Representación Gráfica

(recta numérica)

0 1 2 3 4 R

NÚMEROS NATURALES ( N )

Mediante un punto negro representamos el 1, el 3 y el 4

NÚMEROS ENTEROS ( Z )

- 2 - 1 0 1 2 R

Mediante un punto negro representamos el - 1, el 1 y el 2

Adición

0 1 2 3 4 R

Sume los números 2 + 2

Sume los números 2+(-3)

- 2 - 1 0 1 2 R

Ley de signos

En suma y resta:

• Números con signo igual: SE SUMAN.

• Números con signo diferente: SE RESTAN y

prevalece el signo del mayor.

En multiplicación y división

• Números con signo igual: el resultado es

POSITIVO.

• Números con signo diferente: el resultado es

NEGATIVO.

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Lenguaje algebraico

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Expresión algebraica

• EXPRESIÓN ALGEBRAICA

• Una expresión algebraica es toda combinación de números y letras unidas por los signos de las operaciones aritméticas: Adición, sustracción, multiplicación, división y potencia.

• A las letras se las llama variables, son cantidades desconocidas. Normalmente es la x, aunque puede haber más: y, z, etc.

• Los términos son cada uno de los sumandos: Pueden ser literales si llevan variable, o independientes si no la llevan.

• Al factor numérico, o número que multiplica o divide a una letra, se le denomina coeficiente. Si no está indicado vale 1.

• Ejemplos(en la praxis el punto no se escribe):

• 4.x + y/5 – z

• El 4 es el coeficiente de x, el 1/5 el de y, y el -1 de z.

• (4.x + y)/5 – 3.z

• El 4/5 es el coeficiente de x, el 1/5 el de y, y el -3 de z.

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Utilidad del álgebra:

Ejercicios

• Escribe los enunciados y a continuación, con distinto color, las expresiones algebraicas que representan dichos enunciados:

• a) Número de ruedas necesarias para fabricar x coches.

• b) Número de patas de un corral con “a” gallinas y “b” conejos.

• c) Un número menos 3.

• d) La mitad de un número.

• e) Restar la mitad de un número al 2.

• f) Doble de un número menos 5.

• g) Doble de un número, menos 5.

• h) Cuadrado de un número más 7.

• i) Cuadrado de un número, más 7.

7

• Escribe los enunciados y a continuación, con distinto color, las expresiones algebraicas que representan dichos enunciados:

• j) La tercera parte de un número más su quinta parte.

• k) Dos quinto de un número.

• l) El triple de un número más 1.

• m) La edad de Pedro hace cuatro años.

• n) La edad de Juan dentro de 15 años.

• o) Mi padre me da el doble del dinero que tenía. ¿Cuánto tengo ahora?

• p) Dos números se diferencian en 5 unidades.

• q) El cociente de dos números es igual a tres veces su suma.

• r) El producto de dos números dividido por su suma es 5.

• s) La diferencia de los cubos de dos números.

Utilidad del álgebra:

Ejercicios

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• Escribe los enunciados y a continuación, con distinto color, las expresiones algebraicas que representan dichos enunciados:

• t) El área de un rectángulo.

• u) El perímetro de un rectángulo.

• v) El área de un cuadrado.

• w) El perímetro de un cuadrado.

• x) El área de un círculo.

• y) El perímetro de un círculo.

• z) La raíz cuadrada de un número menos 3.

• z) La raíz cuadrada de un número, menos 3.

• z) La diferencia de las raíces cuadradas de un número y de 3.

Utilidad del álgebra:

Ejercicios

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Utilidad del álgebra:

Ejemplo_1

• El IVA, en la mayoría de los artículos, es del 16%.

• Si llamamos x al VP sin IVA, lo que pagaremos al comprar dicho artículo con factura será:

• 16

• x + -----. x

• 100

• El precio final será x+0,16.x

• Hemos de pagar 1,16.x , siendo x el VP.

• Valga lo que valga el artículo, la expresión algebraica la podemos utilizar siempre.

• Si llamamos P al precio final, queda:

• P = 1,16.x , que es lo que llamamos FÓRMULA.

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Utilidad del álgebra:

Ejemplo_2 • Sea un rectángulo.

• Llamamos b a lo que mide el lado de la base.

• Llamamos h a lo que mide el lado de la altura.

• El perímetro de un rectángulo es:

• 2.b+2.h

• El área de un rectángulo es:

• b.h

• Aunque tengamos millones de rectángulos distintos, la expresión algebraica la podemos emplear siempre, con independencia de lo que midan sus lados.

