PARADIGMAS 1

RELACiÓN ENTRE EL CONCEPTODE NÚMEROY EL NIVEL DE LOGRO EN EL APRENDIZAJE

DE LA MATEMÁTICA

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Las causas de las dificultades en elaprendizaje de la matemática en elnivel escolar primario, pueden serdiversos y variados, como lo sontambién, las explicaciones teóricoprácticas existentes. De acuerdo a laperspectiva evolutivo cognitiva, seestudió 52 niños .de edades entre 7 y10 años, de uno y otro sexo, quecursaban de 2do a 4to grado dePrimaria. Un grupo de 26 de estosniños evidenció durante los primeros7 meses del año escolar, 80% de notasdesaprobatorias (que van de cero a 10puntos), en el área curricular LógicoMatemática; lo que determinó laconsideración como grupo de bajonivel de logro en el aprendizaje deesta materia: El otro grupo de 26niños, en cambio, presentó durante elmismo periodo de tiempo, 20% decalificaciones desaprobatorias, por loque fue considerado como grupo dealto nivel de logro en el aprendizajede la matemática. Se aplicó a latotalidad de niños, la Prueba deConocimientos Básicos de Matemáticacon el propósito de conocer lafrecuencia y las clases de error en estamateria escolar.

En forma individual, se empleó elMétodo Clínico de Piaget para explorarel concepto de número y las nocionesque lo componen, los resultados deesta evaluación evidencian lasdiferencias respecto a conceptos yprocesos cognitivos entre uno y otrogrupo.

Ps. Beatriz ElvaOQispe Mabas 1

El objetivo fue hallar la relación entre el acceso al conceptode número, según Piaget en el estadio de desarrollo cognitivo delas operaciones concretas, con el nivel de logro en el aprendizajede la matemática. La muestra estuvo integrada por 52 niñoscomprendidos entre las edades de 7 a 10 años, de uno y otro sexoque cursaban de 2do a 4to grado de Primaria, de clase media bajade Lima Metropolitana. De éstos, 26 niños son de alto nivel deaprendizaje de la matemática y los otros 26 son de bajo nivel delogro en el aprendizaje, niveles determinados por las notas deevaluaciones sucesivas logradas durante siete meses de un mismoaño escolar. Se aplicó en ambos grupos la Prueba deConocimientos Básfcos de Matemática, Prueba fundada en laEstructura Curricular del grado escolar correspondiente. Esteexamen permitió conocer los vacíos y errores que existen en elaprendizaje de la matemática. Se usó como instrumento elMétodo Clínico de Piaget, en la exploración del acceso alconcepto de Número y sus nociones componentes: cantidadesdiscretas, de seriación y clase. Su aplicación fue individual.

Se encontró que existe una relación positiva entre el acceso alconcepto de número y el alto nivel de logro aprendizaje de lamatemática; y el no acceso de dicho concepto y el bajo nivel delogro aprendizaje de la matemática.

Palabras Clave: Operaciones concretas, Noción de número,Noción de seriación, Noción de clase, Nivel delogro en el aprendizaje, Comprensión delnúmero en forma oral y escrita, Razo-namiento matemático.

Desde la perspectiva de Piaget, en la etapa de lasOperaciones concretas tiene lugar la conformación delconcepto de número, a este proceso, contribuyen el hecho, deque en este periodo de desarrollo cognitivo, los esquemas yainteriorizados, permiten al niño actuar de modo más adaptativo

Licenciada en Psicología USMP

Relación entre el concepto de número y el nivel de logro en el aprendizaje de lo matemótico

que en el periodo anterior, ya queintervienen sistemas más amplios deoperaciones como la reversibilidad depensamiento (en sus dos variantes)que le permite avanzar simultá-neamente en dos direcciones

opuestas, la reversibilidad porinversión le facilita llevar a cabo unaacción contraria a la que acaba derealizar, es el caso de la operación desuma, si el niño es capaz de sumar3+4, luego de obtener el resultado,será también capaz de realizar laoperación inversa, restando 3 de 7. Elsegundo tipo de reversibilidad porcompensación o reciprocidad, lepermite realizar una segundaoperación mental diferente de unaprimera que anula o compensa losefectos de ésta última. Es el caso de ladivisión, respecto a la multiplicación.El resultado de multiplicar 4 x 2 yobtener 8 puede ser compensadomediante la división 8: 2, es unaoperación distinta de la de partida,pero que produce un efecto opuestoal primero. En esta etapa los dos tiposde reversibilidad son usados de modoindependiente que en la siguienteetapa (Formal), en la que funcionaráncomo un todo unificado.

El concepto de número es igual-mente una construcción cognitiva, se-gún Piaget (1975), se elabora gradual-mente y de manera conjunta con tresnociones: la invariancia (noción decantidades discretas), relacionesasimétricas o seriaciones cualitativas(noción de seriación) y sistemas deinclusión o jerarquía de clases (no-ción de clase). La invariancia, permiteal niño el entendimiento de que losobjetos permanecen idénticos a símismos, sin depender de las disposi-ciones de las cantidades o elementosque lo componen de la unidad y de símismos. La noción de seriación per-mite el niño establecer unasistematización de los objetos siguien-do cierto orden o secuencia determi-nada previamente. La noción de clasele permite comprender la posibilidadde reunir objetos de una o más carac-terísticas en común, expresando laequivalencia cualitativa de todos loselementos de un conjunto.

