Escuela secundaria técnica 118

Alumna: Carla Arias Silva

Profesor: Luis Miguel Villarreal Matías

Grado y grupo: 3°A

Materia: Matemáticas

Relación entre Número de Fibonacci y Número Áureo

O3/10/2012

Introducción

En este trabajo revisaremos la relación entre dos grandes series relacionadas con los números

“mágicos” como se les mencionaba anteriormente.

Y buscaremos una relación entre ellos.

Relación entre Número de Fibonacci y Número Áureo

Leonardo da Pisa, conocido también como Fibonacci, fue un matemático ilustre de su tiempo y uno de los primeros europeos en abogar por el uso del sistema de numeración arábiga. Después de viajar durante años, en 1202 publicó Liber Abaci, libro en que recopilaba los conocimientos que había acumulado durante sus viajes.

En éste aparecía el siguiente problema:

El problema de los conejos

Suponiendo que una pareja de conejos cría otra pareja cada mes, y que los conejos son fértiles a partir del segundo mes, ¿cuántos conejos se pueden tener al cabo de un año?

La solución que dio Fibonacci fue que cada mes habría las mismas parejas de conejos que ya había

el mes anterior (se suponía que no había muerto ninguno) más un número nuevo de parejas igual al número de parejas fértiles, que son las que ya había 2 meses antes. Si escribimos una serie con el número de parejas que hay cada mes, obtenemos:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89...

Esta secuencia recibe el nombre de sucesión de Fibonacci, y cada número es un número de Fibonacci, que resulta de sumar los dos números anteriores.

Sucesión natural

Los números de Fibonacci aparecen a menudo en la naturaleza. Por ejemplo, se sabe que de los huevos que pone la abeja reina en una colmena, si están fecundados nacen abejas obreras o reinas, mientras que de los no fecundados nacen zánganos. Así pues, las reinas tienen dos progenitores, mientras que los zánganos tienen sólo uno. El número de individuos en cada generación de ancestros de un zángano sigue la sucesión de Fibonacci. También siguen la sucesión de Fibonacci las ramificaciones de algunas especies de hierba, flores, arbustos o árboles, así como la disposición de los piñones en la piña, o de las florecitas que forman las flores compuestas como las margaritas. Y en el

cuerpo humano, los huesos que forman el dedo índice de la mano están en la misma proporción que los números 2, 3, 5 y 8.

 

 El Número Áureo

Se trata de un número algebraico irracional (decimal infinito no periódico) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción entre segmentos de rectas. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza. Puede hallarse en elementos geométricos, en las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculos de los girasoles, etc.

Asimismo, se atribuye un carácter estético a los objetos cuyas medidas guardan la proporción áurea. Algunos incluso creen que posee una importancia mística. A lo largo de la historia, se ha atribuido su inclusión en el diseño de diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido cuestionados por los estudiosos de las matemáticas y el arte.

El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b que cumplen la siguiente relación:

El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b que cumplen la siguiente relación:

El segmento menor es b. El cociente   es el valor del número áureo: φ.

Surge al plantear el problema geométrico siguiente: partir un segmento en otros dos, de forma que, al dividir la longitud total entre el mayor, obtengamos el mismo resultado que al dividir la longitud del mayor entre la del menor.

Cálculo del valor del número áureo

Dos números a y b están en proporción áurea si se cumple:

Si al número menor (b) le asignamos el valor 1, la igualdad será:

Multiplicando ambos miembros por a, obtenemos:

Igualamos a cero:

La solución positiva de la ecuación de segundo grado es:

que es el valor del número áureo, equivalente a la relación  .

Relación entre número áureo y número de Fibonacci

Ahora recordaremos dos grandes aspectos ya mencionados a lo largo del tema el número áureo y el número de fibonacci recordando sus aspectos más importantes empezaromos con la sucesión de Fibonacci y posteriormente con el número áureo.

La sucesión de Fibonacci  es la siguiente sucesión infinita de números naturales:

Recordando que tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos. También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo, en la flora de la alcachofa y en el arreglo de un cono.

Los números de Fibonacci tienen propiedades matemáticas interesantes, y muchas operaciones aritméticas entre ellos vuelven a dar números de Fibonacci. Una de ellas, apuntada por el astrónomo Johannes Kepler es la siguiente: si vamos dividiendo entre ellos números de Fibonacci consecutivos cada vez mayores, su cociente se acerca al valor 1.618033... Esta constante se denomina número de oro, número áureo o divina proporción, y como ya mencionado hace unos momentos históricamente se le han atribuido propiedades estéticas y he ahí onde encontramos su relación.

Conclusión

En estos momentos ya ha quedado claro su relación como ya antes revisado se puede ver que todo se

forma a partir de una constancia que ahí se explica.