• Si empleamos:

• P = 2.b+2.h

• A = b.h

• Entonces las expresiones se convierten en FÓRMULAS.

11

Utilidad del álgebra:

Ejemplo_3 • La nota media de dos exámenes más la nota por su actitud en clase es la

nota de la evaluación de un alumno:

• Llamamos x a la nota de un examen.

• Llamamos y a la nota del otro examen.

• Llamamos z a la nota de clase.

• Cualquiera que sean las notas de los exámenes y el alumno en cuestión, la nota de evaluación será siempre:

• x + y

• ------- + z

• 2

• Si llamamos N a la nota de la evaluación, la expresión algebraica se convierte en la Fórmula:

• x + y

• N = -------- + z

• 2

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Utilidad del álgebra:

Ejemplo_4 • Al reparar un ordenador a domicilio, un técnico cobra 30 € por salida y 10 €

cada media hora de trabajo.

• Llamamos x a las horas que ha estado reparando el ordenador.

• Nos cobrará al final:

• 30 + 2.x . 10

• Si llamamos P al precio final, la expresión algebraica se convierte en la Fórmula:

• P = 30 + 20.x

• Nota: Hay que tener en cuenta que falta el IVA, y además se puede complicar la expresión si cambia alguna pieza.

13

• La suma ( o diferencia ) de dos monomios semejantes es otro monomio, que tiene como coeficiente la suma ( o diferencia ) de coeficientes y como parte literal la misma que la de los sumandos.

• Si los monomios no son semejantes, el resultado es un POLINOMIO

• EJEMPLOS

• 4.x3 + 7.x3 - 5.x3 = ( 4 + 7 – 5 ).x3 = 6.x3 Monomio

• 4.x3 + a.x3 - x3 = ( 4 + a – 1 ).x3 = ( 3 + a ).x3 Monomio

• 4.x3 + 7.x3 - 5.x2 = ( 4 + 7).x3 - 5.x2 = 11.x3 - 5.x2 Polinomio

Suma de monomios

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• EJEMPLOS

• 4.x3 + 5.x3 = (4+5).x3 = 9.x3

• 3.x2 – 5.x2 = (3 – 5).x2 = – 2 .x2

• 2.x4 – 7.x4 + 8.x4 = (2 – 7 + 8).x4 = 3.x4

• 7.x3 + a.x3 = (7 + a).x3

• 5.x2 + a.x2 + x2 = (5+a+1).x2 = (6+a).x2

• Nota importante: Como se ve la suma o resta de monomios semejantes es siempre un monomio, aunque su coeficiente sea mixto.

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• EJEMPLOS

• 4.x3 + 5.x = 4.x3 + 5.x

• 3.x2 – 5.x2 + 4.x = (3 – 5).x2 + 4.x = – 2 .x2 + 4.x

• 2.x4 – 7.x3 + 8.x4 = (2 + 8).x4 – 7. x3 = 10.x4 – 7.x3

• 7.x3 + a.x3 + 3.x – 5 = (7 + a).x3 + 3.x – 5

• 5.x3 + a.x2 + x3 = (5+1).x3 + a.x2 = 6.x3 + a.x2

• Nota importante: Como se ve la suma o resta de monomios no semejantes es siempre un polinomio.

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• El producto de dos monomios ( semejantes o no ) es otro monomio, que tiene como coeficiente el producto de los coeficientes, como variable la misma y grado la suma de los grados de los monomios factores.

• EJEMPLO

• Sea 4.x3 y 5.x2

• (4.x3 ). (5.x2 ) = 4.5. x3+2 = 20.x5

• EJEMPLO

• Sea 7.x3 y 5.a.x3

• (7.x3 ). (5.a.x3 ) = 7.5.a. x3+3 = 35.a.x6

Producto de monomios

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PRODUCTO DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO

• El producto de un monomio por un polinomio es el que resulte de

multiplicar dicho monomio por todos y cada uno de los monomios del polinomio, reduciendo finalmente términos semejantes.

