De los

creadores de

tu examen

parcial 1 de

algebra lineal

Fotos

Inéditas de la

película Mi

villano

Favorito en

la otra

edición

Términos

y fórmulas

FACILES

de

recordar

Vectores Rectas Planos

De todo para tu primer examen

parcial

Presentando a

Vector. El único

con magnitud y

dirección

q

Febrero, 2014

No. 1

Autores Ediris Piril 13034

Javier Gurdian 13108

Gabriela Díaz 13159

Valerie Macario 13294

De los autores:

Esperamos esta revista sea una más de tu

colección de libros de matemáticas que

tienes en tu repisa. Esperamos que tengas

un buen encuentro con todos los temas

que se tratan en esta revista.

Cualquier duda puedes escribirnos a:

mac13294@uvg.edu.gt

Índice Contenido Página

Vectores Vector (Definición) 1

Notación De Un Vector 1 Vector En Posición Estándar 1 Componentes De Un Vector 1 Vector Renglón 2 Vector Columna 2 Vector Cero O Vector Nulo 2 Igualdad De Vectores 2 Suma De Vectores 2 Diferencia De Vectores 2 Vectores Paralelos 3 Vectores En Rn 3 Producto De Un Escalar Por Un Vector 4 Propiedades Algebraicas De Vectores En Rn 4 Combinación Lineal De Vectores 4 Producto Punto O Producto Escalar 6 Propiedades Del Producto Punto 6 Magnitud O Norma De Un Vector 7 Vectores Unitarios Estándar 7 Normalización De Un Vector 7 Desigualdad De Cauchy-Schwarz 7 Desigualdad Del Triángulo 8 Distancia Entre Dos Vectores 9 Ángulo Entre Dos Vectores 9 Vectores Ortogonales 10 Teorema De Pitágoras 10 Proyección De Un Vector Sobre Otro 10 Producto Cruz O Producto Vectorial 11 Propiedades Del Producto Vectorial 11

Rectas Y Planos Ecuaciones De Una Recta En R2 : 12 Forma Vectorial 12 Forma Normal 12 Forma General 12 Ecuaciones Paramétricas 12 Ecuaciones De Una Recta En R3: 12 Forma Normal 12 Forma Vectorial 13

Forma General 13 Ecuaciones Simétricas 13 Ecuaciones Paramétricas 13 Ecuaciones De Un Plano En R3: 13 Forma Vectorial 13 Forma Normal 14 Forma General 14 Forma Paramétrica 14 Distancia Desde Un Punto A Una Recta 14 Distancia Desde Un Punto A Un Plano 14 Distancia Entre Rectas Paralelas 15 Distancia Entre Planos Paralelos 15 Ángulo De Intersección Entre Rectas 15 Ángulo De Intersección Entre Planos 16 Ángulo De Intersección Entre Una Recta Y Un Plano 16

1

Antes de hablar de los vectores se debe hablar del

Plano cartesiano que es un sistema de referencia,

conformado por dos rectas numéricas, una horizontal y

otra vertical. Éstas se cortan en el origen (0,0). La

función principal es describir la posición de puntos,

representados por sus coordenadas.

Entonces un vector es un segmento de recta dirigida que representa desplazamiento desde un punto A al punto B. Sus características principales es que poseen magnitud y dirección. Su notación es cualquier letra minúscula con una pequeña flecha encima o minúscula y negrita:

O Las componentes de los vectores siempre irán entre corchetes [ ]. Se le llama componente a las coordenadas que tiene en un plano cartesiano. Su representación gráfica es una flecha que indica la orientación (Imagen 1).

Notas importante acerca de los vectores.

Vector Posición Estándar Empieza desde el origen.

‖ ‖ √

Magnitud: distancia entre el punto inicial y el punto

final del vector

Dirección: la medida del ángulo que el vector hace

con respecto al eje x positivo.

expresada en radianes

Las componentes de los vectores siempre irán entre corchetes [ ]. Se le llama componente a las coordenadas que tiene en un plano cartesiano. Su representación gráfica es una flecha que indica la orientación.

2

La presentación de los vectores se puede dar de dos formas diferentes.

