regresión y correlación lineal simple

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA FACULTAD DE GEOLOGÍA, MINAS Y CICVIL

ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL Estadística y Probabilidades ES – 241

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1

Estadística Y Probabilidades Resolución del primer examen parcial

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANCRISTÓBAL DE HUAMANGA FACULDA DE GEOLOGIA, MINAS Y CIVIL ESCUELA DE FORMACION PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

2015

2015

2015

Ismael FLORES M AYACUCHO 30/06/2015



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2

“UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTÓBAL DE

HUAMANGA”

“FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS, GEOLOGÍA Y CIVIL”

“ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE

INGENIERÍA CIVIL”

“ESTADISTICA– (ES-241)”

“RESOLUCIÓN DEL PRIMER EXAMEN PARCIAL”

ALUMNO:

FLORES MENDEZ, Ismael.

Código:

16125801

PROFESOR:

Ing. CIP Guillermo B. TAPIA CALDERÓN Ing. Estadístico e Informático, Universidad Nacional La Molina

(UNALM), Maestría en ciencias, Universidad Nacional de Ingeniería

(UNI).

AYACUCHO – PERÚ

2015



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3

I. REGRESIÓN Y CORRELACIÓN LINEAL SIMPLE.

Para poder utilizar los resultados de un examen de aptitud para la contratación de personal

de construcción civil, en un consorcio de edificaciones se tomó esta prueba de conocimientos

de obras civiles y se determinó la productividad de 10 obreros de dicha rama, seleccionados

al azar. Los resultados se presentan en el siguiente cuadro:

TABLA I

Conocimiento(X) 12 17 20 13 8 9 11 13 19 10

Productividad(Y) 40 42 32 20 20 7 24 20 40 30

Dado el siguiente cuadro I, completar columnas ya calcular los valores numéricos de:

I-a) media muestral de X:�̅� I-b) media muestral de Y:�̅�

I-c) Variancia muestral de las X:𝑆𝑋2 I-d) Variancia muestral de las Y: 𝑌𝑋

2

I-e) �̂� =∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖

∑ 𝑥𝑖2 → 𝑥𝑖 = (𝑋𝑖 − �̅�); 𝑦𝑖 = (𝑌𝑖 − �̅�)

𝛽 = Interprete Coeficiente de Regresión Lineal Simple

I-f) �̂� = �̅� − �̂��̅� →Intérprete estadísticamente es estimador 𝜶.

I-g) Determinar el Coeficiente de Correlación e interpretación estadística.

I-h) Determinar el Coeficiente de Determinación e interpretación estadística.

II-i) Determinar el Coeficiente de Alejamiento e interpretación estadística.

I. SUMATORIAS: DOBLES Y TRIPLES; PRODUCTORIA: SIMPLES Y DOBLES

Si las variables 𝐔, 𝐖 𝐲 𝐙 toman los siguientes valores:

𝑈11 = 10 𝑈12 = 12 𝑈13 = −6 𝑈14 = 3 𝑈15 = 1 𝑈16 = −5

𝑈21 = 1 𝑈22 = 3 𝑈23 = 0 𝑈24 = 5 𝑈25 = 2 𝑈26 = 7

𝑈31 = 3 𝑈32 = 0 𝑈33 = −1 𝑈34 = 3 𝑈35 = 0 𝑈36 = −2

𝑊1 = 2 𝑊2 = 3 𝑊3 = 4 𝑊4 = −2 𝑊5 = 1

𝑊6 = 0 𝑊7 = −1 𝑊8 = −2 𝑊9 = 1 𝑊10 = 4

𝑍11 = 2 𝑍12 = 3 𝑍13 = 4 𝑍14 = 6 𝑍15 = 0

𝑍22 = 1 𝑍23 = 5 𝑍24 = −7 𝑍25 = 0

Hallar los valores numéricos de:

II-a) ( )2 5ijU II-b) 1 2i i iW Z U

II-c) ( )( ) ( )2

6jk ij k jU Z U W A

III-d) i ijW Z IV-e) ( )3 25ijU



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4

DESARROLLO

I. REGRESIÓN Y CORRELACIÓN LINEAL SIMPLE.

Para poder utilizar los resultados de un examen de aptitud para la contratación de personal

de construcción civil, en un consorcio de edificaciones se tomó esta prueba de conocimientos

de obras civiles y se determinó la productividad de 10 obreros de dicha rama, seleccionados

al azar. Los resultados se presentan en el siguiente cuadro:

Desarrollo de la tabla.