• EJEMPLO

• Sea el monomio 4.x3 y P(x) = 5.x4 + 4.x3 - 2.x

• (4.x3).P(x) = ( 4.x3 ).(5.x4 + 4.x3 - 2.x ) =

• = ( 4.x3 ).(5.x4 ) + ( 4.x3 ).(4.x3 ) + ( 4.x3 ).( - 2.x ) =

• = 20.x7 + 16.x6 - 8.x4

18

• OTRO EJEMPLO

• Sea el monomio 4.x.y P(x) = 5.y.x2 + 4.y2.x – 2.x.y + 3

• (4.x.y).P(x) = ( 4.x.y). (5.y.x2 + 4.y2.x – 2.x.y + 3 ) =

• = (4.x.y).(5.y.x2 ) + (4.x.y).( 4.y2.x ) + (4.x.y).(– 2.x.y ) + (4.x.y).(3) =

• = 20.x3.y2 + 16.x2.y3 - 8. x2.y2 + 12.x.y

• UN EJEMPLO MÁS

• Sea el monomio 4.a.x P(x) = 5.a.x2 + 4.a2.x

• (4.a.x).P(x) = ( 4.a.x). (5.a.x2 + 4.a2.x) =

• = (4.a.x).(5.a.x2 ) + (4.a.x).( 4.a2.x ) = 20.a2.x3 + 16.a3.x2

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• La división de dos monomios ( semejantes o no ) es otro monomio, que tiene como coeficiente la división de los coeficientes, como variable la misma y grado la diferencia de los grados de dividendo y divisor.

• EJEMPLO

• Sea 20.x5 y 5.x2

• (20.x5 ) : (5.x2 ) = (20/5). x 5 – 2 = 4.x3

• EJEMPLO

• Sea 2.x3 y 5.x

• (2.x3 ) : (5.x ) = (2/5). x 3 – 1 = 0,4.x2

División de monomios

20

COCIENTE DE MONOMIOS

• El cociente de dos monomios ( semejantes o no ) es otro monomio, que tiene como coeficiente la división de los coeficientes, como variable la misma y grado la diferencia de los grados de los monomios factores.

• EJEMPLO

• Sea 4.x3 y 5.x2

• (4.x3 ) / (5.x2 ) = (4/5). x3 – 2 = 0,8.x

• EJEMPLO

• Sea 14.x5 y 7.a.x3

• (14.x5 )/ (7.a.x3 ) = (14/7.a). x5 – 3 = (2/a).x2

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• La potencia de un monomio es otro monomio, que tiene como coeficiente la potencia del coeficiente de la base, como variable la misma y grado el producto de las potencias.

• EJEMPLO 1

• Sea (4.x3)2

• (4.x3)2 = (4)2. (x3)2 = 16. x3.2 = 16.x6

• EJEMPLO 2

• Sea [ 3 . ( x 5) 2 ] 3

• [ 3 . ( x 5) 2 ] 3 = 33 . ( x 5x2) 3 = 33 . x 5x2x3 = 27 . x 30

Potencia de monomios

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• EJEMPLO 3

• Sea [(1/2 ).x2 ]3

• (1/2)3. (x2 )3 = (1/8). x2.3 = (1/8).x6

• EJEMPLO 4

• Sea (2.x4 )5

• (2)5. (x4)5 = 32.x4.5 = 32.x20

• EJEMPLO 5

• Sea (2.x3 .y)4

• (2)4. (x3)4 .y4 = 16.x3.4 .y4 = 16.x12.y4

POLINOMIO

• Es una expresión algebraica formada por la suma o diferencia de

monomios.

• Cada monomio que forma el polinomio se le llama TÉRMINO,

• Aquel monomio que no contenga parte literal, sólo números, se le llama TÉRMINO INDEPENDIENTE.

• EJEMPLOS

• P(x) = 4.x3 + 7.x2 - 5.x

• P(x) = - 7.x + 5

• P(x, y) = x3 + 7.y2 - 5.x.y

GRADO DE UN POLINOMIO

• Es el mayor grado de los monomios que lo forman.

• EJEMPLOS

•

• P(x) = 4.x3 + 7.x2 - 5.x Grado de P(x) = 3

• Q(x) = - 7.x + 5 Grado de Q(x) = 1

• R(x, y) = x3. y + 7.y2 - 5.x.y Grado de R(x, y) = 3 respecto x

TIPOS DE POLINOMIOS

• REDUCIDOS

• Tiene sumados los términos semejantes

• NO REDUCIDOS

• Contiene dos o más términos semejantes.

• COMPLETOS

• Sus términos tienen todos los grados, desde el del polinomio a cero.

• INCOMPLETOS

• Falta algún término de grado menor que el del polinomio.

• ORDENADOS

• Sus términos están ordenados por el grado de la variable.

• NO ORDENADOS

• Sus términos están desordenados según el grado de los mismos.

