republica de panama ministerio de educacion …
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Profa. Maribel I. Mojica C.
REPUBLICA DE PANAMA MINISTERIO DE EDUCACION
INSTITUTO PROFESIONAL Y TECNICO EL SILENCIO MODULO BASADO EN EL PROGRAMA DE UNDECIMO GRADO
PROFESORA:
MARIBEL MOJICA
CORREO
WHATSSAPP 67492774
BACHILLER EN
AGROPECUARIA
TURNO MATUTINO
GRUPO
_____A, B, C______
2020
Profa. Maribel I. Mojica C.
INTRODUCCION El presente modulo se ha confeccionado con el objetivo de formar estudiantes capaces de analizar y resolver problemas que contemplan las areas de Algebra (matrices y determinantes , numeros complejos) , Trigonometría( identidades trigonométricas , ecuaciones trigonométricas) y por ultimo Geometria Analitica ( la recta y las conicas).aw El mismo se ha basado al contenido de los programas de estudios de undécimo grado de matemáticas del curriculo priorizado de los colegios oficiales y particulares del país , que recomienda el Ministerio de Eduación. En él los estudiantes tendrán una herramienta de consulta teórica práctica que les facilite una mejor comprensión de los temas que se dictan en los cursos de este nivel. El módulo contiene las lecciones enumeradas con sus respectivos contenidos , objetivos y ejemplos desarrollados ; ademas incluyen las actividades prácticas que los estudiantes pueden desarrollar en equipos y de manera individual. Encontrarás también datos históricos interesantes y notas rápidas como complemento a tu formación académica y cultural. Anímate a leerlas y podrás afianzar esta
información con los libros de textos que poseas, revistas o bien a través de enlaces vía web.
Los ejercicios evaluativos serán calificados por tu docente de matemática. Si las instrucciones en cada uno necesitan ampliarse podrás consultarle a la profesora para
evitar desaciertos y dudas innecesarias.
Dedo advertir, que es de suma importancia para el estudiante, poseer un conocimiento básico de algebra para lograr una mejor comprensión de estos temas. Además, como
las matemáticas requieren de una práctica constante, se hace necesario que el discente investigue, lea, practique, analice y conozca las aplicaciones de estos temas; lo que
le ayudara a obtener una sólida formación para enfrentar otros niveles de estudios. Finalmente, debo agregar que se hace necesaria la consulta de otras bibliografías para
complementar los contenidos en este módulo.
RECOMENDACIONES PARA EL BUEN USO DE ESTE MODULO.
Para resolver algunos problemas es necesario que te apoyes con una calculadora científica.
Comprueba que tus resultados estén correctos cotejándolos con los que se te presentan en algunos problemas.
Si no llegaste a la solución correcta de algún problema, trata de encontrar
tus errores e intenta resolverlo otra vez.
Procura resolver todas las preguntas y en todo caso te asesores con
Tu profesora.
3
NTRODUCCION I TRIMESTRE (del 20 de julio al 2 de octubre del 2020) LECCION Nº 01 (AREA) Trigonométrica
1. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS: 1.1 Definición 1.2 Identidades fundamentales
1.2.1 Reciprocas, cocientes y pitagóricas 1.3 Demostración
LECCION Nº 02 (AREA) Trigonométrica
2. IDENTIDADES DE ÁNGULOS COMPUESTOS
2.1 Definición
2.2 Funciones de la suma o diferencias de ángulos
2.3 Funciones trigonométricas de doble ángulo
2.4 Funciones trigonométricas de la mitad de un
ángulo
LECCION Nº 03 (AREA) Algebra
3. Matrices a. Concepto b. Clasificación c. Representación matricial de un sistema de
ecuaciones de primer grado d. Operaciones con matrices
i. Adición y sustracción ii. Productos y división
4
LECCION Nº 01: IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
AREA: Trigonometría
ASIGNATURA: Matemática
Analiza y aplica el concepto de identidades trigonométricas fundamentales en la solución de problemas
Desarrolla la capacidad de razonamiento lógico mediante la demostración de identidades trigonométricas.
(REFORZAMIENTO) Funciones trigonométricas Utilizaremos un triángulo rectángulo para definir las funciones trigonométricas: Seno (sen), coseno (cos), tangente (tan), cotangente (cot), secante (sec) y cosecante (csc). R Y
En un triángulo rectángulo, estas funciones se definen como sigue:
sen = hipotenusa
opuestocateto tan =
adyacentecateto
opuestocateto
sec = adyacentecateto
hipotenusa
cos =
hipotenusa
adyacentecateto
cot = opuestocateto
adyacentecateto
cosec =
opuestocateto
hipotenusa
Identidades Trigonométricas: Un enunciado que es válido para todos los
valores de la variable para los cuales las funciones involucradas en el enunciado
estén definidas, se llaman identidades.