i X Y ix iy 2

ix 2

iy i ix y

1 12 40 -1.2 12.5 1.44 156.25 -15

2 17 42 3.8 14.5 14.44 210.25 55.1

3 20 32 6.8 4.5 46.24 20.25 30.6

4 13 20 -0.2 -7.5 0.04 56.25 1.5

5 8 20 -5.2 -7.5 27.04 56.25 39

6 9 7 -4.2 -20.5 17.64 420.25 86.1

7 11 24 -2.2 -3.5 4.84 12.25 7.7

8 13 20 -0.2 -7.5 0.04 56.25 1.5

9 19 40 5.8 12.5 33.64 156.25 72.5

10 10 30 -3.2 2.5 10.24 6.25 -8

�̅�=13.2 10

1

132i

i

X

�̅�=27.5 10

1

275i

i

Y

10

1

0i

i

x

10

1

0i

i

y

10

2

1

155.6i

i

x

102

1

1150.5i

i

y

10

1

271i

i

x y

I-a) media muestral de X:�̅�

12 17 20 13 8 9 11 13 19 10

10

13 2

X

X .

Interpretación Estadística: nos muestra el promedio de los valores de X.

I-b) media muestral de Y:�̅�

40 42 32 20 20 7 24 20 40 30

10

27 5

Y

Y .



------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

5

Interpretación Estadística: nos muestra el promedio de los valores de Y.

I-c) Variancia muestral de las X:𝑺𝑿𝟐

( ) ( )2 2

2 1 1

n n

i i

i iX

x X X

Sn n

2 00

10XS

I-d) Variancia muestral de las Y : 𝒀𝑿𝟐

( ) ( )2 2

2 1 1

2

00

10

n n

i i

i iY

Y

y Y Y

Sn n

S

I-e) �̂� =∑ 𝒙𝒊𝒚𝒊

∑ 𝒙𝒊𝟐 → 𝒙𝒊 = (𝑿𝒊 − �̅�); 𝒚𝒊 = (𝒀𝒊 − �̅�)

β̂

.

β̂ .

1

2

1

271

155 6

1 741645244

n

i i

i

n

i

i

x y

x

Interpretación Estadística: El β̂ representa el Coeficiente de Regresión Lineal Simple que

resulta ser igual a 1.741645244.

I-f) �̂� = �̅� − �̂��̅� →Intérprete estadísticamente es estimador 𝜶.

ˆα̂ β

α̂ . ( . )( . )

α̂ .

27 5 1 741645244 13 2

4 510282779

Y X

Interpretación Estadística: El α̂ representa el punto de intersección de la recta con el eje

´YY



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6

I-g) Determinar el Coeficiente de Correlación Lineal Simple(R) e interpretación estadística.

( ) ( )

1 1 1

2 2 2 2

1 1 1 1

n n n

i i i i

i i i

n n n n

i i i i

i i i i

n x y x y

R

n x x n y y

( ) ( )( )

( . ( . )

.

2 2

10 271 0 0

10 155 6 0 10 1150 5 0

0 6405030218

R

R

Interpretación Estadística: El Coeficiente de Correlación Lineal Simple(R) es 0.6405030218,

es un valor como 0.6405030218, es un valor cercano a +1, lo que nos indica que existe un

grado de asociación entre las variables “X” “Y” y que en este caso es de dependencia lineal

directa, ya que la covarianza nos da también el signo de la relación.

I-h) Determinar el Coeficiente de Determinación e interpretación estadística (𝑹𝟐)

.

.

22

2

0 6405030218

0 4231541814

R

R

Interpretación Estadística: 2R = 0.4231541814 representa la reducción relativa de la suma

de cuadrados del error total gracias al uso de la recta de regresión. Así 2R mide la bondad de

ajuste en el sentido q le indica la cantidad de mejoramiento en términos de reducción del error

total gracias al uso de la recta de regresión.

II-i) Determinar el Coeficiente de Alejamiento e interpretación estadística.

( ) %

( . ) %

. %

21 100

1 0 4231541814 100

75 9503666

R

Interpretación Estadística: El coeficiente de alejamiento ( )21 R es 75.950366%, cuyo

valor es la raíz cuadrada de la diferencia entre la unidad y el coeficiente de determinación, todo

multiplicado por 100%.



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7

II. SUMATORIAS: DOBLES Y TRIPLES; PRODUCTORIA: SIMPLES Y DOBLES

Si las variables 𝐔, 𝐖 𝐲 𝐙 toman los siguientes valores:

𝑈11 = 10 𝑈12 = 12 𝑈13 = −6 𝑈14 = 3 𝑈15 = 1 𝑈16 = −5

𝑈21 = 1 𝑈22 = 3 𝑈23 = 0 𝑈24 = 5 𝑈25 = 2 𝑈26 = 7

𝑈31 = 3 𝑈32 = 0 𝑈33 = −1 𝑈34 = 3 𝑈35 = 0 𝑈36 = −2

𝑊1 = 2 𝑊2 = 3 𝑊3 = 4 𝑊4 = −2 𝑊5 = 1

𝑊6 = 0 𝑊7 = −1 𝑊8 = −2 𝑊9 = 1 𝑊10 = 4

𝑍11 = 2 𝑍12 = 3 𝑍13 = 4 𝑍14 = 6 𝑍15 = 0

𝑍22 = 1 𝑍23 = 5 𝑍24 = −7 𝑍25 = 0

Hallar los valores numéricos de:

