Repaso para el segundo capıtulo de Geometrıa

Analıtica Vectorial

Ana Cristina Chavez Caliz

15 de octubre de 2009

1. Rectas y planos

1.1. Ecuaciones

Dados un punto A : (a, b, c) y un vector u = li+mj+nk podemos determinarla ecuacion de una recta que pasa por el punto dado, con sentido correspondienteal vector.

En la figura 1 A : (a, b, c) es el punto conocido, el vector de color negroes nuestro vector conocido u = li + mj + nk, mientras que el vector ku es unmultiplo del vector u. P : (x, y, z) sera el punto final del vector ku, mientrasque los vectores A = ai + bj + ck y P = xi + yj + zk son los vectores posicionde los puntos A y P , respectivamente.

Ahora, notemos que cualquier vector multiplo de u esta en la recta, y queademas, el vector posicion del punto P es la suma del el vector A con un multiplode u, esto podemos expresarlo mediante la ecuacion:

P = A + ku (1)

A la ecuacion 1 es conocida como Ecuacion vectorial de la recta, y de estapodemos despejar y obtener estas otras ecuaciones:

x = a + kl

y = b + km

z = c + kn

A estas ecuaciones se les llama ecuaciones parametricas, y podemos de cadauna de ellas despejar k e igualarlas, obteniendo la ecuacion simetrica de la recta:

x− a

l=

y − b

m=

z − c

n

Para el plano funciona de manera similar, ya que la ecuacion vectorial de larecta es la misma, y, dado que trabajamos en dos dimensiones, las ecuacionesparametricas de la recta son:

1

Figura 1: Encontrar una recta dados un punto y un vector

2

x = a + kl

y = b + km

Entonces, la ecuacion simetrica de la recta resulta ser:

x− a

l=

y − b

m

La cual, podemos despejar, y obtener una ecuacion a la que llamamos Ecuacionclasica:

y =n

m(x− a) + b

Donde nm es la pendiente de la recta.

1.2. Cosas importantes

A continuacion se listan una serie de datos, observaciones, etcetera, quesiempre tienes que tener a la mano:

1. La recta l que esta dada por el vector u = u1i + u2j tiene pendiente u2u1

2. Si u = u1i+u2j es el vector direccion, esto implica que l = u2x−u1y = c,donde c es una constante.

3. Dados dos puntos, tambien podemos determinar la ecuacion de la rectaque pasa por esos puntos: Sean (a, b) y (c.d) los puntos conocidos, entonces laecuacion de la recta es: (x− a)(b− d) = (y − b)(a− c)

4. Dados la pendiente de una recta l, λ = mn y el vector direccion u = ni+mj,

con el punto dado de la forma (0, b) la ecuacion sera de la forma y = λ(x) + b5. Dados dos puntos (a, b) y (c, d) la pendiente entre estos dos puntos es:

b−da−c

3