1. Identidades Recíprocas: se obtiene directamente de las definiciones de
funciones trigonométricas:
También se puede escribir de otra manera;
sin 𝜃 csc 𝜃 = 1 cos 𝜃 sec 𝜃 = 1 tan 𝜃 cot 𝜃 = 1
sin 𝜃 = 1
csc θ cot 𝜃 =
1
tan 𝜃
cos 𝜃 =1
sec 𝜃 sec θ =
1
cos 𝜃
tanθ =1
cot 𝜃 csc 𝜃=
1
sin θ
GENERALIDADES
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
X
5
2. Identidades De Cocientes: se puede obtener otra identidad llamadas
identidades de las razones o de cociente que se deducen inmediatamente de
las definiciones de las razones trigonométricas:
tan 𝜃 =sin 𝜃
cos 𝜃 cot 𝜃 =
cos 𝜃
sin 𝜃
Ejemplos:
1. Hallar el valor de la función cscα si se conoce que senα=−√3
2.
Como csc α=1
𝑠𝑒𝑛𝛼, entonces cscα=
1
−√3
2
=−2
√3.
Racionalizando el denominador tenemos:𝑐𝑠𝑐𝛼 =−2√3
3.
2. Hallar el valor exacto de las otras 5 razones trigonométricas sobre el
ángulo α que se ubica en el IV cuadrante si 𝑐𝑜𝑠𝛼 =20
29.
Según la representación gráfica, se tiene que 𝑐𝑜𝑠𝛼 =𝑥
ℎ=
20
29 , donde
x es el cateto adyacente a α y h es la hipotenusa de un triángulo
rectángulo cuyo vértice está sobre la circunferencia unitaria. Luego,
se determina el valor de y por medio del teorema de Pitágoras:
𝑦 = √ℎ2 − 𝑥2 = √292 − 202 = ± 21
Como α se ubica en el IV cuadrante, el valor de sen α debe ser
negativo, por esta razón elegimos la raíz negativa y= -21.
Así obtenemos que sen α = −21
29 y a partir de los valores de las 2
razones conocidas podemos obtener las 4 restantes así:
−𝑐𝑠𝑐𝛼 =1
−21
29
=−29
21 −𝑡𝑎𝑛𝛼 =
−21
2920
29
=−21
20
−𝑠𝑒𝑐𝛼 =1
20
29
=29
20 −𝑡𝑎𝑛𝛼 =
1−21
20
=−20
21.
PRÁCTICA #1
Determina el valor de cada función trigonométrica que se indica en
cada caso, según el valor dado.
1. 𝑐𝑜𝑠 𝑥 =8
17. Csc x=______________
2. 𝑠𝑒𝑐 𝑥 =5
4 cos x=______________
3. 𝑐𝑜𝑡 𝑥 =√3
3 tan x=______________
Calcula el valor de las 4 razones trigonométricas indicadas en cada
caso, según los valores dados.