• Es muy importante que un polinomio esté REDUCIDO y ORDENADO

DECRECIENTEMENTE para poder operar correctamente con él.

EJEMPLOS DE TIPOS DE POLINOMIOS

• REDUCIDOS

• P(x) = 20.x3 + 31.x2 + 4.x – 6 • NO REDUCIDOS

• P(x) = 2.x3 + 7.x - 31.x2 + 4.x – 6

• COMPLETOS

• P(x) = x3 + 3.x2 + 4.x – 6 • INCOMPLETOS

• P(x) = 3.x3 + 4.x – 6 Falta término en x2

• ORDENADOS

• P(x) = x3 - 3.x2 – 6 Ordenado de forma decreciente. • NO ORDENADOS

• P(x) = 7.x - 3.x3 + 6.x2 – 6

Aclaración previa a la forma

de operar

• Los que tengan dificultad en sumar o multiplicar polinomios pueden hacer:

• P(x) = 5.x4 + 4.x3 - 2.x

• Q(x) = 3.x3 + 5.x - 3

• P(x) + Q(x) = 5.x4 + 7.x3 + 3.x – 3

• Pero es recomendable hacerlo así:

• (5.x4 + 4.x3 - 2.x) + (3.x3 + 5.x - 3) =

• 5.x4 + 4.x3 - 2.x + 3.x3 + 5.x - 3 =

• = 5.x4 + 7.x3 + 3.x – 3

SUMA DE POLINOMIOS

• La suma de dos polinomios es otro polinomio, que se obtiene

sumando primero los términos semejantes de ambos, y a continuación los no semejantes.

• La operación de sumar los términos semejantes, expresando el resultado como un único término se llama REDUCIR TÉRMINOS SEMEJANTES.

• EJEMPLO

• Sea P(x) = 4.x3 + 7.x2 - 5.x y Q(x) = 7.x3 + 5.x2 - 3

• P(x) + Q(x) = ( 4.x3 + 7.x2 - 5.x ) + (7.x3 + 5.x2 – 3 ) =

• = 4.x3 + 7.x2 - 5.x + 7.x3 + 5.x2 - 3 =

• = 11.x3 + 12.x2 - 5.x - 3

DIFERENCIA DE POLINOMIOS

• Para restar un polinomio a otro se suma al polinomio minuendo el

opuesto al sustraendo.

• Para ello se cambia de signo todos los monomios que forman el sustraendo.

• EJEMPLO

• Sea P(x) = 4.x3 + 7.x2 - 5.x y Q(x) = 7.x3 + 5.x2 - 3

• P(x) - Q(x) = ( 4.x3 + 7.x2 - 5.x ) - (7.x3 + 5.x2 – 3 ) =

• = 4.x3 + 7.x2 - 5.x - 7.x3 - 5.x2 + 3 =

• = - 3.x3 + 2.x2 - 5.x + 3

PRODUCTO DE UN MONOMIO

POR UN POLINOMIO

• El producto de un monomio por un polinomio es el que resulte de

multiplicar dicho monomio por todos y cada uno de los monomios del polinomio, reduciendo finalmente términos semejantes.

• EJEMPLO

• Sea el monomio 4.x3 y P(x) = 5.x4 + 4.x3 - 2.x

• (4.x3).P(x) = ( 4.x3 ).(5.x4 + 4.x3 - 2.x ) =

• = ( 4.x3 ).(5.x4 ) + ( 4.x3 ).(4.x3 ) + ( 4.x3 ).( - 2.x ) =

• = 20.x7 + 16.x6 - 8.x4

• OTRO EJEMPLO

• Sea el monomio 4.x.y P(x) = 5.y.x2 + 4.y2.x – 2.x.y + 3

• (4.x.y).P(x) = ( 4.x.y). (5.y.x2 + 4.y2.x – 2.x.y + 3 ) =

• = (4.x.y).(5.y.x2 ) + (4.x.y).( 4.y2.x ) + (4.x.y).(– 2.x.y ) + (4.x.y).(3) =

• = 20.x3.y2 + 16.x2.y3 - 8.x.y + 12.x.y

• UN EJEMPLO MÁS

• Sea el monomio 4.a.x P(x) = 5.a.x2 + 4.a2.x

• (4.a.x).P(x) = ( 4.a.x). (5.a.x2 + 4.a2.x) =

• = (4.a.x).(5.a.x2 ) + (4.a.x).( 4.a2.x ) = 20.a2.x3 + 16.a2.x2

PRODUCTO DE POLINOMIOS

• El producto de dos polinomios es el que resulte de multiplicar todos

y cada uno de los términos de uno de ellos por todos y cada uno de los términos del otro, reduciendo finalmente términos semejantes.

