EQUILIBRIO DE CUERPOS RÍGIDOS CÁLCULO DE REACCIONES Y MOMENTO RESP A UN EJE

Mecánica Analítica Prof. Wilson Tafur Preciado Universidad de Pamplona

El marco ACD está articulado en A y D y se sostiene mediante un cable que pasa a través de un anillo en B y está unido a los ganchos en G y H. Si se sabe que la tensión en el cable es de 450 N, determine las reacciones en los apoyos del marco

1.Diagrama de cuerpo libre y coordenadas2.Ecuaciones de equilibrio para el cuerpo rígido ABD. Se plantea momento respecto a un eje puesto que hay 7 incognitas y es necesario determinar antes la fuerza P cancelando las reacciones con el eje, para luego determinar las reacciones con las ecuaciones de momento respecto a un punto.∑ MDA = 0

𝛌DA.(rDB x TBG) + 𝛌DA.(rDB x TBH) + 𝛌DA.(rDC x P) = 0

3. Determinar los vectores necesarios en la ecuación

Vector unitario del eje

𝛌DA= -0.8 i + 0.6 kVectores posición:rDB = - 0.5 i + 0.75 krDC = 0.75 k

Fuerzas conocidas y desconocidasTBG= 450*[(-0.444 i + 0.822 j -0.355 k)]TBG = -200 i + 369 j -160 kTBH= 450*[(0.333 i +0.666 j - 0.666 k)]TBH = 150 i + 300 k -300 kP= - P j

CALCULO DE REACCIONES EN A Y D

∑ MD = 0(rDA x A)+(rDB x TBG) + (rDB x TBH) + (rDC x P) = 0

Vectores posición:

rDA=-1i +0.75krDB = - 0.5 i + 0.75 krDC = 0.75 k

Fuerzas conocidas expresadas como vector TBG=450*[(-0.444 i +0.822j-0.355 k)]TBG = -200 i + 369 j -160 kTBH= 450*[(0.333 i+0.666 j - 0.666 k)]TBH = 150 i + 300 J -300 kP= 334.5 jA= -Ax i - Ay j - Az kD= -Dxi -Dy j- Dzk

i j k rDA x A= - 1 0 0.75

-Ax -Ay -Az

= 0.75AY i - AZj -0.75AX j + AY k

i j k rDB x TBG = -0.5 0 0.75

-200 369 -160

rDB x TBG =-276.75i -230j -184.5ki j k

rDB x TBH = -0.5 0 0.75 150 300 -300rDB x TBH= -225i -37.5j – 150k

i j krDC x P = 0 0 0.75

0 334.5 0

4. Matrices para calcular productos mixtos

𝛌DA.(rDB x TBG) + 𝛌DA.(rDB x TBH) + 𝛌DA.(rDC x P) = 0

-0.8 0 0.6𝛌DA.(rDB x TBG)= -0.5 0 0.75 = 110.7 -200 369 -160

-0.8 0 0.6𝛌DA.(rDB x TBH)= -0.5 0 0.75 = 90 150 300 -300

-0.8 0 0.6𝛌DA.(rDC x P) = 0 0 0.75 = - 0.6 P 0 -P 0

5. Despejar la incógnita de la ecuación110.7 +90 – 0.6P = 0

P= - 334.5 N este despeje me da resultad o negativo

P= - P jP = 334.5

0.75AY -276.75 – 225 +250.875= 0Ay = -334.5

-1AZ -0.75AX -230 -37.5 =0

AY -184.5 – 150 = 0

Ay= 334.5 j

Dos ecuaciones determinan el valor de la reaccion Ay pero queda una ecuación con dos incognitas Ax y Az.Solo resta aplicar la sumatoria de fuerzas igual a cero y en este caso como hay dos apoyos para el cuerpo rígido las reacciones en x y en z se reparten por igual en los puntos A y D. Siendo asi Ax=Dx (dibujadas en el mismo sentido) y Az=Dz (dibujadas también en el mismo sentido), tendremos

∑FX = 0-200+150-Ax -Dx = 0 (1)∑FY=0-AY + 334.5+ 669 -Dy =0 (2)∑FZ =0-160 -300-Az-Dz=0 (3)

De la ecuación (1)-50 -Ax -Dx

-50 -Ax = Dx -50= 2Ax

Ax=-50/2 Dx =-50/2Ax = -25 Dx= -25

De la ecuación (2)334.5 +334.5 +669- Dx= 0Dx= 1338

De la ecuación (3)-460-Az = Dz

- 460 =2Az

Az = -460/2 Dz = -460/2Az = -230 Dz= -230

rDC x P = -250.87i

Entonces,

A= -Ax i - Ay j - Az kA = -25i +334.5j -230k

A= 25i -334.5j + 230k

D= -Dxi -Dy j - DzkD = - 25i +1338j -230kD = 25i - 1338j +230k

Las flechas negras señalan el cambio de las reacciones en el grafico inicial.