4. 𝑐𝑜𝑠 𝜃 =1
3 y 𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
−2√2
3
1. Csc 𝜃 =
2. Sec 𝜃 =
3. Tan 𝜃 =
4. Cot 𝜃 =
6
3. Identidades Pitagóricas: las identidades pitagóricas son las siguientes:
𝐬𝐢𝐧 ² 𝜽 + 𝐜𝐨𝐬 ²𝜽 = 1
𝐜𝐬𝐜² 𝜽 = 𝟏 + 𝐜𝐨𝐭 ²𝜽
𝐬𝐞𝐜 ²𝜽 = 𝟏 + 𝐭𝐚𝐧² 𝜽
𝐬𝐢𝐧² 𝜽 = 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬² 𝜽
𝐬𝐢𝐧 𝜽 = +/−√𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 ²𝜽
𝐜𝐨𝐬² 𝜽 = 𝟏 − 𝐬𝐢𝐧 ²𝜽
𝐜𝐨𝐬 𝜽 = +/−√𝟏 − 𝐬𝐢𝐧 ²𝜽
𝐭𝐚𝐧² 𝜽 = 𝐬𝐞𝐜² 𝜽 − 𝟏 𝐭𝐚𝐧 𝜽 = +/−√𝐬𝐞𝐜 ²𝜽 − 𝟏
𝐜𝐨𝐭² 𝜽 = 𝐜𝐬𝐜 ²𝜽 − 𝟏 𝐜𝐨𝐭 𝜽 = +/−√𝐜𝐬𝐜² 𝜽 − 𝟏
𝐬𝐞𝐜 ²𝜽 = 𝐭𝐚𝐧 ²𝜽 + 𝟏 𝐬𝐞𝐜 𝜽 = +/−√𝐭𝐚𝐧 ²𝜽 + 𝟏
𝐜𝐬𝐜² 𝜽 − 𝐜𝐨𝐭 ²𝜽 = 𝟏 𝐜𝐬𝐜 𝜽 = +/−√𝐜𝐨𝐭² 𝜽 + 𝟏
Las identidades pitagóricas permiten expresar una función en términos
de otra
Ejemplo 1:
cos 𝛼 = 𝑥 se puede expresar en términos de seno despejando coseno de
la identidad 𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 1 de tal forma que 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 1 −
𝑠𝑒𝑛2𝛼 y, en consecuencia tenemos:
𝑐𝑜𝑠 𝛼 = ±√1 − 𝑠𝑒𝑛2𝛼
Ejemplo 2:
Expresar csc β en términos de sen β y cos β
Despejamos csc β de la identidad 𝑐𝑠𝑐2𝛽 = 𝑐𝑜𝑡2𝛽 + 1.
𝑐𝑠𝑐2𝛽 = 𝑐𝑜𝑡2𝛽 + 1 ↔csc 𝛽 = ±√𝑐𝑜𝑡2𝛽 + 1.
Reemplazamos 𝑐𝑜𝑡2𝛽 =𝑐𝑜𝑠2𝛽
𝑠𝑒𝑛2𝛽 ↔ csc 𝛽 = ±√
𝑐𝑜𝑠2𝛽
𝑠𝑒𝑛2𝛽+ 1.
Práctica #2
Escribe cada expresión en términos de coseno
1. Tan x
2. 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙
3. Tan x * csc
4. 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙
Escribe cada expresión en términos de seno
5. Cot x * csc x
6. 𝒄𝒐𝒕𝟐𝒙 ∗ 𝐜𝐬𝐜 𝒙
Demostraciones De Identidades Trigonométricas
En el estudio de identidades trigonométricas y de las ecuaciones condicionales
se presentarán muchas situaciones y simplificaciones en la que intervienen las
relaciones en formas de cociente, recíprocas y pitagóricas.
7
Pasos Generales Para Demostrar Una Identidad
1. Conocer las relaciones fundamentales y reconocer las formas alternativas de cada una.
2. Conocer los procedimientos de adición, sustracción, reducción y transformación de fracciones equivalentes.
3. Conocer las técnicas de factorización y de los productos especiales. 4. Usar solamente procedimientos de sustitución y simplificación que
permitan trabajar en un solo lado de la ecuación. 5. Seleccionar el lado de la ecuación que parezca ser más complicado o
intentar transformarla al otro miembro de la ecuación. 6. Evitar sustituciones que introduzcan raíces. 7. En todos los pasos es necesario tener en mente el otro lado de la
identidad.
Ejemplos
1.
2..
3.
8
ACTIVIDAD Nª 3
Demuestre las siguientes identidades trigonométricas. Justifique cada
procedimiento.
1. Demostrar : cos 𝑥
1−sin 𝑥 =
1+sin 𝑥
cos 𝑥
2. Demostrar: 3𝑐𝑜𝑠4𝜃 + 6𝑠𝑖𝑛2𝜃 = 3 + 3𝑠𝑖𝑛4𝜃
3. Demostrar : sec 𝜃 − sin 𝜃 ∗ tan 𝜃 = cos 𝜃
LECCION Nº 03: IDENTIDADES DE ANGULO
COMPUESTO
AREA: Trigonometría
ASIGNATURA: Matemática
Usa las funciones trigonométricas de ángulos compuestos en la solución
de problemas.
