razonamiento_matemático-1.pdf

ÍndiceCapítulo 1Introductorio ................................................................................................... 4

Capítulo 2Juegos de ingenio ............................................................................................. 10

Capítulo 3Orden de información I: Ordenamientos lineales ............................................ 17

Capítulo 4Orden de información II: Cuadro de afirmaciones. Ordenamiento circular .... 24

Capítulo 5Orden de información III: Principio de suposición. Problemas diversos .......... 32

Capítulo 6Miscelánea ....................................................................................................... 40

Capítulo 7Lógica inferencial ............................................................................................ 44

Capítulo 8Análisis de figuras I .......................................................................................... 53

Capítulo 9Análisis de figuras II ......................................................................................... 60

Capítulo 10Habilidad operativa ......................................................................................... 67

Capítulo 11Razonamiento inductivo .................................................................................. 73

Capítulo 12Conteo de figuras ............................................................................................. 79

Capítulo 13Analogías y distribuciones numéricas .............................................................. 86


Capítulo 15Sucesiones numéricas y alfabéticas .................................................................. 96

Capítulo 16Sucesiones polinomiales .................................................................................. 102

Capítulo 17Series numéricas. Series notables ..................................................................... 108

Razonamiento Matemático

Capítulo 18Series numéricas II. Series especiales ............................................................... 115

Capítulo 19Operaciones combinadas ................................................................................. 119

Capítulo 20Planteo de ecuaciones ..................................................................................... 124

Capítulo 21Planteo de ecuaciones. Situaciones diversas .................................................... 129

Capítulo 22Fracciones ........................................................................................................ 134

Capítulo 23Tanto por ciento .............................................................................................. 139

Capítulo 24Operadores matemáticos ................................................................................. 143

Capítulo 25Operaciones binarias ....................................................................................... 148

Capítulo 26Cronometría ..................................................................................................... 154

Capítulo 27Suficiencia de datos ......................................................................................... 158

Capítulo 28Análisis de gráficos estadísticos ....................................................................... 164


Capítulo 30Análisis de gráficos estadísticos II .................................................................... 176

Capítulo 31Análisis combinatorio I .................................................................................... 184

Capítulo 32Análisis combinatorio II ................................................................................... 189

Capítulo 33Certezas - Máximos y mínimos ......................................................................... 194


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Central: 619-8100TRILCEColegios

1. (EX–UNI 2002). Indique la alternativa que debe ocupar el casillero UNI.

UNI 4 12 29 64 135

a) –1 b) 14

c) 13

d) 12

e) 1

Resolución:

Analizando los números que aparecen como datos:

UNI 4 12 29 64 135 ×2+4 ×2+5 ×2+6 ×2+7

Luego: UNI × 2 + 3 = 4,

de donde se obtiene el valor de UNI: UNI =

12

Rpta.: d

2. (EX–UNI 2002). El dibujo adjunto es una vista desde arriba. ¿A cuál de las siguientes figuras geométricas no representa?

a) A un cilindro dividido diagonalmente en dos partes.

b) A un cilindro dividido transversalmente en dos partes.

c) A dos esferas.d) A una esfera partida en dos partes iguales.e) A dos cilindros.

Resolución:

Un cilindro dividido diagonalmente en dos par-tes es una figura como la mostrada:

Dicho gráfico no representa a las dos circunfe-rencias indicadas en el problema.

Rpta.: a

3. (EX–UNI 2002). Las dos superficies visibles de la figura adjunta siguen una misma secuencia numérica. ¿Cuáles son los números de la fila in-terior de la superficie "Z"?

38

7

1314

965

10

1611

12

Superficie "Z"

a) 18; 17 y 22 b) 22; 23 y 26 c) 24; 23 y 28 d) 21; 26 y 25 e) 21; 23 y 28

IntroducciónEn los últimos años, los exámenes tomados en la Universidad Nacional de Ingeniería (UNI) incluyen pre-guntas de Razonamiento Matemático que requieren de un análisis directo para su resolución. En el presen-te capítulo, los profesores del curso hemos recopilado algunas preguntas de los últimos exámenes tomados en la UNI, dichas preguntas están resueltas y esperamos que sean un aporte para tu preparación.

Problemas resueltos


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Resolución:

Analizando la figura y abriendo sus caras, se tendría.

Superficie no visible644474448

3 8 7 9 14 13 15 20 19 21 26 256 5 10 12 11 16 18 17 22 24 23 28144424443

Superficie visible

• Loscasillerosnegroscontienennúmerosim-pares.

• Los casilleros blancos contienen númerospares.

Es así que los casilleros inferiores de la superfi-cie "Z" serán: 24; 23 y 28.

Rpta.: c

4. (EX–UNI 2005 II). Determinar el valor de P(40), si:

P(x) = P(x + 2) – 2

Información brindada:

I. P(0) = 2 II. P(80) = 82

Para resolver el problema:

a) La información I es suficiente.b) La información II es suficiente.c) Es necesario emplear ambas informaciones a

la vez.d) Cada una de las informaciones, por separa-

do, es suficiente.e) La información brindada es insuficiente.

Resolución:

Analizando I:

Del dato:

P(0) = 2, luego P(0) = P(2) – 2, entonces se halla P(2)

P(2) = 4, luego: P(2) = P(4) – 2, entonces se halla P(4)

Notamos que P(0) origina P(2) el cual genera P(4), de ese modo se puede generar P(6) y así sucesivamente hasta llegar a P(40). La informa-ción I es suficiente.

Analizando II:

Del dato:

P(40) = P(42) – 2, luego

P(42) = P(44) – 2, a continuación tendríamos:

P(44) = P(46) – 2

Notamos que P(40) origina a P(42) el cual gene-ra P(44), de ese modo se puede generar P(46) y así sucesivamente hasta llegar a P(80), el cual, al tomar el valor de 82, nos permitiría hallar P(40).

La información es suficiente.

Rpta.: d

5. (EX–UNI 2005 II). Si la suma de los cuadrados de dos números positivos es a la diferencia de los cuadrados de los mismos números como 29 es a 21, ¿qué porcentaje del mayor es el número menor?

a) 40% b) 70% c) 50% d) 80% e) 60%

Resolución:

Del dato y considerando que "a" y "b" son los números positivos en mención, se tendría:

a2 + b2

a2 – b2 =

2921

Resolviendo, se obtiene:

ab

= 52

a = 5kb = 2k

Piden:

2k5k

× 100= 40%

Rpta.: a

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Problemas para la clase

1. Conviniendo en que ( a ; b ),( c ; d ) representan elementos arbitrarios de R2, definimos las ope-raciones y como sigue:

( a ; b ) ( c ; d ) = ( a+c ; d-b )

M ( a ; b ) = ( Mb; Ma ) , M R

Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones.

I. Existe un ( a; -b ) satisfaciendo la igualdad ( a ; b ) ( 0 ; 0 ) = ( a ; -b )

II. Existe un ( b ; a ) satisfaciendo la igualdad 1 (a; b) = (b; a)

III. 2 [ (1 ; 2 ) ( 3 ; 4 ) ] = ( 4 ; 8 )

a) VVF b) VFV c) FVV d) VVV e) FFF

2. Determine el número de trayectorias que per-miten ir de A hacia B sólo con desplazamientos hacia arriba o la derecha.

A

B

a) 96 b) 126 c) 150 d) 252 e) 210

3. Dos conferencias simultáneas tienen igual nú-mero de asistentes. Por cada 6 personas que salen de la primera conferencia, de la segunda salen 2 personas para ingresar a la primera y 3 para irse a su casa, además cuando hay 64 asis-tentes en la primera conferencia, en la segunda existen 24. ¿Cuántos asistentes había inicial-mente en cada conferencia?

a) 196 b) 224 c) 256 d) 315 e) 344

4. La suma de las edades de una pareja de espo-sos, cuando nació su primer hijo era la mitad de la suma de las edades actuales. Si ahora el hijo tiene 20 años. ¿Qué edad tenía cuando las edades de los tres sumaban 70 años?

a) 5 b) 10 c) 15 d) 18 e) 24

5. ¿Qué es respecto a mí el abuelo materno del mellizo de Manuel, si la madre de Manuel es la hermana de mi hermano gemelo?

a) Abuelo b) Padre c) Tío d) Hijo e) Yerno

6. Indique cuál de las siguientes afirmaciones es correcta, considerando la información del cua-dro de barras adjunto. Cantidad de personas que prefieren usar café instantáneo en el desayuno, según estado civil y sexo ( Setiembre del 2007)

I. Hay más hombres que mujeres que prefieren usar café instantáneo.

II. El 28,06% de las personas que prefieren usar café son casadas.

III. Hay más viudas que mujeres divorciadas, que prefieren usar café instantáneo.

a) I y II b) II y III c) I y III d) II y IV e) III y IV

7. Con 3 colillas se puede hacer un cigarro. Si Pe-dro tiene 21 colillas. ¿Cuál es el máximo núme-ro de cigarrillos que puede fumar?

a) 9 b) 10 c) 30 d) 11 e) 15

8. Se tiene una balanza de platillos y 8 bolas de billar aparentemente iguales, pero una de ellas pesa más. ¿Cuál es el menor número de pesadas en que se puede determinar con seguridad la bola que pesa más?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


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9. Si tienen 5 cajas ordenadas del 1 al 5; se sabe que en cada caja hay una bola blanca o una bola negra. Se sabe además que:

• Haymásbolasblancasquenegras.

• Lacajas1y5tienenbolasdedistintoscolo-res.

• Nopuedenhaber3bolasblancasseguidas.

¿De cuántas maneras distintas se pueden colo-car las bolas?

a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4

10. Determinar el valor de (a+b), si:

∑=

=a

k

bbbK1

a) 34 b) 56 c) 42 d) 46 e) 59

11. Tres amigas sostienen la siguiente conversa-ción:

• Andrea:AprobéMate1

• Blanca:YonoaprobéMate1

• Carla:Andreadicelaverdad.

Si se sabe que solo una de ellas desaprobó Mate-mática 1 y que solo una de ellas miente. ¿Quién miente y quién desaprobó respectivamente?

a) Blanca - Andrea b) Andrea - Carla c) Blanca - Carla d) Andrea - Blanca e) Blanca - Blanca

12. Juanjo está planificando su fin de semana (viernes, sábado y domingo), él desea realizar seis actividades, ir al cine, ir a una discoteca, ir al teatro, jugar tenis, jugar fútbol e ir al estadio. Para ello tomará en cuenta las siguientes condi-ciones:

• Realizarátodaslasactividades,dospordía,una en la tarde y otra en la noche.

• Noiráalteatroelviernes.

• Ningúndíairáalcineenlatarde.

• Elsábadoporlanocheiráaunadiscoteca.

• Enunmismodía,luegodejugartenisiráalestadio

¿Cuál de las siguientes podría ser una distribu-ción correcta de las actividades a realizar por Juanjo en las tardes de los días viernes, sábado y domingo respectivamente?

a) Jugar tenis, jugar fútbol e ir al cine. b) Jugar tenis, jugar fútbol e ir al estadio. c) Jugar fútbol, ir al teatro e ir al estadio. d) Jugar tenis, jugar fútbol e ir al teatro. e) Jugar fútbol, jugar tenis e ir al estadio.

13. Indicar cual o cuales de las siguientes figuras se puede realizar sin levantar el lápiz y sin repetir el mismo trazo.

I. II.

III.

a) I y II b) II y III c) I y III d) solo II e) solo I

14. Si se sabe que 14 cuadernos cuestan lo mismo que 6 libros, 8 libros cuestan lo mismo que 5 maletines, 3 maletines cuestan 35 soles. ¿Cuán-tos soles tengo que gastar para adquirir 16 cua-dernos?

a) 40 b) 35 c) 50 d) 35 e) 60

15. Cuando una dama llegó a su casa, encontró un mensaje sobre la mesa dejado por su esposo. Lamentablemente, Gabriel; el menor de sus hijos cortó dicho mensaje en cuatro partes tal como lo muestra la figura:

S M T N R

O O S I U

R T E V P

A A E O O

De acuerdo a ésta información, indicar verda-dero o falso:

I. A Sara se le pide botar café.

II. La dama se llama Marta.

III. A Rosa se le pide botar vino.

IV. La dama se llama Rosa.

a) FVFV b) FFVF c) VVFV d) FFFV e) VFVV

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1. ¿Qué número continúa?

4; 8; 15; 28; 53; ...

a) 100 b) 201 c) 142 d) 102 e) 107

2. Si se sabe que:

• AnanoesmenorqueMaría.• KarlanoesmenorquePaola.• BeatrizyClaudiasonmayoresqueAna,en

cambio Paola es menor que esta.

¿Qué afirmación no es verdadera?

a) Claudia puede ser mayor que Beatriz.b) María y Paola pueden tener la misma edad.c) Beatriz es mayor que María.d) Paola no es menor que Claudia.e) KarlayAnapuedentenerlamismaedad.

3. Matías, un niño de 9 años, dice: "En casa somos solo dos hermanos. ¿Qué parentesco me une con la hermana del mellizo de Luis, si se sabe que su madre es la única nuera de mi madre?"

a) Es su hermana b) Es su prima c) Es su hija d) Es su sobrina e) Es su tía

4. Completar las casillas en blanco con números de un dígito, de tal modo que al sumar los valo-res de cada fila o columna resulte 34. ¿Cuántas veces aparece el dígito 9 en ambas diagonales?

8 9

8

8 8

9

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

5. Completar la siguiente analogía:

es a como

a) b) c)

d) e)

6. Si se sabe que:

• MyPselee:"MespreferidoaN".• (MpL)y(NpM)⇒ (N p L)

Además:

• ApB• Xpy• Bpy• YpC

Entonces, de las siguientes alternativas, ¿cuán-tas son correctas?

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0

7. ¿Qué número continúa en la sucesión mostra-da?

73; 71; 67; 61; 59; 53; ...

a) 49 b) 47 c) 43 d) 41 e) 37

8. Indicar cuántos triángulos hay en la figura mos-trada.

a) 23 b) 25 c) 22 d) 32 e) 21

9. En una caja se tienen 21 fichas rojas, 20 blan-cas, 28 verdes, 11 negras, 11 azules y 9 amari-llas. ¿Cuál es el mínimo número de fichas que se deben extraer para tener la certeza de contar con 15 fichas de un mismo color?

a) 31 b) 43 c) 74 d) 22 e) 20

10. Matías y Gabriel están en orillas opuestas de un lago y comienzan a remar al mismo tiempo, la velocidad de cada uno es constante. Cuando se cruzan están a 60 m de la orilla izquierda, con-tinúan remando, llegan a la costa, se vuelven y reman nuevamente. Esta vez se cruzan a 38 m de la orilla derecha. ¿Qué ancho tiene el lago?

a) 120 m b) 142 m c) 138 m d) 124 m e) 136 m

Tarea domiciliaria


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11. Cada vez que compro 9 manzanas me regalan 2 y cada vez que vendo 10, regalo 1. Si compro y vendo las manzanas al mismo precio, ¿cuántas debo comprar para ganar 44 manzanas?

a) 360 b) 340 c) 450 d) 400 e) 640

12. Hallar la suma de las cifras del producto, sa-biendo que la suma de los productos parciales es 7956.

• • • ×4 2 7

• • • • +• • • •

• • • •• • • • • •

a) 24 b) 32 c) 21 d) 20 e) 18

13. ¿En qué cifra termina el resultado de la siguiente operación?

Q = (4344 + 4243) × 67542 – 4641 – 5140

a) 6 b) 7 c) 8 d) 3 e) 5

14. Sedefinelaoperación:(a–3)•b=2a+3b

Para cualquier valor de "a" y "b", ¿a qué equiva-le(a+b)•(a–b)?

a) 5a – b + 6 b) 5a + 6 c) 5a + 11 d) 5a + b – 6 e) 5a – 11

15. Los alumnos son optimistas y todos los optimis-tas son estudiosos, luego, se deduce que:

a) Ningún alumno es estudioso.b) Todo aquel que sea estudioso es alumno.c) No todo estudioso es alumno.d) Todo aquel que sea alumno es estudioso.e) Todo alumno no es estudioso.

16. (EX UNI 2007 I). En un cajón hay 23 bolas rojas, 25 blancas, 28 amarillas, 8 negras, 11 verdes y 11 azules. ¿Cuál es el menor número de bolas que se deben sacar para tener la seguridad de haber retirado 15 bolas de un mismo color?

a) 63 b) 71 c) 65 d) 73 e) 69

17. (EX–UNI 2007 I). Determinar el valor de "n" si se sabe que "n" es número de una cifra.

Información:

I. n3, es un número de una cifra.II. (n + 1)2 = 9

Para resolver:

a) La información I es suficiente.b) La información II es suficiente.c) Es necesario utilizar ambas afirmaciones.d) Cada información, por separado, es suficien-

te.e) Las informaciones dadas son insuficientes.

18. (EX UNI 2007 I). En una mesa circular están 5 jugadores de póker: Alan, Alejandro, Alberto, Fernando y José. Se sabe que Alan reparte las cartas empezando por el jugador a su derecha, su amigo está a su lado. Se pide determinar la ubicación de cada jugador.

Información:

I. Fernando está al lado de José.II. Alejandro es el tercero en recibir las cartas y

está entre Alberto y José.

Para resolver el problema:

a) La información I es suficiente.b) La información II es suficiente.c) Es necesario utilizar ambas afirmaciones.d) Cada información, por separado, es suficien-

te.e) Las afirmaciones dadas son insuficientes.

19. (EX UNI 2008 I). Determinar la alternativa que pertenece a la sucesión mostrada:

0; 1; 2; 3; 6; 11; 20; 37; 68; ...

a) 74 b) 125 c) 88 d) 131 e) 135

20. (EX UNI 2007 II). En la sucesión:

1/1; 2/3; 5/8; 13/21; 34/55; x/y

Determinar el valor de: x + y.

a) 199 b) 233 c) 216 d) 244 e) 222

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ReLACIóN de PAReNTeSCOSon las diferentes situaciones en las que se hace mención a un vínculo familiar, ya sea por consan-guinidad o por afinidad.

ejemplo. Mi tía Julia es la hermana de mi madre, Martha es la hermana de mi tía, pero no es mi tía. ¿Qué parentesco existe entre mi hermano Eduardo y Martha?

Resolución:

Del dato: "Martha es hermana de mi tía pero no es mi tía". Se deduce que Martha es mi madre. Entonces entre mi hermano Eduardo y Martha la relación es: Hijo–Madre.

Rpta.: Hijo – Madre

CONSTRUCCIONeS NUMéRICASLlamamos construcciones numéricas a todo arreglo en el cual ciertos números que cumplen determina-das características, deben ser ordenados con el fin de satisfacer algunas condiciones o en otros casos con la finalidad de obtener criterios que se puedan generalizar.

ejemplo. Completa el recuadro de tal manera que cada fila, columna y cuadrado de 3 × 2 tenga los números del 1 al 6 sin repetirse. Hallar la suma de x + y + z.

x 3

1 5 2

3 6 1

4 y 6 3

1 5 4

z 6 3

Resolución:

Completando de manera adecuadra:

Falta el 4 y el 6

2 1 5 3 4 6

6 3 4 1 5 2

3 6 2 4 1 5

Falta el 1 y el 5

5 4 1 2 6 3

1 5 3 6 2 4

4 2 6 5 3 1

Rpta.: 7

IntroducciónConsiderando que ingenio es:

• Sinónimodecreatividad.• Facultaddelserhumanoparapensarocrear.• Talento.• Esunacapacidadespecialquepermite,aquienlaposee,discurrireinventarconfacilidad.

En este capítulo presentamos situaciones en las que el uso de nuestro ingenio y la aplicación de ciertos criterios, nos permiten obtener los resultados que cumplan con las condiciones propuestas en cada caso.

Las diferentes situaciones a analizar las dividiremos en:

• Relacióndeparentesco.• Construccionesnuméricas.• Recorridoseulerianos(figurasdeunsolotrazo).• Relacióndetiempos.

Problemas resueltos


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ReCORRIdOS eULeRIANOSEste tipo de problemas se refieren al hecho de rea-lizar una figura determinada, sin levantar el objeto con que se realiza dicha figura. Para verificar si un gráfico se puede realizar de un solo trazo, se deben aplicar los postulados de Euler.

Nociones básicas:Punto par: si el número de líneas que llegan o salen de un punto es una cantidad par.

Punto impar: si el número de líneas que llegan o salen de un punto es una cantidad impar.

Punto par Punto impar

1

2

12

3

1

23

4 1 2

3

45

Postulados de eulerI. Todo gráfico se puede realizar de un solo trazo

si todos sus puntos son pares o a lo sumo tiene dos puntos impares.

II. Todo gráfico no se puede realizar de un solo trazo si tiene más de dos puntos impares.

Si una figura no se puede realizar de un solo trazo es necesario repetir algunas líneas, el mínimo número de líneas repetidas se puede calcular de la siguiente manera:

Número de líneas repetidas =

I – 22

Donde: I = número de puntos impares de la figura.

ejemplo. ¿Cuál o cuáles de las siguientes figuras se puede o pueden realizar de un solo trazo?

(I) (II) (III)

Resolución:

II

Puntos Solo hay Solo hay impares puntos puntos I = 2 pares pares Sí es posible Sí es posible Sí es posible

Rpta.: Todas

ejemplo. ¿Cuál es el tiempo mínimo que emplearía un niño para recorrer todos los lados y las dos diagonales de un parque rectangular de 120 me-tros de largo y 90 metros de ancho, recorriendo con una rapidez de 90 m/min?

Resolución:

Graficando tenemos que cada diagonal tiene una medida de 150 m.

120 m

90 m

• Hay4puntosimpares(I), por lo tanto, exis-ten líneas repetidas, recordando:

Líneas repetidas = I – 2

2 →

4 – 2

2 = 1

• Paraqueeltiemposeamínimosedeberepe-tir un ancho.

• Longitudrecorrida:

150(2) + 120(2) + 90(2) + 90 = 810 m

• Finalmenteeltiempoempleadosería:

81090

= 9 min

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Relación de tiemposSon relaciones que se dan en referencia a los días de la semana. Para enfocar de manera adecuada estos problemas, se recomienda considerar la siguiente tabla:

HaceAntes

de ayer

Ayer Hoy

Mañ

ana

Pasa

do

maa

nad

dent

ro

Resta –2 –1 Cero +1 +2 Suma

ejemplo. Un estudiante piensa, antes de acostarse, del siguiente modo: si hoy hubiese sido como pasado mañana, entonces mañana hubiera dor-mido hasta tarde por ser domingo. ¿Qué día era?

Resolución:

Analizando:

• "Sihoyhubiesesidopasadomañana",indicaque se va a suponer que hoy es como pasado mañana.

Real →

Aye

r

Hoy

Mañ

ana

Pasa

do

mañ

ana

↔ ↔

Supuesto → Hoy

Mañ

ana

← ← ← ←

Juev

es

Vie

rnes

Sába

do

Dom

ingo

Luego: "Mañana hubiera dormido hasta tar-de por ser domingo", es decir, el supuesto mañana será domingo. Entonces, realmente hoy es jueves

Rpta.: Jueves


1. La hermana del hijo de la hermana del hijo del hermano de mi padre es mi:

a) Tía b) Prima c) Hermana d) Sobrina e) Nieta

2. Mi nombre es Daniel. ¿Qué parentesco tiene conmigo el tío del hijo de la única hermana de mi padre?

a) Mi padre b) Mi hermano c) Soy yo d) Mi tío e) Mi primo

3. Matías pregunta: ¿qué relación me une con la nuera de la madre del único tío del vástago de mi esposa?

a) Su hermana b) Su tía c) Su hija d) Su suegra e) Su esposa

enunciado

Se sabe que Diana es hija de Luisa, quien a su vez es la abuelamaterna de Katia. Katia es hija de lahermana de María. Elvira es hermana de Katia yDiana no es su madre. Pepe es el único hermano de Luisa y está casado con Ana. Bruno es padre de KatiayElvira.

4. Todas las siguientes afirmaciones son verdade-ras, excepto:a) Pepe es tío de Diana.b) Bruno es cuñado de María.c) Luisa es suegra de Bruno.d) KatiaesnietadeLuisa.e) Elvira es nieta de Pepe.

5. Una familia está compuesta por un abuelo, una abuela, dos padres, dos madres, cuatro hijos, tres nietos, un hermano, dos hermanas, dos hi-jos varones, dos hijas, un suegro, una suegra y una nuera. ¿Cuál es el menor número de perso-nas que tiene la familia?a) 12 b) 15 c) 7 d) 10 e) 5

6. Colocar los números del 1 al 12, tal que la suma de cada lado sea 28. Hallar: (x + y + z) . (x . y . z)

a) 18 b) 36 c) 256 d) 3126 e) 64


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7. Colocar los dígitos del 1 al 8, uno en cada re-gión.

x

2 y

Considerando las siguientes condiciones:

• Ladiferenciadelosnúmerosvecinosal6es3.

• Losnúmerosvecinosdel5suman6.• Elproductoentrelosnúmerosvecinosdel2

es 15.• Losnúmerosvecinosal8suman10.

Hallar: (x + y)máximo

a) 6 b) 9 c) 8 d) 7 e) 12

8. Colocar un dígito diferente del 1 al 9 dentro de cada uno de los nueve triángulos, de manera que las cantidades alrededor de cada círculo sumen lo indicado. Dar como respuesta el pro-ducto de las cantidades correspondientes a los triángulos U.N.I.

18

3216 25

N I

U

a) 35 b) 56 c) 70 d) 112 e) 280

9. Colocar los números del 1 al 7 en los círculos de la figura, de manera tal que al sumar los vér-tices de cada triángulo blanco se obtengan tres números consecutivos. ¿Qué número debe ir en el círculo central si se sabe que la suma de di-chos números consecutivos es máxima?

a) 5 b) 5 c) 7 d) 8 e) 9

10. La siguiente figura muestra cuatro aros, cada uno de los cuales contiene seis pequeños cír-culos. Colocar los números del 1 al 12, de tal modo que cada aro sume lo mismo. ¿Cuál es esa suma?

a) 44 b) 40 c) 39 d) 38 e) 41

11. Indicar cuáles de las siguientes figuras se pue-den realizar de un solo trazo.

(I) (II) (III)

a) Solo I b) Solo II c) II y III d) I y II e) Todas

12. Se requiere realizar la siguiente figura de un solo trazo, indicar si es posible o no. En caso de no ser posible, ¿cuántas líneas como mínimo se deben repetir para realizarla?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

13. La siguiente figura muestra una estructura en forma de triángulo equilátero hecha de alam-bre. Una hormiguita va a recorrer toda la estruc-tura de manera que la longitud del camino sea mínima. Calcular dicha longitud.