Vector cero o nulo Empieza y termina en el origen.

[ ] Vectores iguales =

y son iguales unicamente si sus componentes son iguales, y cuando tienen misma longitud/magnitud/norma y dirección; es decir:

[1,3] [3,1].

Pero y si lo son:

Suma de vectores Es la operación vectorial más básica. Se denota . Únicamente cuando los

vectores están en se aplica la regla del paralelogramo. Ésta dice que los vectores se deben colocar cerca del origen para que al trazar una recta en posición estándar una diagonal se forme un paralelogramo.

Resta de vectores

Para restar dos vectores libres y se suma con el

opuesto de . Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.

[

]

Vectores columna

[ ]

Vectores columna

��

��

3

[ ] [

]

Vectores paralelos ‖

y son pararelelos si es un múltiplo escalar uno del otro = , es decir:

= 4 ó =

Vectores en

Es el conjunto de todas las n-adas ordenadas de números reales escritos como vectores renglón o columna. Por ende, un vector en es de la forma: Los casos que nos interesan son aquellos donde n = 1, 2, 3. Es decir, R1 = R, R2 y R3. R1 es la recta numérica, R2 es el plano cartesiano y R3 es el espacio usual de tres dimensiones. Gráficamente:

En R, R2 y R3 podemos identificar al punto x, a (x1, x2) y a (x1, x2, x3) con una flecha que comienza en el origen y termina en el punto. Es decir, lo podemos ver de la siguiente manera:

4

De manera que, en lugar de hablar de elementos de R, R2 y R3 como puntos, podemos referirnos a ellos como flechas dirigidas o como se llaman teóricamente, vectores. Así que la palabra vector se refiere a los elementos de cualquier Rn. Como las flechas tienen magnitud (longitud) y una dirección, decimos usualmente que un vector es un objeto matemático con dirección y magnitud.

Producto de un escalar por un vector Es la segunda operación básica con vectores, porque al multiplicar un escalar con un vector lo que se obtiene es el vector por C veces.

= [ ] y C = escalar

C = C[ ] [ ]

Propiedades algebraicas de vectores en

+ ( + ) = ( + ) + Asociativa

+ = + Conmutativa

+ = el inverso aditivo es 0 Neutro aditivo es el vector cero

+ Inverso aditivo

c( + ) = c + c Distributividad

(c + d) = c + d Distributividad

c(d ) = (cd) Escalar por escalar dejando vector

1 = El 1 deja igual el vector

Combinación lineal Se dice que es una combinación lienal de los vectores , ,… . Es el hecho de despejar para lo que se pide, por ejemplo:

5

Comprobaciones de Intelecto

Instrucciones: Grafica los vectores indicados dentro del

plano para poder encontrar la palabra oculta

Encuentra la palabra oculta dentro del plano

+x

+y

-x

-y

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

-1-2-3-4-5-6

-6

-5

-4

-3

-2

-1

o

n

l

m k

h

j

g

i

f

c

e

b

d

a

Y

Ñ W

Z

V

X

U

R

TQ SPN

OM

L

I

K

H

J

G

E

F

D

C

B

A

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10) 11) 12)

13) 14) 15)

16) 17) 18)

19) 20) 21)

22 23 24

25 26 27

28) 29) 30)

31) 32)

6

Producto punto o producto escalar Sean = [ , ] y = [ , ]

[ + , ] # Real + # Real = Escalar

Propiedades del producto punto o producto escalar

1. Conmutativa

2. Asociativa

3. Distributiva

4. El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo.

5. El producto escalar de un vector con un vector nulo siempre será un vector

nulo

6. Otra propiedad

http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=Jvql5slmcZo

http://www.youtube.com/watch?v=bAxlqrEhHeY

Para más información de cuáles son las propiedades del producto punto visita:

7

Magnitud o norma de un vector

Sea un vector en Rn

‖ ‖ √ Pero para un vector en R

3 que está representado en ecuación sus componentes, son el mismo vector normal:

[ ]

Vector unitario Vector con magnitud 1, por ejemplo:

= [

√

] entonces ‖ ‖=√

√

= 1

Pero si no se tuviera una componente como:

= [

,y] entones ‖ ‖=√

= 1 se debe despejar para y

Normalizar un vector Es el proceso mediante el cual se encuentra un vector unitario en la misma dirección de .