IMPORTANTE RECORDAR Funciones trigonométricas de ángulos agudo (30°,45°,60°)
Cuadro de valores
Ángulos Seno
𝜽
Coseno
𝜽
Tangente
𝜽
Cotangent
e 𝜽
Secante
𝜽
Cosecante
𝜽 30°
60°
45°
Cuadro de Signo
Cuadrante Seno 𝜽 Coseno
𝜽
Tangente
𝜽
Cotangent
e 𝜽
Secante
𝜽 Cosecante 𝜽
I + + + + + +
II + - - - - +
III - - + + - -
IV - + - - + -
GENERALIDADES
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
9
Cuadro de Múltiplos de ángulos especiales
Múltiplo de 30°
Múltiplo de 60°
Múltiplo de 45°
Cuadro de transformaciones de radianes a grado
Radianes
Grados
IDENTIDADES PARA LA SUMA Y DIFERENCIA DE ÁNGULOS Las identidades que incluyen la suma y la diferencia de dos ángulos son muy útiles en aplicaciones geométricas. Las identidades de suma y diferencia y los valores de las funciones trigonométricas de ángulos comunes se pueden utilizar para hallar el valor de funciones trigonométricas de otros ángulos. Los ángulos se pueden usar si están medidos en grados como radianes.
Fórmulas Para La Suma
𝐬𝐢𝐧 (𝜶 + 𝜷) = 𝐬𝐢𝐧 𝜶 𝐜𝐨𝐬 𝜷 + 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝐬𝐢𝐧 𝜷 𝐜𝐨𝐬 (𝜶 + 𝜷) = 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝐜𝐨𝐬 𝜷 - 𝐬𝐢𝐧 𝜶 𝐬𝐢𝐧 𝜷
𝐭𝐚𝐧 (𝜶 + 𝜷) = 𝐭𝐚𝐧 𝜶 + 𝐭𝐚𝐧 𝜷
𝟏−𝐭𝐚𝐧 𝜶 𝐭𝐚𝐧 𝜷
Ejemplos
1 .
Fórmulas Para La Diferencias
𝐬𝐢𝐧 (𝜶 − 𝜷) = 𝐬𝐢𝐧 𝜶 𝐜𝐨𝐬 𝜷 − 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝐬𝐢𝐧 𝜷 𝐜𝐨𝐬( 𝜶 − 𝜷) = 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝐜𝐨𝐬 𝜷 + 𝐬𝐢𝐧 𝜶 𝐬𝐢𝐧 𝜷
𝐭𝐚𝐧( 𝜶 − 𝜷) = 𝐭𝐚𝐧 𝜶−𝐭𝐚𝐧 𝜷
𝟏+𝐭𝐚𝐧 𝜶 𝐭𝐚𝐧 𝜷
Ejemplos
2 .
ACTIVIDAD Nº 2 : Aplica las fórmulas de adición y diferencias para
obtener el valor exacto de cada caso.
1. Sin ( 270° + 90°)
2. Cos (60° - 45°)
3. Tan ( 360° - 135°)
IDENTIDADESY DE ANGULOS DOBLE Y MITAD DEL ANGULO En esta sección se consideran las formulas del múltiplo de un ángulo. Veremos en particular las llamadas formulas del doble. Estas identidades se pueden usar
si 𝜃 esta medida en radianes o en grados
10
FÓRMULAS PARA EL DOBLE DE UN ÁNGULO
sin 2𝛼=2 sin 𝛼 cos 𝛼
cos 2𝛼 = cos 𝛼2 − sin 𝛼2 = 1 − 2 sin 𝛼2 = 2 cos 𝛼2 − 1
tan 2𝛼 = 2 tan 𝛼
1−tan 𝛼2
Ejemplos:
1. Si , calculemos
FÓRMULAS PARA LA MITAD DE UN ÁNGULO
𝐬𝐢𝐧𝜽
𝟐= + −⁄ √
𝟏−𝐜𝐨𝐬 𝜽
𝟐
𝐜𝐨𝐬𝜽
𝟐= + −⁄ √
𝟏+𝐜𝐨𝐬 𝜽
𝟐
𝐭𝐚𝐧𝜽
𝟐 =+ −⁄ √
𝟏−𝐜𝐨𝐬 𝜽
𝟐 =
𝐬𝐢𝐧 𝜽
𝟏+𝐜𝐨𝐬 𝜽 =
𝟏−𝐜𝐨𝐬 𝜽
𝐬𝐢𝐧 𝜽
Práctica #4
Encuentre el doble ángulo de (sin 𝟐𝜶, 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜶, 𝒕𝒂𝒏 𝟐𝜶 ).