2m

2m

2m

2m

2m

2m

a) 18m b) (18 – 3 3) c) (22 + 6 3) d) 20 + 4 3 e) (22 – 6 3)

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1. Del siguiente gráfico, podemos afirmar:

I. Se puede realizar de un solo trazo.II. Tiene cuatro puntos impares.III. Tiene cinco puntos impares.IV. Hay más puntos pares que impares.

a) I, II y III b) I y IV c) I, II y IV d) II, III y IV e) I y III

2. Si el anteayer del ayer del pasado mañana del anteayer del mañana es sábado, ¿qué día será el anteayer del mañana del pasado mañana de mañana?

a) miércoles b) lunes c) sábado d) martes e) jueves

3. Indicar qué figura o figuras se pueden realizar de un solo trazo sin repetir ninguna línea.

(I) (II) (III)

a) I, II y III b) II c) III d) I y III e) II y III

Tarea domiciliaria

14. Si los números en los tramos de la figura corres-ponden a sus longitudes en centímetros, ¿cuál es la menor longitud que debe recorrer la punta de un lápiz sin separarla del papel para realizar la figura geométrica?

4

3 1 4 1

2 3 2 4 2

1 3 1

a) 31 cm b) 32 c) 30 d) 35 e) 33

15. ¿Cuál es la menor longitud que recorre un cara-col para pasar por todas las aristas del prisma, si se sabe que cada arista mide 4 cm?

a) 44 cm b) 40 c) 42 d) 48 e) 52

16. Como mínimo, una araña emplea 15 minutos en recorrer las aristas de un cubo construido de un alambre de 60 cm de longitud. ¿Cuántos se-gundos emplea en recorrer una arista?

a) 20 b) 60 c) 37,5 d) 18, 75 e) 45

17. Hoy es jueves; ¿qué día será el mañana del an-teayer del mañana del pasado mañana de hace 2 días?

a) miércoles b) jueves c) viernes d) sábado e) martes

18. Si el ayer del anteayer de mañana del pasado mañana del ayer de hace 2 días fue lunes, ¿qué día será el mañana del pasado mañana del ayer del mañana de hace un día?

a) sábado b) lunes c) domingo d) martes e) viernes

19. Si el día de mañana fuese como pasado maña-na, entonces faltarían 2 días a partir de hoy para ser domingo. ¿Qué día de la semana será el ma-ñana del ayer de hoy?

a) sábado b) viernes c) domingo d) jueves e) miércoles

20. Si antes de ayer Matías tuvo un año y el próxi-mo año cumplirá 4 años, entonces, ¿en qué fe-cha nació Matías?

a) 30 de diciembre b) 31 de diciembre c) 1 de enero d) 2 de enero


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4. Ayer tenía 20 años, el próximo año tendré 22 años. Si el día de mañana cumplo años, ¿qué fecha será cuando cumpla años?

a) 31 de diciembre b) 1 de enero c) 1 de diciembre d) 31 de enero e) 2 de enero

5. Como mínimo, una araña emplea 5 minutos en recorrer las aristas de un cubo construido de un alambre de 60 cm de longitud. El tiempo que emplea en recorrer dos aristas es:

a) 20 s b) 25 s c) 40 s d) 18,75 s e) 15 s

6. Si el anteayer de mañana de pasado mañana es viernes, ¿qué día fue ayer?

a) lunes b) martes c) miércoles d) jueves d) viernes

7. El señor Vásquez tiene dos hijos únicamente; estos a su vez son padres de Juan y Pedro, res-pectivamente. ¿Quién es el único sobrino del padre del primo hermano del hijo del padre de Pedro?

a) Juan b) Pedro c) Yo d) El hijo de Pedro e) El sobrino de Juan

8. Una hormiga recorre todas las líneas de la figura (donde todas son de igual longitud). Si su rapi-dez es de 5 cm/s, ¿qué tiempo como mínimo emplea para hacer dicho recorrido?

5 cm

a) 14 s b) 13 c) 12 d) 11 e) 10

9. El cubo mostrado está hecho de alambre y su arista mide 10 cm. Una hormiga tarda 5 minu-tos en recorrer todas las aristas del cubo, cami-nando con rapidez constante. Calcular la menor rapidez de la hormiga.

a) 45 cm/min b) 40 c) 35 d) 30 e) 25

10. ¿Cuál es el recorrido mínimo que realizará la punta de un lápiz para graficar de un solo trazo el dibujo adjunto?

3 u

3 u

3 u

4 u 4 u 4 u

a) 138 u b) 130 c) 128 d) 118 e) 110

11. En la figura se muestra cuatro cuadrados con-gruentes cuyos lados miden 8 u. Si "o" y "O" son centros de los cuadrados, calcular la menor longitud que debe recorrer la punta de un lápiz para efectuar dicha figura.

o O

a) 125 + 12 2 b) 126 + 12 3 c) 120 + 13 2 d) 128 + 12 2 e) 125 + 12 3

12. Si el día de mañana fuese como pasado ma-ñana, entonces, faltarían 2 días a partir de hoy para ser domingo. ¿Qué día de la semana será el mañana del ayer de hoy?

a) viernes b) sábado c) domingo d) lunes e) martes

13. Colocar los números 2; 3; 4; 5; ...; 9 en las ca-sillas de la figura, sin repetir, de manera que la suma de F(1), F(2), C(1) y C(2) sean iguales. ¿Cuál es la suma mínima?

C1↓

F1 →

← F2

↑C2

a) 12 b) 15 c) 14 d 10 e) 11

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14. La figura que se muestra a continuación repre-senta a un cuadrado mágico. Se sabe que en todo cuadrado mágico se cumple que la suma de las columnas, filas y diagonales es la misma. Calcular a + 2b + 3c + 4d

8 1 c

3 5 d

4 a b

a) 59 b) 35 c) 58 d) 62 e) 65

15. El hermano del hijo de Juan tiene un amigo to-cayo del padre del hermano suyo. Siendo su amigo tocayo hijo de Paco, hermano político de Juan, ¿cómo se llama el amigo y qué parentesco tiene con Juan?

a) Paco – hijo b) Juan – hijo c) Juan – sobrino d) Paco – sobrino e) Paco – tío

16. Distribuir los números del 1 al 8 en el siguiente arreglo, de modo que no aparezcan dos núme-ros consecutivos en dos círculos conectados di-rectamente por una línea. Dar como respuesta el valor de B + C + E + F.

A

B C

G H

F

D

E

a) 16 b) 17 c) 14 d) 18 e) 15

enunciado (17 al 19)

La madre de Rosa tuvo 3 hijos (incluyendo hombres y mujeres); de los cuales solo uno de sus dos hijos varones, Ricardo no está casado ni tiene hijos. Ade-más se sabe que Amanda es la suegra del esposo de Rosa y tiene únicamente cuatro nietos: José, Irene, Enzo y Gina. Irene y Enzo son primos y Gina y José, también

17. Si Rosa no tiene ninguna hija, ¿cuáles de las si-guientes afirmaciones son verdaderas?

I. Gina y Enzo son primos.II. José es hijo de Rosa.III. El padre de Gina es cuñado de la madre de

Enzo

a) I b) I y II c) I, II y III d) I y III e) II y III

18. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son ver-daderas?

I. Irene y José son primos.II. Enzo y Gina no son primos.III. Enzo y Gina tiene padres distintos.

a) I y II b) II c) III d) I y III e) II y III


I. Irene tiene dos primos hermanos.II. Ricardo tiene cuatro sobrinos de sangre.III. Rosa tiene dos hijos.

a) I y II b) II y III c) III d) I y III e) Todas

20. En el esquema se muestran cuatro cuadrículas de 2 × 2. Escriba en los cuadrados números enteros del 1 al 4, de manera que ninguno se repita en la misma fila, columna o cuadrícula. ¿Cuánto suman "a", "b", "c" y "d"?

1

2 3 d

a 4 c

b 4

a) 6 b) 5 c) 8 d) 7 e) 9

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Ordenamientos crecientes o decrecientesEn este caso se trata de ordenar la información, considerando los diferentes criterios de comparación (mayor, menor).

1. "R" y "G" tienen la misma suma de dinero, pero "R" tiene más dinero que "M", y "N" más dinero que "A". "B" tiene más dinero que "A" pero me-nos que "R" y no tanto como "M", entonces:

a) "R" tiene menos dinero que "M".b) "R" tiene más dinero que "A".c) "A" tiene más dinero que "G".d) "M" tiene menos dinero que "B".e) "B" tiene menos dinero que todos.

Resolución:

Ordenando los datos, tendríamos:

Nota:"A" mayor que "B":

A

B

R = G M B N

A

• Analizandocadaalternativa:

a) Fb) Vc) Fd) Fe) F

Rpta.: b

2. Se tienen 5 ríos: Amazonas, Ucayali, Napo, Pu-tumayo y Marañón. Cada uno con diferente lon-gitud y caudal. Si se sabe que:

• ElMarañónnoesdemayorlongitudqueelAmazonas, pero sí es más caudaloso.

• El Putumayo es de menor longitud que elNapo, pero este no tiene más caudal que él.

• ElNaponoesdemayorlongitudqueelUca-yali, pero sí es más caudaloso.

• ElMarañónesdemayorlongitudqueelUca-yali pero no tiene menor longitud que el Pu-tumayo.

¿Qué ríos son de mínima longitud y máximo caudal, respectivamente?

Resolución:

Considerando:

"A" no es mayor que "B" significa que "A" es menor o igual que "B".

Gráficamente:

B A

Ordenando los datos:

Longitud CaudalAmazonas

Marañón

Ucayali

Napo

Putumayo

Amazonas

Marañón

Putumayo

Napo

Ucayali

Rpta.: Mínima longitud: Putumayo Máximo caudal: Amazonas

INTROdUCCIóNEn este capítulo encontraremos diversas situaciones en las que se requiere de la habilidad de pensar de manera clara y deductiva, considerando las condiciones o restricciones que se proponen. Como característica principal de las situaciones a resolver, se puede observar que estas tienen datos desordenados, los cuales se deben orga-nizar y, de ese modo, obtener conclusiones que nos lleven a la solución de las situaciones propuestas.

Para un mejor análisis de los casos, dividiremos el presente capítulo en las siguientes situaciones:

• Ordenamientoscrecientesodecrecientes.• Ordenamientosporposicióndedatos.• Ordenamientoslaterales.

Problemas resueltos

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Ordenamiento por posición de datosEn este caso se ordena la información de acuerdo con una posición establecida, generalmente las situaciones a analizar se refieren a:

• Carreras.• Edificios.• Actividadesarealizarduranteciertosdías.

3. Cinco amigas: Norma, Jéssica, Marina, Marisol yKarinavivenenunedificiodeseispisos,cadauna en un piso diferente. Si se sabe que:

• Elcuartopisoestádesocupado.• MarisolviveenunpisoadyacentealdeNor-

ma y al de Martha.• Karinanoviveenelúltimopiso.

Podemos afirmar:

I. Jéssica no vive en el quinto piso.II. Norma no vive en el tercer piso.III. Martha vive más arriba que Norma.

Resolución:

6° Jéssica Datos: Norma

5° Karina Marisol

4° Martha

3° I. Verdadero.II. No se precisa.III. No se precisa.

2° Marisol Norma o Martha

1°

Rpta.: Solo I.

4. Patricia, Paco, Paola y Pamela se encuentran sentados en una fila de 4 sillas numeradas del 10 al 13. Pepito, al pasar frente a ellos los mira y dice: "Paco está al lado de Paola"; "Patricia está entre Paco y Paola"; pero sucede que las dos afirmaciones que hizo Pepito son falsas: en realidad Paco está en la silla número 12. ¿Quién ocupa la silla número 11?

Resolución:

Se cumple que:

• PaconoestáalladodePaola.• PatricianoestáentrePacoyPaola.

10 11 12 13

Paola Pamela Paco Patricia

Rpta.: Pamela

5. Emilia debe realizar diez actividades (identifica-das del 1 al 10), desde el lunes hasta el viernes (dos por día).

• La4serealizará4díasantesquela7.• La2serealizaráelmismodíaquela6ydos

días antes que la 3.• La8serealizarádespuésdela7.• La9serealizarádespuésdela7.

¿Cuáles de las afirmaciones son verdaderas?

I. La 3 se realizará el mismo día que la 7.II. La 10 se realizará antes de la 2.III. La 1 se realizará después de la 4.

Resolución:

Considerando la información, se tiene:

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes4 2 7 8

6 3 9

Las actividades 1; 5 y 10 pueden ocupar los ca-silleros sombreados.

I. Verdadero.II. No se precisa.III. No se precisa.

Rpta.: Solo I

Ordenamiento lateralEn los casos de ordenamientos laterales se hace mención a la derecha e izquierda; se recomienda que frente a dichas situaciones, se considere nuestra persona como referencia.


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1. Siete submarinos, "A", "B", "C", "D", "E", "F" y "G", se encuentran sumergidos a diferente pro-fundidad. La ubicación de los submarinos cum-ple las siguientes condiciones:

• "D"estáamayorprofundidadque"E",peroa menor profundidad que "A".

• "C"estáamenorprofundidadque"D",peroa mayor profundidad que "B".

• "G"estáamayorprofundidadque"D".• "A"estáamayorprofundidadque"F".

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdade-ra?

a) "G" está a mayor profundidad que "F".b) "A" está a mayor profundidad que "G".c) "E" está a menor profundidad que "F".d) "A" está a mayor profundidad que "B".e) "F" está a mayor profundidad que "C".

2. En un examen, Ana obtuvo menos puntos que Bertha, David menos puntos que Ana y Carlos más puntos que Elena. Si Elena obtuvo más pun-tos que Bertha, ¿quién obtuvo el puntaje más alto?

a) Ana b) Bertha c) Elena d) David e) Carlos

3. Pico no es menor que Paco pero es mayor que Poco y menor que Peco. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es necesariamente verdadera?

a) Paco es el mayor.b) Pico y Paco tienen la misma edad.c) Poco es el menor.d) Pico no es el menor.e) Más de una es verdadera.

4. Siete amigos: "B", "C", "D", "E", "G", "L" y "S", se reúnen para practicar básquet. Si se cumple que:

• "E"eselmásalto.• "D"esmásaltoque"L",peromásbajoque

"G".• "S"esmásaltaque"L",peromásbajaque

"B".

¿Cuál de los siguientes es un posible ordena-miento, del más alto al más bajo?

a) E, B, S, C, D, G y L b) E, G, D, C, S, B y L c) E, B, G, D, C, L y S d) E, G, D, S, C, B y L e) E, G, B, D, C, S y L

5. Cinco automóviles: "P", "Q", "R", "S" y "T", son comparados de acuerdo con su costo y tiempo de fabricación. Si se sabe que:• "P"esmenoscaroque"R"ymenosmoderno

que "Q".• "Q"esmáscaroque"P"ymásmodernoque

"T".• "R"esmáscaroque"P"ymásmodernoque

"Q".• "T"esmáscaroque"Q"ymásmodernoque

"P". ¿Cuáles de los siguientes autos es más caro que

"P" y más moderno que "T"?a) Solo "Q" b) "Q" y "R" c) "R" y "S" d) Solo "R" e) Solo "S"

6. Un edificio de cinco pisos, donde en cada piso hay tres departamentos, es ocupado por doce amigos que viven, cada uno, en un departamen-to diferente. Además se sabe que:• Mario vive a unpiso de Leonardo y a dos

pisos de Pablo, pero más abajo que Javier y Erick.

• FelipevivemásarribaquePablo,peroenelmismo piso que Gustavo.

• LeonardoviveenelmismopisoqueNatalia,y Sandra vive en el mismo piso que Pablo.

• Henryviveenelprimerpisoypara ira lacasa de Pablo debe subir tres pisos.

• Lidianadebebajartrespisos,desdesudepar-tamento, para ir al departamento de Carlos.

• LeonardonoviveenelprimerpisoyCarlostampoco vive allí.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones podría ser verdadera?a) Erick y Mario viven en el tercer piso.b) Sandra no vive en el cuarto piso.c) Pablo y Leonardo viven en el tercer piso.d) Natalia vive en el primer piso.e) Javier vive en el cuarto piso.

7. Un edificio tiene seis pisos y en cada uno de ellos funciona una de seis empresas: "A", "B", "C", "D", "E" y "F". Se sabe que:• "A"y"B"estánenpisosadyacentes.• "C"funcionadospisosmásarribaque"B"y

ésta más arriba que "A".• "F"estáenelquintopiso.• "D"noestáenelprimerpiso.

¿En qué piso funciona "D"?a) Cuarto b) Segundo c) Sexto d) Tercero e) Más de una


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8. Siete niños, Andrés, César, Carolina, Daniela, Franco, Gloria y Valeria, participaron en una carrera de bicicletas. El orden en que llegaron cumple las siguientes condiciones:

• CésarllegóantesqueCarolina.• DanielallegóantesqueAndrés.• FrancollegóprimeroyValeriallegóúltima.• GloriallegóenalgunaposiciónentreCésary

Daniela.• Nohuboempates.

Si Andrés llega en tercer lugar, ¿cuál de las si-guientes afirmaciones es verdadera?

a) César llega en cuarto lugar.b) César llega en quinto lugar.c) Carolina llega en quinto lugar.d) Daniela llega en quinto lugar.e) Gloria llega en quinto lugar.

9. En una carrera entre 7 autos se sabe:

• Elautorojonollegóentercerlugar.• Elautoverdellegóinmediatamentedespués

del azul.• El auto amarillo llegó en cuarto lugar, tres

lugares detrás del blanco.• Elautonegronollegódespuésdelamarillo.• Elautobeigellegóúltimo.• Nohuboempates.

¿Qué auto llegó en quinto lugar?

a) rojo b) negro c) verde d) azul e) blanco

10. Desde un taller de reparaciones se deben des-pachar los siguientes equipos: una licuadora, una sartén, un motor, un horno, un DVD y una batidora, no necesariamente en ese orden. Un transportista debe entregar los equipos bajo las siguientes condiciones:

• El horno debe ser el último equipo en serentregado.

• Sedebeentregarlabatidoraantesqueelmo-tor, pero después que el DVD.

• Sedebeentregar lasarténdespuésde la li-cuadora.

• Labatidorasedebeentregarantesquelali-cuadora.

¿Cuántos ordenamientos posibles hay?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Más de 4

11. En un torneo de fútbol participan: Boys, Cristal, Universitario, Alianza y Cienciano; el torneo

dura cinco días, de lunes a viernes, y cada día se juegan dos partidos. Si se sabe que:

• Durante el campeonato cada equipo juegacon los otros equipos solo una vez.

• Ningúnequipojuegamásdeunpartidopordía.

• CristaljuegaelmartesconCienciano.• ElpartidoCienciano–Boyssejuegaeljue-

ves.• ElmartesdescansaAlianza.• CiencianojuegaprimerocontralaUyluego

con Alianza.• Ensudebut,CristaljuegacontraBoys.

¿Qué día de la semana se juega el partido Alian-za–Cristal?

a) Lunes b) Martes c) Miércoles d) Jueves e) Viernes

12. En la misma cuadra viven seis amigos: Tania, Miguel, Flor, Jaime, Raúl, y Claudia. Se sabe que Tania vive a la izquierda de Miguel, que Flor vive a la izquierda de Raúl, que Claudia vive a la derecha de Flor, que Jaime vive adya-cente a Claudia y Miguel, y Miguel vive junto y a la derecha de Raúl. ¿Cuál de las personas que aparecen en las alternativas, vive más cerca de la casa de Claudia?

a) Tania b) Flor c) Raúl d) Miguel e) No se puede determinar

13. Sofía ordena 5 bloques lógicos tomando en cuenta que:

• Nopuedehaberdosbloquesdelmismoco-lor o forma juntos.

• Elromborojoestáadyacentealcírculoazuly al cuadrado amarillo.

• Elcírculorojoestáalaizquierdadeltriángu-lo azul.

¿Cuál de las siguientes es una afirmación siem-pre cierta?

a) El cuadrado amarillo está en el medio.b) Hay dos círculos a la izquierda del triángulo

azul.c) El triángulo azul está junto al cuadrado ama-

rillo.d) Los círculos están a los extremos.e) Más de una es correcta.

enunciado (14–15)Ocho amigos se ubican en una fila de ocho asientos uno al lado del otro, si se sabe que:

• MarcoseencuentraaladerechadeDanyyalaizquierda de César.


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• BrunoseencuentraentreCarlosyAntonio.• CarlosestájuntoaDanyyMarcos.• AntonioestájuntoaCésaryaBruno.• PepeestáalaizquierdadeDanyyaladerecha

de Sebastián.

14. Entonces, el primero de la derecha es:

a) Pepe b) Bruno c) Antonio d) César e) Faltan datos

15. Si contamos de izquierda a derecha, el cuarto lugar lo ocupa:

a) Pepe b) Carlos c) Bruno d) Antonio e) Marco

16. Cuatro personas van al cine y se acomodan de la siguiente manera:

• ÚrsulaestásentadaalaizquierdadeSilviaydetrás de Carlos.

• Silvianoestáa laderechadeBeto,perosídetrásdeÚrsula.

• CarlosestáaladerechadeSilviaydetrásdeBeto.

Podemos afirmar que:

a) Carlos está a la derecha de Beto.b) Carlos está a la izquierda de Silvia.c) Beto está detrás de Silvia.d) ÚrsulaestáalaizquierdadeCarlos.e) Más de una es correcta.

enunciado (17–18)Se asume que medio tono es el menor intervalo entre notas y se sabe además que:

• Lanota "T"esmedio tonomayorque lanota"V".

• Lanota"W"esmediotonomenorquelanota"X".

• Lanota"X"esuntonomenorquelanota"T".• Lanota"Y"esuntonomenorquelanota"W".

17. ¿Cuál de las siguientes alternativas representa el orden relativo de las notas de menor a mayor?

a) XYWVT b) YWXVT c) WVTYXd) YWVTX e) YXWVT

18. Si "Z" es una nota distinta de las anteriores pero no es la menor de ellas, ¿entre cuáles de ellas puede estar?

a) Entre "T" y "V" b) Entre "V" y "X" c) Entre"T"y"W" d) Entre"W"y"Y"e) Entre"W"y"X"

19. Irene decide que su familia debe consumir más vegetales y sirve maíz todos los días, excepto lunes, miércoles y sábado; tomates, todos los días en que no se sirve maíz; brócoli, solo de lunes a viernes; espinacas, cuando sirve tomates y brócoli, y alcachofas cuando ha servido otros 3 vegetales. Si Irene agrega lechuga al menú, y la sirve solo cuando sirve brócoli pero no toma-te, ¿cuándo sirve lechuga?

a) Lunes, miércoles, jueves y viernes.b) Lunes y miércoles.c) Martes, jueves y viernes.d) Miércoles y viernes.e) Solo viernes.

20. Cinco amigos: "A", "B", "C", "D" y "E" viven en la misma calle en cinco casas contiguas. Si se sabe que:

• "A" vive a la derecha de "B" y su casa noqueda contigua a la de "C" ni en un extremo.

• Parairdelacasade"B"alacasade"D"hayque pasar frente a otras dos casas.

Para determinar el lugar en que vive cada uno con respecto a los demás es necesario saber que:

I. E vive junto a "D"

II. "A" vive a la izquierda de "C"

a) I pero no II b) II pero no I c) I y II a la vez d) I o II indistintamente e) Faltan datos

enunciado (1 – 3)Siete niños: Andrés, César, Carolina, Daniela, Franco, Gloria y Valeria, participaron en un carrera de bicicletas. El orden en que llegaron cumple con las siguientes condiciones:

• CésarllegaantesqueCarolina.• DanielallegaantesqueAndrés.• FrancollegaprimeroyValeriallegaúltima.

• Gloria llega en alguna posición entreCésar yDaniela.

• Nohuboempates.

1. Indicar tres posibles ordenamientos de cómo terminó la carrera.

2. Si Andrés llega en tercer lugar, ¿cuál de las si-guientes afirmaciones es verdadera?

Tarea domiciliaria

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a) César llega en cuarto lugar.b) César llega en quinto lugar.c) Carolina llega en quinto lugar.d) Daniela llega en quinto lugar.e) Gloria llega en quinto lugar.

3. Si César llega segundo, ¿en cuáles de las si-guientes posiciones pudieron llegar Daniela y Andrés, respectivamente?I. Tercer y cuarto lugar.II. Cuarto y quinto lugar.III. Cuarto y sexto lugar.

a) I b) II y III c) II d) III e) I y III

4. Un edificio tiene seis pisos y en cada uno de ellos funciona una de seis empresas: "A", "B", "C", "D", "E" y "F". Se sabe que:

• "A"y"B"estánenpisosadyacentes.• "C"funcionadospisosmásarribaque"B"y

esta, dos pisos más arriba que "A".• "F"estáenelquintopiso.• "D"noestáenelprimerpiso.

¿En qué piso funciona "B"?

a) 1° b) 5° c) 3° d) 2° o 4° e) 6°

5. Se tienen seis libros, los cuales son: Razonamien-to Matemático, Razonamiento Verbal, Historia, Literatura, Geografía y Lengua. Se sabe que:

• El librodeRazonamientoVerbalestásiem-pre junto y a la izquierda del de Historia.

• EllibrodeRazonamientoVerbalestáalade-recha del de Razonamiento Matemático y a la izquierda del de Geografía.

• EllibrodeGeografíaestásiemprejuntoyalaizquierda del de Lengua

• EllibrodeRazonamientoMatemáticoestáala izquierda del de Historia.

• El librode Literatura seubica a laderechadel de Lengua.

El libro que ocupa el quinto lugar a partir del primero de la izquierda, es:

a) Historia b) Geografía c) Literatura d) Lengua e) Razonamiento Verbal

enunciado (6 – 8)Dado que:

• Jéssica esmayorqueMuriel, peromenorqueAlba.

• HildaesmenorqueJéssicaymayorqueFernanda.• PilaresmayorqueJéssica.• AlbaesmayorqueOlga.

6. Podemos afirmar con certeza que:

a) No es cierto que Pilar sea mayor que Fernan-da.

b) Pilar es mayor que Fernanda.c) Hilda es menor que Muriel.d) Alba es mayor que Fernandae) Más de una es correcta.

7. De las parejas que aparecen a continuación, ¿quiénes no pueden tener la misma edad?

a) Pilar y Alba b) Hilda y Muriel c) Fernanda y Muriel d) Pilar e Hilda e) Olga y Jéssica

8. Si Pilar no es la mayor, ¿quién es la mayor?

a) Alba b) Olga c) Jéssica d) Hilda e) No se puede determinar

enunciado (9 – 11)Se asume que medio tono es el menor intervalo entre notas y se sabe además que:

• Lanota"T"esmediotonomayorquenota"V".• Lanota"W"esmediotonomenorquelanota

"X".• Lanota"X"esuntonomenorquelanota"T".• Lanota"Y"esuntonomenorquelanota"W".