‖ ‖

Desigualdades del producto escalar:

Desigualdad de cauchy-schwarz Lo que nos dice esta desigualdad es:

Si entonces

Demostración. Consideramos la función definida por Está claro que

para todo Observemos que

es decir, que es una función polinómica de segundo grado con a lo sumo una raíz real, y por lo tanto su discriminante es no positivo:

Esta última desigualdad implica

8

Quedando como resultado como se quería demostrar.

http://www.youtube.com/watch?v=ors9mJxPv1s

Extraído de http://cafematematico.com/2012/10/06/la-desigualdad-de-cauchy-schwarz/

Desigualdad del triángulo La desigualdad del triángulo es un teorema de geometría euclidiana que establece que en todo triángulo la suma de las longitudes de dos lados cualquiera es siempre mayor a la longitud del lado restante. Este resultado ha sido generalizado a otros contextos como espacios vectoriales. Definido matemáticamente, cualquier triángulo cumple la siguiente propiedad:

Para poder comprender mejor la demostración de esta desigualdad junto con un ejemplo visita:

9

El teorema puede generalizarse a espacios vectoriales normados, obteniéndose la siguiente versión de la desigualdad triangular: “En todo espacio vectorial normado

”. Es decir, que la norma de la suma de dos vectores es siempre menor o igual a la suma de las normas de los dos vectores. Demostración con la desigualdad de cauchy-schwarz:

http://www.youtube.com/watch?v=FVY-nDaY4xQ

Obtenido de http://es.wikipedia.org/wiki/Desigualdad_triangular y del libro de algebre lineal de David Poole, tercera edición.

Distancia entre 2 vectores

Primero se debe hacer la resta entre los vectores, luego se debe calcular la magnitud. || u - v ||

|| u - v || ||u|| - ||v||

Angulo entre vectores Debe darse siempre en radianes o grados.

‖ ‖‖ ‖

Para más información sobre las desigualdades visita:

10

Vectores octagonales o perpendiculares ⊥ y son octagonales cuando el ángulo entre ellos es de 90° y su producto escalar es 0.

Teorema de Pitágoras Dice que en los triángulos rectángulos el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los catetos al cuadrado, ya sea el opuesto o el adyacente. Supóngase que los triángulos están compuestos por la siguiente forma: En donde la ecuación es: = +

Sin embargo al utilizar vectores el teorema de Pitágoras es muy útil para obtener la magnitud del vector resultante, ya que trata de encontrar la distancia desde un punto hacia una recta al trazar una perpendicular:

Ejemplo Calcule la altura de un triángulo rectángulo, cuyas dimensiones son 16 y 12 cm. Se utiliza la expresión antes calculada. Se debe calcular la altura que es el cateto opuesto, entonces:

1) Se debe despejar a: √ = . 2) Se introducen los valores y se calcula

√ = . √

Proyección de un vector sobre vector

Busca encontrar la longitud del segmento de recta perpendicular (PB), que se formó por unir un punto (A) que está sobre una recta (l) a un punto lejano de la recta (B). Se debe considerar que los vectores sean distintos de cero. Al realizar este cálculo el resultado es otro vector. Se llega a utilizar la fórmula:

11

a)

b)

Producto vectorial o producto cruz Solo puede calcularse entre vectores de 3 componentes ( . El resultado es otro vector perpendicular a los dos vectores que se multiplicaron.

[

] [

] [

]

Propiedades del producto vectorial Se conoce también como producto cruz y únicamente puede calcularse entre vectores de tres componentes (R^3). El resultado es otro vector perpendicular a los dos vectores que se multiplicaron. Las propiedades que se manejan son:

12

dd

C O M B I N A C I O N L I N E A L

Q A V E D X E T H A R T C Q I O A

W S B T B I N A R I O G R W L Y I

E D N O G T A Y F S M B U P C T R

R F M V H G H U R D A U Z E J G O

T P R I N C I P A L T I E R M H T

Y H P P J B R I N F R O S H H N C

U J O R K M E O K G I B M K L P E

p A R A L E L O S H Z Q W E R T V

Instrucciones: Encuentra las palabras que las pistas te dicen. Pueden estar en cualquier posición. ¡Diviértete!