𝟏. 𝐬𝐢𝐧 𝜶 =𝟑
𝟓 , 𝜶 𝒆𝒔𝒕á 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝑰𝑰𝑰 𝑪
𝟐. 𝐜𝐨𝐬 𝜶 = −𝟑
𝟓 , 𝜶 𝒆𝒔𝒕á 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝑰𝑰𝑰 𝑪
𝟑. 𝐭𝐚𝐧 𝜶 = 𝟗
𝟒𝟎 , 𝜶 𝒆𝒔𝒕á 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝑰 𝑪
I. Encuentre el seno, coseno y tangente de 𝜽
𝟐 con las siguientes
informaciones
1. 𝐬𝐢𝐧 𝜽 = −𝟏
𝟐 , 180°< 𝜽 < 𝟐𝟕𝟎°
2. 𝐜𝐨𝐬 𝜽 = −𝟏, 𝟎 < 𝜽 < 𝟐𝝅
3. 𝐭𝐚𝐧 𝜽 = −𝟒
𝟑, −
𝝅
𝟐 < 𝜽 < 𝟎E
11
LECCION Nº 01: MATRICES
AREA: Algebra
ASIGNATURA: Matemática
Define y clasifica las matrices
Aprende a resolver las operaciones con matrices
ACTIVIDAD Nº 1:
Los integrantes de una banda de música están ordenados en 5 filas y
4 columnas, como se muestra en el arreglo de la derecha, además llevan diferentes
colores de camisa según el instrumento que interpretan. Si se dice que la posición de
Carlos es la 𝒂𝟐𝟑 , ¿Qué color de camisa lleva puesta?
ANALIZA:
1. Si el primer número de la posición representa la fila, ¿En cuál fila se
encuentra Carlos?
2. Si el segundo número de la posición representa la columna, ¿En cuál
columna se encuentra Carlos?
RESUELVE:
_______________________________________________________
_______________________________________________________
______________________________________________
Una matriz es una disposición rectangular o cuadrada de elementos distribuidos en filas y en columnas, que verifican ciertas reglas del algebra. Las matrices proporcionan brevedad en las notaciones y en la formulación de la solución de problemas donde intervienen conjuntos ordenados de números, lo cual facilita su análisis y la expresión de sus resultados. Así, ante una disposición de números alineados de forma horizontal y vertical, se tiene un arreglo de forma:
3 1 2 4 2 4 5 0 5
Ejemplo: Consideramos el grado 7º, 8º, 9º de nuestro colegio. Durante el año anterior, el número de alumnos que participaron en las modalidades deportivas de baloncesto, gimnasia y balompié se presenta en la siguiente ordenación rectangular;
Deporte/ Nivel
Gimnasia
Baloncesto
Balompié
7º 20 30 25
8º 30 25 15
9º 10 30 20
A los números dispuestos horizontalmente los llamamos filas y a los números dispuestos verticalmente los llamamos columnas.
GENERALIDADES
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
12
Los números de filas pueden ser diferentes de los números de columnas.
Para la notación matemática de las matrices, se utiliza corchete 20 30 25 30 25 15 10 30 20
ORDEN DE UNA MATRIZ
Explicaciones generales Matriz 3 x 4 El primer número nos indica el número de filas que tiene la matriz. El segundo indica la cantidad de columnas que tiene la matriz.
Ejemplo:
1211109
8765
4321
Si la matriz es A las posiciones de cada número son ai j I es la fila y j es la columna donde se encuentra posicionado el número en la matriz A. Si la matriz es B las posiciones de cada número son bi j I es la fila y j es la columna donde se encuentra posicionado el número en la matriz B.
Ejemplos:
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
333231
232221
131211
bbb
bbb
bbb
B
En la siguiente matriz indica la posición del número circulado.
16151413
1211109
8765
4321
A
SUMA DE MATRICES
Para poder sumar matrices deben de tener el mismo orden, ambas matrices deben tener el mismo número de filas y columnas. Definición de suma: Si A = (ai j) mxn y B = (bi j) mxn entonces su suma es A + B = (ai j + bi j) mxn.
Ejemplo
Fila columna
3 filas
4 columnas
La matriz es 3 x 4
2 __________ 7 __________ 9 __________ 14 __________
13
Suma las matrices A + B
75
31A
84
75B
6
84
75
75
31
106
84
75
75
31
9
106
84
75
75
31
159
106
84
75
75
31
Clasificación de Matrices
1. Matriz fila Una matriz fila está constituida por una sola fila.
2. Matriz columna La matriz columna tiene una sola columna
3. Matriz rectangular La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.
4. Matriz cuadrada La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas. Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal. La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.