II-a) ( ) ( )6 3

2 2

1 1

5 5ij ij

j i

U U

SOLUCIÓN

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

6 32 2

1 1

62

1 2 3

1

2 2 2 2

11 21 31 12 22 32 13 23 33 14 24 34

5 5

5

+

ij ij

j i

j j j

j

U U

U U U

U U U U U U U U U U U U

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2

15 25 35 16 26 36

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2

5

10 1 3 12 3 0 6 0 1 3 5 3 1 2 0 5 7 2 5

14 15 7 13 3 0 5

5 595ij

U U U U U U

U

II-b)

5 5 5

1 2 1 2

1 1 1

i i i i i i

i i i

W Z U W Z U

SOLUCIÓN:



------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

8

( . . . )( . . . . )( . . . . )

( . . .( ). )( . . . . )( . . . . . )

1 2 1 2 3 4 11 12 13 14 15 21 22 23 24 25

1 2

1 2

2 3 4 2 1 2 3 4 6 0 1 3 0 5 2 7

0

i i i

i i i

i i i

W Z U W W W W Z Z Z Z Z U U U U U

W Z U

W Z U

𝑷𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐 ∏ 𝑾𝒊 ∏ 𝒁𝟏𝒊

𝟓

𝒊=𝟏

𝟓

𝒊=𝟏

∏ 𝑼𝟐𝒊

𝟓

𝒊=𝟏

= 𝟎

II-c) ( )( ) ( )2

6jk ij k jU Z U W A

.

26 3 2 5 3 10

6

1 1 1 1 1 1

jk ij k j

k j i j k j

U Z U W A

……………………… (I)

SOLUCIÓN

Solución por partes:

..6 3 6 3

1 1 1 1

6

1 2 3

1

11 21 31 12 22 32 13 23 33

1

jk jk

k j k j

k k k

k

U U

U U U

U U U U U U U U U

U

( ) ( ) ( )

4 24 34 15 25 35 16 26 36

6 3

1 1

10 1 3 12 2 0 6 0 1 3 5 3 1 2 0 5 7 2

36jk

k j

U U U U U U U U

U

𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 ∑.

6

𝑘=1

(∑ 𝑈𝑗𝑘

3

𝑗=1

) = 36 … … … … (𝐴)



------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

9

..2 5 2 5

1 1 1 1

2

1 2 3 4 5

1

11 12 13 14 15 21 22 23 24 25

ij ij

i j i j

i i i i i

i

Z Z

Z Z Z Z Z

Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z

( 2 3 4

𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 ∑.

2

𝑖=1

(∑ 𝑍𝑖𝑗

5

𝑗=1

) = 14 … … … … (𝐵)

..

23 10

2

6 16 26 36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1

3 1022

6

1 1

23 10

2

6

1 1

23 10

6

1 1

5 7 2 2 3 4 2 5 0 1 2 1 4

10

10

k j

k j

k j

k j

k j

k j

k j

k j

U W A U U U W W W W W W W W W W A

U W A A

U W A A

U W A

0A

𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 (∑ 𝑈𝑘63𝑘=1 + ∑ 𝑊𝑗

10

𝑗=1)

2

𝐴 = 100𝐴 ………….(C)

Reemplazando en (I) las ecuaciones (A), (B) y (D)

= (36)(14) + 100𝐴

𝑷𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐 ∑(∑∑𝑼𝒋𝒌)(∑𝒁𝒊𝒋) + (∑𝑼𝒌𝟔 + ∑𝑾𝒋)𝟐

𝑨 = 𝟓𝟎𝟒 + 𝟏𝟎𝟎𝑨

II-d)

∏∏𝑾𝒊𝒁𝒊𝒋 = ∏ 𝑾𝒊

𝟏𝟎

𝒊=𝟏

[∏.