1. Para hallar un vector perpendicular a y a , se debe realizar entre estos el producto…

2. La entrada…. Es el primer número distinto de cero que aparece en un renglón.

3. Se utiliza como referencia para convertir en ceros todas las entradas debajo de ella.

4. Si se dice que es una... de los vectores ...

5. Forma que surge de las ecuaciones paramétricas.

6. Es la cantidad de renglones distintos de 0 que tiene una matriz en su forma escalonada.

7. Si || entonces se puede decir que estos vectores son….

8. El código… se traba únicamente en Z2

9. Se trabaja únicamente en Z10 y se utiliza el vector de verificación [ ]

10. Es un arreglo rectangular de números llamados “entradas”.

13

Rectas en

Ecuaciones de una recta en

Forma vectorial

[ ] [

] [

]

Forma normal

= vector normal = vector correspondiente a un punto fijo conocido sobre la recta. = vector correspondiente a cualquier punto sobre la recta.

Forma general

C tiene que ser 0 para que el intercepto sea 0.

Forma paramétricos

Rectas en

Ecuaciones de una recta en Sucede cuando dos planos se intersectan.

Forma normal

En donde: P = punto fijo sobre la recta n = vector normal a la recta x = cualquier punto sobre la recta

= 2da dimensión (x, y)

= 3era dimensión (x y, z) Una recta que pasa por el origen tiene intercepto con el eje y igual a 0. Es decir, que en la unión de forma general, C debe ser 0.

14

Forma General

La forma general proviene de la forma normal porque al simplificar se obtiene:

En donde d es el vector dirección.

Forma vectorial

En donde: P = punto fijo sobre la recta t = parámetro (escalar) d = vector dirección

Forma paramétrica

Si despejamos de cada una de las ecuaciones anteriores, obtenemos las ecuaciones simétricas.

Ecuaciones simétricas

En el caso de las ecuaciones simétricas, si un punto es 0, en el caso de por

ejemplo, entonces se dice que

Plano en

Ecuaciones de un plano en Forma vectorial

= punto cualquier en el plano = punto fijo conocido sobre el plano = vectores de dirección = escalares (llamados también parámetros)

𝑃

��

p

x ��

𝑣

15

Forma normal

[

] [ ] [

] [

]

= vector normal al plano ( ) = vector correspondiente a un punto fijo conocido sobre plano. = vector correspondiente a cualquier punto sobre plano.

Forma general

Forma paramétrica

Distancia desde un punto F hasta una recta

‖ ‖

Distancia desde un punto F hasta un plano

16

Distancia entre rectas paralelas

Distancia entre planos paralelos

Ángulo de intersección entre rectas

El ángulo entre las rectas, es el ángulo agudo entre ellas.

Ángulo de intersección entre planos

Se utiliza el ángulo agudo entre los planos.

17

Ángulo de intersección entre una recta y un plano

18

Crucigrama que

prueba tu

conocimiento

2)

8)

1)

5)

3)

7)

4)

10)

9)

1) Segmento de recta. 2) Está compuesta por infinitos segmentos. 3) Se incluye en la oración: Encuentra el _____ en el plano 4) Sinónimo a perpendicular 5) Se utiliza para obtener el ángulo entre los vectores. 6) Es lo que se obtiene a la hora de restar un vector terminal con el inicial. 7) Se observa en 3D. 8) Ecuaciones que se obtiene de las paramétricas al despejar t. 9) Vector que tiene magnitud 1. 10) Antónimo de los vectores perpendiculares.

19

Angulo entre

horas

El único reloj que simula

sus agujas como vectores

¡Podrás encontrar la

dirección de cada vector y

el ángulo entre ellos a

cualquier hora que desees!

19

20

Espera

nuestra

próxima

edición