RESOLUCION DEL 3er EXAMEN PARCIAL

Calcule el área de la sección cerrada comprendido entre la parábola con vértice en V(-3,1), eje paralelo al eje Y, pasa por P(3,7), y la circunferencia con centro en (-1,-2) y radio R=9(u). Encuentre los limites de integración por Newton-Raphson y el área por el método de los trapecios. Asumir n=12 y E=0.001

• Puntos

Sabiendo que la parábola tiene su eje paralelo al eje Y Asumimos por simetría que un punto pasaría por (-9,-7)

x y

-9 7

-3 1

3 7

• Dados los puntos hallamos la ecuación por el polinomio de Lagrange

72))3((*))9((7

32)3(*))9((

72)3(*))3((*7

xxxxxx

y

• Simplificando tenemos la ecuación de la parábola

6

1562

xxy p

• Para la circunferencia tenemos un centro de (-1,-2) y un R=9, entonces la ecuación seria la siguiente

222 9)2()1( yx

• Despejando la ecuación respecto de Y tenemos

22 )1(81)2( xy

2)1(812 xy

2)1(81 2 xy p

• Ahora igualando las dos ecuaciones obtenemos una tercera ecuación que convierte el sistema no lineal en un ecuación no lineal con dos incógnitas, la cual seria igual.

0 pc yy

• Entonces la ecuación resultante seria

)6

156()2)1(81()(

22

xx

xxf

• Resolviendo por Newton Raphson tenemos:

nx )(xf )(' xf 1nxN Obs.

0 -7.3 0.3456 2.4135 -7.4432 0.1432

1 -7.4432 -0.0066 2.5064 -7.4405 0.0026

2 -7.4405 -0.000002 2.5047 -7.4405 0.0000009

• Entonces la primera solución y primer limite de integración a = -7.4405

nx )(xf )(' xf1nxN Obs.

0 2.5 0.2498 -2.2554 2.6107 0.1107

1 2.6107 -0.0029 -2.3082 2.6095 0.0012

2 2.6097 -0.0000003 -2.3076 2.6095 0.0000001

• Entonces la segunda solución y limite de integración b será igual a 2.6095

dxxfb

a )(

6095.2

4405.7

22 )

6

156(2)1(81 dx

xxx

n

abh

12

)4405.7(6095.2 h

8375.0h

N x F(x)

0 -7.4405 0.0001

1 -6.603 1.8795

2 -5.7655 3.3601

3 -4.928 4.478/

4 -4.0905 5.2545

5 -3.253 5.7027

6 -2.4155 5.8310

7 -1.578 5.6444

8 -0.7405 5.1453

9 0.097 4.3343

10 0.9345 3.295

11 1.772 7.7671

12 2.6095 0.00006

)22............22(*2 12210 nnn yyyyyyh

A

)(0334.39 2uA