Simultáneamente con el cumplimiento de las nociones quecomponen el concepto de número, Bermejo (1994), basado enPiaget y Seminzka denomina como propiedades del conceptode número: Abstracción de cualidades, concepto que permiteal niño comprender que todos los objetos son equivalentes(1 =1=1). Orden, capacidad de disponer mentalmente unasecuencia específica de elementos que toma en cuenta a todossin omitir ninguno. Inclusión, consideración mental de integrarun elemento en otro, como uno en dos, dos en tres, tres encuatro, etc.

Haber accedido o no por desarrollo al concepto de númeroy sus nociones componentes, se constituye en lascompetencias necesarias para el aprendizaje o no de lamatemática. El nivel de logro en esta área, que puede ser altoo bajo, es entendido como el grado de dominio o no deconocimientos.

Los resultados de la aplicación del Método Clínico de Piaget,señala respecto al acceso a la noción de número, en uno y otrogrupo, que existen diferencias significativas entre ambos, esdecir, el primero de ellos (bajo nivel de logro), no ha accedidoplenamente a la noción mencionada, la totalidad de ellos seencuentra en una etapa de tránsito. Las implicancias cognitivasde ello, señalan que no pueden entender la secuencia específicade elementos que toma en cuenta a todos sin omitir ni repetirninguno (noción de seriación). El juicio que se forman de lascosas está influido por los cambios perceptibles, de modo quela variación de éstos, les hace cambiar el juicio, no poseen aúnel entendimiento del invariante (noción de cantidadesdiscretas); tampoco pueden conformar grupos o conjuntosporque no pueden abstraer las características comunes de losobjetos (noción de inclusión). Este grupo, entonces, presentacierto retraso en su desarrollo cognitivo, al parecer no seencuentran plenamente en el nivel cognitivo de lasoperaciones concretas En el otro grupo, alto nivel de logro, lasfunciones cognitivas, se cumplen más cabalmente en la mayoríade sus miembros y una minoría está en tránsito de lograrlo, detal modo que es posible decir que éstos niños han accedido alnivel de las operaciones concretas, lo que cognitivamente lespermite un desempeño más ágil y versátil.

En la comparación estadística intergrupo entre acceso alconcepto de número y el nivel de logro en el aprendizaje de lamatemática, se encontró que existe correlación positivamoderada entre las variables mencionadas. En el primer grupo,este grado de correlación significa que, al presentar nivel bajode acceso al concepto de número, el nivel de logro en elaprendizaje de la matemática, también es bajo. Desde laperspectiva de Ausubel D. Novak y Hanessian (México, 1976)este grupo presentaría estructuras con características de noformado, ambiguo o desorganizado, por tanto, al parecer nocumplen con la competencia cognitiva necesaria para elaprendizaje de la matemática. En el otro grupo, la correlaciónpositiva moderada hallada, significa que al presentar nivel altode acceso al concepto de número, el nivel de logro en elaprendizaje de la matemática, también es alto. Este grupo,presenta, según los mismos autores mencionados, estructuras

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cognitivas que se caracterizan por ser estable, claro yorganizado, se conforma entonces como una competenciacognitiva que facilita el aprendizaje de la matemática.

La Prueba de Conocimientos Básicos fundamentada en laEstructura Curricular Básica, no es un instrumentopsicométrico por lo que no requiere baremo para sucalificación. Evalúa a modo de examen la posesión deconocimientos básicos de matemática, lo que permitióconfirmar los resultados de las evaluaciones hallados por losprofesores en el área Lógico Matemática durante los 7 meses deobservación a la muestra examinada. La Prueba está dosificadade acuerdo a los grados escolares 2do, 3ro y 4to. El número deítems explorados en cada grado escolar es de 54, cantidad queconstituye en el máximo número de errores que puede cometercada niño. Las habilidades exploradas son: Área 1 Capacidadpara comprender los números presentados en forma oral yescrita; Área 2 habilidad para el cálculo oral y escrito, Área 3habilidad para contar series numéricas y elementos gráficos yÁrea 4 capacidad para el razonamiento matemático.

De los errores específicos en la Prueba de ConocimientosBásicos de Matemática, de menor a mayor número de erroresen función de la totalidad de los ítems en cada una de las áreasya señaladas, en la totalidad de los alumnos en los grupo debajo y alto nivel de logro en el aprendizaje de la matemática,se observa en el gráfico N° 01

En el gráfico, en la Prueba de conocimientos Básicos, lafrecuencia de errores expresado en porcentajes, evidencia quela secuencia de errores en uno y otro grupo, al parecerrepresenta el mismo grado de dificultad, no obstante, laacumulación de errores establece la diferencia entre ellos.