𝟓

𝒋=𝟏

(∏ 𝒁𝒊𝒋

𝟐

𝒊=𝟏

)]



------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

10

SOLUCIÓN

= (𝑊1. 𝑊2. 𝑊3. 𝑊4. 𝑊5. 𝑊6. 𝑊7. 𝑊8. 𝑊9. 𝑊10). ∏(𝑍1𝑗 + 𝑍2𝑗)

5

𝑗=1

= ((2.3.4. (−2).1.0. (−1). (−2).1.4)). [(𝑍11. 𝑍21)(𝑍12. 𝑍22)(𝑍13. 𝑍23)(𝑍14. 𝑍24)(𝑍15. 𝑍25)]

= (0). [(2.0)(3.1)(4.5)(6.7)(0.0)]

𝑷𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐 ∏∏𝑾𝒊𝒁𝒊𝒋 = 𝟎

II-e) ∑(∏𝑼𝒊𝒋)𝟑

− 𝟐𝟓 = ∑ .𝟔𝒋=𝟏 (∏ 𝑼𝒊𝒋

𝟑

𝒊=𝟏)

𝟑

− 𝟐𝟓

SOLUCIÓN

= ∑(𝑈1𝑗. 𝑈2𝑗 . 𝑈3𝑗)3

6

𝑗=1

− 25

= [(𝑈11. 𝑈21. 𝑈31)3 + (𝑈12. 𝑈22. 𝑈32)3 + (𝑈13. 𝑈23. 𝑈33)3 + (𝑈14. 𝑈24. 𝑈34)3

+ (𝑈15. 𝑈25. 𝑈35)3 + (𝑈16. 𝑈26. 𝑈36)3] − 25

= [(10.1.3)3 + (12.3.0)3 + ((−6).0. (−1) )3 + (3.5.3)3 + (1.2.0)3

+ ((−5).7. (−2))3] − 25

= [(30)3 + (0)3 + (0)3 + (45)3 + (0)3 + (70)3] − 25

= 461125 − 25

𝑷𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐 ∑(∏𝑼𝒊𝒋)𝟑

− 𝟐𝟓 = 𝟒𝟔𝟏𝟏𝟎𝟎

III. Los siguientes datos corresponden a los jornales diarios de 50 obreros de construcción civil de la carretera Huamanga- San Francisco (Ayacucho), expresado en Nuevos Soles (s/.):

52.50 57.40 61.50 58.40 48.50 56.60 55.90 53.40 48.30 54.50

54.20 51.40 53.10 55.60 56.40 51.50 56.30 56.60 51.70 54.00

56.50 55.40 55.60 55.10 57.00 52.20 56.60 51.40 48.60 48.70

46.00 53.20 58.60 47.00 49.50 54.20 45.70 57.20 48.50 57.10

59.80 57.10 52.30 57.20 55.80 48.20 53.60 53.10 55.10 54.60



------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

11

3.1. Tipología de variable estadística bajo estudio. ¿n es muestra aleatoria pequeña o grande?

El tipo de variable bajo estudio es Variable cuantitativa continúa (v.c.c).

El tamaño de la muestra aleatoria es n=50, se trata de una muestra aleatoria grande

porque 𝑛 > 30

3.2. Calcular el rango de datos originales Rx.

Rango de datos originales:

𝑅𝑥 = 𝑋𝑚á𝑥 − 𝑋𝑚𝑖𝑛

𝑅𝑥 = 61.50 − 45.70

𝑅𝑥 = 15.80

3.3. Determinar el número de intervalos de clase (m) por el método de STURGES.

𝑚 = 1 + 3.32𝑙𝑜𝑔𝑛 𝑚 = 1 + 3.32𝑙𝑜𝑔50 𝑚 = 6.640580414

𝑚′ = 7

3.4. ¿Existirá un nuevo rango y hay Diferencia de Rangos?

