denominan dominio, y los elementos del segundo, codominio o recorrido.Decimos que Y es funcin de la variable X y la representamos y=f(x), en donde x se la denomina variable independiente, y a y, variable dependiente (depende del valor que adopte la variable independiente, es decir, x).

Representacin GrficaRepresentar grficamente una funcin y=f(x) es encontrar los puntos de pares ordenados (x1;y1), los cuales se obtienen de darle valores a x y buscndole el correspondiente de y, con el conocimiento previo de la clase de funcin que es, para luego unirlos armnicamente, es decir, por sentido comn sin alejarse de la realidad.Clasificacin de las funcionesLas funciones analticas (expresadas mediante ecuaciones o notacin funcional) pueden ser clasificadas de distintas formas:

1. Algebraicas: aquellas que presentan su variable independiente sometida a operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicacin, divisin, potenciacin, y radicacin, stos dos ltimos cuando el exponente y el ndice no son variables, sino nmeros).a. Racionales: la variable no est bajo el signo radical. Enteras: la variable NO acta como divisor en la expresin. Fraccionarias: la variable acta como divisor en la expresin.b. Irracionales: la variable est sometida a la operacin de radicacin.2. Trascendentes: aquellas que presentan su variable independiente sometida a operaciones que trascienden el mbito algebraico:

a. Exponencialesb. Logartmicasc. Circularesd. CiclomtricasEn funcin de la forma analtica en que est expresada una funcin, se puede clasificar en: explcita [y=f(x)], implcita [F (x,y)=0], o paramtrica:Campo de Existencia y recorridoSe denomina campo de existencia o definicin, al formado para todos los valores de x en que la funcin est definida. El campo de recorrido es aquel que tiene existencia la funcin para el campo de definicin dado.Funciones pares e imparesLa funcin y=f(x) ser par cuando se verifica que a valores opuestos de x, corresponde el mismo valor de y, es decir, cuando se cumpla la siguiente igualdad: f(x) = f(-x).La funcin se dice impar, cuando a valores opuestos de x corresponde el mismo valor opuesto de y, es decir, cuando se cumpla la siguiente condicin: f(x) = -f(-x). No obstante, existen funciones que no son ni pares ni impares y as tambin se definen, ya que no cumplen con las condiciones anteriores. Por ejemplo, al combinar una funcin par con una impar, obtenemos una nueva funcin que no es par ni impar. Otro caso tpico es el de las exponenciales y logartmicas.Adems, geomtricamente una funcin es par cuando existe simetra respecto del eje de ordenadas (simetra axial); mientras que ser impar cuando existe simetra respecto al centro de coordenadas (simetra central).Funciones montonas crecientes o decrecientes y acotadasDiremos que una funcin y=f(x) es estrictamente creciente en un punto x0, cuando exista un nmero >0 para todo x que cumpla con la condicin 0 f(x0+h).La funcin se dice creciente o decreciente en un intervalo cuando lo es en todo punto de ese intervalo. Si dentro de un intervalo se expresa la condicin de signos ( o ), sern estrictamente crecientes o decrecientes, pero no sern montonas, ya que existe un intervalo en donde la funcin es una recta paralela al eje x, y en l no crece/decrece.Por otro lado una funcin se dice acotada cuando est considerando hasta determinado valor y lo que se afirma es lo que le sucede a la funcin dentro de esos valores. Si decimos que x est acotada entre a y b, a ser la cota inferior, y b la superior. Esos valores (a y b) pueden o no estar incluidos en la funcin, segn se use los signos > y 0, que es considerado un valor muy pequeo; que tambin puede escribirse como E(x0;), que quiere decir entorno de centro x0 y amplitud de radio .Funciones peridicas e inversasPodemos definir a un funcin f peridica y de perodo T, si su valor no vara cuando se reemplazada la variable x por otra de valor (x+T). Esto es comn en las trigonomtricas.A la inversa del perodo se lo llama frecuencia (F=1/T), entonces la frecuencias de una funcin y=f(x)=sen (wx-T) ser tal que F=w/T=w/2.Una funcin es inversa en la medida que dado y=f(x) es posible tener una funcin y=g(x). Las condiciones para que una funcin tenga inversa es que sea suryectiva (cuando a cada elemento de y le corresponde al menos un valor de x) e inyectiva (a cada valor de x le corresponde uno distinto de y), o sea biyectiva (todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida).Entre las funciones inversas existe una simetra respecto a la bisectriz y=x, ya que la distancia de la funcin de un eje es igual a la distancia respecto del otro eje, por lo tanto existe tambin una misma distancia a los 45 de ambos ejes.Funcin Potencial