9. ¿Cuál de las siguientes alternativas representa el orden relativo de las notas de menor a mayor?

a) XYWVT b) YWXVT c) WVTYXd) YWVTX e) YXWVT

10. Si "Z" es una nota distinta de las anteriores pero no es la menor de ellas, ¿entre cuáles de ellas puede estar?

a) Entre "T" y "V" b) Entre "V" y "X" c) Entre"T"y"W" d) Entre"W"y"Y"e) Entre"W"y"X"

11. Teniendo en cuenta todos los datos anteriores, podemos deducir necesariamente que:

a) La nota "T" es dos tonos mayor que la nota "Z".

b) La nota "Y" es dos tonos menor que la nota "X".

c) La nota "V" es un tono menor que la nota "Z".

d) Lanota"W"esmediotonomenorquelanota"Z".

e) Más de una de las anteriores.


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enunciado (12 – 13)De las siguientes afimaciones:

• Elleónesmásferozqueeloso.• Elpumanoesmásferozqueelleón.• Esfalsoqueelleónseamásferozqueeltigre.• Elgorilaesmásferozqueeloso.

12. Se deduce que:

a) El puma es más feroz que el tigre. b) El oso es más feroz que el puma. c) El tigre es menos feroz que el león. d) El tigre es más feroz que el oso. e) Más de una es correcta.

13. ¿Cuáles de las siguientes parejas pueden ser igual de feroces?

I. Gorila – león II. Oso – puma III. Tigre – gorila IV. Puma – gorila

a) I y II b) III y IV c) I y IV d) II, III y IV e) Todas

14. En la misma cuadra viven seis amigos: Tania, Miguel, Flor, Jaime, Raúl y Claudia. Se sabe que Tania vive a la izquierda de Miguel, que Flor vive a al izquierda de Raúl, que Claudia vive a la derecha de Flor, que Jaime vive adyacente a Claudia y Miguel, y Miguel vive junto y a la de-recha de Raúl. Es necesariamente cierto que:

a) Flor vive a la izquierda de los demás. b) Tania vive a la izquierda de los demás. c) Raúl vive entre Tania y Miguel. d) Miguel vive a la derecha de los demás. e) Flor vive entre Tania y Raúl.

15. "A" tiene más habitantes que "D", "D" tiene menos habitantes que "B", pero más que "C". ¿Cuál de las siguientes conclusiones será nece-sariamente cierta?

a) "A" tiene más habitantes que "B".b) "A tiene menos habitantes que "B".c) "A" tiene menos habitantes que "C".d) "A" tiene más habitantes que "C".e) "A" tiene igual número de habitantes que

"B".

enunciado (16 – 17)En el corredor principal de un edificio se ubican seis oficinas individuales y alineadas en el mismo lado del corredor. Las oficinas están numeradas de izquierda a derecha del 1 al 6. "K", "L", "M","N", "O" y "P" son seis ejecutivos que ocupan las oficinas, considerando lo siguiente:

• Laoficinade"P"estáenunode losextremosdel corredor.

• La oficina de "K" no debe estar junto a la de"P".

• Lasoficinasde"L"y"O"nodeberánestarsepa-radas por más de una oficina.

16. ¿Cuál de las siguientes alternativas es un orde-namiento posible para las seis oficinas? (de la 1 a la 6).

a) POKMLN b) KLOPNM c) LONMKPd) NOKLMP e) PMONKL

17. Si "L" y "M" tienen las oficinas 1 y 2, respectiva-mente, entonces debe ser falso que:

a) "O" está en la oficina 3. b) "K"estájuntoa"O". c) "N" está en una oficina de número par. d) "N"estájuntoa"K".e) "O" y "P" están separadas exactamente por

dos oficinas.

enunciado (18 – 19)Las letras "A", "B", "C", "D", "E", "F" y "G" represen-tan, no necesariamente en ese orden, siete números consecutivos entre el 1 y el 10, inclusive. Se sabe que:

• "A"esmayorque"D"entresunidades.• "B"eseltérminocentral.• "B"esmayorque"F",y"C"esmayorque"D".• "G"esmayorque"F".• Ladiferenciaentre"F"y"B"esigualaladife-

rencia entre "C" y "D".

18. ¿Cuál es el valor de (A – F)?

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) F.D.

19. Si: B = 6; hallar: F/A

a) 2 b) 1/2 c) 3 d) 1/3 e) F.D.

20. Cinco ciclistas A, B, C, D y E al término de una prueba de velocidad, llegan de la siguiente ma-nera:

• "A"llegadospuestosantesque"C"

• "B"llegadospuestosdespuésque"D"

• "E"llegatrespuestosantesque"C"

¿Quién ocupó el tercer lugar en la competen-cia?

a) A b) C c) D d) E e) B

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Cuadro de afirmacionesEstos problemas se caracterizan por una relación entre varios personajes y sus respectivas caracterís-ticas, tales como: aficiones, gustos, actividades que realizan, lugar de residencia, lugar de estudio, etc. Se construye una tabla de doble entrada en la cual la información se va ordenando hasta cumplir con todas las condiciones que se requieren para cada per-sonaje. No debemos olvidar que cada personaje solo cumple con una de las características descritas en el problema.

1. Tres amigas se reúnen en un cafetín a tomar el té, sabiendo que:

I. Bertha no es García.II. López trabaja como secretaria en una ofici-

na.III. La actriz se llama Carmen.IV. La maestra no es Mendoza.V. Una de las amigas es Alicia.

¿Cuál es el apellido de Carmen y qué ocupa-ción tiene?

Resolución:

Del dato "la maestra no es Mendoza" y "López es secretaria", se deduce que la maestra es Gar-cía, luego:

Bertha Carmen Alicia

Apellidos No GarcíaLópez Mendoza García

Ocupaciones No maestraSecretaria Actriz Maestra

Rpta.: Mendoza – Actriz

2. Están en una reunión: un ingeniero, un conta-dor, un abogado y un médico. Los nombres, pero no en el mismo orden, son: Pedro, Dante; Juan y Lucas.

• SesabequePedroyelcontadornosellevanbien.

• Danteesparientedelabogado.

• El ingeniero esmuy amigo de Lucas y delmédico.

¿Quién es el ingeniero?

Resolución:

Los nombres no deben coincidir con las profe-siones en el orden indicado. Entonces:

Pedro Dante Juan LucasNo

ingenieroNo

contadorNo

médico

No contador

No abogado

No médico

No médico

No ingeniero

Abogado Médico Ingeniero Contador

Rpta.: Juan

Ordenamiento circularExisten situaciones en las que algunos personajes se ordenan formando una figura cerrada, por ejemplo, personas sentadas alrededor de una mesa o alrede-dor de una fogata. A este tipo de ordenamientos se les denomina ORDENAMIENTOS CIRCULARES. Se recomienda que al momento de realizar el ordena-miento se considere la posición del personaje del problema.

3. En una mesa de siete sillas se sientan a discutir cuatro profesores y tres administradores.

• Ningúnadministradorsesientajuntoaotroadministrador.

• "B"sesientajuntoa"D"pero"Z"nosesien-ta junto a ellos.

• "A","B","C"y"D"sonprofesores.• "X","Y"y"Z"sonadministradores.

¿Cuál de las afirmaciones es correcta?

I. Entre "D" y "Z" hay dos asientos.II. "X" se sienta junto a "B".III. "A" se sienta junto a "Y".

Problemas resueltos


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Resolución:

Considerando los datos tenemos:

Adm.

Adm.

Prof.

Adm.

Prof.Pr

of.

Prof.

B

D

Z

• "B" y "D" también pueden cambiar de lu-gar.

• Losdosprofesoresylosdosadministradoresque faltan pueden cambiar de lugar.

Luego:

I. Verdadero (aunque "D" cambie de lugar).II. No necesariamente.III. No necesariamente.

Rpta.: Solo I

4. En una mesa circular hay seis asientos simétri-camente colocados, y se sientan seis amigos a jugar. Si Luis no está sentado al lado de En-rique ni de José, Fernando no está al lado de Gustavo ni de José, Enrique no está al lado de Gustavo ni de Fernando. Pablo está junto y a la derecha de Enrique. ¿Quién está sentado junto y a la izquierda de Fernando?

Resolución:

De los datos:

• PabloestájuntoyaladerechadeEnrique.

No está al lado de:

EnriqueGustavo, Fernando,

LuisLuis

Gus

tavo

Fernando

Pablo

Enrique

JoséJosé Luis, Fernando

Gustavo Fernando

Rpta.: Pablo

5. Sandra, Blanca, Jorge, Rocío, Víctor y Omar se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Además, se sabe que:

• SandrasesientafrenteaBlanca.• RocíonosesientafrenteaJorgeniaVíctor.• JorgesesientajuntoyalaizquierdadeSan-

dra.

¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son ver-daderas?

I. Rocío se sienta frente a Omar.II. Víctor se sienta junto a Blanca.III. Blanca se sienta adyacente a Rocío y Víctor.

Resolución:

Considerando los datos:

Jorge BlancaVíctorSandra

• SiRocíonosesientafrenteaJorgeyVíctor,se deduce que ellos dos se sientan uno frente al otro.

• Omar y Rocío pueden ocupar los lugaressombreados.

Luego:

I. Verdadero.II. Verdadero.III. No necesariamente.

Rpta.: I y II

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enunciado (1 - 2) Aníbal invita a cenar a sus amigos: Betty, Celinda, Daniel, Eduardo y Felipe, este último por razones de fuerza mayor no pudo asistir. Se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simé-tricamente. Si se sabe que:

• AníbalsesientajuntoaEduardoyDaniel.

• FrenteaEduardosesientaBetty.

• Juntoaunhombrenoseencuentraunlugarva-cío.

1. ¿Entre quiénes se sienta Eduardo?

a) Aníbal y Daniel b) Daniel y Betty c) Felipe y Bettyd) Aníbal y Celindae) Más de una es correcta

2. Si Felipe hubiera asistido, ¿frente a quien se hubiera sentado?

a) Betty b) Celinda c) Aníbal d) Eduardo e) Daniel

enunciado (3 - 4) Seis amigos "A", "B", "C", "D", "E", y "F" se sientan alrededor de una mesa circular, con seis asientos distribuidos simétricamente, y se sabe que:

• "A"sesientajuntoyaladerechade"B",yfren-te a "C".

• "E"nosesientajuntoa"C".

3. Se puede afirmar con certeza que:

I. "C" se sienta entre "D" y "F".II. "D" se sienta frente a "B".III. "F" se sienta frente a "E".

a) Solo I b) Solo II c) II y III d) Todas e) Ninguna de las anteriores

4. Si "F" está a la derecha de "A", es siempre cierto que:

a) "B" está a la izquierda de "D" b) "A" está a la derecha de "D" c) "D" está frente a "F" d) "C" está entre "D" y "F" e) Más de una es correcta.

enunciado (5 - 6) Ocho amigos se sientan alrededor de una mesa circular con ocho asientos distribuidos simétricamente, se sabe que:

• FelipeyGladissesientanjuntos.• Daniel no se sienta junto a Berenice, ni a su

izquierda• Ana se sienta a laderechadeBerenicey a la

izquierda de Eva.• CarlosnosesientajuntoaEvaniaGladis.• Héctorllegóunpocoretrasadoalareunión• Amigosdelmismosexonosesientanjuntos.

5. ¿Dónde se sienta Héctor?

a) Frente a Daniel. b) Junto a Eva. c) Entre Felipe y Berenice d) Junto a Gladis e) Nada se puede precisar acerca de su posición.

6. Si Héctor no se sienta junto a Eva, entonces es siempre cierto que:

a) Berenice está junto a Felipe. b) Carlos está a la derecha de Felipe. c) Carlos está frente a Héctor. d) Eva está frente a Gladis. e) Daniel está frente a Héctor.

enunciado (7 - 8) Seis amigos Abel, Benito, Caín, Dalila, Eva y Francisco, se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Se sabe que:

• AbelsesientafrenteaBenito.

• CaínestájuntoyalaizquierdadeAbel.

• DalilanoestáfrenteaCaínniaEva.

7. ¿Cuáles son verdaderas?

I. Dalila está frente a Francisco.

II. Eva está junto a Benito.

III. Benito está entre Dalila y Eva.

a) Solo I b) Solo II c) I y II d) II y III e) Todas

8. Las siguientes afirmaciones podrían ser verda-deras EXCEPTO:

a) Benito se sienta al lado de Dalila b) Eva se sienta al lado de Francisco c) Dalila se sienta al lado de Abel d) Caín se sienta al lado de Eva e) Francisco se sienta frente a Dalila


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9. Él, tú y yo, sentimos hambre, frío, y sed, (no ne-cesariamente en ese orden). Si tú me das de co-mer, entonces yo te abrigo. Entonces él siente:

a) Hambre b) Frío c) Sed d) Calor e) Dolor

10. Almorzaban juntos tres políticos: el señor Blan-co, el señor Azul y el señor Negro, uno de ellos llevaba corbata blanca, otro azul y el otro ne-gro. En un corto diálogo, se escucha que el se-ñor de la corbata azul dice: “es curioso, a pe-sar que nuestros apellidos coinciden con los colores de nuestras corbatas, ninguno lleva su correspondiente”. El señor Blanco le responde “tiene usted razón”. ¿De qué color es la corbata del señor Negro?

a) Blanco b) Negro c) Azul d) Verde e) Ninguna de las anteriores

11. En una calculadora las teclas: (+), (-), (x) y (:), no indican las operaciones correspondientes. Si se sabe que:

• Laoperaciónadiciónnoeslatecla(x).

• La tecla (:) no es la operaciónmultiplica-ción.

• Alpresionar5(+)1elresultadoes4.

¿Qué valor se obtiene al presionar: 5 (-) 4?

a) 9 b) 20 c) 0,125 d) 5 e) 4

12. María, Lucía e Irene viven en tres ciudades di-ferentes: Lima, Cuzco y Tacna; estudian una ca-rrera diferente: Educación, Derecho y Arquitec-tura, no necesariamente en ese orden. Se sabe que:

• MaríanoviveenCuzco

• LucíanoviveenTacna.

• LaqueviveenCuzconoestudiaDerecho.

• QuienviveenTacnaestudiaArquitectura.

• LucianoestudiaEducación.

¿Dónde vive Irene y qué estudia?

a) Cuzco – Arquitectura b) Lima – Educación c) Cuzco – Educación d) Tacna – Derecho e) Lima – Derecho

13. Jorge, Enrique y Marco son tres profesionales, uno de ellos es médico, otro ingeniero y otro es abogado. Los tres tienen sus oficinas en un mis-mo edificio, cada uno en un piso diferente. Sus secretarias se llaman: Martha, Julia y Ana, aun-

que no necesariamente en ese orden. Si se sabe que:

• El abogado tiene su oficina en la plantabaja.

• Pordarlacontraalacostumbrequeindicaque las secretarias se enamoran de sus pa-trones, Julia fue conquistada por Marco con quien almuerza todos los días.

• Todaslasmañanas,Marthasubeadesayunarcon la secretaria de Enrique.

• Jorgeenunmomentodeenojo,hizodescen-der a su secretaria hasta la oficina del médico.

¿Quién es el médico?

a) Jorge b) Enrique c) Marco d) Luis e) Jorge o Marco

14. Se reúnen cuatro amigos, cada uno de ellos de distinta profesión (médico, dentista, ingeniero y profesor), cada uno de ellos de diferente na-cionalidad, (danés, francés, inglés y alemán) y cuando tienen sed toman diferentes marcas de gaseosas(CocaCola,IncaKola,FantayPepsi)si se conoce lo siguiente: José toma Coca Cola, el que toma Pepsi es inglés, el danés es profe-sor, Carlos no es médico, Guillermo es francés, el dentista toma Fanta, Manuel no es inglés y el alemántomaIncaKola.Determinelascaracte-rísticas de Manuel.

a) IncaKola–alemán–profesor b) Coca Cola – alemán – profesor c) Fanta – francés – médico d) Coca cola – danés – dentista e) IncaKola–alemán–médico

15. Cinco personas: Leonardo, Christopher, Liz-zeth, Santiago y Layna, trabajan en una fábrica. Dado su turno, una persona puede ser asignada para uno de cinco trabajos: mecánico, chofer, empacador, pesador o despachador, si se sabe que:

• Leonardo puede laborar como mecánico,empacador o pesador.

• Christopherpuedelaborarcomoempacadoro pesador.

• Lizzethpuedelaborarcomomecánico,cho-fer o despachador.

• Santiagopuede laborarcomochoferodes-pachador.

• Loscincotrabajadorespuedenrealizarsoloestos trabajos y solo estos cinco trabajadores pueden realizar estos trabajos.

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Si Leonardo es asignado para laborar como me-cánico, ¿cuál de las siguientes deben ser verda-deras?

I. Christopher es asignado como empacador.II. Layna es asignada como pescador. III. Lizzeth es asignada como chofer. IV. Santiago es asignado como despachador.

a) I y II b) I y III c) II y IV d) I, II y IV e) Todas

16. Elena, Gabriela y Teresa hablan un idioma dife-rente cada una: francés, ruso y griego, y viven en países diferentes: Perú, Ecuador y Colombia. Si se sabe que:

• LaquehablarusonoconoceColombia.• La que habla griego es amiga de Gabriela

y prima de Teresa y además no conoce el Perú.

• GabrielaconoceColombia.

¿Dónde vive y qué idioma habla Teresa?

a) Perú – griego b) Ecuador – ruso c) Perú – francés d) Ecuador – griego e) Perú – ruso

17. Cinco amigas: Ana, Pilar, Carla, Diana y Elena, estudian cada una un idioma diferente entre ingles, portugués, francés, ruso y alemán. Ana quisiera estudiar inglés en lugar de francés. Pilar le ha pedido a Carla el teléfono de su profesor de ruso. Diana no estudia alemán y se ha dis-gustado con la que estudia portugués.Marcar la relación imposible:

a) Pilar – alemán b) Pilar – portugués c) Elena – alemán d) Elena – portugués e) Pilar – ruso

enunciado (18 - 19) Un grupo de personas "A", "B", "C" y "D" tiene como profesiones:"I","J","K"y"L";vivenenlasciudades"E", "F", "G" y "H". Sabiendo que:

• "C"novivenien"E"nien"F"• "J"viveen"E"• "D"noresideen"G"• "D"es"K"• "I"viveen"G"• "A"viveen"H"

Se pegunta:

18. ¿Qué profesión tiene "A"?

a)I b)J c)K d)L e)JoK

19. Elquetienelaprofesión"K",viveen:

a) H b) E c) G d) F e) H o E

20. Gabriela, Mónica y Carolina tienen diferentes aficiones y gustos en deportes (vóley, aeróbicos y tenis), Literatura (novela, poesía y drama), Li-cores (vino, pisco y cerveza) y colecciones (lla-veros, cerámicas y libros). Se sabe que:

• AMónicanoleagradaelvóley.• Alaqueleagradaeltenisgustadelpisco.• Laquecoleccionallaverosleedramas.• Laquelegustadelvóleytomacerveza.• Gabriela disfruta cuando juega tenis o lee

poesía• Carolinacoleccionalibros.

¿Cuál de las siguientes alternativas, muestra una asociación incorrecta?

a) Mónica – cerámica b) Mónica – vino c) Mónica – drama d) Carolina – novela e) Carolina – drama


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1. Julio invita a cenar a sus amigos: Violeta, Mó-nica, César, Freddy y Alberto; este último no pudo asistir. Los asistentes se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distrui-buidos simétricamente.

• JuliosesientajuntoaFreddyyCésar.• FrenteaFreddysesientaVioleta.• Juntoaunhombrenoseencuentraelasiento

vacío.

¿Adyacente a quiénes se sienta Freddy?

a) Julio y Violeta b) Mónica y Alberto c) Mónica y César d) Julio y Mónica e) Violeta y César

2. En un restaurante, cinco personas se sientan al-rededor de una mesa circular de cinco sillas y piden una gaseosa para cada uno; tres Concor-dias y dos Pepsi Cola. Si se sabe que:

• LosquepidenPepsiColanosesientanjun-tos.

• BettynosesientajuntoaOlga,peroambaspiden Concordia.

• ÓscarnopidePepsiColaysesientajuntoaBetty pero no junto a Manuel.

• Mientraslosotrosconversan,Césartermina-ba su gaseosa.

Podemos afirmar que:

a) ÓscarsesientajuntoaOlga.b) No es cierto que Olga no se sienta junto a

Miguel. c) No es cierto que Betty no se sienta junto a

César.d) No es cierto que Manuel se sienta junto a

Betty.e) Más de una afirmación es correcta.

3. Se invita a un programa de TV a tres representan-tes de la barra Oriente del equipo "TNT": Hugo, Paco y Luis, y a 3 representantes del equipo "MC2", barra Occidente: Einstein, Newton y Pi-tágoras, para conversar sobre la ignorancia de las barras bravas. Los seis ocupan una mesa circular con seis sillas distribuidas simétricamente. Si:

• Ningunosesentarájuntoaotromiembrodesu propia barra.

• EinsteinnosesientajuntoaHugo.• PaconosesientajuntoaPitágoras.

¿Frente a quién se sienta Paco?

a) Einstein b) Newton c) Luis d) Pitágoras e) Hugo

enunciado (4 – 5)Seis amigos: Paco, Estela, Hernán, Fiona, Aldo y Edú, se sientan alrededor de una mesa circular con seis banquillos distribuidos uniformemente y numerados en sentido antihorario, del uno al seis, La distribución de los amigos alrededor de la mesa debe cumplir las siguientes condiciones.

• Fionasesentaráenelbanquillonúmerotres.• HernánsesientajuntoaFiona.• AldosesientafrentaaPaco.• EstelasesientaalaizquierdadePaco.

4. Si Edú se sienta junto a Aldo, entonces, ¿cuáles de los siguientes amigos se podrían sentar junto a Paco?

I. Hernán II. Estela III. Fiona

a) I b) II c) III d) II, III e) Todas

5. Para determinar el número del banquillo en el que se sentará Edú, basta saber que:

I. Fiona se sienta a la derecha de Estela.II. Edu no se sienta junto a Paco

a) I b) II c) I y II d) I ó II e) E.D.

enunciado (6 – 7)Renato, Javier, Antonio y Santiago, son escritor, historiador, periodista y filósofo, aunque no necesariamente en ese orden. Todos ellos fuman, excepto uno, y sus marcas de cigarrillos preferidas sonHamilton,WinstonyPremier.

• ElqueprefiereHamiltonesvecinodelfilósofo,y no es periodista.

• AntonioestudióconelhistoriadorenelcolegioysiemprehapreferidofumarWinston.

• Al escritor no le gustan losHamilton, porqueprefiere cigrarrillos más fuertes como Premier.

• ElescritoresRenato,yesmásjovenqueelquefuma Hamilton.

6. ¿Quién es el historiador?

a) Renato b) Javier c) Antonio d) Santiago e) No se puede determinar

7. Marcar lo verdadero:

a) Javier es filósofo y fuma, pero no Premier.b) Renato es historiador y fuma Premier.c) Santiago puede ser periodista y no fuma.d) Antonio es periodista y no fuma.e) Renato es escritor y fuma Hamilton.

Tarea domiciliaria

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8. La asociación correcta es:

a) Santiago–Premier b) Renato–Winstonc) Renato – Hamilton d) Santiago – Hamilton e) Ninguna de las anteriores

9. Cinco personas entran a una tienda, cada una dispuesta a adquirir un artículo determinado. Sus nombres son: Ana, José, María, Daniel y Miguel. Los artículos son: pantalón, chompa, blusa, zapa-to y cartera (no respectivamente). Se sabe que:

• NiJoséniMaríacompraronlachompa.• Ananoencontrózapatosquehaganjuegocon

la cartera que le regalaron en su cumpleaños.• Danielsecompróunpardezapatos.

¿Qué compraron María y Miguel, en ese orden?

a) Cartera – chompa b) Camisa – zapatos c) Zapatos – chompa d) Blusa – zapatos e) Blusa – chompa

enunciado (10 – 11)Andrés, Flavio y Raúl tienen una mascota diferente cada uno: conejo, gato y canario. Además, ellos tie-nen edades diferentes y viven en distritos diferentes: Lima, La Molina y Pueblo Libre. Se sabe que Andrés no es el menor y tiene como mascota un gato. Raúl no es el mayor y no vive en Lima. El que tiene el canario vive en Lima y el que tiene al conejo vive en La Molina.


a) Andrés – La Molina b) Flavio – Lima c) Raúl – canario d) Raúl – menor e) Flavio – menor

11. Si Raúl no es el menor, entonces es falso que:

a) El mayor tiene el gato. b) El menor tiene el canario. c) Flavio es el mayor. d) El mayor vive en Pueblo Libre. e) El menor vive en Lima.

enunciado (12 – 16)Claudia, Eda, Fátima, Sofía y Verónica son azafata, decoradora, reportera, enferemera y pintora, pero no necesariamente en ese orden. Además, todas ellas tienen una nacionalidad diferente: argentina, bolivia-na, peruana, uruguaya y chilena. Se sabe que:

• Lapintoranoesboliviana.• Fátimaesuruguayayesamigadeladecorado-

ra.• Claudiaeschilenayesprimadelapintora.• Edaesenfermeraperonoconocealaboliviana.• La reporteraes argentinayestá casadaconel

hermano de Sofía.

12. ¿Quién es la pintora?

a) Fátima b) Claudia c) Sofía d) Verónica e) No se puede determinar

13. ¿Quién es la reportera?

a) Fátima b) Claudia c) Sofía d) Verónica e) No se puede determinar

14. ¿Quiénes de la siguientes podría ser la azafata?

I. Claudia II. Verónica III. Sofía

a) I y II b) II y III c) I y III d) Todas e) Ninguna

15. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verda-dera?

a) Claudia es decoradora y es amiga de Fátima. b) La enfermera es prima de Fátima. c) Verónica es pintora pero no es uruguaya d) Sofía es azafata y es amiga de la peruana.e) Verónica está casada con el hermano de So-

fía.

16. Para determinar qué actividad realiza cada una, es necesario saber que:

I. Claudia no es vecina de Fátima.II. Sofía es boliviana.

a) El dato I es suficiente y el dato II no lo es. b) El dato II es suficiente y el dato I no lo es. c) Es necesario utilizar I y II conjuntamente.d) Cada uno de los datos por separado, es sufi-

ciente.e) Se necesitan más datos.

enunciado (17–20)Jorge, Carlos, Eduardo, Franco, Sergio y Víctor practican deportes distintos: fútbol, básquet, vóley, tenis, frontón y natación, pero no necesariamente en ese orden. Además, todos ellos tienen edades diferentes: 17; 18; 19; 21; 21 y 22 años.

• Elquepracticanataciónnotiene19años,peroSergio sí.

• Franco,quientiene21años,yelquepracticavóley fueron a las últimas olimpíadas.

• Carlostiene22añosyfuecompañerodepro-moción del colegio del nadador.

• Eduardopracticaelfrontónyrecibiráenelaero-puerto al deportista de 19 años.

• Elquepracticatenistiene18añosyesinstruc-tor del hermano de Sergio.

• Elfutbolistatiene17años.