3.4.1) Primero determinar la amplitud interválica o ancho de clase: iC

𝑐 =𝑅𝑥

𝑚′ , C= constante

𝑐 =15.80

7

𝑐 = 2.257142857 𝑐′ = 2.3

3.4.2) Hallando el nuevo Rango 𝑅′𝑥 = 𝑐′ × 𝑚′ 𝑅′𝑥 = 2,3 × 7 𝑅′𝑥 = 16.1

3.4.3) Calculando la diferencia de Rangos ∆𝑅𝑥 = 𝑅′𝑥 − 𝑅𝑋

∆𝑅𝑥 = 2.3 − 15.80

∆𝑅𝑥 = 0.3

∆𝑅′𝑥 = −0.15 ∆𝑅′′𝑥 = +0.15



------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

12

3.4.4) Por lo tanto existe un nuevo rango R’x y hay diferencia de rangos

𝑦′0

= 𝑋𝑚𝑖𝑛 − ∆𝑅′𝑥

𝑦′0 = 45.70 − 0.15

𝑦′0 = 45.55

𝑦′𝑚 = 𝑋𝑚á𝑥 + ∆𝑅′′𝑥

𝑦′𝑚 = 61.50 + 0.15

𝑦′𝑚 = 61.65

3.5. Elaborar un cuadro completo de Distribución de jornales de 50 obreros.

i ⌊𝒚′𝒊−𝟏, 𝒚′𝒊⟩ 𝒄𝒊 = 𝒚′𝒊 − 𝒚′𝒊−𝟏 𝒚𝒊 =

𝒚′𝒊−𝟏 + 𝒚′𝒊

𝟐

Tabulación o conteo

𝒏𝒊 𝒉𝒊 =𝒏𝒊

𝒏 𝒉𝒊 × 𝟏𝟎𝟎

1 ⌊45.55, 47.85⟩ 2.3 46.70 III 3 0.06 6.00

2 ⌊47.85, 50.15⟩ 2.3 49 IIII II 7 0.14 14.00%

3 ⌊50.15, 52.45⟩ 2.3 51.3 IIII I 6 0.12 12.00%

4 ⌊52.45, 54.75⟩ 2.3 53.6 IIII IIII I 11 0.22 22.00%

5 ⌊54.75, 57.05⟩ 2.3 55.9 IIII IIII IIII 14 0.28 28.00%

6 ⌊57.05, 59.35⟩ 2.3 58.2 IIII II 7 0.14 14.00%

7 ⌊59.35, 61.65⟩ 2.3 60.5 II 2 0.04 4.00%

50 50 1.00 100%

i 𝑵𝒋 𝑯𝒋 𝑯𝒋 × 𝟏𝟎𝟎 𝑵𝒋∗ 𝑯𝒋

∗ 𝑯𝒋∗ × 𝟏𝟎𝟎 𝒚𝒊𝒏𝒊 𝒚𝒊𝒉𝒊

1 3 0.06 6 50 1.00 100% 140.10 2.8020

2 10 0.20 20 47 0.94 94% 343.00 6.8600

3 16 0.32 32 40 0.80 80% 307.80 6.1560

4 27 0.54 54 34 0.68 68% 589.60 11.7920

5 41 0.82 82 23 0.46 46% 782.60 15.6520

6 48 0.96 96 9 0.18 18% 407.40 8.1480

7 50 1.00 100 2 0.04 4% 121.00 2.4200

2691.5 53.8300



------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

13

i

Yi2*ni |Yi-ȳ|.ni |Yi-Me|.ni

1 6542.67 21.39 161.49

2 16807.00 33.81 376.81

3 15790.14 15.18 322.98

4 31602.56 2.53 592.13

5 43747.34 28.98 753.62

6 23710.68 30.59 376.81

7 7320.50 13.34 107.66

145520.89 145.82 2691.50

3.6. Calcule el salario medio o promedio de datos agrupados. Interpretarla estadísticamente.

Salario medio

.

.

1 2691 5

50

53 83

n

i i

i

y n

Yn

Y

Interpretación Estadística: El valor medio de los salarios de 50 obreros es 53.83 soles.

3.7. Calcule el salario mediano de datos agrupados. Interpretarla estadísticamente.

Primer paso: dividimos el tamaño de la muestra entre dos

n

2=

50

2 = 25



------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

14

Segundo paso: criterio de desigualdad

Nj−1 ≤ n

2≤ Nj

Nj−1 ≤ 25≤ Nj

16≤ 25≤27

Tercer paso: intervalo mediano

i ⌊𝒚′𝒊−𝟏, 𝒚′𝒊⟩ 𝑵𝒋

1 ⌊45.55, 47.85⟩ 3

2 ⌊47.85, 50.15⟩ 10

3 ⌊50.15, 52.45⟩ 16

4 ⌊52.45, 54.75⟩ 27

5 ⌊54.75, 57.05⟩ 41

6 ⌊57.05, 59.35⟩ 48

7 ⌊59.35, 61.65⟩ 50

Cuarto paso:



------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

15

25-16Me=52.45+(2.3)

27-16

Me=54.33181818

Interpretación Estadística: el valor mediano cuyo valor es 54.33 supera a lo sumo al 50% de datos,

pero a su vez es superado por no más del 50% de datos restantes.

3.8. Calcule el salario modal de datos agrupados. Interpretarla estadísticamente.

1er paso: ubicamos los valores máximo, anterior y posterior al máximo

nj = 𝑛𝑚𝑎𝑥 = 14

nj−1 = 11

nj+1 = 7

2do paso:

∆1 = nj − nj−1 = 14 − 11 =3

∆2 = nj − nj+1 = 14 − 7 =7

3er paso: intervalo modal

i ⌊𝒚′𝒊−𝟏, 𝒚′𝒊⟩ ni

1 ⌊45.55, 47.85⟩ 3

2 ⌊47.85, 50.15⟩ 7

3 ⌊50.15, 52.45⟩ 6

4 ⌊52.45, 54.75⟩ 11

5 ⌊54.75, 57.05⟩ 14

6 ⌊57.05, 59.35⟩ 7

7 ⌊59.35, 61.65⟩ 2



------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

16

4to paso:

' 11

1 2

Md j jy C

. ( . )

.

