PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE LAS VARIANCIAS DE DOS

POBLACIONES NORMALES

Cuando se trata de comparar las variancias se utiliza la variable F=S²1/S²2, que

como se sabe está relacionada con la distribución F con (n1-1, n2-1) grados de

libertad.

Se recomienda colocar siempre en el numerador la variancia muestral

asociada a la variancia poblacional mayor estos es,

a. Si H1: ²1 > ²2 La estadística de prueba se toma como F=S²1/S²2 .

b. Si H1: ²2 > ²1 La estadística de prueba se toma como F=S²2/S²1.

c. Si H1: ²1 ²2 La estadística de prueba se toma de tal manera que

la mayor de las variancias muestrales aparezca en el numerador.

Las tablas de la distribución F generalmente proporcionan los puntos de la

cola superior de la distribución F así que para encontrar valor de

la cola inferior, debe utilizarse

, donde f es el valor tabulado de F

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Ejemplo 1: Se comparó la eficacia de dos tipos de aceites para evitar el

desgaste en ciertas piezas sometidas a intenso trabajo. En trece piezas se

utilizó el aceite 1 y en otras trece el aceite 2. Las variancias muestrales fueron

S²1 = 64, S²2 = 16. Se desea verificar la hipótesis nula según la cual las

variancias de las dos poblaciones son iguales. ( = 0,05)

H0: ²1 = ²2

H1: ²1 ²2

n1 = n2 = 13, = 0,05

Como el valor calculado de F =4 supera el valor tabulado de la cola superior

de la distribución, no puede concluirse, al nivel del 5% que las variancias sean

iguales.

Siguiendo el criterio de colocar en el numerador siempre la variancia mayor,

es suficiente considerar el valor tabulado de la zona derecha de la distribución

F.

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CONTRASTE DE HIPÓTESIS REFERENTE A DOS MEDIAS

POBLACIONALES: MUESTRAS INDEPENDIENTES

Los desvíos de las poblaciones son conocidos

Los supuestos que se deben cumplir son que las medias

poblacionales 1 y 2 son normales, los desvíos poblacionales y

conocidos y las muestras, independientes, de tamaño n1 y n2 respectivamente,

estableciendo las siguientes hipótesis:

H0 ) 1 - 2 = 0 ó 1 = 2

a ) H1 ) 1 2

b) H1 ) 1 > 2

c) H1 ) 1 < 2

= 0,05

En cualquiera de estos casos el test estadístico que se utiliza es

que se distribuye como una N ( 0,1).

Si y son iguales, lo que equivale a decir que hay una sola variancia, la

fórmula anterior se puede reemplazar por la siguiente:

En el contraste a) valores grandes y pequeños de( )y por lo tanto

pequeños de Z son suficientes para confirmar H1. Por lo tanto para un ensayo

bilateral con nivel de significación , la hipótesis H0 se rechaza si :

Z < ó Z >

En el contraste b) sólo valores grandes de ( ) y de Z confirman la

hipótesis H1. En un ensayo unilateral, rechazamos H0 cuando:

Z > Z 1 -

En el contraste c) valores pequeños de la diferencias de medias muestrales y

por lo tanto valores pequeños de Z confirman H1 y rechazamos H0 cuando:

Z < Z

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Ejemplo 2: El porcentaje de calcio de dos muestras de soja se determinó por

dos métodos de mineralización: (A) cenizas secas y (B) mineralización

húmeda. Los datos obtenidos fueron:

(A): 0,32 3,32 0,36 0,29 0,27 0,29 0,28

(B): 0,35 0,35 0,34 0,36 0,31 0,28 0,28

Se sabe, por experiencias anteriores que 1 = 1 = 0,03. Se desea verificar si

ambos métodos producen los mismos resultados. ( = 0,05).

H0 ) A = B ó A - B = 0

H1 ) A B

Por ser un test bilateral, los valores críticos de la distribución normal, para =

0,05 son –1,96 y 1,96. Como el valor de la estadística calculada cae entre los

valores críticos, no hay evidencias como para rechazar la hipótesis nula. Por lo

tanto las media de los dos metodos de mineralización no difieren.