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17. ¿Cuál de los siguientes personajes tiene 20 años?

a) Jorge b) Eduardo c) Sergio d) Víctor e) No se puede precisar

18. ¿Cuál de estos personajes practica natación?

a) Jorge b) Carlos c) Franco d) Víctor e) No se puede precisar

19. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verda-dera?

a) Carlos practica vóley y fue a las últimas olim-píadas con Franco.

b) Víctor no es instructor del hermano de Ser-gio.

c) Jorge no practica vóley ni básquet.d) Víctor practica natación, pero no tiene 21

años.e) Sergio practica básquet y es amigo del que

tiene 20 años.

20. Si Jorge practica fútbol, entonces es imposible que:

I. Víctor tenga 18.II. Sergio practique básquet.III. Carlos practique básquet.

a) Solo I b) I y II c) II y III d) I y III e) Ninguna

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Principio de suposiciónEl hecho de SUPONER implica aceptar una cosa por otra, es dar por sentado que una situación en particu-lar está ocurriendo aunque no fuese así. Este princi-pio es muy útil para analizar las respuestas dadas por ciertos personajes sobre una situación, dichas afirma-ciones guardan una relación entre sí y el objetivo en muchos casos es encontrar al culpable o a los culpa-bles, para ello se evalúan si las respuestas son ciertas o falsas y se recomienda buscar CONTRADICCIO-NES con el fin de hacer un análisis más directo.

enunciado (1 – 2)Cuatro alumnas: Mónica, Lucero, Estrella y Sol, responden un examen de tres preguntas de la siguiente manera:

AlumnaPreg. Mónica Lucero Estrella Sol

1 V V F F

2 V F V F

3 F F V F

1. Si se sabe que una de ellas contestó todas las preguntas correctamente, que otra falló en todas y que las otras dos fallaron solo en una pregunta cada una, ¿quién falló en todas las preguntas?

a) Mónica b) Lucero c) Estrella d) Sol e) Faltan datos

Resolución:

Luego de analizar la información, tenemos:

Mónica Lucero Estrella Sol1 V 3 5 5

2 V 5 5 3

3 F 3 5 3

Fallóen una

Fallóen todas

Fallóen una

Estrella falló en todas.

Rpta.: c

2. Si se sabe que solo una de ellas contestó todas las preguntas correctamente y que las otras tres contestaron por lo menos una pregunta correc-tamente, ¿quién contesto solo dos preguntas?

a) Mónica b) Lucero c) Estrella d) Sol e) Faltan datos

Resolución:

Analizando la información, existen dos casos:

Mónica Lucero Estrella Sol1 3 V 5 5

2 5 F 3 5

3 3 F 5 3

Mónica Lucero Estrella Sol1 5 5 3 F2 3 5 5 V3 3 3 5 F

Según esto, quien acierta dos preguntas en am-bos casos es Mónica.

Rpta.: a

3. Al llegar a la casa de Cenicienta, el Príncipe se dio cuenta de que había olvidado el zapatito de cristal, por lo que decidió interrogar a las tres hermanas, sabiendo que solo la verdadera Ce-nicienta diría la verdad. ¿Quién es Cenicienta?, preguntó el príncipe?

Jennifer: "Yo soy Cenicienta". Dora: "Jennifer miente". María: "Es cierto, Jennifer miente".

¿Cuál de ellas es Cenicienta?

Resolución:

Analizando, se determina que Dora y Jennifer se contradicen, es decir, si una dice la verdad (V), la otra miente (F).

• Entonces,María siempremiente, pues unade las dos anteriores dice la verdad y solo la verdadera Cenicienta dice la verdad.

Problemas resueltos


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• Finalmente:

Opción 1 Opción 2Jennifer V F

Dora F VMaría F F

Confirmando:

Opción 1: La Cenicienta es Jennifer.

Opción 2: Existe una incohrencia en lo que dice María.

Rpta.: Jennifer

4. Cuatro sospechosas de haber atropellado con un auto a un peatón, hicieron las siguientes afirmaciones cuando fueron interrogadas por la policía:

• María: "FueLucía"• Lucía: "FueLeticia"• Irene: "Yonofui"• Leticia: "Lucíamiente"

Si solo una de ellas miente, ¿quién atropelló al peatón?

Resolución:

Analizando, notamos que Lucía y Leticia se contradicen, y como solo una miente, entonces María e Irene dicen la verdad. Entonces:

Opción 1 Opción 2María V FLucía V VIrene F V

Leticia F V

Confirmando

Opción 1: Existen dos culpables

Opción 2: Lucía es culpable

Rpta.: Lucía

5. Cuatro niños tienen, cada uno: 4, 6, 8 y 10 ca-nicas. Se sabe que cada uno dijo:

Andrés: "Tengo 4 canicas". Benito: "Tengo 10 canicas". Carlos: "Andrés tiene 8 canicas". Daniel: "Tengo 8 canicas".

Si solo uno de ellos miente y los otros dicen la verdad, ¿cuántas canicas tienen juntos Andrés y Daniel?

Resolución:

Notamos que Andrés y Carlos se contradicen y, como solo uno miente, entonces Benito y Da-niel dicen la verdad. Luego:

Opción 1 Opción 2

Andrés V F

Benito V V

Carlos F V

Daniel V V

Confirmando:

Opción 1 Opción 2Andrés = 4Benito = 10Carlos = 6Daniel = 8

Andrés y Daniel tendrían 8 canicas.

Andrés y Daniel tendrían; 4 + 8 = 12 canicas.

1. Hay un solo anillo y tres cajas de diferente co-lor, rotuladas con los siguientes enunciados:

• Cajaploma:"Elanillonoestáaquí".• Cajanegra:"Elanillonoestáenlacajama-

rrón".• Cajamarrón:"Elanilloestáaquí".

Si solo uno de los enunciados es verdadero, en-tonces es cierto que:

a) En ninguna de las cajas está el anillo.b) El anillo no está en la caja ploma.c) El anillo está en la caja marrón.d) El anillo está en la caja ploma.e) El anillo está en la caja negra.

enunciado (2 – 3)Cuatro hermanas son interrogadas por su madre, pues una de ellas se comió un chocolate sin permiso. Ellas afirman:

• Carla: "Verónica fue".• Verónica:"Maríafue".• María:"Verónicamientealdecirquefuiyo".• Patricia:"Yonofui".

2. Si tres de ellas mienten, ¿quién dice la verdad?.

a) Carla b) Verónica c) María d) Patricia e) No se precisa


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3. Si solo una de ellas miente, ¿quién se comió el chocolate?

a) Carla b) Verónica c) María d) Patricia e) No se precisa

enunciado (4-5)Cuatro alumnas comentan los resultados de una evaluación:

• Amelia:"Carolinamiente".• Blanca:"Cecilianomiente".• Cecilia:"Obtuveelmásaltopuntaje".• Carolina:"Yonoobtuveelmásaltopuntaje".

4. Si se sabe que solo una de ellas dice la verdad y solo una de ellas obtuvo el más alto puntaje, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdade-ra?

a) Carolina dice la verdad. b) Amelia dice la verdad. c) Carolina obtuvo el más alto puntaje. d) Cecilia obtuvo el más alto puntaje. e) Más de una es correcta.

5. Si se sabe que una de ellas miente y que solo una de ellas obtuvo el más alto puntaje, ¿quién es la que miente?

a) Amelia b) Blanca c) Cecilia d) Carolina e) No se puede determinar

6. Jorge realizó tres preguntas a sus amigos: Julio, Carlos y José; y obtuvo las siguientes respuestas:

Pregunta Julio Carlos José

¿Eres profesional? Sí Sí No

¿Tienes auto? No No Sí

¿Te gusta viajar? No Sí No

Jorge recordó que de los tres, uno siempre miente; otro solo miente una vez y el último siempre dice la verdad. Además, si todos hu-biesen dicho la verdad, todos tendrían la misma respuesta. ¿Quién miente siempre?

a) Julio b) Carlos c) José d) Jorge d) Gabriel

7. Después de desaparecido un pastel que la seño-ra Juana había dejado en el horno, pregunta a cada uno de sus cinco hijos: "¿Quién se comió el pastel?", y obtiene las siguientes respuestas:

• Freddy:"Fuesolounodenosotros".• Evelyn:"Fuerondosdenosotros".

• Sandra:"Fuerontresdenosotros".• Daysi:"Fueroncuatrodenosotros".• Marielena:"Fuimoscincodenosotros".

Además, se sabe que los culpables están min-tiendo y el(los) inocente(s) está(n) diciendo la verdad. ¿Quién o quiénes no probaron pastel?

a) Freddy b) Sandra y Freddy c) Marielena d) Daysi e) Evelyn y Sandra

enunciado (8 - 10)Andrea interrogó a sus tres hijos acerca de la torta de fresas que desapareció, ella sabe que solo uno de ellos se comió la torta y respondieron así:

• Carlos: "Yo me comí la torta".• Jorge:"Claroquesí,Carlosselacomió".• Juan:"Yonofui".

8. Si se sabe que solo uno de ellos dice la verdad, ¿quién se comió la torta y quién dice la verdad, respectivamente?

a) Jorge – Carlos b) Jorge – Juan c) Carlos – Juan d) Juan – Jorge e) Carlos – Carlos

9. Si Juan miente, entonces es necesariamente cierto que:

I. Juan se comió la torta.II. Carlos miente también.III. Jorge dice la verdad.

a) I b) II c) III d) I y II e) Ninguna

10. Si Carlos se comió la torta de fresas, es verdad que:

I. Carlos dice la verdad.II. Jorge dice la verdad.III. Juan dice la verdad.

a) I b) II c) III d) I y II e) Todas

enunciado (11 - 12)Yuri vendió todo lo que poseía y se fue en busca del tesoro escondido de un pirata famoso. Luego de va-rios meses de búsqueda encontró cuatro cofres y la siguiente inscripción: "Cada uno de los cofres pue-de contener una de las siguientes cosas: mucho oro, un virus mortal de la época o simplemente nada. Al pie de cada cofre encontrará un símbolo y tres afir-maciones. Aquellos que tengan las tres afirmaciones verdaderas contendrán mucho oro, por el contrario, aquellos que tengan todas las afirmaciones falsas, serán de temer, pues en ellos encontrarás el virus mortal, y aquellos que presenten alternadamente


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afirmaciones falsas con verdaderas, o viceversa, no tendrán importancia, pues estarán vacíos". A conti-nuación se presentan los símbolos de cada cofre y sus respectivas afirmaciones:

Símbolo Afirmación

• Elcofrecon lacarita feliz tienemu-cho oro.

• Estecofre tienemuchomásoroqueel cofre de la carita feliz.

• Elcofreconlacalaveritaestávacío

• Estecofretienemuchomásoro.• Solounodeloscofrescontieneoro.• Laterceraafirmacióndelcofreconla

carita triste es verdadera.

• Este cofreno contiene el virusmor-tal.

• Estecofrecontieneelvirusmortal.• La carita sin expresión no contiene

oro.

• Este cofreno contiene el virusmor-tal.

• Lacaritafelizcontienevirusmortal.• Lacaritatristecontienevirusmortal.

11. ¿Cuántos cofres contienen oro?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) Indeterminado

12. ¿Qué contiene el cofre de la carita sin expresión y el cofre de la carita triste, respectivamente?

a) Vacío – virus b) Virus – vacío c) Oro – virus d) Virus – oro e) Oro – vacío

enunciado (13 - 14)Ocho personas, Sara, Tomás, Úrsula, Víctor,Wi-lliam, Xavier, Yolanda y Zacarías, se sientan alrede-dor de una mesa circular con ocho sillas distribui-das uniformemente. La ubicación de las personas alrededor de la mesa cumple las siguientes condi-ciones:

• WilliamyXavierocupansillasadyacentes.• ZacaríasyÚrsulaocupansillasadyacentes.• YolandaestásentadafrenteaSara.

13. Todas las siguientes personas podrían estar sen-tadasjuntoaÚrsula,EXCEPTO:

a) Sara b) Tomás c) Víctor d) Xavier e) Yolanda

14. Todas las siguientes afirmaciones son imposi-bles, EXCEPTO:

a) Tomás y Víctor ocupan sillas adyacentes.b) ÚrsulayVíctorocupansillasadyacentes.c) ÚrsulayXavierocupansillasadyacentes.d)WilliamyZacaríasocupansillasadyacentes.e) Xavier y Zacarías ocupan sillas adyacentes.

15. En una playa de estacionamiento entran cuatro autos, se sabe que:

• Elautodelgringotienetresocupantes.• Enunodelosautosvaunmulato.• ElToyotapermanececuatrohorasenlapla-

ya de estacionamiento.• Elautoquellegaprimeropermanecetresho-

ras.• Elautoconsolounocupanteesdelchino.• El auto que llega inmediatamente después

del Datsun es el que permanece cuatro horas en la playa de estacionamiento.

• Elautodelnegrollegainmediatamentedes-pués del que permanece una hora, y perma-nece dos horas en la playa de estacionamien-to.

• Elautocondosocupantes llega inmediata-mente después del Ford.

• ElautoconcuatroocupantesnoesVolkswa-gen y llega último a la playa de estaciona-miento.

• Elautodelgringollegainmediatamentean-tes del auto con dos ocupantes.

Permaneció una hora en la playa de estaciona-miento :

a) El que tenía dos ocupantes.b) El auto del mulato.c) El auto del chino.d) El Datsun.e) El que tenía tres ocupantes.

enunciado (16 - 17)Si se sabe que Javier es mayor que Elena y que Pedro, pero este último es mayor que Joaquín y que Manuel.

16. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es ver-dadera?

a) Manuel es menor que Pedro.b) Joaquín es menor que Javier.c) Javier es mayor que Manuel.d) Elena es menor que Javier.e) Pedro es menor que Elena.

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17. Para saber quién es el menor de todos, es sufi-ciente saber que:

I. Elena es mayor que Pedro.II. Joaquín es menor que Manuel.

a) El dato I es suficiente y el dato II no lo es.b) El dato II es suficiente y el dato I no lo es.c) Es necesario utilizar I y II conjuntamente.d) Cada uno de los datos, por separado, es sufi-


18. Siete cadetes están preparándose para un des-file militar y deben marchar obedeciendo las siguientes condiciones:

• "A" debe marchar inmediatamente delantede "E".

• "D"nopuedemarchardelantede"A".• "G"debemarcharcuartoydelantede"E".• "F"nopuedemarcharprimeroniquinto.

Si "F" marcha tercero, es imposible que:

I. "C" marche primero.II. "B" marche primero.III. "A" marche quinto.IV. "E" marche quinto.V. "D" marche sexto.

a) I y III b) Solo III c) IV y V d) I, II y III e) Solo II

19. Cinco amigos van al cine y ocupan una fila de siete asientos. Se sientan juntos, siempre que no sean del mismo sexo, en ese caso se deja un lugar vacío. Si se observa que:

• Elisaestáenelextremoderecho.• PedroestáentreLaloyAlejandra.• Ricardo está a la izquierda de Lalo, quien

está sentado junto a Elisa.

¿Quién ocupa la quinta posición desde la iz-quierda?

a) Ricardo b) Pedro c) Lalo d) Alejandra e) Está vacía

20. Cuatro amigos: Saúl, Roberto Tomás y Pablo se van de cacería llevando a sus perros de caza respectivos, estos tienen los mismos nombres mencionados pero cada perro no lleva el nom-bre de su dueño. Se sabe que:

• ElperrodeSaúlnotieneelmismonombreque el dueño de “Saúl”.

• Eldueñode“Tomás”esSaúloPablo.

• ElperrodePablonotieneelmismonombreque el dueño de “Tomás”.

• Robertonoesdueñode“Saúl”

¿Cuál de las alternativas es correcta?

a) Saúl es dueño de “Roberto” y Pablo de “Saúl”. b) Tomás es dueño de “Saúl” y Pablo de “Ro berto”. c) Saúl es dueño de “Tomás” y Tomás de “Ro berto”. d) Saúl es dueño de “Roberto” y “Pablo” de “Tomás”. e) Saúl es dueño de “Tomás” y Roberto de “Pablo”.

1. Cuatro amigas sostienen la siguiente conversa-ción:

• Andrea:"Aprobéelexamendeinglés".• Blanca:"Yoaprobédichoexamen".• Diana:"Carladicelaverdad".

Si solo una de ellas dice la verdad, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

a) Andrea miente. b) Blanca dice la verdad. c) Carla dice la verdad. d) Carla ha aprobado el examen de inglés. e) Andrea ha aprobado el examen de inglés.

2. Cinco amigos viven en cinco casas contiguas, si se sabe que:

• AlfonsovivealaizquierdadeAlberto.• AlfredonovivealaderechadeÁlvaro.• Albertoviveenelcentrodetodos.• AlonsonovivejuntoaAlberto.

¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son co-rrectas

I. ÁlvarovivealaderechadeAlberto.II. Si Alfredo no vive junto a Alberto, entonces

vive a la derecha de los demás.III. Alonso vive a la derecha de los demás.

a) Solo II b) Solo III c) I y II d) Solo I e) II y III

enunciado (3 – 5)Andrés, Flavio y Raúl tienen una mascota diferente cada uno: conejo, gato y canario. Además, ellos tie-

Tarea domiciliaria


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nen edades diferentes y viven en distritos diferentes: Lima, La Molina y Pueblo Libre. Se sabe que Andrés no es el menor y tiene como mascota un gato. Raúl no es el mayor y no vive en Lima. El que tiene el canario vive en Lima y el que tiene al conejo vive en La Molina.



4. Si Raúl no es menor, entonces es falso que:

a) El mayor tiene el gato b) El menor tiene el canario c) Flavio es el mayor d) El mayor vive en Pueblo Libre e) El menor vive en Lima

5. Para determinar quién es el menor, basta saber que:

I. Flavio es mayor que el que vive en La Moli-na.

II. Andrés es mayor que Raúl.

a) El dato I es suficiente y el dato II no lo es. b) El dato II es suficiente y el I no lo es. c) Es necesario utilizar I y II conjuntamente.d) Cada uno de los datos por separado, es sufi-


6. Cuatro acusadas de haber roto los cristales de una ventana son interrogadas y responden de la siguiente manera:

• Grecia:"Zarinaparticipó".• Mariela:"Greciaparticipó"• Zarina:"Greciamiente".• Sabrina:"Yonoparticipé".

Además, se sabe que solo una de ellas es ino-cente, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

a) Todos los enunciados pueden ser falsos.b) Todos los enunciados pueden ser verdade-

ros.c) A lo más, un enunciado es falso. d) Al menos, un enunciado es falso. e) A lo más, un enunciado es verdadero.

enunciado (7 – 8)Un juego consiste en extraer de una urna, bolas de colores. En dicha urna hay bolas rojas, azules y verdes. Se sabe que:

• Para ganar un punto se deben extraer conse-cutivamente dos bolas del mismo color, como máximo, en cuatro jugadas.

• Lasbolasseextraenunaporunayalazar.

7. Si Ariana comienza a jugar y se saca una bola azul y luego una roja, ¿de cuántas maneras pue-de ganar un punto?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) Más de 6

8. Si Ariana comienza a jugar y saca una bola roja, ¿de cuántas maneras puede ganar un punto?

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

9. Cuatro hermanas fueron interrogadas por su madre, pues una de ellas se comió un chocolate sin permiso.

Gina: "Verónica fue".Verónica:"Karenfue".Karen: "Verónicamiente".Patricia: "Yo no fui".

Si tres de ellas mienten, ¿quién dice la verdad?

a) Gina b) Verónica c) Karen d) Patricia e) No se puede determinar

10. Fátima tiene cuatro admiradores: Alejandro, Daniel, Santiago y Rodrigo; y uno de ellos le ha enviado un ramo de rosas de manera anó-nima. Fátima los reunió y les preguntó quién había sido, y ellos le contestaron de la siguiente manera:

• Alejandrodijo:"Unodenosotrosfue".• Danieldijo:"Yonofui.• Santiagodijo:"Alejandronofue".• Rodrigodijo:"FueSantiago".

¿Quién le ha enviado el ramo de rosas, si solo uno de ellos ha mentido?

a) Alejandro b) Daniel c) Santiago d) Rodrigo e) No se puede precisar

11. Como en todos los ámbitos, también entre los acertijeros hay gente mala. Es el caso de tres personas que debieron ser expulsadas del últi-mo torneo de juegos de ingenio de Moldavia. Les cuento:

• Quienteníaunaminicomputadoraescondi-da, fue descubierto mientras resolvía un cru-cigrama.

• Juanfueexpulsadoelprimerdía,peronodu-rante la resolución del problema geométrico.

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• Quienrecibíaayudas por un teléfono celular no fue descubierto durante el segundo día.

• Luan fue sorprendido copiando descarada-mente una respuesta de su vecino.

• Kuannofueexpulsadaeltercerdía.• Unodeellosfuedescubiertomientrashacía

trampas resolviendo un Sudoku.

Descubran qué trampa hacía cada uno, qué día fue descubierto y qué acertijo estaba resolvien-do.

Rpta.: Juan: 1er día – sudoku – celular Luan: 3er día – prob geométrico – copiaba Kuan: 2dodía–crucigrama–minicomp

enunciado (12 – 14)Ocho personas: Sara, Tomás, Úrsula, Víctor, Wi-lliam, Yolanda, Xavier y Zacarías, se sientan alrede-dor de una mesa circular con ocho sillas distribuidas uniformemente. La ubicación de las personas alre-dedor de la mesa cumple las siguientes condiciones.


12. Todas las siguientes personas podrían estar sen-tadasjuntoaÚrsula,excepto:


13. Todas las siguientes afirmaciones son imposi-bles, excepto:

a) Tomás y Víctor ocupan sillas adyacentes.b) ÚrsulayVíctorocupansillasadyacentes.c) ÚrsulayXavierocupansillasadyacentes.d)WilliamyZacaríasocupansillasadyacentes.e) Xavier y Zacarías ocupan sillas adyacentes.

14. Si Sara se sienta junto a Zacarías, todas las si-guientes afirmaciones pueden ser verdaderas, excepto:

a) Sara está sentada junto a Xavier. b) ÚrsulaestásentadajuntoaTomás. c) ÚrsulaestásentadajuntoaYolanda. d)WilliamestásentadojuntoaYolanda.e) Yolanda está sentada junto a Xavier.

enunciado (15 – 16)Julio, Eduardo y Manuel son profesionales, uno de ellos es arquitecto, otro ingeniero y el otro es notario, aunque no necesariamente en ese orden. Los tres tienen sus oficinas en un mismo edificio,

cada uno en un piso diferente. Sus secretarias se llaman: Rosa, Patricia y Yolanda, aunque no ne-cesariamente en ese orden. Además, se conoce la siguiente información.

• Elnotariotienesuoficinaenlaplantabaja.• Por llevar lacontraa lacostumbreque indica

que las secretarias se enamoran de sua patrones, Patricia fue flechada por Manuel, con quien de-sayunaba todos los días.

• Todaslasmañanas,Rosasubeadesayunarconla secretaria de Eduardo.

• Julio,enunarranquedefuria,ordenóasuse-cretaria que baje hasta la oficina del arquitecto a traerle un café.

15. ¿Quién es el arquitecto?

a) Julio b) Eduardo c) Manuel d) Julio o Eduardo e) Manuel o Julio

16. ¿Quién es la secretaria de Julio?

a) Rosa b) Patricia c) Patricia o Yolanda d) Rosa o Patricia e) Giselle

17. Tadeo, Pedro y Carlos asisten a una actuación escolar con sus parejas: Teresa, Susana y Luisa. Cada una de las parejas tiene un(a) hijo(a). Se llaman Ruth, María y Ricardo. Teresa me dijo que si hija representaba a Anita en el teatro de la escuela. Pedro comentó que su hija represen-taba a Ofelia, y Tadeo afirmó que su hija no era María y que la mujer de Carlos no era Susana. ¿Quién está casada con Carlos y quién es la ma-dre de Ricardo?

a) Teresa – Luisa b) Luisa – Susana c) Teresa – Teresa d) Luisa – Luisa e) Luisa – Teresa

18. Se tienen 5 equipos, cada uno con un número diferente de integrantes. Se sabe que:

• Elequipo"A"tiene4integrantesmásqueelequipo "R".

• El equipo "V" tiene 3 integrantesmás que"R".

• Elequipo"N"tiene2integrantesmenosque"V".

• Elequipo"M"tiene4integrantesmenosque"V".

Si se integra otro equipo, ¿en qué lugar entre los demás podría ubicarse, si también tiene un número diferente de integrantes que los demás?


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a) Entre "M" y "R" b) Entre "V" y "N" c) Entre "V" y "A" d) Entre "R" y "N" e) Entre "M" y "N"

19. Tres representantes, un presidente, un vicepre-sidente y un tesorero, deben ser designados para el consejo estudiantil. Solo cinco personas son elegibles (dos mujeres: Vera y Janet, y tres varones:Dan,MarkyWilliam).

• Veranopuedeserpresidente.• DanyJanetnopuedenservirjuntos.• Los tres representantes no pueden ser del

mismo sexo.

Si Janet es elegida presidente, ¿cuántas personas podrían ser designadas como vicepresidente?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0

20. Se quiere formar una comisión de cuatro perso-nas, donde al menos estén presentes dos hom-bres; las mujeres candidatas son: "R", "S", "T" y "Q". Los hombres candidatos son "M", "N" y "P". Además, se deben respetar las siguientes condiciones:

• "S"noestarácon"P".• "N"noestarácon"R".• "Q"noestarácon"M".

Si "S" es elegida, ¿quiénes la acompañarán?

a) RNP b) MNP c) MNT d) MPT e) MNQ

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1. Se necesita trasladar los discos de madera de la primera y de la segunda varilla a la cuarta, con los siguientes requerimientos:

• Notrasladarmásdeundiscoporvez.• Eldiscoquitadodeberácolocarseenunava-

rilla libre o sobre un disco de mayor o igual radio.

• Enningunavarillasepermiteponerundiscomayor encima de otro menor.

¿Cuántos movimientos de los discos se deberán realizar como mínimo para lograrlo?

1° 2° 3° 4°

a) 9 b) 8 c) 10 d) 11 e) 14

2. Siete cadetes están preparándose para un des-file militar y deben marchar obedeciendo las siguientes condiciones:

•"A"debemarcharinmediatamentedelantede"E".•"D"nopuedemarchardelantede"A".•"G"debemarcharcuartoydelantede"E".•"F"nopuedemarcharprimeroniquinto.

Si "F" marcha tercero, es imposible que:

I. "C" marche primero. II. "B" marche primero. III. "A" marche quinto. IV. "E" marche quinto. V. "D" marche sexto.

a) I y III b) Solo III c) IV y V d) I, II y III e) Solo II

3. Iván, José y Cristian postulan a una universidad. Dos de ellos eligen Medicina y el restante, Filo-sofía o Literatura. Si José y Cristian no escogie-ron la misma especialidad, ¿cuál de las siguien-tes alternativas de elección deberá inferirse con total certeza como conclusión?

a) José a Literatura b) José a Medicina c) Cristian a Filosofía d) Iván a Filosofía e) Iván a Medicina

4. El número de esta tarjeta de crédito tiene 14 dígitos y la suma de tres dígitos consecutivos cualesquiera da siempre 20.

