resoluciÓn de sistemas de ecuaciones lineales mediante determinantes tema 3 un determinante de una...
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RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE DETERMINANTES
TEMA 3
Un determinante de una matriz cuadrada es un número real que se obtiene operando de forma determinada los elementos de dicha matriz
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales
Aplicaciones de los determinantes:
Cálculo del rango de una matriz
Cálculo de la inversa de una matriz
DETERMINANTES DE ORDEN 2:
51·23·131
21
·· 211222112221
1211
aaaaaa
aa
16491405243·1·30·1·24·7·55·1·14·3·20·7·3
014
371
523
············
············
113223332112312213133221312312332211
333231
232221
131211
113223332112312213133221312312332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
DETERMINANTES DE ORDEN 3:
1. El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta:
41·1·12·1·11·1·01·1·10·1·12·1·1
211
111
011
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
41·1·12·1·11·1·01·1·10·1·12·1·1
210
111
111
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
2. Si una matriz cuadrada tiene una fila o columna de ceros, el determinante es cero.
0
000
111
111
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
3. Si se permutan dos filas o columnas de una matriz cuadrada, el determinante cambia de signo:
4
111
211
011
41·1·12·1·11·1·01·1·10·1·12·1·1
211
111
011
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
4. Si en una matriz cuadrada , hay dos filas o columnas iguales, su determinante vale cero.
0
111
111
011
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
5. Si multiplicamos por el mismo número todos los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada, el determinante queda multiplicado por ese número:
20
211
555
011
41·1·12·1·11·1·01·1·10·1·12·1·1
211
111
011
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
6. Si una matriz cuadrada tiene dos filas o columnas proporcionales, su determinante vale cero
0
111
022
011
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
7.
333231
232221
131211
333231
232221
131211
33323231
23222221
13121211
aba
aba
aba
aaa
aaa
aaa
abaa
abaa
abaa
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
8. Si a una fila o columna de una matriz cuadrada, le sumamos una combinación lineal de otras filas o columnas paralelas, su determinante no varía
2133 ·5 ,4
157
111
011
41·1·12·1·11·1·01·1·10·1·12·1·1·
211
111
011
FFFF
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
9.Si una matriz cuadrada tiene una fila (columna) que es combinación linela de otras paralelas, su determinante vale cero
213 ·2 : 3 fila la ,0
110
112
011
FFF
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
10.
BABA ··
EJERCICIO 2 , PÁGINA 79
2
754
321
532
·1
:a elemento del Adjunto
2
754
321
532
: a de erariocomplementMenor
7564
3211
5312
6420
2112
12
12
33
A
A
EJERCICIO 2 , PÁGINA 79
108
764
512
620
·1
:a elemento del Adjunto
108
764
512
620
: a de erariocomplementMenor
7564
3211
5312
6420
3333
33
33
33
A
A
16
311
512
620
·1
:a elemento del Adjunto
16
311
512
620
: a de erariocomplementMenor
7564
3211
5312
6420
3443
43
43
43
A
A
EJERCICIO 2 , PÁGINA 79
DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ELEMENTOS DE UNA LÍNEA. CÁLCULO DE DETERMINANTES DE ORDEN SUPERIOR A TRES.
ELEGIMOS CUALQUIER FILA O COLUMNA, GENERALMENTE LA QUE TIENE MÁS CEROS O NÚMEROS MÁS SENCILLOS Y DESPUÉS EL CÁLCULO ES COMO SE MUESTRA:
Fotos : Gabriel de Castro Manzano
DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ELEMENTOS DE UNA LÍNEA. CÁLCULO DE DETERMINANTES DE ORDEN SUPERIOR A TRES.
EJEMPLO :
1165
362
917
·7)
821
362
917
·1·(1
821
1165
917
0)
821
1165
362
·1·(4
8271
11615
3602
9147
·7·1·0·4
8271
11615
3602
9147
42322212
AAAA
“DESARROLLO POR ADJUNTOS DE UNA LÍNEA”
DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ELEMENTOS DE UNA LÍNEA. CÁLCULO DE DETERMINANTES DE ORDEN SUPERIOR A TRES.
Cuantos más ceros tenga la línea elegida, más fácil será el cálculo
¡Si no hay ceros , los haremos utilizando la propiedad nº 8!
