INTRODUCCIN

Uno de los aspectos ms relevantes de la Estadstica es el anlisis de la relacin o dependencia

entre variables. Frecuentemente resulta de inters conocer el efecto que una o varias variables

pueden causar sobre otra, e incluso predecir en mayor o menor grado valores en una variable a

partir de otra. Por ejemplo, supongamos que la altura de los padres influyen significativamente en la

de los hijos. Podramos estar interesados en estimar la altura media de los hijos cuyos padres

presentan una determinada estatura.

Muchas veces las decisiones se basan en la relacin entre dos o ms variables.Ejemplos

Dosis de fertilizantes aplicadas y rendimiento del cultivo.

La relacin entre la radiacin que reciben los sensores con la que se predicen los

rendimientos por parcelas con los rendimientos reales observados en dichas parcelas.

Relacin entre tamao de un lote de produccin y horas hombres utilizadas para realizarlo.

Distinguiremos entre relaciones funcionales y relaciones estadsticas

REGRESIN

1. Introduccin

Estudio conjunto de dos variables

Relacin entre las variables

Regresin lineal

Historia del concepto de regresin lineal

2. Definicin

Consiste en la medicin del grado de dependencia de una variable dependiente Y sobre una

variable independiente (o de regresin) X. La variable independiente es manipulada por el

experimentador. Es decir, el experimentador decide qu valores tomar la variable independiente,

mientras los valores de la variable dependiente estn determinados por la relacin, si existe, entre

ambas variables.

Ejemplo: Y = f(x)

Es una ecuacin que define la relacin lineal entre dos variables donde una variable

depende de la otra variable.

Se puede decir que Y depende de X. Y = f(X) Como Y depende de X, entonces: Y es la

variable dependiente, explicativa o de prediccin . X es la variable independiente o variable

respuesta.

3. Ejemplo

Si un investigador mide el grado de dependencia del ritmo cardaco en ciertos animales

sometindolos a temperaturas especficas tales como: 10C, 20C, 30C. En este caso, la

Temperatura no es una variable aleatoria porque los valores de T son establecidos por el

investigador. El ritmo cardaco, por su parte, si es una VA ya que no est bajo el control del

investigador.

Considrese el diagrama de Dispersin siguiente donde Y representa el Ritmo Cardaco de un cierto

animal y X la Temperatura a la cual es sometido dicho animal bajo ciertas condiciones.

Un anlisis a este diagrama de dispersin indica que, si bien una curva no pasa exactamente por

todos los puntos, existe una evidencia fuerte de que los puntos estn dispersos de manera aleatoria

alrededor de una lnea recta. Por consiguiente, es razonable suponer que la media de la VA Y est

relacionada con X por la siguiente relacin lineal:

Donde:

- 0,1, reciben el nombre de Coeficientes de Regresin, los cuales son parmetros que deben

estimarse a partir de datos muestrales.

La manera apropiada para generalizar este hecho, con un modelo Probabilstica Lineal es suponer

que el valor esperado de Y es una funcin lineal de X, pero que para una valor fijo de X, el valor real

de Y est determinado por el valor medio de la funcin (el modelo lineal) ms un trmino que

representa un error aleatorio, por ejemplo:

Este modelo recibe el nombre de MODELO DE REGRESIN LINEAL SIMPLE, ya que solo tiene

una variable independiente o regresor.

4. Mtodo de mnimos cuadrados

5. 6. Supngase ahora que se tienen n pares de observaciones (x1, y1); (x2, y2);;(xn, yn). En

el siguiente grfico puede observarse una representacin grfica de dispersin de los

datos observados y un candidato para la recta de Regresin. Las estimaciones de

deben dar como resultado una lnea que, en algn sentido, se ajuste mejor

a los datos.

El Mtodo de Mnimos Cuadrados: consiste en estimar los coeficientes de

regresin ( ) de modo que se minimice la suma de los cuadrados de las distancias verticales que hay entre cada valor observado y la recta de regresin estimada.

Entonces, la recta de regresin estimada o ajustada, es:

Las estimaciones de mnimos cuadrados de loa ordenada al origen y la pendiente del modelo de Regresin Lineal Simple son:

7. El modelo de regresin lineal simple

n pares de la forma (xi,yi)

Objetivo: valores aproximados de Y a partir de X

X: variable independiente o explicativa

Y: variable dependiente o respuesta (a explicar)

pendiente

intercepto

regresin de escoeficient y

1

0

10

10

iii uxy

CORRELACIN

1. Definicin

Consiste en determinar el grado de asociacin (interdependencia) entre dos variable. En la

Correlacin se est interesado en saber si dos variables covaran, es decir, si varan juntas.

2. Nube de puntos o diagrama de dispersin.

a. Correlacin directa: Sobre la nube de puntos puede trazarse una recta que se

ajuste a ellos lo mejor posible, La recta correspondiente a la nube de llamada recta

de puntos de la distribucin es una recta creciente. regresin.

b. Correlacin inversa

c. Correlacin nula: En este caso se dice que las La recta correspondiente a la

variables son encorraladas y la nube de puntos de la distribucin es nube de puntos

tiene una forma una recta decreciente. redondeada. Llamado tambin ajuste de

curvas es una ecuacin dada en un grafico,dependiendo del grado de correlacin

que mas se ajuste al conjuntode datos.

3. Coeficiente De Correlacin

El Coeficiente de Correlacin (r): requiere variables medidas en escala de intervaloso de

proporcin, que Vara entre -1 y 1.

Valores de -1 1 indican correlacin perfecta.

Valor igual a 0 indica ausencia de correlacin.

Valores negativos indican una relacin lineal inversa

Valores positivos indican una relacin lineal directa

Frmula para el coeficente de correlacin (r) Pearson

2222 )()())(()(

YYnXXn

YXXYnr

4. Ejemplo

Un investigador desea determinar la asociacin entre la biomasa marina y la cantidad de clorofila. El

investigador por tanto, saca repetidas muestras de agua de un lugar de muestreo en un lago y mide

la cantidad de clorofila y la biomasa en cada muestra repetida. En esta situacin el investigador no

tiene control sobre una u otra variable, puesto que ambosvalores encontrados en las muestras

sernlos que la naturaleza provee. Por ello, estas variables son aleatorias y la correlacin es el

procedimiento estadstico adecuado.

Conceptos bsicos

1. Regresin: Es un procedimiento estadstico que estudia la relacin funcional entre

variables.Con el objeto de predecir una en funcin de la/s otra/s.

2. Correlacin: Un grupo de tcnicas estadsticas usadas para medir la intensidad de la relacin

entre dos variables

3. Diagrama de Dispersin: Es un grfico que muestra la intensidad y el sentido de la relacin

entre dos variables de inters.

4. Variable dependiente (respuesta, predicha, endgena): es la variable que se desea predecir

o estimar

5. Variables independientes (predictoras, explicativas exgenas). Son las variables que

proveen las bases para estimar.

6. Regresin simple: interviene una sola variable independiente

7. Regresin mltiple: intervienen dos o ms variables independientes.

8. Regresin lineal: la funcin es una combinacin lineal de los parmetros.

9. Regresin no lineal: la funcin que relaciona los parmetros no es una combinacin lineal