9 x 7

¿Cuánto vale "x"?

a) 5 b) 4 c) 6 d) 7 e) 9

5. Si Manuel es hijo de la esposa del único vástago de mi madre, entonces Manuel es mi:

a) Sobrino b) Hermano c) Primo d) Hijo e) Nieto

6. En cierto mes hubo cinco viernes, cinco sába-dos y cinco domingos. ¿Cuántos días en total trae dicho mes?

a) 28 b) 29 c) 30 d) 31 e) 28 o 29

7. Si el anteayer del ayer del pasado mañana del anteayer del mañana es sábado, ¿qué día será el anteayer del mañana del pasado mañana de mañana?

a) Miércoles b) Lunes c) Sábado d) Martes e) Jueves

8. Ubicar los dígitos del 1 al 8 en la siguiente fi-gura, de modo que no haya 2 números conse-cutivos en 2 cuadraditos vecinos (con un lado o vértice común). Calcular la suma de los nú-meros que ocupan los cuadraditos sombreados.

a) 17 b) 19 c) 18 d) 20 e) 24



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9. Horacio es cuñado de Miguel, Miguel es cuña-do de Elena y Elena es hermana de la esposa de Miguel. ¿Qué parentesco hay entre Horacio y Elena?

a) Cuñados b) Esposos c) Concuñados d) Hermanos e) Primos

10. Digna y Favio se casaron y solo tuvieron tres hijos: Jorge, Carmen y Sonia. Digna y Favio son padres de la madre de Andrés, quien es hijo de la hermana de Carmen. Laura es hermana de Andrés y su bisabuelo materno se llama Nica-nor, quien solo tuvo un hijo. Del texto anterior, se deduce con certeza que:

I. Jorge es soltero.II. Digna es abuela de Laura.III. Carmen es tía de sangre de Laura.

a) I y II b) I y III c) II y III d) Todas e) Ninguna

11. Si los números en los tramos de la figura corres-ponden a sus longitudes en centímetros, ¿cuál es la menor longitud que debe recorrer la punta de un lápiz sin separarla del papel para realizar la figura geométrica?

4

3 1 4 1

2 3 2 4 2

1 3 1

a) 31 cm b) 32 c) 30 d) 35 e) 33

12. En la figura, ABC es un triángulo equilátero cuyo lado mide 18 cm y está circunscrito a la circunferencia. Calcular la longitud mínima que debe recorrerse con la punta de un lápiz para realizar la figura, sin separar el lápiz del papel.

.

A2 cm 6 cm

4 cm

B

C

a) 3(p 3 + 16) cm b) 48 c) 36 3 d) 6(p 3 + 12) e) 42

13. Cuatro niños tienen cada uno: 4; 6; 8 y 10 cani-cas. Se sabe que cada uno dijo:

Andrés: "Tengo 4 canicas". Benito: "Tengo 10 canicas". Carlos: "Andrés tiene 8 canicas". Daniel: "Tengo 8 canicas".

Si solo uno de ellos miente y los otros dicen la verdad, ¿cuántas canicas tienen juntos Andrés y Daniel?

a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18

14. Manuel debe elegir tres cursos para matricular-se en el presente semestre. Se sabe que:

• HaysolodoscursosdeHumanidades:"A"y "B", y cuatro cursos de informática: "C", "D", "E" y "F".

• Silleva"C"nopuedellevar"A".• Debellevarporlomenosdoscursosdein-

formática.• Silleva"D"debellevar"F"yviceversa.

¿De cuántas maneras puede elegir tres cursos para matricularse?

a) 4 b) 7 c) 5 d) 8 e) 6

15. ¿Cuántos de los números de la figura deben ser cambiados de ubicación, por lo menos, para que la suma de los tres números contenidos en círculos unidos por una línea recta sea la misma y, además, la máxima posible?

3

1

7

4

5

9

2

8

6

a) 3 b) 4 c) 2 d) 5 e) 6

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1. ¿Qué parentesco tiene conmigo, la hija de la nuera de la mamá de mi padre, si mi padre es hijo único?

a) Mi hermana b) Mi tía c) Mi mamá d) Mi abuela e) Mi prima

2. ¿Cuántos segmentos tendría en total la siguiente figura?

a) 102 b) 40 c) 56 d) 78 e) 59

3. En el interior de una caja grande, hay 20 cajas medianas y en cada una de estas medianas, o bien hay 10 cajas pequeñas o no hay ninguna. Si 13 cajas están llenas, ¿cuántas cajas vacías hay?

a) 7 b) 8 c) 56 d) 96 e) 128

4. ¿Qué fracción completa mejor la secuencia mostrada?

103

; 49

; 67

; 58

; 112

; ...

a) 45

b) 74

c) 89

d) 35

e) 211

5. A una fiesta asistieron 399 personas. El número de hombres es 4 veces más que el número de mujeres y el de mujeres es 3 veces el de los ni-ños. ¿Cuántos hombres hay?

a) 375 b) 315 c) 330 d) 331 e) 332

enunciado (6 – 10)"A", "B", "C", "D" y "G" se desean sentar alrededor de una mesa circular con cinco sillas espaciadas, bajo las siguientes condiciones.

• "A"sedebesentarjuntoyaladerechade"G".• "B"sedebesentarjuntoa"D".• Cadaunodebeusarunpolodediferentecolor:

rojo, azul, blanco, amarillo y verde.• Elquetienepoloblancodebesentarseadyacen-

te a "C" y al que tiene polo azul.• "A"debeusarunpolo rojopero"C"nodebe

usar polo verde.

6. Es verdad que:

I. "C" debe usar el polo amarillo.II. "G" debe usar el polo verde.III. "D" debe estar sentado junto a "G".

a) I y II b) II y III c) I y III d) Solo II e) Ninguna

7. Si la persona que usa polo amarillo está sentada junto a la persona que usa polo rojo, entonces, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correc-ta?

a) "B" debe usar un polo blanco. b) "D" debe usar un polo azul. c) "A" no se sienta junto a "D". d) "G" se sienta junto a "B". e) "B" se sienta junto a "C".

8. La lista completa de las personas que pueden usar el polo azul es:

a) "G" y "B" b) "B" y "D" c) "D" y "G" d) "D" y "C" e) "B", "C" y "D"

9. Si la persona que usa polo verde no está junto a la persona que usa polo azul, es imposible que:

I. "G" y "C" deban sentarse juntos.II. "A" y "B" deban sentarse juntos.III. "D" y "G" deban sentarse juntos.

a) I y II b) II y III c) Solo III d) I y III e) Solo II

10. Para determinar quiénes se sientan adyacentes a "C", basta saber que:

I. "B" se sienta junto a la persona que usa polo rojo.

II. "D" debe usar polo blanco.

a) El dato I es suficiente y el dato II no lo es. b) El dato II es suficiente y el dato I no lo es. c) Es necesario usar I y II conjuntamente. d) Cada uno de los datos por separado es sufi-


11. (EX UNI 2007–II). De un grupo de 40 niños y niñas, la sexta parte de los niños y la séptima parte de las niñas tienen bicicletas. ¿Cuántos no tienen bicicletas?

a) 24 b) 27 c) 30 d) 34 e) 36

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12. (EX UNI 2008 – I). Si Mateo es dos veces tan vie-jo como Toñito lo será cuando Pepe sea tan viejo como Mateo es ahora, ¿qué edad tiene Mateo?

I. La suma de las edades de Toñito y Pepe es 70 años.

II. Cuando Toñito tenga la mitad de la edad que tiene Mateo, Pepe tendrá 40 años.

Para responder a la pregunta:

a) El dato I es suficiente y el dato II no lo es.b) El dato II es suficiente y el dato I no lo es.c) Es necesario usar I y II conjuntamente.d) Cada uno de los datos por separado es sufi-


13. Tresamigas:Michele,MaríadelRocíoyKaren,trabajan en zonas diferentes: San Isidro, San Mi-guel y Pueblo Libre; tienen cada una un auto de diferente color; azul, blanco y rojo. Si se sabe que:

• Laque trabajaenSan Isidrono tienecarrorojo.

• CuandoMaríadelRocíosubióasuautoazulpara ir a Pueblo Libre, se dio cuenta de que era domingo.

• AKarenlegustaríatrabajarenSanIsidro.

Podemos afirmar:

a) Michelle tiene auto rojo.b) Michelle tiene auto blanco y trabaja en San

Isidro.c) Michelle prefiere San Isidro, pero trabaja en

San Miguel.d) Karentieneautoblanco.e) Nada se precisa.

enunciado (14 – 15)Cuatro amigos, cada uno con una afición a un juego (ludo, ajedrez, dominó y damas); a tener una mascota (mono, gallo, perro y conejo) y a fumar (puros,Kimbara,FortunayMontana).

• Píofumapuros.• Elquejuegaludotieneelmono.• Luchonotieneelconejo.• ElquefumaKimbarajuegaajedrez.• Alejandrojuegadominó.• ElquefumaFortunatienealperro.• Jaimenojuegaajedrez.• ElquejuegadamasfumaFortuna.

14. ¿Quién fuma Fortuna?

a) Alejandro b) Jaime c) Lucho d) Cualquiera e) Pío

15. ¿Qué mascota tiene Jaime?

a) Perro b) Mono c) Gallo d) No se sabe e) Conejo

16. Un conejo salta en el sentido que indica la fle-cha, con las siguientes condiciones:• Siseencuentraenuncasilleroimparsaltaun

tramo.• Siseencuentraenuncasilleroparsaltados

tramos. Si comienza en el casillero 7, ¿en qué casillero

se encuentra después de dar 1995 saltos? Nota: Un tramo es la distancia entre un casillero

y el siguiente.

1

76

5 4

32

a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 7

17. Indique cuántos triángulos contienen por lo me-nos un asterisco.

a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10

18. Una hormiga tarda 10 minutos en recorrer las aristas de una caja cúbica. Si cada arista mide 40 cm, ¿cuál es la menor rapidez en cm/min de la hormiga?a) 48 b) 52 c) 56 d) 60 e) 64

19. Se requiere determinar el número de asistentes a una reunión de padres de familia. Información brindada:I. El 60% de los asistentes son mujeres.II. El número de mujeres que asistieron excede

en 10 al número de hombres. Para resolver el problema, debemos considerar:

a) Solo I b) Solo II c) I y II d) I o II d) Falta información

20. El cuadro tiene una distribución numérica, de tal forma, que las filas, columnas y diagonales suman 15. Los dígitos son del 1 al 5 y no se repiten en una fila o columna. Determine qué números ocupan los casilleros UNI.

5 4U N I

1U N I2 5 3

a) 3; 4; 2 b) 3; 5; 2 c) 3; 5; 4 d) 4; 3; 5 e) 4; 5; 3

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ConceptoEn este tema se analiza la estructura interna de las proposiciones y la relación que existe entre el sujeto y el predicado.

Nociones previas Proposición

Es aquel enunciado que tiene la cualidad de ser verdadero o falso pero no puede ser verdadero y falso a la vez.

Ejemplos:

p: cinco más ocho es igual a 13 (v) q: Lima es capital de Bolivia (F) r: El número seis pertenece al conjunto de los números enteros (V)

Proposición categórica

Es aquel enunciado o proposición que afirma o niega la relación de dos conjuntos o clases.

Ejemplos:

1. Todas las mujeres son hermosas.

Indica que todos los elementos del conjunto o clase "Mujeres" están considerados totalmente en el conjunto o clase "Hermosas".

2. Ningún animal es un ser que razona.

Indica que no existen elementos del conjunto o clase "animal" considerados en el conjunto o clase "ser que razona".

3. Algunos estudiantes son puntuales.

Indica que algunos elementos del conjunto o clase "estudiantes" son considerados en el conjunto o clase "puntuales".

4. Algunas botellas no son de vidrio.

Indica que existen algunos elementos o al menos un elemento del conjunto "botella" que no se considera en la clase "vidrio".

Analizando los ejemplos anteriores, observamos la relación que existe entre las clases o conjuntos en una proposición categórica. Algunas relaciones pueden ser de inclusión o exclusión, totales o parcia-les, ello lo notamos por el uso de las palabras: todos, ningún, algunos, no todos.

Dichas palabras son conocidas con el nombre de cuantificadores.

Cuantificadores

Son expresiones lógicas que indican la relación entre los conjuntos o clases de una proposición cate-górica.


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Los cuantificadores pueden ser clasificados de la siguiente manera:

Cuantificadores Afirmativos Negativos

UniversalesTodos...Cada uno...Los...

Ningún...Ninguno...No existe...

Particulares

Algunos...Al menos uno...Ciertos...Muchos...

Algunos... noNo todos...

Inferencia

Es el análisis lógico que, partiendo de una o más proposiciones (premisas), obtiene una nueva propo-sición llamada conclusión.

Ejemplos:

a) Todos los estudiantes de Trilce son responsables.

Si Carlos, Luis y Claudia, son estudiantes de Trilce, se deduce o se infiere que: algunos estudiantes de Trilce son responsables.

b) Todos los ingenieros dominan matemática.

Se deduce o se infiere que algunos ingenieros dominan matemática.

c) Si: • Todosloslimeñossonbohemios.

• Todoslosbohemiossonfelices.

Se infiere: Todos los limeños son felices.

d) Si: • Todoslosadolescentessonresponsables.

• Ningúnresponsableesinmaduro.

Entonces: Ningún adolescente es inmaduro.

Nota: las inferencias que tengan dos premisas (como por ejemplo, "c" y "d") se llaman silogismos.

Para un mejor análisis de los problemas, consideraremos los siguientes aspectos:

Caso 1: Cuando las proposiciones se refieran solo a cuantificadores universales.

Caso 2: Cuando las proposiciones se refieran a cuantificadores universales y particulares.

Caso 3: Negación de proposiciones.

Problemas resueltos

Gráfica de proposicionesCaso 1

PS

S P

Todos los "S" son "P" Ningún "S" es "P"

Esta representación es muy útil si en la proposiciones solo aparecen CUANTIFICADORES UNIVERSALES.

1. Si se sabe que:

• Todoslosmamíferossonvivíparos.• Ningúnbatracioesvivíparo.• Todoslossapossonbatracios.

Podemos concluir que:

a) Algunos sapos son vivíparos. b) Algunos mamíferos son batracios. c) Todos los batracios son sapos. d) Ningún sapo es mamífero. e) Todos los mamíferos son batracios.

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Resolución:

Se observa que solo hay cuantificadores univer-sales, graficando:

mamíferos

vivíparos

sapos

batracios

Se infiere: ningún sapo es mamífero.

Rpta.: a

Caso 2 Considerando las siguientes representaciones

Clase vacía Clase no vacía

Clase indeterminada

Por lo tanto, utilizando diagramas de Venn Euler, tendremos:

S P

S P

Todos los "S son "P" Ningún "S" es "P"

S P

S P

Algún "S" es "P" Algún "S" no es "P"

• Esta representación es recomendable si en lasproposiciones aparecen CUANTIFICADORES UNIVERSALES Y PARTICULARES.

• Paragraficarmásdeunaproposición,primerose grafican aquellas que tengan cuantificador universal para luego continuar con las que ten-gan cuantificador particular.

2. Si:

• Algunos"W"queson"Z"noson"T".• Todoslos"Z"son"W".• Ningún"W"es"T".

Entonces:

I. Ningún "Z" es "T".II. Todoslos"W"son"Z".III.Algunos"T"noson"W".

Respecto a estas afirmaciones, las correctas son:

Resolución: Graficando los cuantificadores universales:

Z

T

W

Finalmente, considerando el cuantificador parti-cular:

Z

T

W

Entonces:

I. Verdadero II. Falso III. Falso

Rpta.: c

3. Si todos los ingenieros son ingeniosos, y algunos preocupados no son ingeniosos, se infiere lógi-camente que:

a) Algunos preocupados no son ingenieros. b) Algunos preocupados son ingenieros. c) Ningún preocupado es ingeniero. d) Algunos ingenieros no son preocupados. e) Algunos preocupados son ingeniosos.

Resolución: Graficando primero los cuantificadores univer-

sales y luego los particulares, tendríamos:

Ingenieros

Preocupados

Ingeniosos

Se infiere: algunos preocupados no son ingenie-ros.

Rpta.: a


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Caso 3

Negación de proposiciones categóricas

Una forma práctica para realizar la negación de una proposición categórica es usar los diagramas de Venn Euler. Para ello, primero se presenta graficamente la proposición, luego se niega la zona representada y finalmente se interpreta el gráfico obtenido.

Ejemplos:

Proposición Representación gráfica Representación gráfica de la negación

Negación de la proposición

Todos los niños son traviesos

NiñosTraviesos

Zona a negar

NiñosTraviesos

Algunos niños no son traviesos

Ningún peruano es irresponsable

PeruanoIrresponsable

Zona a negar

PeruanoIrresponsable

Algunos peruanos son irresponsables

Muchos poetas son fantasiosos

PoetasFantasiosos

Zona a negar

PoetasFantasiosos

Ningún poeta es fantasioso

Observamos que la negación de un cuantificador universal es un cuanificador particular y viceversa.

4. La negación de "todos los rectángulos son para-lelogramos", es:

a) Todos los rectángulos no son paralelogra-mos.

b) Todos los no rectángulos no son paralelogra-mos.

c) Algunos rectángulos no son paralelogramos.d) Algunos rectángulos son paralelogramos.e) Todos los no rectángulos son paralelogra-

mos.

Resolución:

Graficando la premisa: "Todos los rectángulos son paralelogramos".

Rectángulo RectánguloParalelogramos Paralelogramos

Un "no existe" se niega con un "existe al menos uno".

Finalmente, el gráfico de la negación es:

Rectángulo Paralelogramos

Algunos rectángulos no son paralelogramos.

Rpta.: c

5. A partir de las siguientes premisas:

• Todoslosartistassonsensibles.• Noesciertoquetodoslospoetasseansensi-

bles.

Se infiere válidamente:

a) Todos los poetas son artistas. b) Ningún artista es poeta. c) Algunos poetas no son artistas. d) Todos los artistas son poetas. e) Algunos sensibles no son poetas.

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Resolución:

Analizando y graficando:

Poetas Sensibles Poetas Sensibles

Esto no es cierto, entonces, lo válido sería la negación.

Finalmente:

Artistas

Poetas

Sensibles

Se infiere: algunos poetas no son artistas.

Rpta.: c

1. Si:

• Losinfantessonpreescolares.• Cadabebéesuninfante.

Entonces:

a) Ningún bebé es preescolar. b) No existe preescolar que sea bebé. c) Los bebés son preescolares. d) Algún escolar es bebé. e) Algún bebé es escolar.

2. Si:

• Todohombreesracional.• Ningúnanimalesunserquerazona.

Entonces:

a) Algún animal es hombre. b) Algún no animal no es hombre. c) Ningún animal es hombre. d) Todo animal es siempre animal. e) Cierto no hombre no es hombre.

3. Si todos los biólogos son científicos y todos los científicos son racionales, ¿cuál de las siguien-tes afirmaciones es necesariamente verdadera?

a) Todos los racionales son científicos. b) Todos los científicos son biólogos. c) Algunos biólogos no son racionales. d) Todos los biólogos son racionales. e) Algunos biólogos son racionales.

4. Si se sabe que: "Ningún reptil es mamífero y ningún mamífero es asexuado", ¿cuál es la con-clusión correcta?

a) Ningún reptil es asexuado. b) Ningún asexuado es reptil. c) Algunos mamíferos no son reptiles. d) Más de una es correcta. e) Ninguna es correcta.

5. Si se sabe que:

• Todos los estudiantes se preparan para losexámenes.

• Todoslosquesepreparanparalosexámenesobtienen buenos resultados.

Se puede concluir que:

a) Todos los que obtienen buenos resultados se preparan para los exámenes.

b) Todos lo que se preparan para los exámenes son estudiantes.

c) Todos los que obtienen buenos resultados son estudiantes.

d) Todos los estudiantes obtienen buenos resul-tados.

e) Algunos de los que se preparan para los exá-menes no obtienen buenos resultados.

6. De la siguiente proposición: "Todos los cachim-bos son inteligentes", se infiere:

a) Algunos cachimbos son inteligentes. b) Algunos no inteligentes son cachimbos. c) Todos los inteligentes son cachimbos. d) Ningún inteligente es cachimbo. e) Algunos no inteligentes son cachimbos.

7. Si afirmamos que: "TODOMATEMÁTICO ESCIENTÍFICO", una expresión equivalente a di-cha afirmación es:

a) Ningún matemático no es científico. b) No todo matemático es científico. c) Hay matemáticos que son analíticos.d) No es cierto que todo científico sea no mate-

mático.e) Muchos matemáticos son científicos.



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8. Si afirmamos que: "TODAS LAS FRUTAS SON NUTRITIVAS ", podemos concluir que:

a) Algunas frutas no son nutritivas.b) No es el caso que algunas frutas sean nutriti-

vas.c) No es el caso que algunas frutas no sean nu-

tritivas.d) Algunas frutas son amargas.e) Ninguna fruta es nutritiva.

9. Dadas las siguientes afirmaciones:

• Algunashistoriasdeficciónsonreales.• Ningúncuentodeterroresreal.

Se infiere necesariamente que:

a) Algunas historias de ficción no son cuentos de terror.

b) Algunos cuentos de terror no son historias de ficción.

c) Algunos cuentos de terror son reales.d) Todas las historias de ficción son cuentos de

terror.e) Todos los cuentos de terror son historias de

ficción.

10. Dadas las siguientes premisas:

• Algunas enfermedades contagiosas no sonpeligrosas.

• Todaslasenfermedadescontagiosassepro-pagan con facilidad.

De ellas se concluye necesariamente que:

a) Algunas cosas que se propagan con facilidad no son peligrosas.

b) Algunas cosas peligrosas se propagan con fa-cilidad.

c) Algunas cosas peligrosas no se propagan con facilidad.

d) Nada que sea peligroso se propaga con faci-lidad.

e) No todo lo peligroso se propaga con facili-dad.

11. Si afirmamos que: "Algunos poetas son fantasio-sos, todo fantasioso no es realista", entonces:

a) Todos los poetas son realistas.b) No es cierto que muchos poetas no sean rea-

listas.c) Muchos poetas no son escritores. d) Muchos poetas no son realistas. e) Ningún poeta es realista.

12. Si afirmamos:

• Ningúnvietnamitaesamericano.• Muchosvalientessonvietnamitas.

Entonces:

a) Todo valiente es no americano. b) Ningún americano es valiente. c) Muchos valientes mueren. d) Todo americano no es valiente. e) Muchos valientes no son americanos.

13. Si se sabe que:

• Algunosestudiososvanafiestas.• Todoslosquevanafiestaspierdentiempo.

Entonces:

a) Los que van a fiestas no son estudiosos. b) Los que van a fiestas son estudiosos. c) Algunos estudiosos pierden tiempo. d) Todos los estudiosos aprovechan el tiempo.e) No todos los que van a fiestas aprovechan el

tiempo.

14. Si:

• Losmédicossonprofesionales.• Algunaspersonasnosonprofesionales.

Entonces:

a) Toda persona es médico. b) Ningún médico es persona. c) Es falso que los médicos sean personas. d) Ciertas personas no son médicos. e) Ninguna no persona es no médico.

15. Si:

• Algunosmamíferossonrumiantes.• Todomamíferoesvertebrado.

Entonces:

a) Algunos rumiantes son invertebrados. b) Todo rumiante es vertebrado. c) Algunos vertebrados son rumiantes. d) Algunos vertebrados son mamíferos. e) Algunos rumiantes son mamíferos.

16. Si se sabe que algunos caníbales son religiosos y todos los religiosos son filántropos, ¿cuál de las siguientes relaciones se concluye necesaria-mente?

a) Algunos filántropos son caníbales. b) Algunos caníbales son filántropos. c) Algunos filántropos no son caníbales. d) Algunos caníbales no son filántropos. e) Más de una es correcta.

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Graficar las premisas indicadas.

1. Muchas personas no son honestas.

2. Al menos un estudiante es distraído.

¿Qué interpretación se obtiene de los gráficos indicados (preguntas 3 y 4)?

3.

Peruanos Inmigrantes

4.

Futbolistas

Atletas

Graficar la negación de las premisas indicadas.

5. a) No existen detergentes que sean blanquea-dores.

b) No todos los alumnos de TRILCE son IRRES-PONSABLES.

17. Si se sabe que:

• Ningúnniñoesobediente.• Algunosniñossonprecoces.

¿Cuál es la afirmación correcta?

a) Algunos precoces no son obedientes. b) Algunos obedientes no son precoces. c) Ningún precoz es obediente. d) Algunos obedientes son precoces. e) Algunos precoces son obedientes.

18. Señale el silogismo correcto:

a) No todos los perros ladran. Juan no ladra. Luego, Juan no es perro.

b) Los astronautas son saludables. José es salu-dable. Luego, José es astronauta.

c) Los tuertos son avaros. Mario es tuerto. Lue-go, Mario es avaro.

d) No todos los matrimonios son siempre feli-ces. Luis y Luisa constituyen un matrimonio. Luego, Luis y Luisa no son siempre felices.

e) Todas las gorditas son algo coquetas. Martha es algo coqueta. Luego, Martha es gordita.

19. Negar las siguientes proposiciones:

• Todoslosavionessonveloces:

____________________________________

• Ningúnescolarestímido:

___________________________________

• Algunosfutbolistassonmillonarios:

___________________________________

• Algunospeluchesnosoncostosos:

___________________________________

• Losgatossonnocturnos:

___________________________________

• Nohaymujermentirosa:

___________________________________

• Almenosundíaeslluvioso:

___________________________________

• Almenosunosonoesdeanteojos:

___________________________________

20. A partir de las siguientes premisas: Todos los artistas son sensibles. No es cierto que todos los poetas sean sensi-bles. Se infiere válidamente que:

a) Todos los poetas son artistas. b) Ningún artista es poeta. c) Algunos poetas no son artistas. d) Todos los artistas son poetas. e) Algunos sensibles no son poetas.

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Completar el cuadro, según el ejemplo propuesto:

Proposición categórica Clase Representación gráfica Representación gráfica

de la negaciónProposición

negada

Todo responsable es maduro

Universal afirmativo

Resp. Mad. Resp. Mad. Algunos responsables

no son maduros

6. Existe al menos

una mujer hermosa

9. Si algunos reptiles son lentos y los cocodrilos son reptiles, entonces, se deduce que:

a) Ningún cocodrilo es lento. b) Todos los cocodrilos son no lentos. c) Ningún cocodrilo es no lento. d) No todos los cocodrilos son reptiles. e) No se puede afirmar que los cocodrilos son no lentos.