RANGO DE UNA MATRIZ A PARTIR DE SUS MENORES
MÁXIMO ORDEN DE SUS MENORES NO NULOS
RANGO DE UNA MATRIZ : NÚMERO DE FILAS(COLUMNAS)LINEALMENTE INDEPENDIENTES
Nº DE FILAS LINEALMENTE INDEPENDIENTES
RANGO DE UNA MATRIZ
654113
01213
32150
21031
EJEMPLO: CALCULAR EL RANGO DE
1º Miro si la F1 y la F2 son linealmente independientes :Busco un menor de orden dos no nulo
550
31
F1 y F2 son l.i
2º Miro si la F3 depende linealmente de la F1 y F2 :Busco un menor de orden tres no nulo(utilizando las 3 filas : F1, F2 y F3)
0
213
150
031
3º Miro si la F4 depende linealmente de la F1 y F2 :Busco un menor de orden tres no nulo (utilizando las 3 filas : F1, F2 y F4)
0
113
250
131
0
013
350
231
0
4113
150
031
0
5113
250
131
0
6113
350
231
F3 depende linealmente de F1 y F2
F4 depende linealmente de F1 y F2
654113
01213
32150
21031
A
Ran (A)=2
La matriz A tiene solo dos filas linealmente independientes por tanto:
2201
8327
7315
1012
D
EJEMPLO: CALCULAR EL RANGO DE
1º Miro si la F1 y la F2 son linealmente independientes :Busco un menor de orden dos no nulo
315
12 F1 y F2 son l.i
2º Miro si la F3 depende linealmente de la F1 y F2 :Busco un menor de orden tres no nulo(utilizando las 3 filas : F1, F2 y F3)
0
327
315
012
3º Miro si la F4 depende linealmente de la F1 y F2 :Busco un menor de orden tres no nulo (utilizando las 3 filas : F1, F2 y F4)
0
827
715
112
F3 depende
linealmente de F1 y F2.
0
201
315
012
0
201
715
112
F4 no depende
linealmente de F1 y F2
TEOREMA DE ROUCHE
El sistema será compatible si y solo si
)()( 'AranAran Si el rango es menor que el nº de incógnitas : Infinitas soluciones ; Sistema Compatible Indeterminado
Si el rango es igual que el nº de incógnitas : Solución única ; Sistema Compatible determinado
DISCUSIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES
1
1
1
azyx
zayx
zyax
¿Para qué valores del parámetro “ a” este sistema tiene o no tiene solución?
TEOREMA DE ROUCHE
El sistema será compatible si y solo si
)()( 'AranAran
Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes
212311
11
11
11233 aaaaaaaa
a
a
a
2
1021
con empiezadiscusión la que Así .3)(0
2
a
aaa
AranASi
1)()(
1111
1111
1111
y
111
111
111
'
'
AranAran
AA
¡Empezamos la discusión!
Si a=1,
SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO, INFINITAS SOLUCIONES.
1
1
1
azyx
zayx
zyax
Si a = -2,
02-1
12- ejemplopor que ya ,2)(
1211
1121
1112
y
211
121
112'
Aran
AA
3)(
09122114
111
121
112
?)(¿
'
'
Aran
Aran
)()( 'AranAran
1
1
1
azyx
zayx
zyax
)()( 'AranAran
SISTEMA INCOMPATIBLE , SIN SOLUCIÓN
Si a = -2,
Sistema compatible determinado, solución única. Lo resolvemos por CRAMER
2y 1 aasi
3)()( ' AranAran
DISCUSIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES
757
143
157
zx
mzyx
zy
¿Para qué valores del parámetro “ a” este sistema tiene o no tiene solución?
TEOREMA DE ROUCHE
El sistema será compatible si y solo si
)()( 'AranAran
Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes
24549
507
43
570
mm
5024549
con empiezadiscusión la que Así .3)(0
mm
AranASi
043
70 ,2)(
7507
1543
7570
y
507
543
570'
Aran
AA
¡Empezamos la discusión!
Si m=5,
757
143
157
zx
mzyx
zy
¿Ran(A’)?
0
707
143
770
¿Ran(A’)?
Ran(A’)=2
Si m =5, Ran(A)=2, Ran(A’)=2
Sistema compatible indeterminado. Infinitas soluciones
7507
1543
7570'A
Si m ≠5, Ran(A)=3, Ran(A’)=3
Sistema compatible determinado, solución única
En este caso, si nos piden resolverlo, lo haríamos por Cramer dejándolo en función de m
332313
322212
3121111
1
333231
232221
131211
1
) ( entonces
AAA
AAA
AAA
AA
A
adjuntamatrizA
aaa
aaa
aaa
Atraspuesta
CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ
EJEMPLO:
:que así inversa, tiene0, A de tedeterminan como
11110
111
101
011
;
111
101
011
AA
101
112
11
111
11
01
111
011
11
010
11
11
110
011
11
011
11
10
332313
322212
312111
AAA
AAA
AAA
111
101
011
A
121
110
111
121
110
111
A Entonces
11
-1
AA