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Los desvíos de las poblaciones son desconocidos:

a) Se suponen iguales ( ):

Los supuestos que se deben cumplir son: datos extraídos de dos muestras

aleatorias independientes de tamaño n1 y n2 respectivamente, cuyas

poblaciones son normales con medias poblacionales 1 y 2. Las variancias

poblacionales no se conocen y se supone que son iguales. Primero se

debería docimar la igualdad de dichas varianzas, en particular si los tamaños

de las muestras son distintos, a través de la prueba de F de Snedecor. Si son

estadísticamente iguales, aplicamos el siguiente test estadístico:

donde

que se distribuye aproximadamente como una t de Student con n1 + n2 -2

grados de libertad. (tn1 + n2 - 2)

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Ejemplo 3: Dieciocho plantas de una misma variedad de naranjos fueron

tratadas con fertilizantes. A nueve de ellas se les aplico una cierta dosis de

nitrógeno (N) y al resto una de nitrógeno y fósforo (NP). Se midió el

rendimiento en Kg. por planta; los resultados obtenidos fueron:

_

N: X = 28 kg S² = 9

_

NP: X = 21 kg S² = 7

Interesa conocer si existen diferencias significativas entre los rendimientos de

las plantas tratadas con los dos tipos de fertilizante. ( = 0,01).

H0 ) N = NP ó N - NP = 0

H1 ) N NP

Suponiendo que las variancias poblacionales son iguales, de las cuales S²N y

S²NP son estimaciones, se calcula la variancia amalgmada. Si el supuesto no

fuera válido debería verificarse primeramente la homogneidad de varinacia a

través del test F, en particular si las muestras de las poblaciones no son

iguales.

Donde

El valor tabulado de t, para 16 grados de libertad y nivel de significación del

1% es igual a 2,921. Como el valor de la estadística calculada supera al

valor tabulado, se rechas H0 . Conclusión existen diferencias estadísticamente

significativas entre los tratamientos, siendo superior el promedio por planta de

naranjo, de aquellas que reciben el tratamiento NP.

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b) se suponen distintos ( )

Los supuestos son los mismos, pero el test estadístico es:

estadística que se distribuye aproximadamente como una t de Student con

grados de libertad que se obtienen mediante la fórmula de Satterwitte:

Gráficamente podemos representar la zona de aceptación y rechazo en la

distribución t

si t < -t t > t si t -t ó t t

Se rechaza H0 Se rechaza H0 Se rechaza H0

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CONTRASTE DE HIPÓTESIS REFERENTE A DOS MEDIAS

POBLACIONALES: MUESTRAS APAREADAS

Esta estrategia de la investigacióm surge cuando cada observación para un

tratamiento está apareada con otra observación para el otro tratamiento. Este

par está compuesto por las mismas unidades experimentales observadas dos

veces en distintos momentos de la investigación, o por unidades semejantes.

El procedimeinto consiste en buscar pares de unidades experimentales con

características similares y asignar aleatoriamente cada unidad del par a cada

uno de los dos tratamientos en estudio. Por ejemplo parejas de gemelos

pueden ser asignadas al azar para que reciban dos tratamientos, de tal manera

que los miembros de una sola pareja, reciban tratamientos distintos. Pueden

así mismo ensayarse dos raciones distintas en dos lotes de terneros formando

pares de raza de la misma edad, sexo, etc. y ocurrir que al cabo de un tiempo ,

exista diferencia significativa o no, entre los promedios de ganancia de peso

de ambos lotes, (se elimina la influencia diferencia de calidad entre los lotes).

También puede ocurrir que al estudiar en dos lotes de plantas homogéneas de

a pares, la aplicación de herbicidas (uno en cada lote), para ciertas plagas (se

obtenga diferencias de resistencia entre los lotes de plantas).

La hipótesis planteada es:

H0 ) ó H0) ó H0)

H1 ) H1) > 0 H1) < 0

= 0,05

Como se establece una hipotesis de un único parámetro poblaciona (se podría

pensar en una sola muestra) , el número de grados de liberatd es (n - 1)

el test estadístico es:

donde

luego se compara el tc con tn -1 . Las reglas de decisión son:

No se rechaza H0 cuando -t < t < t

Rechazar H0 si t < -t ó t > t

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Ejemplo 4: La siguiente tabla muestra los niveles de colesterol en suero para

12 individuos , al principio del programa (ANTES) y al final del mismo

(DESPUES).

INDIVIDUO ANTES XI DESPUES YI di di2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

201

231

221

260

228

237

226

235

210

267

284

201

200

236

216

233

224

216

296

195

207

247

210

209

- 1

+ 5

- 5

- 27

- 4

- 21

- 30

- 40

- 33

- 20

- 74

+ 8

1

25

25

625

16

441

900

1600

1089

400

5176

64

TOTAL -242 10.766

La pregunta que se plantea es: ¿proporcionan los datos suficiente evidencia

cómo para concluir que el programa es efectivo en la reducción de los niveles

de colesterol en suero?