3Md 54 75 2 3

3 7

Md 55 44

Interpretación Estadística: el valor que más se repite es 55.44

3.9. Calcule la variancia y la desviación estándar de datos agrupados. Interpretarlos.

3.9.1 Variancia de datos agrupados.

( ) ( )2 2 2 2

1

1 1

1 1n n

y i i i

i i

V y S n y Y y n Yn n

( . ) ( . )

.

2 2

2

1145520 89 53 83

50

12 7489

y

y

S

S

Interpretación Estadística: el promedio de las desviaciones al cuadrado es 12.7489

3.9.2 Desviación Estándar 3.9.3

.

.

2

12 7489

3 57056018

y y

y

y

S S

S

S

Interpretación Estadística: la desviación Estándar es la raíz cuadrada de la varianza la cual es 3.57056018



------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

17

3.10. Calcule el Primer cuartil (Q1), y el tercer cuartil (Q3). Interpretarlos estadísticamente.

3.10.1 primer cuartil de datos agrupados

Primer paso :𝒊 (𝒏

𝟒)

𝟏. 𝒏

𝟒= 𝟏𝟐. 𝟓𝟎

Segundo paso

Nj−1 ≤ 𝟏𝒙𝒏

𝟒 ≤ Nj

Nj−1 ≤ 12.50 ≤ Nj

10 ≤ 12.50 ≤16

Tercer paso: intervalo primer cuartil


1 ⌊45.55, 47.85⟩ 3

2 ⌊47.85, 50.15⟩ 10

3 ⌊50.15, 52.45⟩ 16

4 ⌊52.45, 54.75⟩ 27

5 ⌊54.75, 57.05⟩ 41

6 ⌊57.05, 59.35⟩ 48

7 ⌊59.35, 61.65⟩ 50



------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

18

Cuarto paso:

𝑄1 = 𝑦′𝑖−1 + 𝐶 [

1𝑥𝑛4 − 𝑁𝑗−1

𝑁𝑗 − 𝑁𝑗−1]

𝑄1 = 50.15 + 2.3 [12.5 − 10

16 − 10]

𝑄1 = 51.10833333

Interpretación estadística: el primer cuartil es una medida de posición cuyo valor es 51.10833333 que supera a no más del 25% de observaciones y es superado por no más de 75% de observaciones restantes. 3.10.2 tercer cuartil de datos agrupados Primer paso:

. ..

337 5

4 4

i n n

Segundo paso

.

.

1

3

4

27 37 5 41

j j

nN N

Tercer paso: intervalo primer cuartil


1 ⌊45.55, 47.85⟩ 3

2 ⌊47.85, 50.15⟩ 10

3 ⌊50.15, 52.45⟩ 16

4 ⌊52.45, 54.75⟩ 27

5 ⌊54.75, 57.05⟩ 41

6 ⌊57.05, 59.35⟩ 48

7 ⌊59.35, 61.65⟩ 50



------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

19

Cuarto paso:

𝑄3 = 𝑦′𝑖−1

+ 𝐶 [3.𝑛

4−𝑁𝑗−1

𝑁𝑗−𝑁𝑗−1]

𝑄3 = 54.75 + 2.3 [37.5−27

41−27]

𝑄3 = 56.475

Interpretación estadística: el tercer cuartil es una medida de posición cuyo valor es 56.475 que supera a no más del 75% de observaciones y es superado por no más de 25% de observaciones restantes.

3.11. Calcule el coeficiente de variación .interpretarlos estadísticamente.

(𝐶. 𝑉)𝑦 =𝑆𝑦

�̅�𝑥100 =

3.57056018

53.83𝑥100= 6.633030243%

Interpretación Estadística: coeficiente de variación de los salarios de 50 obreros es 6.633030243%

3.12. Calcule el Nonagésimo Percentil y el décimo Percentil. Interpretarlos estadísticamente.

3.12.1 El Nonagésimo Percentil (P90) de datos agrupados

Primer paso:

. .9045

100 100

i n n



------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

20

Segundo paso:

. .

.1

9045

100 100

90

100

41 45 48

j j

i n n

nN N

Tercer paso: intervalo nonagésimo percentilico


1 ⌊45.55, 47.85⟩ 3

2 ⌊47.85, 50.15⟩ 10

3 ⌊50.15, 52.45⟩ 16

4 ⌊52.45, 54.75⟩ 27

5 ⌊54.75, 57.05⟩ 41

6 ⌊57.05, 59.35⟩ 48

7 ⌊59.35, 61.65⟩ 50

Cuarto paso:

𝑃90 = 𝑦′𝑖−1 + 𝐶 [

90𝑥𝑛100

− 𝑁𝑗−1

𝑁𝑗 − 𝑁𝑗−1]

𝑃90 = 57.05 + 2.3 [45 − 41

49 − 41]

𝑃90 = 58.20



------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

21

Interpretación estadística: el nonagésimo percentilico es una medida de posición cuyo valor es 58.20 que supera a no más del 90% de observaciones y es superado por no más de 10% de observaciones restantes.