y=f(x)=xn, donde para cada exponente real de n se puede definir una funcin (n=1, 2, 3, 4), y el grfico que de ella se forma es una curva continua que tiene las siguientes caractersticas, cuando x vara de 0 a :

Estrictamente creciente: de 0 a + (para n>0). Constante e igual a uno: cuando n=0. Estrictamente creciente: de 0 a + (para n1. Constante e igual a uno: cuando b=1.

Estrictamente decreciente: cuando 00.

Estrictamente decreciente: para valores de x positivos cuando b0 y se denomina amplitud.

w>0 y se denomina pulsacin.

=fase inicialComo vemos, son tres las constantes y habamos visto anteriormente que el perodo tena un valor T=2/w, o sea que: f(x)=f(x+2/w)=Asen[w(x+2/w)+]= Asen(wx+).Para entender mejor, podramos decir que w es el nmero de ondas en la grfica que hay cada intervalo de longitud 2; A es la altura de la onda del seno de x, es decir, que la funcin aparece ampliada en un valor A. Si 0, la funcin aparece desfasada del origen de su valor. Si queremos hallar el punto sobre el eje x en donde arranca la onda, podemos hacer wx+=0 (ya que como sabemos el sen0=0), y despejando llegamos a deducir que x1=-/w.Para obtener la grfica: marcamos un rectngulo de base paralela al eje de x y que pase por A y A y los lados paralelos al eje y: en el de la izquierda debe pasar por /w, y el de la derecha a partir del valor anterior, una pulsacin de largo, o sea: (2)/w.Funcin de funcinNosotros expresamos que y depende de x [y=f(x)], pero hay casos en que la dependencia es a travs de otra variable auxiliar, como ser t, si tenemos: y=f(t) (a), siento t=g(x) (b), donde uniendo las expresiones a y b, nos quedara: y= f [g(x)].Por otra parte, podemos razonar este proceso pero de manera inversa, para tomar una funcin muy complicada y descomponerla como funcin de funcin para simplificarla.UNIDAD II: Sucesiones NumricasUna sucesin numrica es aquella funcin cuyo dominio es el conjunto N de los nmeros naturales y cuyo recorrido est incluido en el conjunto de nmeros reales: S=S(n).A la sucesin a1; a2; a3; a4;; an se la denota como {An}, cada nmero de la sucesin s denomina trmino y an es el trmino ensimo, n indicando el nmero de orden del elemento.Conociendo el trmino general, podemos encontrar el valor de los primeros trminos de la sucesin, y al mismo tiempo, sabiendo los primeros trminos, podemos hallar el trmino general. Para ello debemos recordar que existe una ley de asociacin biunvoca que liga a dos elementos consecutivos entre s.Acotacin de SucesionesUna sucesin S=Sn est acotada superiormente, s y solo s existe un nmero real k tal que se verifique que kSn para todo n; a k se denomina cota superior de la sucesin. En otras palabras, es el mayor valor que puedo obtener con todos los nmeros encontrados.Una sucesin est acotada inferiormente si y solo si existe un nmero k tal que se verifique kSn para todo n; a k se denomina cota inferior de la sucesin. En otras palabras, es el menor valor que puedo obtener con todos los nmeros encontrados.

Es de aclarar que cuando una funcin est acotada superior e inferiormente, se dice que est acotada. Adems puede ocurrir que no est acotada ni superior ni inferiormente.

Tambin podemos expresar lo siguiente:

La menor de las cotas superiores es el extremo superior de la sucesin.

La mayor de las cotas inferior es el extremo inferior de la sucesin.Sucesiones MontonasSe denomina sucesiones montonas a las sucesiones crecientes o decrecientes. Una sucesin es creciente si y solo si, para todo n