Suma a1 1 + b1 1
1 + 5 = 6
3 + 7 = 10
Suma a1 2 + b1 2
5 + 4 = 9
Suma a2 1 + b2 1
7 + 8 = 15
Suma a2 2 + b2 2
14
5. Matriz nula En una matriz nula todos los elementos son ceros.
6. Matriz triangular superior En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
7. Matriz triangular inferior En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.
8. Matriz diagonal
En una matriz diagonal cuando todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.
9. Matriz escalar Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.
10. Matriz identidad o unidad Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
11. Matriz traspuesta Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se
15
obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas
12. Matriz simétrica Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = At. 13. Matriz antisimétrica o hemisimétrica Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = -At. MULTIPLICACIÓN DE MATRICES: Para poder multiplicar debemos revisar primero el número de filas x columnas. Si tenemos que una matriz es 3 x 5 y la otra 5 x 2 se puede multiplicar si
matriz A Matriz B
3 x 5 5 x 2
Resuelve el siguiente ejercicio e indica si se puede multiplicar las
matrices o no, y cuál es el tamaño de la matriz de la respuesta.
Ejemplo
33
141312
11109
876
543
210
Se opera así:
332490
1229160
Matriz A
Matriz B
¿se puede
multiplicar?
Tamaño de
respuesta
3 x 4 4 x 5
5 x 6 6 x 2
5 x 3 4 x 6
7 x 8 8 x 2
4 x 2 3 x 4
5 x 7 7 x 2
3 x 1 1 x 4
4 x 3 4 x 3
2 x 5 5 x 4
Debe ser igual entonces
Si se puede multiplicar s
Si los números centrales son
iguales entonces se puede
multiplicar y el tamaño de la
respuesta son los números de
los extremos 3 x 2
El tamaño de la
respuesta es 3 x 2
1) Reviso el tamaño de la matriz
A = 2 x 3 B = 3 x 3
Como son iguales se
puede multiplicar.
El tamaño de la matriz
de la respuesta es 2 x 3
2) Siempre se toma la
primera matriz con la fila
1 (horizontal) con la 1
columna (vertical)
marcada en la matriz.
16
Práctica
1. Evalúa las siguientes expresiones matriciales
6 101-
8-7-5
359-
By
504
262
3
733
A
Evalúa:
a) 22 BA
b) BAA3
c) BA 52
2. Investigue sobre los métodos para resolver las determinantes de
tercer orden
DETERMINANTE DE TERCER ORDEN
El determinante es una función que le otorga a una matriz de orden n, un único número real denominado determinante de la matriz. Entonces si A es una matriz de orden n, el determinante de la matriz A lo indicaremos como det (A) o puede ser también │A│ las barras simbolizan valor absoluto.
Para el cálculo de determinantes de matrices de cualquier orden, existe una regla la cual (teorema de Laplace) reduce el cálculo a sumas y restas de varios determinantes de un orden inferior. Este proceso se puede repetir tantas veces como sea necesario hasta reducir el problema al cálculo de múltiples determinantes de orden tan pequeño como se quiera. Sabiendo que el determinante de un escalar es el propio escalar, Es posible calcular el determinante de cualquier matriz aplicando dicho teorema.
Representación de una determinante
Dada una matriz cuadrada A de orden 3,se llama determinante de A al número real:
La regla de Sarrus permite recordar fácilmente el desarrollo del determinante de una matriz de orden 3.
17
Los productos con signo " + ", están formados por los elementos de la diagonal principal, y los de las dos diagonales paralelas (por encima y por debajo), con su correspondiente vértice opuesto.
Los productos con signo " - ", se forman con los elementos de la diagonal secundaria y los de las dos diagonales paralelas, con su correspondiente vértice opuesto.
Creo que calcular de este modo el valor de un determinante de tercer orden se puede olvidar al cabo de unos días.
Posiblemente, hacerlo del siguiente modo:
1) Escribes el determinante sea más fácil tanto de operar como recordar:
Escribes a continuación, detrás de la 3ª columna, las dos primeras:
Ahora realizas las sumas de los productos de los elementos de la diagonal principal que son las líneas trazadas de izquierda a derecha.
Haces lo mismo con las diagonales que van de derecha a izquierda como lo representado en la figura siguiente:
Verás que coincide con lo dicho anteriormente:
18
Ejemplo:
Respuesta: det (B) = 9
Solución
Escribimos primeramente la suma de los productos de las diagonales principales y en segundo lugar vamos restando el producto de las diagonales secundarias:
Práctica Dada las siguientes matrices evalué la determinante de cada una de ellas por el método de sarrus
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