3.12.2 El Décimo Percentil (P10) de datos agrupados Primer paso:

. .105

100 100

i n n

Segundo paso:

.1

10

100

3 5 10

j j

nN N

Tercer paso: intervalo nonagésimo percentilico:


1 ⌊45.55, 47.85⟩ 3

2 ⌊47.85, 50.15⟩ 10

3 ⌊50.15, 52.45⟩ 16

4 ⌊52.45, 54.75⟩ 27

5 ⌊54.75, 57.05⟩ 41

6 ⌊57.05, 59.35⟩ 48

7 ⌊59.35, 61.65⟩ 50

Cuarto paso:

𝑃10 = 𝑦′𝑖−1

+ 𝐶 [10𝑥𝑛

100−𝑁𝑗−1

𝑁𝑗−𝑁𝑗−1]



------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

22

𝑃10 = 47.85 + 2.3 [5−3

10−3]

𝑃10 = 48.50714286

𝑃10 = 48.507

Interpretación estadística: el décimo percentilico es una medida de posición cuyo valor es 48.507 que supera a no más del 10% de observaciones y es superado por no más de 90% de observaciones restantes.

3.13. Calcule el recorrido intercuartílico y el semi-recorrido intercuartílico. Interpretarlos.

3.13.1 recorrido intercuartílico

. .

.

3 1

56 475 51 108

5 367

IQ

IQ

IQ

R Q Q

R

R

Interpretación Estadística: el recorrido intercuartílico que es igual 5.367es la

distancia entre el tercer y el primer cuartil. 3.13.2 semi-recorrido intercuartílico

𝑹𝑰𝑸

𝟐=

𝑸𝟑 − 𝑸𝟏

𝟐

𝑹𝑰𝑸

𝟐=

𝟓. 𝟑𝟔𝟕

𝟐= 𝟐. 𝟔𝟖𝟑𝟓

Interpretación estadística: el recorrido intercuartílico que es igual a 2.6835 es la

semi-diferencia entre el tercer y el primer cuartil.

3.14. Calcule el recorrido interpercentÍlico. Interpretar estadísticamente.



------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

23

. .

.

90 10

58 20 48 507

9 693

IP

IP

IP

R P P

R

R

Interpretación estadística: el recorrido interpercentÍlico que es igual 9.693 es la

distancia entre el nonagésimo y el décimo percentil.

3.15. Hallar el 1er. Coeficiente de PEARSON. ¿Qué distribución dará CAs, en este caso?

CAs= �̅�−Md

𝑠𝑦

CAs= 53.83−55.44

3.57056018= −0.459096385

CAs=−0.459

Como el CAs < 0, la distribución es asimétrica negativa o sesgada hacia la izquierda.



------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

24

3.16. Hallar el 2do. Coeficiente de PEARSON. ¿Qué distribución dará CAs, en este caso?

𝐴𝑠 = 𝛽 = 𝑄3 + Q1 − 2Me

𝑄3 − 𝑄1

CAs= 56.475+51.108−2(54.3318)

56.475+51.108

CAs= -0.2013415316

Como el CAs< 0, la distribución es asimétrica negativa o sesgada hacia la izquierda.

3.17. Hallar el Coeficiente percentilico de Kurtosis. ¿Qué distribución generara?

K= 𝑸𝟑−𝑸𝟏

𝟐(𝑷𝟗𝟎−𝑷𝟏𝟎)

K= 56.475+51.108

2(58.20−48.507)

K= 5.549520272

Como K > 0.263, genera una distribución leptokúrtica



------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

25

IV. si tiene la siguiente información de la distribución de frecuencias de 50

elementos de un material bajo prueba de ruptura ( 𝑒𝑛 𝐾𝑔

𝑐𝑚3⁄ ); tal que la

longitud de los intervalos es igual a 20.

Cuadro N° IV:

Y'i-1 , Y'i Yi ni Nj Yini

300

400

23 350

17

,120 440

50

IV-a). Dar título al cuadro estadístico adjunto.

Cuadro de Distribución de 50 materiales bajo prueba de ruptura.

IV-b). A partir de los datos reconstruir un cuadro completo de distribución

CUADRO N° IV: Distribución de 50 materiales bajo prueba de ruptura.