10. La negacion de: "Todas las chicas miran a Sal-vador", es:

a) Algunas chicas miran a Salvador. b) Algunas chicas no miran a Salvador. c) Ninguna mira a Salvador. d) Ninguna no mira a Salvador. e) Todas las chicas miran a Salvador.

11. La negación de: "Ningún estudioso es flojo", es:

a) Todos los estudiosos son flojos. b) Todos los no flojos son no estudiosos. c) Ningún no estudioso no es flojo. d) Algunos estudiosos son flojos. e) Algunos flojos son no estudiosos.

12. Si afirmamos que: "Todas las frutas son nutriti-vas".

a) Algunas frutas no son nutritivas.

b) No es el caso que algunas frutas sean nutriti-vas.

c) No es el caso que algunas frutas no sean nu-tritivas.

d) Algunas frutas son amargas.e) Ninguna fruta es nutritiva.

13. Si se sabe que: "Los alumnos son optimistas y todos los optimistas son estudiosos", entonces, se infiere:

a) Ningún alumno es estudioso.b) Todo aquel que sea estudioso es alumno.c) No todo estudioso es alumno.d) Todo aquel que sea alumno es estudioso.e) Todo alumno no es estudioso.

14. Si :

• Todaslashormigastienencuatropatas.• Todoslosseresdecuatropatasnotienenan-

tenas.

Entonces:

a) Todos los seres de cuatro patas son hormi-gas.

b) Algunas hormigas tienen antenas.c) Todas las hormigas no tienen antenas.d) Todas las hormigas tienen antenas.e) Ningún ser de cuatro patas es hormiga.

7.

A B

8. No todos los peruanos son

felices

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15. Si se sabe que :

• Notodoslosperezosostienensuerte.• Ningúnuniversitarioesperezoso.

Se deduce que.

a) Algunos universitarios tienen suerte.b) Todos los que tienen suerte son universita-

rios.c) Algunos perezosos son universitarios.d) Algunos perezosos no son universitarios.e) Ninguna de las anteriores.

16. Luego de negar las siguientes proposiciones:

• Algunossabiossondescuidados.• Ningúnalumnoesdescuidado.

Se infiere :

a) Muchos sabios son maestros.b) Algunos alumnos no son estudiosos.c) Muchos alumnos no son sabios.d) Todos los alumnos son sabios.e) Existe al menos un sabio que es alumno.

17. Si se sabe que la afirmación: "Toda la familia de María vive en Lima", es falsa, entonces, es necesariamente cierto que:

I. Toda la familia de María vive fuera de Lima.II. Al menos un familiar de María vive fuera de

Lima.III. Al menos un familiar de María vive en Lima.

a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) I y II c) II y III

18. Dadas las siguientes proposiciones:

• Todosloscantantesfamosossonmillonarios.• Ningúnmillonarioinviertemalsufortuna.

Se deduce necesariamente que:

a) Ningún millonario es un cantante famoso.b) Ningún cantante famoso invierte mal su for-

tuna.c) Todos los que invierten mal su fortuna son

millonarios.d) Todos los cantantes famosos invierten mal su

fortuna.e) Algunos millonarios son cantantes famosos.

19. Si afirmamos que:

• Cadacosaquebrillaesoro.• Noexistecosabaratadeoro.

Se infiere que:

a) No hay cosas de oro baratas.b) Muchas cosas baratas no brillan.c) Ninguna cosa barata brilla.d) No existe cosa que brille y que sea barata.e) Más de una es correcta.

20. Si afirmamos que: "Muchos de los que ofrecen la vida son valientes y los valientes van a la glo-ria", entonces:

a) Nadie que ofrenda la vida va a la gloria.b) Todo aquel que ofrece la vida va a la gloria.c) Ninguna persona que ofrece la vida va a la

gloria.d) Muchos de los que ofrecen la vida van a la

gloria.e) Todos los valientes van a la gloria.

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1. Identifique la alternativa con la figura que com-pleta la secuencia:

; ; ; ...

a) b) c) d) e)

Resolución:

Considerando la cantidad de segmentos que se emplean en cada figura.

; ; ; 1 segm. 3 segm. 5 segm. 7 segm 144444424444443 Números impares

Rpta.: d

2. ¿Qué figura continúa?

; ; ; ...

a) b) c) d) e)

Resolución: Analizando:

• Cantidad de lados de la figura externa: 3; 4; 5; 6

• Cantidad de segmentos de la figura terna: 4; 3; 2; 1

Rpta.: d

3. Indique la alternativa con la figura que debe ocupar la posición 9.

...

posición 1 posición 2 posición 3 posición 4 posición 5

a) b) c) d) e)

Resolución:

Notamos que hasta la posición 9 hay 8 giros en sentido antihorario:

Luego; Giro 1 Giro 2 Giro 3 ... Giro 8

90° + 180° + 270° + ... ↓ 90(1) + 90(2) + 90(3) + ... + 90(8)

90°[1+2+3+...+8] = 90 × 36 = 9 × (360°)

Es decir, la figura inicial gira 8 vueltas comple-tas con lo que se deduce que en la posición 9 se tiene la misma figura de la posición 1.

Rpta.: c

IntroducciónEl análisis de una o varias figuras conlleva a realizar una observación al detalle sobre las características de las mismas, tomando en cuenta: formas, tamaños, colores, sentidos de giro y todo tipo de relaciones que podamos descubrir entre ellas. Este análisis es conocido también como PSICOTÉCNICO y mide en cierta forma el grado de razonamiento abstracto que podemos alcanzar.

El tema ha sido dividido en dos capítulos a fin de abarcar los diferentes casos que se presentan tales como: figuras que continúan, figuras discordantes, distribución de figuras en filas y columnas, análisis de sólidos, figuras que ocupan un lugar enésimo en un ordenamiento.

Problemas resueltos

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4.

?

a) b) c) d) e)

5.

?

a) b) c) d) e)

Analice las fichas del dominó, establezca la ley y luego complete la ficha que falta.

6.

Todas las secuencias de figuras están ordenadas mediante una relación determinada. Halle y marque con una equis (X). ¿Cuál de las figuras propuestas como alternativa debe ocupar el lugar de la interrogación?

1.

?

a) b) c) d) e)

2.

?

a) b) c) d) e)

3.

?

a) b) c) d) e)

4. Indique la alternativa que debe ocupar la posi-ción 7.

...

(1) (2) (3) (4)

a) b) c) d) e)

Resolución:

Analizando se tiene:

⇒ se desplaza en sentido horario, 2 casillas.

⇒ se desplaza en sentido horario, 2; 3; 4; 5; ... casillas.

⇒ se desplaza hacia arriba de casilla en casi-lla y luego vuelve a iniciar desde abajo.

Luego, en la posición 7 se tendrá la alternativa "e".

Rpta.: e



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11.

Observe la relación que existe entre "A" y "B". ¿Cuál de las figuras numeradas guarda una relación análoga a la "C"?

A B C a) b) c) d) e)12.

13.

14.

15.

16. ** ***

17.

18.

19. ¿Cuál es la figura que falta?

a) b) c) d) e)

7.

8.

9.

10.

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20. ¿Qué figura corresponde a este desarrollo en un solo plano?

a)

b)

c)

d)

e)

21. ¿Qué figura completa el arreglo?

?a)

b)

c)

d)

e)

22. ¿Cuál es el sólido que se forma al doblar las ca-ras mostradas?

a)

b)

c)

d)

e)

23. ¿Cuál de las figuras no corresponde al desarro-llo del cubo mostrado?

UNI

a)

b)

c)

d)

e)

24. Indicar la figura que debe ocupar el casillero TRILCE:

TRILCE

a) b) c)

d) e)

25. Los cubos "A", "B" y "C" en diferentes posicio-nes tienen en sus lados figuras iguales. Por de-ducción lógica, ¿cuál deberá ocupar el espacio en blanco del cubo "D"?

a) b)

c) d)

26. ¿Qué figura falta?

?a) b) c)

d) e)

27. ¿Qué figura no guarda relación con las demás?

a) b) c)

d) e)


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28. ¿Qué figura continúa la secuencia?

...

a) b) c) d) e)

29. ¿Qué cuadrado reemplaza al signo de interro-gación?

% % %

%

% %

% ?

%

% %

a) b) c)

d) % e) *

30. Completar la analogía:

es a como es a:

a) b) c)

d) e)


?

a) b) c)

d) e)

32. ¿Qué figura debe ir en el casillero?

?

a) b) c) d) e)


?

a) b) c) d) e)


?

a) b) c) d) e)

35. ¿Qué figura ocupará el casillero con signo de interrogación?

?

a) b) c)

d) e)

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1. ¿Cuál figura no corresponde a la serie?

a) b) c) d) e)

2. ¿Cuál figura no corresponde a la serie?

a) b) c) d) e)

3. Indique la alternativa que continúa coherente-mente la siguiente secuencia gráfica.

a) b) c) d) e)

4. ¿Qué figura continúa en la serie?

?

a) b) c) d) e)

5. ¿Qué figura continúa la serie?

?

a) b) c) d) e)

6. Una hoja de papel es doblada dos veces tal como se muestra en la figura y sufre dos perfo-raciones. ¿Cómo quedaría dicha hoja de papel al ser desdoblada?

→ →

a) b) c) d) e)

7. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17

8. Hallar "k" sabiendo que en la siguiente figura hay 52 segmentos en total cuyos extremos son los puntos indicados.

1 2 3 k

a) 6 b) 7 c) 8 d) 10 e) 11

9. es a como es a:

a) b) c) d) e)


a) b) c) d) e)


a) b) c) d) e)


a) b) c) d) e)

Tarea domiciliaria


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a) b) c)

d) e)


a) b) c)

d) e)

15. ¿Cuántas bolas hay en la última figura, si en to-tal hay 364 bolas entre todas las figuras?

......

...

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. n

a) 72 b) 78 c) 84 d) 8I0 e) 96

16. ¿Qué figura ocupará la posición 7?

... (1) (2) (3) (4)

a) Igual a la de la posición 2. b) Igual a la de la posición 4. c) Igual a la de la posición 1. d) Igual a la de la posición 3. e) Ninguna

17. Del gráfico anterior, ¿qué figura se formará si intersectamos la figura de la posición 23 con la de la posición 52?

a) b) c) d) e)

18. Indique la alternativa que no guarda relación con las demás.

a) b) c) d) e)

19. Indique la alternativa que cumple con la analo-gía mostrada.

es a como es a ...

a) b) c) d) e)

20. Indique el cubo que corresponde al siguiente desarrollo.

a) b) c) d) e)

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1. Al arrojar dos dados, obtenemos la suma de 11 puntos. Indique que par de caras laterales no podrían observarse simultáneamente.

a) b) c) d) e)

2. ¿Qué figura debe colocarse en el círculo blan-co?

?

a) b) c) d) e)

3. ¿Qué figura debe colocarse en el espacio en blanco?

U

N I

UN

I

I N

U ?

U

N I

U IN

UN

I

I

N U

UI N

UN

I a) b) c) d) e)


Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

Fig.4 Fig. 5 Fig. 6

M M M

5. La figura adjunta se encuentra ubicada frente a un espejo. ¿Qué imagen se representará en di-cho espejo?

a) b) c)

d) e)

6. ¿Qué figura continúa la secuencia?

a) b) c)

d) e)



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7. Indique la alternativa que debe ocupar el casi-llero UNI.

UNI

a) b) c) d) e)

8. Se tienen las tres vistas de un cubo:

¿Cuál es el símbolo que se opone al círculo ne-gro?

a) b) c) d) e)

9. ¿Qué figura le corresponde al casillero con el signo de interrogación?

?

a) b) c) d) e)


a) b) c) d) e)

11. ¿Qué figura le corresponde a F11?

F1

F2

F4

F5

F8

a)

b)

c)

d)

e)

12. Indique la alternativa que completa la analogía:

es a

Como es a:

a)

b)

c)

d)

e)

13. En la siguiente distribución, ¿qué figura falta?

?

a) b) c) d) e)

14. ¿Qué figura completa coherentemente el si-guiente arreglo?

?

a) b) c) d) e)

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...

(1) (2) (3) (4) (5)

a) b) c)

d) e)

16. Si para cada figura le corresponde un número, ¿qué número le corresponde a la figura "M"?

↓11

↓7

↓12

↓Figura "M"

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

17. ¿Qué figura va en lugar de la incógnita?

?

a) b) t c)

d) e)

18. ¿Cuál es el desarrollo del sólido mostrado?

a) b) c)

d) e)

19. Dado el siguiente arreglo:

C1 C2 C3

F1

F2 M

F3 M MM M M

¿Qué figura aparecerá en la intersección de C2 y F4?

a) b) c) d) e)


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20. Indique la alternativa que mejor completa el cuadro.

a) b) c) d) e)

1.

a) b) c)

d) e)


?

a) b) c) d) e)

3. ?

a) b) c) d) e)


?

a) b) c) d) e)


?

a) b) c) d) e)

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6. ¿Qué figura completa el conjunto?

a) b) c) d) e)

7. ¿Qué figura sigue?

?

a) b) c) d) e)

8. ¿Qué figura debe completar el casillero en blan-co?

?

a) b) c) d) e)

9. ¿Qué figura completa la siguiente distribución?

a) b) c)

d) e)

10. Señale cuál de las figuras se debe ubicar en lu-gar de la incógnita.

?

a) b) c)

d) e)

11. es a como es a:

a) b) c)

d) e)

12. Indique la alternativa que continúa:

a) b) c)

d) e)


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13. ¿Qué figura continúa en el casillero de la incóg-nita?

?

a) b) c)

d) e)


?

a) b) c)

d) e)


% % %

%

% %

% ?

%

% %

a) b) c)

d) % e) *

16. Indique la alternativa que completa el cuadro.

a) b) c) d) e)

17. ¿Cuál de las alternativas debe reemplazar a "x"?

X

a) b) c)

d) e)

18. Determine el desarrollo que corresponde a la figura adjunta:

a) b)

c) d)

e)

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19. Indique la figura que corresponde al espacio vacío:

a) b) c)

d) e)


a) b) c)

d) e)

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IntroducciónExisten ciertos problemas matemáticos que al ser presentados nos dan la idea de que es necesario realizar operaciones muy elaboradas o muy complicadas. Pero el conocimiento de criterios teóricos o técnicas de solución, y la destreza para realizar determinados arreglos, nos permiten encontrar una solución más directa a los mismos. En este tema repasaremos dichas técnicas con el objetivo de desarrollar nuestra destreza en los cálculos.

Multiplicación por 5Para multiplicar por 5, se le agrega un cero a la derecha y el resultado se divide entre 2.

• 354×5= • 231×5= • 419971×5=

Multiplicación por 25Para multiplicar por 25, al número se le agrega dos ceros a su derecha y el resultado se divide entre 4.

• 62×25= • 798×25= • 4797×25=

división entre 5Para dividir entre 5, al número se le multiplica por 2 y el resultado se divide entre 10.

• 5855= • 32 140

5= • 4318

5 =

Multiplicación por 11Se multiplica la cifra de las unidades por 1, luego se suma de dos en dos las cifras restantes, considerando siempre si es que llevamos algo. Finalmente, se multiplica la última cifra por 1, adicionando lo anteriormente mencionado, si es que existe.

• 46×11= • 357×11= • 98534123×11=

Multiplicación por 9; 99; 999; 9 999; ...Para multiplicar un número natural N por otro que está formado íntegramente por cifras 9, hay que agregar tantos ceros como nueves existan y restamos el mismo número N.

• 87×9= • 123×99= • 4287×999=

Multiplicación de dos números de dos cifras cada unoDeducimos el procedimiento del ejemplo siguiente:

1 3 ×2 11 3

Producto de las cifras de las decenas

2 6 Producto de las cifras de las unidades

← 2 7 3 →↓

64444744448Suma de (1 × 1) y (2 × 3)

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Complemento aritméticoA partir del menor orden se observa la primera cifra significativa, la cual se resta de 10 y las demás cifras se restan de nueve.

• CA(236781)= • CA(23156789321456)= • CA(12340003420000)=

Multiplicación de factores cercanos a una potencia 10Calculamos los CA y los multiplicamos. Al resultado le completamos ceros hasta que tengan la misma cifra de los factores. Como segundo paso restamos de uno de los factores el CA del otro factor y lo agregamos en el sector izquierdo del número prev iamente obtenido:

• 992×991= • 99992×99998=

Cuadrado de un número de dos cifrasUtilizamos el criterio de binomio al cuadrado, aplicándolo de derecha a izquierda:

• (32)2= • (76)2 =

Cuadrado de un número que termina en la cifra 5Un número que termina en 5, al elevarse al cuadrado termina en 25, y las cifras restantes del resultado se obtendrán de multiplicar el número (sin tomar en cuenta la cifra 5) por su consecutivo superior.

• (25)2= • (785)2= • (9985)2 =

CIFRAS TeRMINALeSPara números que terminan en 0; 1; 5 y 6

(… 0)n = … 0

(… 1)n = … 1

(… 5)n = … 5

(… 6)n = … 6

Para todo número natural "n".

Para números que terminan en 4 y 9

(… 4)IMPAR = … 4 (… 9)IMPAR = … 9

(… 4)PAR = … 6 (… 9)PAR = … 1

Para números que terminan en 2; 3; 7 y 8

(... 2)°4 = ... 6

(... 2)°4 + 1 = ... 2

(... 2)°4 + 2 = ... 4

(... 2)°4 + 3 = ... 8

(... 7)°4 = ... 1

(... 7)°4+1 = ... 7

(... 7)°4 + 2 = ... 9

(... 7)°4 + 3 = ... 3

(... 3)°4 = ... 1

(... 3)°4 + 1 = ... 3

(... 3)°4 + 2 = ... 9

(... 3)°4 + 3 = ... 7

(... 8)°4 = ... 6

(... 8)°4 + 1 = ... 8

(... 8)°4 + 2 = ... 4

(... 8)°4 + 3 = ... 2


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1. Calcular la última cifra par del resultado de:

E = (1 × 3 × 5 × 7 ...)1357 + (2 × 4 × 6 × 8 × ...)2468

Resolución:

Analizando cada término:

a) (1 × 3 × 5 × 7 ...)1357 ⇒ 5 × impar = ....55n = ... 5

b) (2 × 4 × 6 × 8 ...)2468 ⇒ Existe un 10, es decir, termina en cero

Finalmente:

E = ... 5 + ... 0 = .... 5

Rpta.: 5

2. Hallar la suma de cifras del resultado de:

M = 1 334 5662 – 1 234 5672

Resolución:

Aplicando diferencia de cuadrados:

M = 2 569 133 × 99 999

Luego:

M = 2 569 133 × (100 000 – 1)

M = 256 913 300 000 – 2 569 133

M = 256 910 730 867

Finalmente, la suma de las cifras del resultado es 54.

Rpta.: 54

3. Si: a2 + a + 1 = 0

Calcular: a2001

Resolución:

Multiplicando por (a – 1)

(a2 + a + 1)(a – 1) = 0(a – 1)

Luego:

(a3 – 1) = 0 ⇒ a3 = 1

Piden: a2001 = (a3)667 = 1667 = 1

Rpta.: 1

4. Si: abcd × 9 999 = ... 2 185

Hallar: ab – cd

Resolución:

Aplicando el caso práctico, pues ambos factores tienen la misma cantidad de cifras, se tendría:

6 8 1 4 3 1 8 5

Todas las parejas suman 9.

Luego: abcd – 1= 6814

abcd = 6815

\ ab = 68 y cd= 15

Rpta.: 53

5. Hallar la suma de las dos últimas cifras del re-sultado de:

M = 252 + 1252 + 2252 + 3252 + ... + 9252

Resolución:

Analizando se observa que hay 10 sumandos:

Recordemos: (ab5) = ...25

Entonces:

... 25 +

10 sumandos

... 25

... 25M

... 25

... 50

Rpta.: 5

Problemas resueltos

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1. Si: x + y + z = 0; hallar:

P =

xy + z

+

yx + z

+

zx + y

a) 2 b) –2 c) 3 d) –3 e) 4

2. ¿En qué cifra termina el resultado de la siguiente expresión?

S = (4344 + 4243) × 67542 – 4641 – 5140

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 2


m = (999 999)666666 × (666 666)999999

a) 0 b) 6 c) 9 d) 4 e) 3

4. Calcular el producto de las cifras del resultado de operar:

R = 4753

+ 4 7475 353

+ 474 747535 353

+ ... (795 sumandos)

a) 1 b) 3 c) 0 d) 2 e) 5

5. ¿En qué cifra termina el resultado de la siguiente expresión?

A = (22 222)(44444) TRILCE

a) 3 b) 5 c) 6 d) 1 e) 4

6. Calcular:

E = 99 × 100 × 101 + 103 9 × 10 × 11 + 103

a) 80 b) 100 c) 70 d) 110 e) 200

7. ¿Cuál es la última cifra del producto?

S= (13 + 1)(23 + 1)(33 + 1)(43 + 1) ... (203 + 1)

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 6

8. Hallar: p + p + p + p + ... + p14444244443

(p + q + r) sumandos

si: 1p + 2p + 3p + ... + 9p = qr1

a) 315 b) 153 c) 96 d) 536 e) 110

9. ¿Cuál es el resultado de:

S = (x – a)(x – b)(x – c) … (x – z)?

a) x b) xx c) 1 d) 0 e) x2

10. Hallar el valor de:

A =

224 × 226 × 50 626 + 194 × 58

a) 1 b) 2 c) 15 d) 225 e) 22

11. Si: (x + y + z + w)2 = 4(x + z)(y + w); cal-cule:

M = 3x – 3y + z – 3w3x – y + 3z – w

a) 1 b) 12

c) 13

d) 14

e) 15

12. Si: ... 3 518 ÷ 9 999 = abcdCalcule:

E = 5(abcd)a + b + c + d

a) 89 b) 86 c) 96 d) 26 e) 16

13. Halle el valor de:

(7 000)3 – (6 999)3 – (6 999)2 – 7(6 999)(10)32

a) 7 b) 70 c) 77 d) 7 000 e) 777

14. Si: x = 0,12 + (0,2)(0,9) + 0,81

Además: xy = 5

Hallar: (x + y)/y

a) 45

b) 56

c) 65

d) 34

e) 33



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15. Halle: x + 30, si: 0,00 ... 911424323 cifras

= 91 × 10x – 10

a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20

16. Halle la suma de cifras del resultado de:

A = 7 777 777 × 999 999 999

a) 67 b) 68 c) 81 d) 90 e) 100

17. Si: 2x + y + z = 0; calcule el valor de "A":x + y + z2x + 3y

2

× 1999xy × 2

A = x + yx + z

a) 1 b) 2 c) 0 d) –1 e) –2

18. ¿En cuántos ceros termina el desarrollo de:

520 × 377 × 218 × 79?

a) 12 b) 16 c) 18 d) 22 e) 26

19. Halle "x", sabiendo que:

0,ab ... x = 211797

a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 9

20. Calcular: x (x+y); si se sabe que:

7×9×11×13×.... ...xy20 factores

4=1 2 34444 4444

a) 35 b) 28 c) 18 d) 14 e) 30

1. Hallar las tres últimas cifras de:

1 + 17 + 171 + 1 717 + ... 1717...17 14243 20 cifras

a) 090 b) 080 c) 010 d) 095 e) 015

2. Si: 51 + 52 + 53 + 54 + ... + 515 = ...abc

Calcular: "a + b + c"

a) 15 b) 14 c) 13 d) 18 e) 16

3. Calcular:

R = (2 + 1)(22 + 1)(222 + 1)(223 + 1)(224 + 1) + 125

a) 2 b) 1 c) 4 d) 5 e) 3

4. Hallar la última cifra de "N":

N = (21998 + 1) (21997 + 1) (21996 + 1) ... (23 + 1) (22 + 1)

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

5. Calcular: M + I + R + A

Si: O ≠ cero

MARIO × 99 999 = ... 75 317

a) 18 b) 16 c) 17 d) 20 e) 24

6. Calcular "R":

R = 40 × 41 × 42 × 43 + 1

a) 1 745 b) 1 748 c) 1 723 d) 1 722 e) 1 721

7. Calcular el valor de "E":

E = (3×5×17×257× ... 1 995 factores) + 121995

a) 2 b) 3 c) 1 d) 4 e) 8

8. Si: GLORIA × 999 999 = ... 876 544

Hallar: GLORIAIROLG

Dar como respuesta la suma de sus cifras.a) 25 b) 36 c) 49 d) 81 e) 10

9. ¿En qué cifras terminan las siguientes expresio-nes?

F = (7 + 1)(72 + 1)(73 + 1) ... (7 800 + 1) + 8E = (3 – 1)(32 – 1)(33 – 1) ... (3 400 – 1) – 7D = (10 + 1)(102 + 3)(103 + 5) ... (10 500 + 999) – 1

a) 8 – 5 – 4 b) 9 – 6 – 4 c) 8 – 3 – 4 d) 9 – 5 – 6 e) 8 – 4 – 3

10. Si:

2 + 23 + 232 + 2 323 + ...= ...abc1444442444443100 sumandos

Hallar: a + b + c

a) 3 b) 6 c) 5 d) 4 e) 7

Tarea domiciliaria

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11. Hallar el resultado de:

E = 8×10×82×(38 + 1)(316 + 1)(332 + 1) + 116

a) 8 b) 7 c) 6 d) 9 e) 10

12. Si se sabe que:

952 + 9952 + 9 9952 + ... = ...TRILCE 144444244444395 sumandos

Hallar: T + R + I + L + C + E

a) 19 b) 21 c) 18 d) 17 e) 16

13. Si: ABCDE = ...64 753 ÷ 99 999

Además: x + y = A + B

D +

C2

y + z = E – 3

Calcular: M = x2 + y2 + y2 + z2

a) 8 b) 7 c) 5 d) 9 e) 10


Q = (4344 + 4243) × 67542 – 4641 – 5140

a) 5 b) 6 c) 9 d) 8 e) 7

15. ¿Cuál es la cifra de las unidades del resultado de la siguiente operación?

R = (22 222)(44444)TRILCE

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

16. Calcular el valor de "M" en cada caso y dar como respuesta la suma de sus cifras.

M = 111 110 888 889

M = 123 454 321

a) 20 b) 18 c) 16 d) 15 e) 19

17. Al resolver: G = 24 × 26 × 25 × 23 + 1

Se obtiene como resultado:

I. Un número cuya suma de cifras es 23.II. Un número primo.III. Un número múltiplo de 41.IV. Un número cuya cifra de decenas le lleva en

4 a su cifra de unidades.

Son falsas:

a) I y III b) I y IV c) II y III d) Solo III e) I y II

18. Si: a – b = 2

Además:

ab×a(b + 2)×a(b + 1)×a(b + 3) + 1 = 1 891

Calcular: a2 + b2

a + b

a) 3 b) 5 c) 2 d) 9 e) 3

19. Calcular:

2525 ... 25254949 ... 4949

+ 3939 ... 39394949 ... 4949

Sabiendo que cada término de ambas fraccio-nes tiene la misma cantidad de cifras y que di-cha cantidad es múltiplo de 16, entonces:

I. El resultado es una fracción impropia.II. La suma de los términos del resultado es un

número primo.III. Si en el resultado, el numerador fuera 5 uni-

dades más, sería el doble que el denomina-dor.

