OCTAVO AÑO 10-12-2014

Introducción

Los números están en cada una de las acciones de la vida cotidiana y con ellos podemos contar, ordenar, medir y comparar dos o varias cantidades.

Para cada acción siempre se utilizan diferentes tipos de números. Un mismo número puede representar cantidades diferentes de acuerdo con su

significado, y en otras ocasiones, números expresados de formas diferentes pueden tener el mismo significado.

Diferentes números expresando la misma cantidad.

A partir de las diferentes operaciones de cálculo que podemos realizar con los números, han ido surgiendo los conjuntos numéricos y dentro de ellos los el de los números

fraccionarios.

Definición

Los números fraccionarios o fracciones comunes se forman al plantear una división entre dos números naturales, teniendo en cuenta que siempre el divisor debe ser

diferente de cero.

En un número fraccionario o fracción, el denominador indica las partes en que se divide la unidad y el numerador indica las partes que se toman.

Formas de expresión

Una fracción puede considerarse como el cociente exacto de dividir el numerador entre el denominador, de ahí que se pueda escribir también como el cociente a : b. Una fracción representa un número natural cuando al dividir el numerador por el

denominador el resto de la división es cero.

Las fracciones comunes se pueden expresar en notación decimal. El número que se encuentra a la izquierda de la coma es la parte entera y las cifras que quedan situadas a

la derecha de la coma son la parte decimal. La primera cifra después de la coma

representa las décimas, la segunda las centésimas, la tercera las milésimas y así

sucesivamente.

10 décimas forman una unidad, 10 centésimas forman una décima y 10 milésimas forman una centésima. Luego una unidad tiene 10 centésimas, 100 centésimas y 1000

milésimas.

También existen las fracciones propias y las impropias:

Una fracción se llama propia si su numerador es menor que su denominador. Una fracción se llama impropia si su numerador es mayor que su denominador.

Se puede expresar como un número mixto formado por un número natural más una fracción propia.

Si el numerador de una fracción es múltiplo del denominador, la fracción

representa un número natural.

Representación de los números fraccionarios sobre una

recta numérica

Las fracciones propias o expresiones decimales cuya parte entera es cero, siempre estarán situadas entre 0 y 1. Para representarlas se divide la unidad en tantas partes

iguales como indique el denominador y posteriormente se determina el punto que representa las partes que indica el numerador. Si la fracción es un medio, la unidad se divide en dos partes iguales y el punto que corresponde a esa fracción es el que indica la

mitad de la unidad. Para representar en la recta numérica una expresión decimal se puede expresar como fracción común (aunque no es necesario).

En muchas ocasiones se ubica por su significado. Las fracciones impropias, que pueden

aparecer representadas como números mixtos o expresiones decimales donde la parte entera es diferente de cero, siempre se ubican en la recta numérica a la derecha de 1. Para ello se ubica primero el punto correspondiente a la parte entera y a partir de él, se

determina en qué punto de la próxima unidad está ubicada la fracción o parte decimal del número, siendo este último, el lugar de la recta numérica donde queda situado este

número fraccionario o fracción.

El menor número fraccionario es cero pero entre un número fraccionario y otro existen infinitos números más, luego no tienen antecesor ni sucesor. Se dice que este dominio numérico es un dominio denso.

NOVENO AÑO: 10-12-2014

Monomios

Ejercicio resuelto

Un monomio es una expresión algebraica de la forma , donde a es el coeficiente, el resto la parte literal. Operaciones con monomios.

Suma de monomios.Para sumar dos monomios con la misma parte literal, se mantiene ésta y se

suman los coeficientes.

Resta de monomios.Para restar dos monomios con identica parte literal, mantenemos la parte literal

y restamos los coeficientes. Producto de monomios.Se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de los elementos

con la misma base. Cociente de monomios.Se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de los elementos

de la misma base.

DECIMO AÑO : 10-12-2014

Ecuación de primer grado Una ecuación es una igualdad que sólo se verifica para unos valores concretos de una variable,

generalmente llamada x.

Resolver una ecuación consiste en hallar los valores de la variable que hacen cierta la igualdad.

Recuerda:

Si un elemento está sumando en un miembro pasa al otro restando. Si está restando pasa

sumado.

Si un número multiplica a todos los elementos de un miembro pasa al otro dividiendo y si los

divise pasa multipllicando.

Resuelve la ecuación

SEGUNDO BGU: 10-12-2014

MULTIPLICACIÓN POR POLINOMIOS

La multiplicación de polinomios es una operación algebraica que tiene por objeto hallar

una cantidad llamada producto dadas dos cantidades llamadas multiplicando y

multiplicador, de modo que el producto sea con respecto del multiplicando en signo y

valor absoluto lo que el multiplicador es respecto a la unidad positiva. Tanto el

multiplicando como el multiplicador reciben el nombre de factores del producto.

La multiplicación de polinomios cumple la propiedad distributiva. Es decir, que dados

tres polinomios cualesquiera se cumplirá que . Esta ley

acostumbra a enunciarse diciendo que los factores se pueden agrupar de cualquier

manera.

Asimismo, el producto de polinomios también cumplía la propiedad conmutativa. Es

decir, que dados los polinomios cualesquiera , se cumplirá que . Esta ley

acostumbra a enunciarse diciendo que el orden de los factores no altera el producto.

Por lo que respecta al signo del producto de dos factores, pueden presentarse los

cuatro puntos siguientes:

a) Si dos factores tienen el mismo signo positivo, su producto también tendrá

signo positivo.

b) Si el multiplicador tiene signo positivo y el multiplicando tiene signo negativo,

el producto tendrá signo negativo.

c) Si el multiplicando tiene signo positivo y el multiplicador tiene signo negativo, el

producto tendrá signo negativo.

d) Si dos factores tienen ambos signo negativo, su producto tendrá signo positivo.

PRIMERO BGU: 10-12-2014

Funciones

Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera

vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potenciaxn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta

recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un

símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello. Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función

(unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama

variables dependientes. Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores que toma Y constituye su recorrido".

Una función f de A en B es una relación que le hace corresponder a cada elemento x E A uno y solo un elemento y E B, llamado imagen de x por f, que se escribe y=f (x). En

símbolos, f: A à B Es decir que para que una relación de un conjunto A en otro B sea función, debe

cumplir dos condiciones, a saber: Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen. La imagen de cada elemento x E A debe ser única. Es decir, ningún elemento del

dominio puede tener más de una imagen. El conjunto formado por todos los elementos de B que son imagen de algún elemento

del dominio se denomina conjunto imagen o recorrido de f.

Observaciones: En una función f: Aà B todo elemento x E A tiene una y solo una imagen y E B. Un elemento y E B puede:

No ser imagen de ningún elemento x E A Ser imagen de un elemento x E A

Ser imagen de varios elementos x E A. La relación inversa f-1 de una función f puede no ser una función

TERCERO DE BGU: 10-12-2014

Interpolación de medios geométricos

Interpolar n medios geométricos entre otros dos conocidos a y b,

consiste en construir una progresión geométrica a, a1, a2, ...,an, b.

Para resolver este problema basta con conocer la razón que ha de tener la progresión, la cual se deduce sin más que tener en cuenta dos cosas:

1) La sucesión tiene n + 2 términos.

2) El primer término es a y el n + 2 es b. Aplicando la fórmula del término general de una progresión geométrica

se tiene que:

b = a · rn + 2 - 1, de donde

Una vez conocido el valor de la razón, a1 se obtiene como el producto de

r por a; a2 es el producto de a1 por r , y así sucesivamente.