• EJEMPLO

• Sea P(x) = 4.x + 3 y Q(x) = 5.x2 + 4.x – 2

• P(x).Q(x) = ( 4.x + 3 ).( 5.x2 + 4.x – 2 ) =

• = ( 4.x ). (5.x2 + 4.x – 2 ) + (3). ( 5.x2 + 4.x – 2 ) =

• = (20.x3 + 16.x2 – 8.x) + ( 15.x2 + 12.x – 6 ) =

• = 20.x3 + 16.x2 – 8.x + 15.x2 + 12.x – 6 =

• = 20.x3 + 31.x2 + 4.x – 6

Aclaración previa a la forma

de operar

• Los que tengan dificultad en multiplicar

polinomios pueden hacer:

• P(x) = 5.x4 + 4.x3 - 2.x

• Q(x) = 3.x3 + 5.x

• 25.x5 + 20.x4 – 10. x2

• 15.x7 + 12.x6 – 6. x4

• 15.x7 + 12.x6 + 25.x5 + 14.x4 - 10.x2 • Clave: Columnas de términos semejantes

34

• Nota al PRODUCTO DE POLINOMIOS

• El número de términos resultantes al multiplicar dos o más polinomios entre sí es el producto del número de términos de cada polinomio que interviene.

• Veamos algunos ejemplos:

• (4.x).(5.x2 + 4.x ) 1.2 = 2 términos

• (4.x - 2).(5.x2 + 4.x ) 2.2 = 4 términos

• (5.x2 + 4.x ).(x2 + 4.x - 3) 2.3 = 6 términos

• (5.x2 + 4.x + 7).(x2 + 4.x - 3) 3.3 = 9 términos

• (x2 + 4.x ).(x3 + x2 + x - 3) 2.4 = 8 términos

• (x2 + 4.x - 5).(x3 + x2 + x - 3) 3.4 = 12 términos

• Sabiendo esto no omitiremos ningún producto parcial. • Ahora bien, una vez reducido el polinomio resultante, el número de

términos, siempre menor o igual al expuesto aquí, será variable.

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

• Las reglas operativas son :

• 1.- Reducir dividendo y divisor.

• 2.- Ordenador dividendo y divisor de forma decreciente.

• 3.- Si el dividendo es incompleto, dejar huecos.

• 4.- Aplicar el algoritmo correspondiente para dividir.

• 5.- Terminar cuando el grado del resto sea menor que el grado del divisor.

• 6.- Comprobar el resultado.

Algoritmo de la división

• Se divide el primer término del dividendo entre

el primer término del divisor.

• Lo que da es el primer término del cociente.

• Se multiplica el primer término del cociente

hallado por el todo el divisor.

• Lo que da hay que restárselo al dividendo.

• Obtenemos así un nuevo dividendo.

• Y se repiten las operaciones para conseguir los

restantes términos del cociente.

Ejemplo de división de

polinomios

• Sea P(x) = x3 + 4.x2 - 2.x + 5

• y Q(x) = x2 + 5

• Hallemos P(x) : Q(x)

• 1.- Están ya ambos reducidos.

• 2.- Están ya ambos ordenados decrecientemente.

• 3.- Ambos son polinomios completos, luego no hay que dejar huecos.

• 4.- Aplicamos el algoritmo para dividir:

• x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5

• x

• Pues x3 : x2 = x

• x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5

• - x3 - 5.x x

• Pues se multiplica x. (x2 +5)

• Y como vamos a restar lo que nos dé se cambia de signo.

• x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5

• - x3 - 5.x x

• 4.x2 - 7.x + 5

• Se repite las operaciones:

• x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5

• - x3 - 5.x x + 4

• 4.x2 - 7.x + 5

• - 4.x2 - 20

• - 7.x - 15

• x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5

• - x3 - 5.x x + 4

• 4.x2 - 7.x + 5

• - 4.x2 - 20

• - 7.x - 15

• 5.- Como el resto ( -7.x – 15) es de grado menor

que el divisor (x2 + 5) se habrá terminado la

división.

• C(x) = x+4 y R(x) = - 7.x – 15

• 6.- Se comprueba que D(x) = d(x).C(x)+R(x)