4.2. Regla del trapecio

Esta aproximacion es consecuencia del promediado de las aproxima-ciones representadas por las ecuaciones (1) y (2):

(3) baf(x)dx 1

2

[ni=1 f(xi1)x+

ni=1 f(xi)x

]=

= x2

[(f(x0) + f(x1)

)+(f(x1) + f(x2)

)+ . . .+

(f(xn1) + f(xn)

)]= x

2

[f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + . . .+ 2f(xn1) + f(xn)

]donde: x =

ban

xi = a+ ix

La causa del nombre de la regla del trapecio se puede ver en la figura,que muestra el caso cuando f(x) 0. El area del trapecio sobre el i-esimo subintervalo es:

x(f(xi1) + f(xi)

2

)=

x

2

[f(xi1) + f(xi)

]y si sumamos las areas de esos trapezoides obtenemos el lado dere-

cho de la ecuacion (3).

12

Ejemplo 4.2. Emplear la regla del trapecio y la regla del punto medio, conn = 5, para calcular aproximadamente la integral

21

1xdx.

4.3. Regla de Simpson

Las reglas anteriores pueden interpretarse diciendo que hemos apro-ximado f en cada subintervalo por un polinomio de primer grado. En laregla de Simpson damos un paso mas y aproximamos f por polino-mios de segundo grado, empleando segmentos parabolicos en lugar desegmentos de recta.

Teorema 4.3. Sea f continua en [a, b]. La regla de Simpson para aproxi-mar

baf(x)dx viene dada por: b

a

f(x)dx b a3n

[f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+4f(x3)+. . .+4f(xn1)+f(xn)],

donde n ha de ser par.

Ademas, cuando n, el lado de la derecha tiende a baf(x)dx.

Justificacion. El intervalo [a, b] se parte en n subintervalos iguales, cadauno de anchura

x =b an

.

Requerimos que n sea par, y agrupamos los subintervalos por pares, deforma que:

a = x0 < x1 < x2 < x3 < x4 < . . . < xn2 < xn1 < xn = b

produce la particion

[x0, x2], [x2, x4], . . . , [xn2, xn].

13

En el subintervalo[x0, x2]

aproximamos f por el polinomio p(x) de menor grado (como mucho 2) quepase por los puntos

(x0, y0), (x1, y1), (x2, y2). x2x0

f(x)dx x2x0

p(x)dx =

x2x0

(ax2 + bx+ c)dx = [ax3

3+bx2

2+ cx]x2x0 =

=a(x32 x30)

3+b(x22 x20)

2+c(x2x0) = x2 x0

6[2a(x20+x2x0+x

22)+3b(x0+x2)+6c] =

=x2 x0

6[(ax20+bx0+c)+4(a(

x0 + x22

)2+b(x0 + x2

2)+c)+(ax22+bx2+c)] =

=2(ba)

n

6[p(x0) + 4p(x1) + p(x2)] x2 x0

6[f(x0) + 4f(x1) + f(x2)]

Ejemplo 4.4. Aplicar la regla de Simpson, con n = 10, para hallar aproxi-madamente 2

1

1

xdx.

f(x) = 1x, n = 10, x = 0,1. 2

1

1

xdx S10 =

x

3[f(1)+4f(1,1)+2f(1,2)+4f(1,3)+2f(1,4)+4f(1,5)+2f(1,6)+4f(1,7)+2f(1,8)+4f(1,9)+f(2)] =

=0,1

3[1

1+

4

1,1+

2

1,2+

4

1,3+ . . .+

4

1,9+

1

2] 0,693150

14

4.4. Lmites de error

Definicion 4.5. El error al emplear una aproximacion es la cantidad quese necesita sumar a la aproximacion para volverla exacta:

Valor exacto = Valor aproximado + Error

Ejemplo 4.6. 21

1xdx = [ln x]21 = ln 2 = 0,693147 . . . Valor exacto.

Valor aproximado con la regla del trapecio para n = 10:

T10 0,693771

Error cometido:

ET = 0,693147 0,693771 0,000624

Valor aproximado con la regla del punto medio para n = 10:

M10 0,692835

Error cometido:

EM = 0,693147 0,692835 = 0,000312

Valor aproximado con la regla de Simpson para n = 10:

S10 0,693150

Error cometido:

ES = 0,693147 0,693150 = 0,000003

15

Observacion. ET y EM tienen siempre signos contrarios, y |EM | es, apro-ximadamente, la mitad del valor de |ET |. El error cometido con la regla deSimpson es menor que el cometido con las reglas del trapecio o del puntomedio.

Teorema 4.7. Sea f continua en [a, b]. Si ET , EM y ES son los errores enque se incurre con las reglas del trapecio, del punto medio y de Simpsonrespectivamente se tiene que:

|ET | k(b a)3

12n2, siendo k R t.q. |f (x)| k para todo x [a, b]

|EM | k(b a)3

24n2, siendo k R t.q. |f (x)| k para todo x [a, b]

|ES| k(b a)5

180n4, siendo k R t.q. |f IV (x)| k para todo x [a, b]

Ejemplo 4.8. Hallar una estimacion del error cometido al aplicar la regladel trapecio, con n = 5, para hallar un valor aproximado de la integral 21

1xdx.

f(x) =1

x f (x) = 1

x2 f (x) = 2

x3

|f (x)| = | 2x3| 2, 1 x 2

Como k = 2, a = 1, b = 2, n = 5, tenemos:

|ET | 2(2 1)3

12 52 0,006667

Observamos que efectivamente

|ET | = | 0,000624| = 0,000624 0,006667

16

Ejemplo 4.9. Que valor ha de tener n para garantizar que la aproxima-cion, mediante la regla de Simpson, de

21

1xdx, tenga una exactitud de

0.0001?

f(x) =1

x f (x)) = 1

x2 . . . f IV )(x) = 24

x5

|f IV )(x)| = |24x5| 24 1 x 2

Como k = 24, a = 1, b = 2, tenemos que elegir n de modo que:

|ES| < 0,000124 13180n4

< 0,0001

n4 >24

180 0,0001n >

140,00075

6,04Por tanto, n = 8 produce la exactitud deseada.

5. Integrales impropias

La definicion de la integral definida baf(x)dx requiere que el intervalo

[a, b] sea finito. Ademas, el teorema fundamental del calculo, con el quehemos evaluado integrales, exige que f sea continua en [a, b]. Ahora dis-cutiremos un proceso de lmite para calcular integrales que incumplan es-tos requisitos, bien sea (a) porque uno o ambos lmites de integracionson infinitos, o (b) porque f tiene en [a, b] un numero finito de discontinui-dades infinitas. Las integrales que se enmarcan en alguno de esos dossupuestos se llaman integrales impropias. Recordemos que se dice queuna funcion f tiene una discontinuidad infinita en c si, por la izquierda opor la derecha,

lmxc

f(x) = o lmxc

f(x) =

17