Aplicar un test de hipótesis para llegar a una decisión al repecto, utilizando

un del 0,05.

Las hipótesis planteadas son:

H0)

H1) < 0

= 0,05

t (11; 0,05) = - 1,7959 (valor de tabla)

Se rechaza H0 ya que -3,02 es menor que -1,7959

Conclusión: Se rechaza la hipótesis nula, existen diferencias altamente

significativas entre ANTES y DESPUES. El programa es efectivo.

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PRUEBA DE HIPÓTESIS REFERENTE A DOS PROPORCIONES

POBLACIONALES

Sean y las proporciones muestrales de dos grandes muestras de

tamaños n1 y n2 extraídas de poblaciones que tienen proporciones P1 y

P2 respectivamente. Considérese la H0 de que no hay diferencias entre los

parámetros poblacionales, es decir:

H0 : P1 = P2, implica que (P1 – P2) = 0

H1: P1 P2

Una estimación de la proporción poblacional se puede obtener como:

La distribución muestral de la diferencia de proporciones se distribuye

aproximadamente normal con media y variancia dadas por:

p1-p2 = 0 ²p1-p2 = pq(1/n1+1/n2) (los p de los subíndice tienen sombrero)

y

Por lo tanto la estadística de prueba esta dada por:

N(0, 1)

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Ejemplo 5: Sobre parcelas sembradas con dos variedades distintas de maíz (A

y B), se aplicó un herbicida que resultó ser nocivo en el sentido que destruyó

gran parte de las plantas. De un total de 500 plantas de la primera variedad

fueron destruidas 200 y de 570 plantas de la segunda variedad, murieron

también 200. ¿Se puede considerar que el herbicida es igualmente nocivo para

las dos variedades?. ( = 0,05).

H0 : PA = PB, implica que (PA – PB) = 0 H1: PA PB

Por ser una prueba bilateral, los valores críticos de la distribución normal son

–1,96 y 1,96 ( =0,05), como el valor de Z = 1,l8 cae entre estos valores, no

se rechaza la hipótesis nula.

Conclusión: Se puede considerar que el herbicida es igualmente nocivo para

las dos variedades.

CONTRASTE DE HIPÓTESIS RESPECTO A UNA MEDIA

POBLACIONAL ( desconocido)

Las hipótesis se plantean de forma similar al caso en que es conocido, pero

la estadística de prueba es la "t" de Student.

Ejemplo: Para estimar el rendimiento de parcelas plantadas con papa de una

cierta variedad, se cosecharon ocho de ellas, obteniéndose la siguiente

información expresada en kg/parcela:

4,5 5,3 5,4 4,9 5,3 5,7 6,2 4,8

¿Se puede asegurar, con =0,05, de que esta variedad de papas tiene un

rendimiento promedio de 5,25 kg?

H0 : = 5,25

H1 : 5,25

A partir de los datos se calcula y S², para este ejemplo = 5,5625 y S²

=0,2884.

=

Como el valor de t calculado cae entre –2,365 y 2,365 (valor tabulado de t

para 7 grados de libertad y = 0,025, no se rechaza la hipótesis nula.

Conclusión: No hay duficiente evidencia, a partir de los datos de la muestra,

para decir que el rendimiento de papa por parcela no es igual a 5,25.

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CONTRASTE DE HIPÓTESIS REFERENTES A UNA PROPORCIÓN

POBLACIONAL (P)

Las hipótesis formuladas son:

H0: P P0

H1: P < P0

: 0,05

En el caso del parámetro poblacional "P", cuando el tamaño de la muestra es

grande, la variable aleatoria proporción muestral "p" se distribuye

aproximadamente normal con esperanza igual a P y desviación estandar

igual

Por eso se puede utilizar "p" como criterio de test para probar la hipótesis con

respecto al parámetro proporción poblacional. El test estadísto z se calcula:

Gráficamente podemos establecer la correspondiente región de rechazo de

H0 en la cola de la distribución normal

Ejemplo: Se supone que en un cierto partido de la provincia de Buenos Aires,

el 90% de los productores cultivan maíz. De 110 productores de la zona que

se encuestaron, 95 hacen maíz. ¿Está este resultado en conformidad con el

valor supuesto?. ( = 0,05)

H0: P = 0,90

H1: P 0,90

Como el valor calculado de Z = –0,97 reside entre los valores tabulados –1,96

y 1,96 (valores críticos de la distribucion normal ) no se rechaza H0.