En el área 1, los errores cometidos por los niños del grupode bajo nivel de logro y su correlato con el concepto de númeroes que, no cumplen con la propiedad de inclusión, no soncapaces de determinar si una cantidad está contenida en otrao que la segunda abarca a la primera. La dificultad paracomprender y expresar los números en forma verbal o escritacorresponde al deficiente manejo de la propiedad deabstracción. El deficiente manejo de la propiedad de orden seexpresa al no ubicar los signos en el lugar correspondiente a launidad, decena, centena, etc. En el otro grupo, alto nivel,numéricamente, las fallas son menores en todas las clases deerror estudiados, esta menor frecuencia de errores implica quese desempeñan mejor cuando resuelven ejercicios uoperaciones matemáticas, lo que evidencia mayor dominio yaplicación del concepto de número y sus propiedades, esto seexpresa, a su vez en el aprovechamiento, favorable en elaprendizaje de esta materia. En el área 2, el grupo de bajo nivel,presenta dificultades en la solución de ejercicios en formaescrita que comprende dificultades de inversión de número,fallas en el manejo de las tablas en las diversas operacionesbásicas, fallas en la solución de ejercicios escritos básicos,dificultad al ubicar las cantidades en los lugarescorrespondientes (UDCM) tanto al realizar operaciones, comoal escribir los resultados. Estos errores implican fallas en la

representación mental, no imaginanlos números y su significado yrecurren a la escritura comosustitución de una forma depensamiento abstracto. De laspropiedades del número, elinadecuado uso de la propiedad deabstracción no les permiterepresentar mentalmente cantidadesni realizar cálculos mentales, sino querecurren a la escritura. Esto, seexpresa también en la dificultad parareconocer y entender el símboloescrito de los números. La ausenciade la propiedad de inclusión, seexpresa en la no comprensión de lascantidades como elementos o

conjuntos que pueden ser agregadoso sustraídos de otros conjuntos. En elgrupo de alto nivel, la diferenciacuantitativamente menor de errores,implica que estos niños poseen mayorhabilidad cognitiva para resolverejercicios de esta clase. Así como unamejor disposición para poner enpráctica las propiedades del conceptode número que, a su vez se refleja enel rendimiento positivo en el Áreacurricular corres pondiente.

.Á.rea3, Las fallas expresadas por elgrupo de bajo nivel, se refieren a nohallar soluciones y estrategias a losejercicios planteados, es decir,dificultades para identificar unacantidad fija que se puede quitar oagregar según la secuencia numéricaplanteada, errores que se expresan alno mencionar siquiera una cantidadinicial que dé indicio de haberentendido el ejercicio.

Tampoco les es posible ordenarcantidades en forma ascendente odescendente. Lo que implica fallas enla abstracción para comprender eidentificar los contenidos yposiciones numéricas En menorfrecuencia de errores pero presenteaún, se encuentra la dificultad en laidentificación de conjuntos, y lacontabilidad total de sus elementos,En este caso, las fallas se expresan alconsiderar los elementos de un grupocomo únicos y diferentes entre sí. Alparecer no elaboran la representaciónmental de los elementos de modo

que al contabilizarlos repiten u

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omiten algunos de ellos, olvidando,además, la posibilidad de contabilizarmultiplicativamente. Con relación alas propiedades del número, la noconformación de una secuencia luegode la identificación de la cantidad

constante; la dificultad para seguir ladirección ascendente o descendenteluego de identificar la "constante" aser agregada o disminuida, evidenciael no cumplimiento cabal de lapropiedad de inclusión. La dificultadpara identificar las cantidades

. anteriores y posteriores es atribuidopor Feldman J. (1979), a fallas en elpensamiento operatorio, en nuestrocaso precisaríamos, el nocumplimiento de la propiedad deabstracción y orden, dadas lascaracterísticas de estas propiedades.En el otro grupo, el evidente menorporcentaje de errores en queincurren, implica un mayor dominio ycumplimiento de las propiedades delconcepto de número, lo que redunda

en el mayor aprovechamiento y cumplimiento de laspropiedades de los objetivos respectivos de aprendizaje delárea curricular lógico matemática. Área 4, la evidente mayordificultad en el grupo de bajo nivel en la solución de problemases comprensible porque significa una forma de acumulación enun conjunto de fallas o errores anteriores. La dificultad en la nocomprensión de problemas aritméticos implica deficienteabstracción en las cualidades de los objetos involucrados y nopoder establecer la correspondencia entre ellos. Al mismotiempo, lo anterior, no les permite la elección de mediosnecesarios para llegar a un fin específico, esto último involucrafallas en el cumplimiento de la propiedad de orden. Las fallas enlas operaciones básicas indican inadecuado cumplimiento delas tres propiedades del número. Fernández Baroja (1979),concluye de su investigación en niños que la solución deproblemas es el más difícil de resolver, a ello atribuye ladificultad de los niños para comprender textos o dificultad enla comprensión lectora (al no comprender el significado de laspalabras, no llegan a comprender el sentido global delproblema). Desde nuestra perspectiva ello implicaría dificultaden la abstracción En el otro grupo, alto nivel, el manejo másoportuno de las propiedades del número se reflejan en el menornúmero y frecuencia de errores, lo que les permite, a su vez,mejor desempeño en el logro de los objetivos relacionados conesta área curricular.

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