[ 𝑌´𝑖−1 ,𝑌´

𝑖⟩ 𝑦𝑖 𝑛𝑖 𝑁𝑖 𝑦𝑖𝑛𝑖 𝑦𝑖 − �̅� (𝑦𝑖 − 𝑦)̅̅ ̅𝑛𝑖 𝑦𝑖 − 𝑀𝑒 (𝑦𝑖 − 𝑀𝑒) 𝑛𝑖

20,40 30 10 10 300 46 460 52.35 523.5

40,60 50 8 18 400 26 208 32.35 258.8

60,80 70 5 23 350 6 30 12.35 61.75

80,100 90 17 40 1530 14 238 7.65 130.05

100,120 110 4 44 440 34 136 27.65 110.6

120,140 130 6 50 780 54 324 47.65 285.9

Sumatoria 50 3800 1396 1370.6



------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

26

1

20 4030

2Y

2

40 6050

2Y

3

60 8070

2Y

4

80 10090

2Y

5

100 120110

2Y

5

100 120110

2Y

IV-c). Interprete estadísticamente algunas casillas llenadas.

1) i = 4: es el indicador del cuarto intervalo de clase.

2) Y5: 110 Es la marca de clase del quinto punto medio del intervalo de clase.

3) C: Es la constante C = 20

4) n: 50 distribuciones de materiales bajo prueba de ruptura.

5) m: 6 es el número de intervalos de clase.

6) N4: 40 materiales registraron tener no más de 90 kg/cm2.

7) n2: 8 materiales registraron que se sometieron a prueba de ruptura de 50 kg/cm2.



10) n3: 8 materiales registraron que se sometieron a prueba de ruptura de 60 kg/cm2.

IV-d). Determinar la media, mediana y moda e interpretarlas estadísticamente.

a. Mediana de datos agrupados.

�̅� = ∑𝑦𝑖𝑛𝑖

𝑛

𝑛𝑖

�̅� =3800

50= 76



------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

27

Interpretación estadística: la media muestral es el valor medio de 50 materiales

es 76, es un estadígrafo de posición cuyo valor es el promedio de las marcas de

clase.

b. Mediana de datos agrupados.

Primer Paso: Tamaño de la muestra sabiendo: 𝑛

2= 25

Segundo Paso: criterio de desigualdad

Tercer pasó: buscando intervalo y remplazar

[ 𝒀´𝒊−𝟏 ,𝒀´

𝒊⟩ 𝑵𝒊

[20,40> 10

[40,60> 18

[60,80> 23

[80,100> 40

[100,120> 44

[120,140] 50

Sumatoria

Cuarto paso: mediana de datos agrupados

𝑀𝑒 = 𝑦𝑖−1 + (𝑛

2−𝑁𝑗−1

𝑁𝑗−𝑁𝑗−1) = 80 + 20 (

25−23

40−23) = 82.35294118

Interpretación estadística: Siendo un estadígrafo de posición medio de 50

datos, donde el valor mediano 82.35294118, cuyo valor supera a no más del 50%

de datos y es superado por no más de 50 % de datos.

1 25

23 25 40

j jN N



------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

28

c. Hallar la moda e interpretarla.

Primer Paso:

max

1 1

17

5 ; 4j j

n

n n

Segundo Paso:

1

2

17 5 12

17 4 13

Tercer pasó: buscando intervalo modal

[ 𝒀´𝒊−𝟏 ,𝒀´

𝒊⟩ 𝒏𝒊

[20,40> 10

[40,60> 8

[60,80> 5

[80,100> 17

[100,120> 4

[120,140] 6

50

Cuarto paso: mediana de datos agrupados Sabiendo que 𝑛𝑖 máx. = 17

𝑀𝑑 = 𝑦𝑖−1 + 𝑐 (𝑛 − 𝑛𝑗−1

(𝑛𝑗−𝑛𝑗−1) − (𝑛𝑗−𝑛𝑗+1))

𝑀𝑑= 80 + 20(17−5

(17−5)+(17−4)) = 89.6



------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

29

Interpretación estadística: Es un estadígrafo de tendencia central, el valor que

más se repite es 89,6

IV-e) Calcular la desviación media y desviación mediana e interpretar estadísticamente.

a. Desviación media de datos agrupados:

|D. M|y =∑ |yi−y̅|ni

mi=1

n

|D. M|y =∑ |yi−y̅|ni

mi=1

n

|D. M|y =1396

50 = 27.92

Interpretación estadística: la desviación media de 27.92Kg/𝑐𝑚2 es un

estadígrafo de dispersión cuyo valor absoluto de las desviaciones con respecto a

la media obtenido.

b. Calcular a desviación mediana e interpretar estadísticamente.

Desviación mediana de datos.

y̅=76, n=50

Me = 82.35294118kg/cm2

|D. Me|y =∑ |yi−Me|ni

mi=1

n

|D. Me|y =1370.6

50 |D. Me|y =27.412

Interpretación estadística: La desviación Mediana es 27.412Kg/𝑐𝑚2 es un

estadígrafo de dispersión cuyo valor es el promedio del valor absoluto de las

desviaciones con respecto a la mediana.

Gracias ingeniero por su exigencia, estadística aprendí…

Es la segunda vez q llevo……

regresión y correlación lineal simple

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