Conclusión, la información proporcionada por la muestra no es suficiente

como para decir que la proporción de productes de tal partido que cultivan

maíz es distinto de 90%.

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CONTRASTE DE HIPÓTESIS REFERENTES AL PARÁMETRO

VARIANZA POBLACIONAL

Por ejemplo, un operador en la bolsa de cereales, aconseja a un cliente con

respecto a una inversión de compra y destaca la poca variabilidad de dicha

cotización. De acuerdo a lo estipulado por él, esta acción presentaría una

varianza en las cotizaciones diarias = 0,2.

El cliente, quien debe realizar una fuerte inversión, decide poner a prueba la

hipótesis del operador, estableciendo las siguientes hipótesis estadísticas:

H0) 0,2

H1) > 0,2

Fijamos: = 0,05, como nivel de significación.

Para probar esta hipótesis selecciona una muestra de 15 días donde se registra

la cotización diaria. El cálculo de la varianza en la muestra es S2 = 0,4.

El test estadístico es:

que se distribuye como una con (n - 1) grados de libertad.

Se calcula el valor del estadístico planeado:

Gráficamente se tendrá:

Como se puede observar, el estadístico utilizado como criterio para realizar el

test, cae en la zona de rechazo de la hipótesis nula.

Conclusión: La evidencia muestral parece indicar que el operador estaba

equivocado y que en realidad la cotización diaria es bastante más variable de

lo que él cree.

EJERCICIO 1

Un criador de pollos sabe por

experiencia que el peso de los

pollos de cinco meses es 4,35

libras. Los pesos siguen una

distribución normal. Para tratar

de aumentar el peso de dichas

aves se le agrega un aditivo al

alimento. En una muestra de

pollos de cinco meses se

obtuvieron los siguientes pesos

( en libras).

4,41 4,37 4,33 4,35 4,30 4,39 4,36 4,38 4,40

4,39

En el nivel 0,01, el aditivoa ha

aumentado el peso medio de los

pollos? Estime el valor de p.

EJERCICIO 2

Una empresa que se dedica a

hacer en cuestas se queja de

que un agente realiza en

promedio 53 encuestas por

semana. Se ha introducido una

forma más moderna de realizar

las encuetas y la empresa quiere

evaluar su efectividad. Los

números de encuestas

realizadas en una semana por

una muestra aleatoria de

agentes son:

53 57 50 55 58 54 60 52 59 62 60 60

51 59 56

En el nivel de significancia

0,05, puede concluirse que la

cantidad media de entrevistas

realizadas por los agentes es

superior a 53 por semana?

Evalúe el valor p.

EJERCICIO 3

Lisa Monnin es directora de

presupuesto en la empresa New

Process Company, desea

comparar los gastos diarios de

transporte del equipo de ventas

y del personal de cobranza.

Recopiló la siguiente

información muestral ( importe

en dólares).

Ventas ($) 131 135 146 165 136 142

Cobranza ($) 130 102 129 143 149 120 139

Al nivel de significancia de 0,10,

puede concluirse que los gastos

medios diarios del equipo de

ventas son mayores? cuál es el

valor p?

EJERCICIO 4

De una población se toma una

muestra de 40 observaciones.

La media muestral es de 102 y

la desviación estándar 5. De

otra población se toma una

muestra de 50 observaciones.

La media mustral es ahora 99 y

la desviación estándar es 6.

Realice la siguiente prueba de

hipótesis usando como nivel de

significancia 0,04.

Ho: u1 = u2

Ho: u1 ≠ u2

a) Es esta una prueba de una o

de dos colas?

Esta es una prueba de

hipótesis de dos colas

b ) Establezca la regla de

decisión

Si Z > que le valor crítico, se

rechaza la hipótesis nula y se

acepta la hipótesis alternativa

c) Calcule el valor del

estadístico de prueba

Si Z > que el valor crítico, se rechaza la hipótesis nula y se acepta H1

d) Cuál es su decisión respecto

a la hipótesis nula?

Como su valor calculado Z

(2,59) > 2,05; se rechaza la

hipótesis nula y se acepta la

hipótesis alternativa

Si Z tabulada es 0,5 - 0,02 =

0,48 este valor en la tabla es

2,05

e) Cuál es el valor p?

Z = 2,59 Area 0,4952

0,5 - 0,4952 = 0,0048 *

2 = 0,0096