Son ciertas:

a) Solo II b) I y II c) Solo III d) Solo I e) I y III

20. Hallar al valor de: 11x101x10001x100000001x….x(100…01)

Sabiendo que en el último factor existen 2n+1 cifras. Dar como respuesta la suma de cifras del resultado.

a) 2n b) 2 n+1 c) 22n d) 2 n-1 e) 2 2n+1

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1. Hallar la suma de las cifras del resultado de la siguiente expresión:

M = (100 ... 005)214243105 cifras

Resolución:Analizando:

Inducción Resultado Scifras1052 = 11 025 → 9

1 0052 = 1 010 025 → 9

10 0052 = 100 100 025 → 9

M M M

Se observa que la suma de las cifras del resulta-do siempre es 9.

Rpta.: 9

2. En la siguiente secuencia, halle el número total de cuadriláteros en la figura 41.

; ; ; ; ...Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4

Resolución: Analizando se tiene:

Figura 1 2 3 4 ... 41Cuadriláteros 1 6 15 28 ... x

Luego:

1 <> 1 × 1

Finalmente:x = 41 × 81 = 3321

6 <> 2 × 315 <> 3 × 528 <> 4 × 7

M M

F(n) <> n(2n – 1)

Rpta.: 3321

3. ¿Cuántos puntos de intersección, como máxi-mo, se generan al intersectarse 30 circunferen-cias?

Resolución: Analizando tendríamos:

...

2 circunfe-rencias

3 circunfe-rencias

4 circunfe-rencias

Circunferencias 2 3 4 ... 30

Puntos de intersección 2 6 12 ... x

IntroducciónEs un razonamiento en el que a partir de la observación de casos particulares, nos conducen al descubrimiento de leyes generales con la particularidad de que la validez de las últimas se deducen de la validez de las primeras. Así tenemos:

⇒ ⇒ ⇒ ... ⇒ Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso general 14444444244444443 Casos particulares

144444444424444444443

Razonamiento inductivo

Problemas resueltos

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5. De cuántas maneras diferentes se puede ir de "A" hacia "B" siempre avanzando.

A

B Resolución: La condición es siempre avanzar, es decir, solo

se seguirá las siguientes direcciones: ( ); ( ), ( ). Luego, analizaremos de cuántas maneras se llega a un punto determinado con dichas direc-ciones.

A

B

1 1 1 1

111 1

2 8

1283

2 23

61

6

6

1

Al punto "B" se llega de:

8 + 12 + 8 = 28

maneras.

Rpta.: 28

Luego:

2 <> 2 × 1

Finalmente:x = 30 × 29 = 870

6 <> 3 × 212 <> 4 × 3M M

F(n) <> n(n – 1) Rpta.: 870

4. ¿De cuántas maneras diferentes se puede formar lapalabraCORAZÓN?

AR Z

O A OC R Z N

O A OR Z

AResolución:

Considerando que cada letra depende de la an-terior tendríamos:

A1R1 Z4

O1 A3 O10C1 R2 Z6 N20

O1 A3 O10R1 Z4

A1 Rpta.: 20

1. Calcular la suma de las cifras del resultado de:

A = (333 ... 333)2 + (999 ... 999)214243

21 cifras14243

21 cifras

a) 170 b) 179 c) 189 d) 190 e) 195

2. La figura muestra un triángulo formado por cir-cunferencias iguales, contándose en total 570 puntos de contacto. Hallar el número de filas del arreglo.

M M M

MM

a) 25 b) 20 c) 19 d) 21 e) 22

3. Calcular la suma de cifras del resultado de "A".

A = (999 ... 995)214243101 cifras

a) 900 b) 901 c) 905 d) 908 e) 907

4. ¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de "M" a "N" sin pasar por "P", utilizando el cami-no más corto siempre?

M

NP

a) 168 b) 170 c) 165 d) 170 e) 167



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5. Una persona tiene que pasar todos los discos del poste (1) al poste (3), sabiendo que un disco grande no puede estar sobre un disco pequeño y que en cada movimiento solo se puede llevar un disco. ¿Cuántos movimientos como mínimo tendrá que realizar?

1 2 3

a) 64 b) 31 c) 63 d) 127 e) 65

6. ¿Cuántas líneas tendrá el perfil del pedestal que ocupa F(100)?

F(1) F(2) F(3)...

a) 399 b) 388 c) 499 d) 400 e) 389

7. En un país extranjero donde hay un grupo de inmigrantes peruanos funcionan 30 clubes. Ob-servando la lista de socios se verifica que:

• Cadaperuanoessociodeexactamentedosclubes.

• Cadadosclubestienenexactamenteunso-cio en común.

¿Cuántos peruanos hay en la lista?

a) 345 b) 565 c) 435 d) 465 e) 485

8. De la figura:

F(1) F(2) F(3)...

Hallar el total de triángulos que hay en:

I. F(23)II. F (n) III. ¿Cuál sería la cantidad de triángulos que se

podrían contar, si por el vértice inferior iz-quierdo se trazan "m" líneas y por el vértice inferior derecho "n" líneas?

a) 12 167; n2; (m + n + 2) . m . n2

b) 12 167; n3; (m + n + 2).(m + 1).(n + 1)2

c) 12 167; n2; (m + n + 2) . m . (n + 1)2

d) 12 167; n3; (m + n + 2) . (m + 1) . n2

e) 12 167; n3; (m + n + 1) . (m + 1) . (n + 1)2

9. En la siguiente secuencia, calcular la suma de los números impares de la figura 53.

1Fig.1

1 23

Fig. 21

6

2 34 5

Fig. 31

8 9

2 3 45 6

10

7

Fig. 4...

a) 512 456 b) 512 454 c) 512 345 d) 512 656 e) Ninguna

10. ¿De cuántas maneras distintas se puede ir de "A" hacia "B" utilizando siempre el camino más corto?

A

1 2 3 ... n – 1 n

2

M

m – 1

mB

a)

(m + n)!m! . n

b) (m – n)!m! . n!

c) (m + n)!

m . n

d)

(m + n)!m! . n!

e)

m + n!m! . n

11. ¿Cuál es el máximo número de puntos de inter-sección de 25 triángulos que tienen un vértice en común?

a) 900 b) 905 c) 904 d) 906 e) 901

12. Sobre una circunferencia se ubican "m" puntos distintos. ¿Cuál es la cantidad de arcos que se pueden formar con dichos puntos?

a) m . (m –1) b) m.(m + 1) c) m2 . (m + 1) d) m3 . (m – 1)

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13. En el planeta FORXAT, las ciudades tienen for-ma hexagonal con módulos habitacionales (para cada habitante) que tienen la forma de triángu-los equiláteros de 10 m de lado, tal como se muestra en la figura.

Si una ciudad tiene 1000 habitantes y ningún módulo ocupado comparte un lado con otro, ¿cuánto mide el lado de la ciudad más pequeña que cumple con esta condición?

a) 180 m b) 190 c) 150 d) 160 e) 170

14. Si se cumple que:

R(1) = 2 + 1 – 1R(2) = 6 – 3 × 2R(3) = 12 × 6 ÷ 3R(4) = 20 ÷ 10 + 4R(5) = 30 + 15 – 5 M = M M M

Hallar: R(20)

a) 20 b) 21 c) 24 d) 22 e) 25

15. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra: "EXÁMENES"?

E E E EX X X

A A AM M

EN N

E E E ES S S S S S S

a) 252 b) 254 c) 256 d) 258 e) 260

16. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra: "CARROCERÍA"?

C RA O

C R C RA O E I

C R C R AA O E I

C R C RO

a) 250 b) 245 c) 240 d) 280 e) 290

17. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra: "TORRE"?

E E E ER R R

E O O ER T R

E O O ER R R

E E E Ea) 60 b) 65 c) 68 d) 64 e) 72

18. ¿Cuántos puntos de corte hay en la figura 20?

; ; ...Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 ...

a) 470 b) 540 c) 480 d) 580 e) 560

19. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra: "SOMOS"?

S S SO O

M M MO O O

S S S Sa) 115 b) 118 c) 119 d) 116 e) 120

20. Una superficie cuadrada se debe cubrir con mo-saicos cuadrados de colores claros y oscuros, de tal forma que se obtenga el siguiente diseño:

• •• •• •

• •• •

• •

Determine la verdad o falsedad de las proposi-ciones e indique la alternativa correcta.I. Si se utilizan "x" mosaicos claros, entonces se

deben utilizar (2 x + 1) mosaicos oscuros.II. Si se utilizan 19 mosaicos oscuros, entonces

se deben utilizar 81 mosaicos claros.III. Si se utilizan 23 mosaicos oscuros, entonces

se deben utilizar 144 mosaicos en total.


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1. Calcular la suma de cifras del resultado "A":

A = 555 ... 55514243100 cifras

× 999 ... 99914243100 cifras

a) 1400 b) 1000 c) 9000 d) 90 e) 900

2. Hallar la suma de las cifras del resultado de:

R = (333 ... 333)14243

20 cifras

2

a) 200 b) 180 c) 150 d) 210 e) 175


S = (222 ... 222)14243

40 cifras

× 123

a) 120 b) 123 c) 129 d) 130 e) 131


(1010101 ... 101)1442443

21 cifras

× 27

a) 78 b) 99 c) 101 d) 107 e) 100

5. Calcular la suma de cifras del resultado de "M":

M =

111 ... 11114243"2n" cifras

– 222 ... 22214243"n" cifras

a) n b) 3n c) 6n d) n2 e) 2n

6. Calcular la suma de los términos de la fila 50.

Fila 1 1

Fila 2 3 5

Fila 3 7 9 11

Fila 4 13 15 17 19

M N M O

a) 9750 b) 12 500 c) 25 000 d) 75 200 e) 125 000

7. ¿Cuántas esferas se contarán en la F(2m)?

; ; ; ...Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4

a) m(m – 1) b) m(2m – 1) c) m(2m + 1) d) m(m + 1) e) m(3m – 1)

8. En la secuencia de figuras, ¿cuántos cuadriláte-ros que posean exactamente dos vértices que sean centros de círculos sombreados hay en to-tal en la figura 90?

; ; ...Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 ...

a) 3240 b) 4186 c) 4005 d) 4095 e) 4895

9. ¿Cuántos apretones de mano se dieron los 120 representantes reunidos en la última reunión del ALC-UE, si todos se saludaron con los de-más asistentes?a) 7140 b) 7450 c) 7410 d) 7240 e) 7420

10. ¿De cuántas maneras se puede leer "SOMOS"?

S S SO O

M MO O O

S Sa) 48 b) 56 c) 74 d) 80 e) 85

11. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra CARROCeRIA?

C RA O

C R C RA O E I

C R C R AA O E I

C R C RO

a) 250 b) 245 c) 240 d) 280 e) 290

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12. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra TORRe?

E E E ER R R

E O O ER T R

E O O ER R R

E E E E

a) 60 b) 65 c) 68 d) 64 e) 72

13. Calcular el valor de "M":

M =(n + 2)

(n + 2) +n + 1

(n + 1) +n

n +n – 1

M2

2 +1

1 + 12

a) n + 2n + 1

b) n + 3n + 1

c) n + 5n + 3

d) n + 3n + 4

e) n + 3n + 2

14. ¿De cuántas maneras se puede ir de "A" a "B"? Solamente puede desplazarse hacia la derecha y hacia abajo.

A

B

a) 30 b) 28 c) 40 d) 35 e) 45

15. ¿De cuántas maneras se puede ir de "A" hacia "B", sin pasar por "P"? (Se debe seguir el sentido de las flecha o en diagonal).

AP

B

a) 17 b) 27 c) 40 d) 10 e) 7

16. Hallar el número total de cuadrados de la figura 60.

; ; ...Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 ...

a) 245 b) 241 c) 243 d) 246 e) 240

17. ¿Cuántos triángulos se pueden contar, como máximo, en la siguiente figura?

.......

......

.

.......

......................

......................

a) 5500 b) 5000 c) 5050 d) 5253 e) 5250

18. Hallar la suma de las cifras del resultado :

E = ( 999….994)2

Si se sabe que “E” tiene 20 cifras.

a) 90 b) 270 c) 360 d) 810 e) 187

19. ¿Cuántos palitos son necesarios para formar la figura de la posición 10, siguiendo la secuencia mostrada?

; ; ...Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 ...

a) 220 b) 245 c) 340 d) 320 e) 450

20. Si se cumple que:

R(1) = 2 + 1 – 1R(2) = 6 – 3 × 2R(3) = 12 × 6 ÷ 3R(4) = 20 ÷ 10 + 4R(5) = 30 + 15 – 5 M M M M

Hallar: R(30)

a) 13 020 b) –14 050 c) –24 025 d) –13 020 e) 14 050

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1. ¿Cuántos triángulos hay en la figura mostrada?

Resolución:

1 2 3 4

8 567

a b

De 1 → 8 +De 2 → 4De 3 → 6De 4 → 4

–––Total: 22

Rpta.: 22

2. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar en la si-guiente figura?

Resolución:

1 2 3 4 5 6

2

3

4

Considerando el total de cuadriláteros:

Total = 4 × 5

2 ×

6 × 7

2 = 210

Finalmente, por cada cuadrilátero hay dos dia-gonales:

Total de diagonales = 210 × 2 = 420

Rpta.: 420

3. ¿Cuántos cuadriláteros, que por lo menos ten-gan un asterisco en su interior, hay en la figu-ra?

**

*

*

Introducción

En un principio las nociones primitivas del número se pueden haber relacionado mas bien con diferencias que con semejanzas, tal es el caso de comparar un lobo con muchos lobos. En la actualidad, es común referirnos a la idea de cantidad de manera singular (un solo elemento) o de manera plural (muchos elementos).

La idea de contar no es otra cosa que enumerar elementos, esta idea la tenemos en forma elemental desde nuestra niñez, ello lo demuestra el uso de nuestros dedos.

Para poder lograr nuestro objetivo, en este tema haremos uso de dos criterios que nos permitan encontrar la cantidad de elementos pedidos:

* CONTEO SIMPLE.

* CONTEO MEDIANTE UN RAZONAMIENTO INDUCTIVO.

Problemas resueltos

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Resolución:

Analizando se deduce que:

Total de cuadriláteros = Cuadriláteros

con asteriscos + Cuadriláteros sin asteriscos

4 × 5

2 ×

4 × 5

2 = x + 28

100 = x + 28 → 72 = x

Rpta.: 72

4. ¿Cuántos cuadradados hay en total?

1

2

3

4

O 18

19

20

Resolución:

Aplicando el razonamiento inductivo se tiene:

Cuadrados = 7

1

1

2

2

3 Cuadrados = 15

1

Cuadrados = 23

2

3

4

Luego: 7 <> 8 (1) – 1

15 <> 8(2) – 1

23 <> 8(3) – 1

Total de cuadrados = 8(19) – 1 = 151

Rpta.: 151

5. Calcular el número total de puntos de corte en la figura mostrada.

1 32 4 5 99 100

...

Resolución:

Analizando se deduce:

Número de rombos 2 3 4 5 ... 100

Puntos de corte 6 14 22 30 ... x

Luego: 6 = 8(1) – 2

14 = 8(2) – 2

22 = 8(3) – 2

M = M

x = 8(99) – 2 = 790

Rpta.: 790


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1. ¿Cuántos segmentos tendrá en total la siguiente figura?

a) 50 b) 56 c) 54 d) 58 e) 60

2. ¿Cuántos segmentos tendrá la siguiente figura?

12 3

1718 1920

a) 890 b) 892 c) 893 d) 895 e) 899

3. ¿Cuántos ángulos agudos hay en la siguiente fi-gura, siendo ABCD un rectángulo?

a) 49 b) 57 c) 59 d) 51 e) 60

4. Hallar el máximo número de triángulos que tienen como sus vértices solamente los puntos ubicados en los lados del cuadrado.

A

B

C D

E

F

GH

a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 15

5. En la figura, ¿cuántos triángulos se podrán con-tar?

20 2019

32

1

19

32

1

a) 3090 b) 2080 c) 3080 d) 4560 e) 5090

6. En la siguiente figura, ¿cuántos cuadriláteros tie-nen por lo menos un asterisco?

* ** *

* **

a) 220 b) 240 c) 245 d) 225 e) 222

7. En la siguiente secuencia:

, , , ..., Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. n

Si la suma total de triángulos que hay en las "n" figuras es: 550 + 2n, hallar la suma de las cifras del número de triángulos que hay en la enésima figura.

a) 5 b) 7 c) 8 d) 10 e) 6

8. Si la siguiente figura está formada por cuadra-dos iguales, ¿cuántos cuadrados se contarán en total?

a) 38 b) 39 c) 40 d) 41 e) 42


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9. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar como máximo en la siguiente figura?

Rpta.:..............

10. Calcular el número total de puntos de corte, en:

1 2 3 ... 99 100

a) 890 b) 893 c) 895 d) 897 e) 899

11. ¿Cuántos cuadrados hay en la siguiente figura?

a) 130 b) 146 c) 137 d) 156 e) 120

12. ¿Cuántos triángulos se pueden contar en la si-guiente figura?

a) 285 b) 267 c) 278 d) 250 e) 278

13. En la siguiente figura hay "a" triángulos y "b" cuadriláteros. Hallar: (b – a)

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

14. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura?

a) 45 b) 47 c) 56 d) 42 e) 46

15. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figu-ra?

a) 60 b) 63 c) 66 d) 69 e) 72

16. ¿Cuántos cuadriláteros que no contengan al as-terisco se contarán en total?

*

a) 30 b) 40 c) 35 d) 32 e) 36

17. ¿Cuántos triángulos se cuentan en total?

1 2 3 ... 10

a) 190 b) 191 c) 192 d) 193 e) 195


1

10

2

3M

a) 197 b) 196 c) 195 d) 194 e) 190


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19. ¿Cuántos cuadrados hay en la figura adjunta?

12

3

O9

10

a) 75 b) 85 c) 95 d) 100 e) 98

20. ¿Cuántos cubitos faltan como mínimo para for-mar un cubo sólido compacto?

a) 24 b) 20 c) 25 d) 28 e) 19

1. En la siguiente figura el máximo número de triángulos es 160. Hallar "n".

12

3N

n

a) 5 b) 7 c) 10 d) 9 e) 12

2. Hallar el número total de cuadriláteros en la si-guiente figura:

...

1 2 3 19 20

a) 40 b) 41 c) 38 d) 39 e) 36

3. ¿Cuántos triángulos como máximo hay en la fi-gura mostrada?

...

1 2 3 49 50

a) 100 b) 99 c) 98 d) 101 e) 97

4. En la figura adjunta, determinar la diferencia entre el número de triángulos y el número de cuadriláteros.

a) 12 b) 6 c) 5 d) 4 e) 10

5. Hallar el número total de puntos de corte en:

...

1 2 3 4 19 20

a) 150 b) 154 c) 152 d) 156 e) 160


12

34

101

a) 294 b) 297 c) 300 d) 303 e) 306

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7. ¿Cuántos segmentos hay en la figura mostrada?

1 7 554 58

a) 891 b) 890 c) 889 d) 892 e) 893


134 2599100

a) 400 b) 399 c) 398 d) 397 e) 396

9. ¿Cuántos triángulos, que por lo menos tengan un (*) en su interior, hay en la figura?

**

*

a) 52 b) 53 c) 54 d) 55 e) 56

10. ¿Cuántos segmentos hay en la figura mostrada?

a) 80 b) 30 c) 130 d) 100 e) 200

11. Hallar el número total de puntos de corte en:

1 2 3 4 15

a) 114 b) 110 c) 108 d) 113 e) 112

12. ¿Cuántos triángulos hay en la figura dada?

a) 37 b) 38 c) 39 d) 40 e) 41

13. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

9

3

2

1

a) 252 b) 253 c) 254 d) 255 e) 256

14. ¿Cuántos hexágonos hay en la figura mostrada?

1234

9899100

a) 5050 b) 4900 c) 4850 d) 5000 e) 4950


12345671920

a) 77 b) 87 c) 97 d) 96 e) 107


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a) 25 b) 38 c) 39 d) 20 e) 41

17. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura?

a) 60 b) 55 c) 65 d) 70 e) 71

18. ¿Cuántos cuadriláteros se pueden contar en la siguiente figura?

a) 17 b) 18 c) 20 d) 14 e) 10

19. ¿Cuántos cuadrados hay en total en la figura?1

23

4

n – 1n

a) 4n + 2 b) 4n – 2 c) 4n – 5 d) 4(n – 1) e) 4(n – 3)


12

34

2122

2324

25

a) 70 b) 69 c) 68 d) 65 e) 80

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1. Determine el valor de: x + y.

x 11y 5

4

13

7

8

Resolución:

Separando por bloques tendríamos:

xy

115

4 7

13 8

4 + 7 = 11

x + y = ? 11 + 5 = 16

13 + 8 = 21

Luego: 11 ; 16 ; 21 ; 26 142431424314243 + 5 + 5 + 5

Es decir: x + y = 26

Rpta.: 26

2. Considere las siguientes distribuciones y halle: E = z – x – 3y.

9

5 2

7

3 16

5

36 11

z

x y

25

17 64

Resolución:

Analizando, tenemos:

5 – 2 = 3 → 32 = 9 7 – 3 = 4 → 42 = 16 11 – 5 = 6 → 62 = 36 x – y = n → n2 = z 25 – 17 = 8 → 82 = 64

Para "x".

• 5 ; 7 ; 11 ; 17 ; 25 → x = 17 123123123123 2 4 6 8

Para "y"

• 2 ; 3 ; 5 ; 9 ; 17 → y = 9 123123123123 1 2 4 8 123123123 × 2 × 2 × 2

Entonces: (x – y)2 = z 64 = z

Finalmente: E = 64 – 17 – 27 ⇒ E = 20

Rpta.: 20

Analogías numéricas

Es un arreglo de números dispuestos en filas y columnas de donde se deduce una ley de formación y se aplica en la fila que contiene a la incógnita. La relación, generalmente, se haya en forma horizontal y de extremos a medios. Otra característica de las ANALOGÍAS es que el término central lleva paréntesis.

distribuciónes numéricas

Es un arreglo cuyos elementos se pueden disponer en filas y columnas o en otros casos mediante gráficos en los que, generalmente, participan figuras geométricas. La idea es encontrar una ley de formación y aplicarla en cada caso. Es posible que dicha ley se encuentre de manera horizontal o vertical.

Problemas resueltos


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3. Indicar el número que corresponde al signo de interrogación:

6

402 222

303

13

67 ?

49

14

851 86

5063

Dar como respuesta la suma de sus cifras.

Resolución:

c

a b

d

⇒SCifras(a) = SCifras(b) = SCifras(d) = c

Luego, la suma de las cifras del número que fal-ta es 13

Rpta.: 13

4. Determine el valor de "z"

4 9 20

8 5 14

10 3 z

Resolución:

Analizando, obtendríamos que:

• 42

+ 9 × 2 = 20

• 82

+ 5 × 2 = 14

• 102

+ 3 × 2 = z ⇒ z = 11

Rpta.: 11

5. Determine el valor de "w"

8 9 7 2 4 3

36 1 w

5 12 9 3 7 10

Resolución:

Analizando, obtendríamos que:

a b ⇒ [(a + d) – (c + b)]2 = x

Luego:

W=[(10+4)–(7+3)]2 = 42 = 16

x

c d

Rpta.: 16

1. Hallar el número que corresponde al espacio en blanco:

23 (106) 52

41 (327) 87

69 ( ) 33

a) 1818 b) 927 c) 1827 d) 612 e) 827

2. Hallar "x+y", en:

48 (12) 12

35 (9) 8

24 (x) y

a) 13 b) 11 c) 12 d) 14 e) 10

3. Hallar el valor de "a":

3 (13) 7

4 (16) 8

7 (a) 9

a) 22 b) 23 c) 25 d) 28 e) 27

4. Hallar el valor de "x":

13 24 22

17 50 198

14 69 x

a) 255 b) 350 c) 450 d) 950 e) 550


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5. Hallar "b" en el arreglo:

20 (8) 52

23 (25) 64

11 (b) 83

a) 16 b) 32 c) 27 d) 64 e) 9

6. Si: "a", "b", "c", "d" y "x" representan cifras en la distribución y ambas tienen el mismo criterio de orden, hallar el valor de "x".

7 2 9 5 10 3

8 6 4 a x b

3 10 5 9 c d

a) 8 b) 4 c) 7 d) 6 e) 5

7. ¿Qué número falta?

5

58 2

7

65 6

9

?5 4

a) 7 b) 8 c) 6 d) 9 e) 5

8. Hallar la suma de cifras del valor de "k".

3K 8

18563

22

a) 10 b) 12 c) 9 d) 8 e) 7

9. Hallar la suma de las cifras del número que falta en la figura adjunta:

13

27

22

64

32

216

43

?

a) 14 b) 16 c) 20 d) 18 e) 22

10. Hallar "x" en:

3443

8 6

5151

9 7

22x2

5 8

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

11. Hallar: x + y

7 63

0 124

26

x

11 27

Y 38

18

51

a) 291 b) 562 c) 281 d) 279 e) 215

12. Calcular el valor de "x" en:

12 15 32

23 55 47

82 x 21

a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

13. Dado el siguiente arreglo:

1 2 p4 m 12

16 32 4864 n 192

hallar: (m + n + p)

a) 129 b) 128 c) 136 d) 139 e) 131

14. Indicar el número que falta en:

2 7

34

6 4

55

18 8

7?

a) 10 b) 13 c) 11 d) 14 e) 12

15. Indicar la suma de las cifras del número que falta.

65 5

33 9

?

17

a) 15 b) 12 c) 11 d) 13 e) 17

16. Hallar: (B – A).

81 40

11

12 24

6

A AB

7

a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e) 6


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Hallar el valor de "x" en cada analogía:

1. 4 (24) 33 (18) 32 (x) 1

a) 6 b) 8 c) 4 d) 2 e) 10

2. 5 (4) 157 (5,6) 21

16 (x) 14

a) 6 b) 7 c) 5 d) 8 e) 9

3. 25 (108) 3026 (210) 8010 (x) 95

a) 206 b) 304 c) 210 d) 208 e) 220

4. 4 (10) 27 (23) –25 (x) –3

a) 16 b) 10 c) 18 d) 10 e) 12

5. 3 (7) 25 (22) 36 (x) 7

a) 29 b) 23 c) 34 d) 28 e) 26

6. 13 (7) 2137 (13) 3049 (x) 36

a) 22 b) 23 c) 24 d) 25 e) 26

7. 5 (27) 68 (68) 124 (x) 3

a) 19 b) 13 c) 16 d) 17 e) 18

8. 15 (36) 2–4 (13) 71/2 (x) 4

a) 17 b) 16 c) 15 d) 14 e) 13

Tarea domiciliaria

17. Hallar la suma de cifras de: x + y

5 18 20 19 32 y

10 8 10 30 51 39

16 x 26 51 17 1

a) 8 b) 10 c) 12 d) 5 e) 6

18. Hallar el número que falta en el siguiente arre-glo:

254

1

3

269

5

7

?10

2

8

a) 82 b) 40 c) 80 d) 60 e) 50

19. Hallar el número que falta:

4 3 8

6 4 11

12 5 ?

a) 10 b) 14 c) 16 d) 20 e) 24

20. Hallar el número que falta:

1 20 23

3 26 37

3 40 47

15 76 x

a) 171 b) 109 c) 94 d) 95 e) 108

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9. 7 (11) 16–6 (–7) –48 (x) 20

a) 13 b) 14 c) 16 d) 12 e) 17

10. 12 (8) 2824 (14) 4637 (x) 63

a) 24 b) 34 c) 30 d) 20 e) 26

11. 8 6 86 4 74 4 x

a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 7

12.

