Recta tangente y normal

Exponemos la manera de hallar la ecuacion de la recta tangente y normal ala curva de ecuacion y = f(x) en un punto de la misma.

Propiedad Sea la curva de ecuacion y = f(x). Entonces, la ecuacion de larecta tangente a dicha curva en un punto (x0, y0) de la misma (en la queexiste f (x0)) es

y y0 = f (x0)(x x0)

La ecuacion de la recta normal en (x0, y0) (es decir la perpendicular a latangente) es

y y0 = 1f(x0)

(x x0)

Caso particular : Si f (x0) = 0 la recta tangente es y = y0 y la normal x = x0.

EJEMPLOS

1. Hallar la ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva y =x3 x2 + 2x+ 3 en el punto de abscisa x = 1Resolucion. Tenemos f(1) = 5. Derivando, f (x) = 3x2 2x + 2 con locual f (1) = 3. La ecuacion de la recta tangente es por tanto y5 = 3(x1)o bien 3x y + 2 = 0. La recta normal es y 1 = (1/3)(x 1) o bienx+ 3y 4 = 0.2. Hallar la ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva y = cosxen el punto de abscisa x = pi.

Resolucion. Tenemos f(pi) = 1. Derivando, f (x) = sen x con lo cualf (pi) = 0. La ecuacion de la recta tangente es por tanto y = 1 y la de larecta normal es x = pi.

EJERCICIOS

1. Hallar la ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva y =1

xen

el punto de abscisa x = 3. Sol. x+ 9y 6 = 0, 27x 3y 70 = 0.2. Hallar la ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva y =

x

en el punto de abscisa x = 4. Sol. x 4y + 4 = 0, 4x+ y 18 = 0.

1

3. Hallar la ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva y = tan 2xen el origen de coordenadas. Sol. y = 2x, y = x/2.

Autor: Fernando Revilla

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