4 306 28

12

2

10

x

a) 12 b) 87 c) 84 d) 89 e) 80

13. 3 5

15 8

4

3 2

2 2

2

10 7

13 4

x

a) 25 b) 24 c) 23 d) 22 e) 20

14. 325

32

334

417

524

2x

a) 25 b) 24 c) 23 d) 22 e) 20

15. 8 7 9 610 12 8 14x 8 13 4

a) 10 b) 12 c) 14 d) 9 e) 11

16.

3

3 4

6

5 3

9

9 6

x

12 6

a) 6 b) 7 c) 9 d) 8 e) 10

17. 9 8 46 6 9x 10 4

a) 6 b) 8 c) 4 d) 9 e) 7

18. 2 3 57 11 13

17 19 x

a) 23 b) 29 c) 31 d) 37 e) 41

19.

8

1

2

5 3

4

11

9

5 5

6

7

4 X 8

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

20.

36

3

2

4

4

6

3

1

x

8

4

6

a) 121 b) 64 c) 72 d) 144 e) 169

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M = 222 ... 2123100 cifras

111 ... 1123100 cifras

– 111 ... 1123100 cifras

222 ... 2123100 cifras

Dar como respuesta la suma de las cifras de M

a) 150 b) 180 c) 100 d) 121 e) 300

2. Si:

• Todosloscerdosvuelan.• Ningúncerdotienecola.

¿Cuáles de las siguientes conclusiones son ver-daderas?

I. No todos los cerdos tienen cola.II. Ningún animal que vuela tiene cola.III. Existen animales sin cola que vuelan.

a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) II y III e) I y III


a) b) c)

d) e)

4. Se tienen los siguientes cubos. ¿Cuál es la me-nor cantidad de cubos que se tendrán que agre-gar para poder conformar un hexaedro regular?

a) 19 b) 55 c) 18 d) 21 e) 64

5. ¿Qué alternativa debe ocupar el lugar de la in-cógnita?

?

a) b) c)

d) e)

6. Los números que se presentan a continuación han sido ordenados, coherentemente. Hallar (f + h)

1 21 34 b i

1 13 55 c h

2 8 89 d g

3 5 a e f

a) 10946 b) 10496 c) 8949 d) 9349 e) 7931


M =

1 000 0014 – 999 9994

8(1012 + 1)

a) 4 × 106 b) 2 × 106 c) 106 d) 11 111 e) 1 111

8. Calcular la suma de cifras del número total de puntos de corte en:

1 2 3 4 99 100

a) 640 b) 790 c) 16 d) 10 e) 810


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9. Si afirmamos que:

• Ningún"A"es"B"• Cadaunodelos"C"es"B"

Entonces, se deduce:

a) Todo "A" es "C".b) Ningún "C" es "A".c) Todo "C" es "A".d) Ningún "A" es "C".e) Más de una es correcta.

10. Luego de negar las siguientes proposiciones:

• Todoslosestudiososseamanecen.• Muchosdelostrabajadoressonestudiosos.

Se infiere:

a) Ciertos trabajadores se amanecen.b) Muchos que se amanecen son trabajadores.c) Algunos que se amanecen no son trabajado-

res.d) No todos los trabajadores se amanecen.e) No es cierto que ningún estudioso es trabaja-

dor.

11. Hallar (x + y) en:

98 12

108 18

y

x

2

48

a) 232 b) 242 c) 245 d) 238 e) 253

12. ¿De cuántas maneras distintas se puede leer la palabra "FERROSO"?

F F F F

E E E

R R R R

O O O O

S S S

O O

a) 50 b) 60 c) 80 d) 90 e) 100


?

a) b) c)

d) e)


S = 222 ... 22214243

40 cifras

× 123

a) 120 b) 123 c) 129 d) 130 e) 131

15. Indique la alternativa que completa la serie mostrada:

?

a) b) c)

d) e)


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1. Si se sabe que:

• Todoslosmamíferossonvivíparos.• Ningúnbatracioesvivíparo.• Todoslossapossonbatracios.

Podemos concluir que:

a) Algunos sapos son vivíparos.b) Algunos mamíferos son batracios.c) Todos los batracios son sapos.d) Ningún sapo es mamífero.e) Todos los mamíferos son batracios.

enunciado (2 - 4)

Andrés, Flavio y Raúl tienen una mascota diferente cada uno: conejo, gato y canario. Además, ellos tie-nen edades diferentes y viven en distritos diferentes: Lima, La Molina y Pueblo Libre. Se sabe que Andrés no es el menor y tiene como mascota un gato. Raúl no es el mayor y no vive en Lima. El que tiene el canario vive en Lima y el que tiene al conejo vive en La Molina.



3. Si Raúl no es menor, entonces es falso que:

a) El mayor tiene el gato b) El menor tiene el canarioc) Flavio es el mayord) El mayor vive en Pueblo Libree) El menor vive en Lima

4. Para determinar quien es el menor, basta saber que:

I. Flavio es mayor que el que vive en La Moli-na.

II. Andrés es mayor que Raúl.

a) El dato I es suficiente y el dato II no lo es.b) El dato II es suficiente y el dato I no lo es.c) Es necesario utilizar I y II conjuntamente.d) Cada uno de los datos, por separado, es sufi-


enunciado (5 - 7)

Ocho personas: Sara, Tomás, Úrsula, Víctor,William, Xavier, Yolanda y Zacarías, se sientanalrededor de una mesa circular con ocho sillas

distribuidas uniformemente. La ubicación de las personas alrededor de la mesa cumple las siguientes condiciones:


5. Todas las siguientes personas podrían estar sen-tadasjuntoaÚrsula,EXCEPTO:


6. Todas las siguientes afirmaciones son imposi-bles, EXCEPTO:

a) Tomás y Víctor ocupan sillas adyacentes.b) ÚrsulayVíctorocupansillasadyacentes.c) ÚrsulayXavierocupansillasadyacentes.d)William y Zacarías ocupan sillas adyacen-

tes.e) Xavier y Zacarías ocupan sillas adyacentes.

7. Si Sara se sienta junto a Zacarías, todas las si-guientes afirmaciones pueden ser verdaderas, EXCEPTO.

a) Sara está sentada junto a Xavier.b) ÚrsulaestásentadajuntoaTomás.c) ÚrsulaestásentadajuntoaYolanda.d)WilliamestásentadojuntoaYolandae) Yolanda está sentada junto a Xavier.

8. Sabiendo que: "TODO RESPONSABLE ES MA-DURO", entonces:

a) Ningún responsable es maduro.b) Algún inmaduro es responsable.c) Todo maduro es responsable.d) Algún responsable no es maduro.e) Ningún inmaduro es responsable.

9. Cuatro hermanas fueron interrogadas por su madre, pues una de ellas se comió un chocolate sin permiso.

Gina: Verónica fue Verónica:Karenfue Karen:Verónicamiente Patricia: Yo no fui

Si tres de ellas mienten, ¿quién dice la verdad?

a) Gina b) Verónica c) Karen d) Patricia e) No se puede

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10. ¿Qué figura no guarda relación con las demás?

a)2 4

b)3 6

c)5 10

d)8 16

e)11 22

11. Se tiene la gráfica de dos proposiciones:

I. Silban Cantantes

II. Cantantes Bohemios

X

Luego de negarlas, se concluye que:

a) Todos los que cantan son bohemios.b) Ningún bohemio silba.c) Algunos bohemios que silban no cantan.d) Algunos cantantes no son bohemiose) Algunos que silban no son bohemios

12. Si todos los ingenieros son ingeniosos, y algu-nos preocupados no son ingeniosos, se infiere lógicamente que:

a) Algunos preocupados no son ingenieros.b) Algunos preocupados son ingenieros.c) Ningún preocupado es ingeniero.d) Algunos ingenieros no son preocupados.e) Algunos preocupados son ingeniosos.

13. ¿Qué número falta?

52 42 32

27 22 x

72 65 53

a) 12 b) 11 c) 10 d) 9 e) 8

14. ¿Qué figura completa el casillero?

UNI

a) b) c)

d) e)


a) 25 b) 28 c) 26 d) 29 e) 30

16. A Emilio le dieron un número secreto de su nue-va tarjeta de crédito, y observó que la suma de los cuatro dígitos del número es 9 y ninguno de ellos es 0; además, el número es múltiplo de 5 y mayor que 1995. ¿Cuál es la tercera cifra de su número secreto?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

17. Tadeo, Pedro y Carlos asisten a una actuación escolar con sus parejas: Teresa, Susana y Luisa. Cada una de las parejas tiene un hijo(a). Se lla-man Ruth, María y Ricardo. Teresa me dijo que su hija representaba a Anita en el teatro de la es-cuela. Pedro comentó que su hija representaba a Ofelia y Tadeo afirmó que su hija no era María y que la mujer de Carlos no era Susana. ¿Quién está casada con Carlos y quién es la madre de Ricardo?

a) Teresa – Luisa b) Luisa – Susana c) Teresa – Teresa d) Luisa – Luisa e) Luisa – Teresa


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18. ¿Qué figura va en lugar de la incógnita?

?

a) b) c)

d) e)

19. Se muestra la figura de un cuadrilátero coloca-do sobre el plano de una mesa; hay articulacio-nes en los vértices de tal manera que los lados puedan moverse en cualquier dirección.

Vista de arriba, ¿cuál de las siguientes figuras es posible obtener?

III

III

IV

a) I y III b) I, II y III c) II y III d) Todas e) Ninguna

20. Cinco amigos "A", "B", "C", "D" y "E" van al hipódromo y apuestan en seis carreras. En cada una de ellas participan los caballos numerados del 1 al 6. Al ser consultados sobre sus candida-tos a ganador respondieron en orden:

1° 2° 3° 4° 5° 6°

A 6 2 4 5 1 3

B 5 4 2 6 3 1

C 5 4 2 6 3 1

D 6 1 2 5 3 4

E 5 4 6 2 1 3

Si en total se dieron 14 aciertos, de los cuales cinco fueron para la primera y segunda carrera; además, se sabe que cada caballo ganó solo una vez. ¿Cuáles fueron los caballos ganadores en cada carrera?

a) 6; 4; 2; 5; 3 y 1 b) 4; 6; 2; 5; 1 y 3 c) 5; 4; 6; 2; 1 y 3 d) 5; 4; 2; 6; 3 y 1 e) 6; 4; 2; 5; 1 y 3

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Noción de sucesiónEs un conjunto ordenado de elementos (números, letras, figuras o combinación de las anteriores) denominados términos, en los cuales se presenta una ley de formación, criterios o fórmulas de recurrencia. En este conjunto ordenado puede distinguirse un primer término, un segundo término, etc.

ejemplos:

2; 3; 5; 7; ... Sucesión numérica

A; C; F; J; ... Sucesión literal

; ; ; ; ...Sucesión gráfica

En este capítulo analizaremos dos tipos de sucesiones:

• SUCESIONESNUMÉRICAS

• SUCESIONESLITERALES

SUCeSIONeS NUMéRICASdeFINICIóN: Una sucesión numérica en los " ", es una función f: + → definida en el conjunto de los números naturales positivos: + = {1; 2; 3; 4; …} a los cuales les corresponde un único número real del conjunto " ".

f

N123MnM

t1t2t3MtnM

R

De acuerdo a la definición dada se deduce que existe una correspondencia de uno a uno entre los " +" y los términos de la sucesión.

Ejemplos:

1. La sucesión cuyo tn = 2n2 + 1

Tendrá por términos: 1; 25

; 15

; 217

; …

Pues: cuando n = 1; 2; 3; 4, … se obtendrán dichos valores para la sucesión.

2. La sucesión cuyo: tn = 2n3+1

Tendrá por términos: 3; 17; 55; ...

Pues: cuando n = 1; 2; 3; 4, ... se obtendrán dichos valores para la sucesión.


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1. Hallar el número que continúa:

3; 5; 8; 12; 18; 27; 41; 63; ...

Resolución:

Analizando por medio de sumas.

3 ; 5 ; 8 ; 12 ; 18 ; 27 ; 41 ; 63 ; 98 123123123123123123123123

1er nivel → +2 +3 +4 +6 +9 +14 +22 +35 123123123123123123123

2do nivel → 1 1 2 3 5 8 13 144444444424444444443

Sucesión de Fibonacci

Rpta.: 98

2. Dada la siguiente sucesión:

2; 5; 3; 7; 5; 12; 7; 20; 11; 31; 13; a; m; h; b; ...

Hallar: a + b

Resolución:

Considerando dos sucesiones de manera alter-nada.

• 2;3;5;7;11;13;m;b (Sucesióndenúme-ros primos)

\ m = 17; b = 19

• 5 ; 7 ; 12 ; 20 ; 31 ; a 123123123123123

1er nivel → +2 +5 +8 +11 +14 123123123123

2do nivel → +3 +3 +3 +3

Finalmente, se pide hallar:

a + b <> 45 + 19 = 64

Rpta.: 64

3. ¿Qué término no cumple con la secuencia in-dicada?

B2;E3;G8;K29;L112;Ñ565

Resolución:

Separando las letras y los números se obtienen dos sucesiones:

• B ; E ; G ; K ; L ; Ñ 123123123123123 C F H M D I N J 144424443

Se observa que no hay secuencia con la

letra"K"

⇒ Ordenando

B ; E ; G ; J ; L ; Ñ 123123123123123 C F H K M D I N• 2 ; 3 ; 8 ; 29 ; 112 ; 565 123123123123123 ×1 ×2 ×3 ×4 ×5 +1 +2 +5 –4 +5 144424443

Se observa que no hay secuencia con el

número 29

⇒ Ordenando

• 2 ; 3 ; 8 ; 27 ; 112 ; 565 123123123123123 ×1 ×2 ×3 ×4 ×5 +1 +2 +3 +4 +5

Rpta.: K29

4. ¿Qué número completa la sucesión?

89; 83; 79; 73; 71; 67; 61; ...

Resolución:

Analizando cada uno de los términos obser-vados que son números primos ordenados de manera decreciente, entonces el número que completa la sucesión es 59.

Rpta.: 59

5. Identifique la alternativa que completa correcta-mente la sucesión:

1; ______; 25; 57; 121; 249

Resolución:

Analizando los datos mediante sumas:

1 ; 9 ; 25 ; 57 ; 121 ; 249 123123123123123 8 16 32 64 128 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 23 24 25 26 27

Rpta.: 9

Problemas resueltos

Ciclo UNI98

www.trilce.edu.pe99


Analizaremos a continuación algunos casos prácticos de sucesiones numéricas:

I. Por sumas o restas En cada caso, hallar el término que continúa:

A) 5; 8; 8; 6; 3; 0; ...

B) 2; 3; 5; 10; 21; 42; ...

C) 4; 5; 9; 18; 36; 69; 125; ...

D) 1; 2; 5; 15; 37; ...

II. Por multiplicación o división: En cada caso, hallar el término que continúa:

A) 3; 3; 6; 36; 864; ...

B) 1; 1; 1; 3; 45; ...

C) 288; 24; 4; 2; 5; 175/2; ...

D) 1; 1; 1; 1; 2; 12; 360; ...

III. Por operaciones combinadas En cada caso, hallar el término que continúa:

A) 37; 40; 36; 180; 30; ...

B) 2; 2; 6; 54; 70; ...

C) 15; 44; 21; 40; 23; 36; ...

D) 25; 26; 24; 30; 0; 210; ...

IV. Sucesiones alternadas En cada caso, hallar el término que continúa:

A) 7; 5; 10; 8; 16; 28, 26;..........

B) 4; 5; 6; 6; 8; 8; 10; 11;..............

C) 1; 10; 16; 23; 27; 32;..............

D) 7; 6; 5; 7; 9; 9; 9; 12; 15;.........

SUCeSIONeS LITeRALeS Para la resolución de problemas en los que se tiene una SUCESIÓN ALFABÉTICA se reco-mienda:

• Completarelabecedario.

• Asignaracadaletraunvalorequivalenteasuposición dentro del abecedario.

ejemplos: Hallar la letra que continúa en cada caso.

A) B; F; I; M; O; ...

B) A; A; B; E; D; I; G; O; ...

C) Z;V;R;Ñ;K;...

D) A; B; E; D; I; F; O; ...

1. Indica el término que debe continuar en:

D, I, E, G, F, E, G, ...

a) B b) D c) M d) N e) C

2. Hallar "y" en:

0; 4; 5; 6; 10; 74; y

a) 4 096 b) 4 170 c) 4 640 d) 5 040 e) N.A.

3. ¿Qué número deberá continuar?

3; 2; 3; 8; 63; ...

a) 3869 b) 3868 c) 3968 d) 3698 e) Ninguna

4. ¿Qué letra completa la secuencia?

P,Q,N,T,K,W,H,...

a) X b) V c) Z d) Q e) Y

5. Coloque la fracción que falta:103

; 49

; 67

; 85

; ...

a) 45

b) 74

c) 89

d) 35

e) 211

6. ¿Cuál es el término que continúa?

5; 20; 45; 80; ...

a) 120 b) 135 c) 128 d) 125 e) 132

7. Hallar el término que continúa en la siguiente sucesión:

2; 7; 19; 39; 71;124; …

a) 120 b) 224 c) 214 d) 136 e) 138



Ciclo UNI98

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1; 2; 12; 36; 80; 151; x.

a) 254 b) 250 c) 257 d) 259 e) 253

9. Calcular (x + y) en:

3; 4; 5; 7; 10; 15; 23; 36; x; y.

a) 76 b) 148 c) 115 d) 112 e) 172


114; 57; 54; 27; 24; 12; ...

a) 7 b) 8 c) 9 d) 12 e) 20

11. Hallar el término que continúa en la siguiente sucesión: A, D, H, M, ...

a) P b) Q c) R d) S e) T

12. Considerando la vocal "A" y las dos consonan-tes del término que continúa en la siguiente su-cesión:

A/B;C/C;E/E;G/G;I/K;M/K;...

¿Qué palabra se podría formar?

a) TALA b) SANA c) NAPA d) RAZA e) MAPA

13. ¿Qué alternativa está en discordancia con las demás?

a) 491 322 b) 891 726 c) 191 029 d) 831 114 e) 751 217

14. De la siguiente sucesión:

22, 34, 56, 710, 11x, yz, ...

se deduce que (x + y – z) es:

a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5

15. En la sucesión mostrada, determine la suma de los dígitos de "m" y "n".

(3; 2); (7; 5); (18; 11); (47; 17); (m; n)

a) 11 b) 19 c) 15 d) 17 e) 23

16. Determine la suma de los números del grupo que ocupa el casillero UNI:

2-3-4 3-5-4 8-11-9 27-31-38 UNI

a) 338 b) 339 c) 340 d) 342 e) 356

17. Encontrar el primer término positivo de la su-cesión:

–1 003; –994; –985,...

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 8

18. Hallar el décimo término de la siguiente suce-sión:

1; 2; 9; 64; 625; ...

a) 910 b) 10 c) 1 004 d) 94 e) 106

19. En un examen las respuestas a las 5 primeras preguntas son: A, B, C, D, E; para las 10 siguien-tes son: A, A, B, B, C, C, D, D, E, E; las 15 si-guientes son: A, A, A, B, B, B, C, C, C, ..., etc. La respuesta de la pregunta 90 es:

a) A b) B c) C d) D e) E

20. En la sucesión:

11

; 12

; 21

; 13

; 22

; 74

; 14

; 23

; 32

; 41

; ...

¿Qué lugar ocupará 4

11?

a) 85 b) 105 c) 95 d) 90 e) 100

Ciclo UNI100

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1. Calcular el término general de la siguiente su-cesión

28

; 713

; 1218

; ...

y dar como respuesta la suma del denominador y el numerador.

a) 10n b) 10n – 3 c) 6n d) 10n + 6 e) 8n

2. Hallar el valor de (x – y)

• 6;22;48;84;x• 4;12;26;46;y

a) 72 b) 130 c) 68 d) 58 e) 65

3. Hallar el término que sigue:

3; –2; –1; –1; –6; –17; …

a) –24 b) –32 c) –42 d) –39 e) –16

4. Hallar la letra que sigue en:

B;C;F;K;………………

a) Q b) P c) R d) S e) T


1; 2; 5; 15; 37; …..

a) 78 b) 79 c) 76 d) 77 e) 72

6. Hallar el término que sigue

4; 5; 9; 18; 36; 69; 125; …

a) 234 b) 215 c) 245 d) 214 e) 224


1; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 96; …

Dar la suma de las cifras del resultado.

a) 34 b) 35 c) 32 d) 37 e) 36

8. Hallar el término que sigue:

7; 9; 21; 67; …

a) 273 b) 243 c) 276 d) 277 e) 278

9. ¿Qué número completa la sucesión?

2 310; 210; 30; 6; 2; ...

a) 2 b) 1 c) 12

d) 25

e) 23


4; 5; 11; 34; 137; ...

a) 275 b) 412 c) 533 d) 686 e) 707


34

; 911

; 67

; 1517

; ...

a) 1213

b) 1819

c) 613

d) 1211

e) 910

12. Indicar el término que continúa en la siguiente sucesión:

1

51; 38

3; 6

27; 18

10; ...

a) 1511

b) 157

c) 711

d) 1115

e) 159

13. Hallar el número que sigue:

14; 22; 16; 24; 18; ...

a) 28 b) 26 c) 30 d) 22 e) 32

14. Hallar el número que sigue:

52; 63; 90; 103; 132; 147; ...

a) 167 b) 178 c) 201 d) 195 e) 184

15. Hallar "x" en la siguiente sucesión:

12

; 38

; 516

; 932

; x

a) 1324

b) 1835

c) 1937

d) 1764

e) 1549

Tarea domiciliaria


Ciclo UNI100



16. En la sucesión:

12

; 23

; 34

; 45

; ...

la diferencia entre 1 y el término enésimo es:

a) 1 b) n c) n + 1

d) 1 – n e) 1n + 1

17. Señale el grupo de letras que continúa:

CTT; FUV; IVX; …

a) KWZ b) KVZ c) LWZ d) LVW e) LVZ

18. ¿Qué letra sigue?

B; F; I; M; O; …..

a) S b) X c) P d) Q e) T

19. ¿Qué término continúa?

A/B ; C/B; D/E; G/H; …

a) P/I b) O/K c) P/M d) R/K e) O/I

20. ¿Qué número completa coherentemente la su-cesión?

124; 816; 326; … ; 825

a) 512 b) 412 c) 624 d) 576 e) 484

Ciclo UNI102



Ciclo UNI102



Sucesiones polinomialesSe llaman sucesiones polinomiales a todas aquellas sucesiones que en su fórmula general o en su ley de formación tienen la forma de polinomio de grado "n".

Es decir, las sucesiones polinomiales pueden ser de forma lineal, cuadrática, cúbica, etc.

En general, una sucesión polinomial tiene la forma:

tn= Ank+Bnk – 1+Cnk – 2+…+Yn1+ Z; donde k ∈ +

Analicemos algunas sucesiones polinómicas1. Sucesión lineal o de primer grado:

El término enésimo de dicha sucesión es de la forma:

tn = t1 + (n – 1)r

* Hallar el término 24 en: –4; –1; 2; 5; ...

2. Sucesión cuadrática o de segundo grado:


tn = an2 + bn + c

* Hallar el 20avo. término: 0; 4; 14; 30; ...

Método práctico

Dada una sucesión aritmética de cualquier orden o grado.

T1 ; T2 ; T3 ; T4 ; ... "n" términos 1442443144244314424431442443 +a +b +c +d ... 144244314424431442443 +m +n +p ... 14424431442443 +r +r ...

Entonces:

Tn = T1 + (n – 1)a1!

+ (n – 1)(n – 2)m

2! +

(n – 1)(n – 2)(n – 3)r

3! + ...

* Hallar el término enésimo en: 5; 11; 19; 29; 41; ...

* Hallar el término de lugar 22 en: 2; 4; 6; 20; 58; 132; ...


Ciclo UNI102



Ciclo UNI102



3. Sucesión potencial:


tn = an + k + b

* Hallar el término siguiente: 3; 12; 102; ...

4. Sucesión geométrica:

Llamada también progresión geométrica, se caracteriza porque cada término que continúa a partir del segundo término, se obtiene al multiplicar el inmediato anterior por un mismo número, llamado razón geométrica (q).

T1 ; T2 ; T3 ; T4 ; ... "n" términos 144244314424431442443 ×q ×q ×q ...

tn = t1 × qn – 1

* Hallar el vigésimo segundo término en: 4; 12; 36; 108; ...

1. En la siguiente sucesión:

5; 9; 15; 23; 33; ...

Hallar el término 40

Resolución:

Hallando la razón aritmética:

5 ; 9 ; 15 ; 23 ; 33 ; ... 123123123123 +4 +6 +8 +10 123123123 +2 +2 +2

Usando la fórmula:

tn = 5 +

4(n – 1)

1! +

2(n – 1)(n – 2)

2!

t40 = 5 + 4 × 39 + 39 × 38 ⇒ t40 = 1 643

Rpta.: 1643

2. Hallar el término enésimo de la siguiente suce-sión:

1;

710

; 58

; 1322

; 47

; 1934

; ...

Resolución:

Considerando fracciones equivalentes tendría-mos:44

;

710

; 1016

; 1322

; 1628

; 1934

; ...

Luego:

Numerador: 4 ; 7 ; 10 ; 13 ; ... ; (3n + 1) 123123123

3 3 3

Denominador: 4 ; 10 ; 16 ; 22 ; ... ; (6n – 2) 123123123

6 6 6

Finalmente: tn = 3n + 16n – 2

Rpta.: tn = 3n + 1

6n – 2

3. Hallar el primer término negativo de la siguien-te sucesión:

145; 137; 129; 121; ...

Resolución:

Analizando, se tiene:

145 ; 137 ; 129 ; 121 ; ... 123123123123 – 8 – 8 – 8

tn = – 8n + 153

Para hallar el primer término negativo se debe cumplir:

8n > 153

n > 19,...

n = {20; 21; 22; ...}

Problemas resueltos

Ciclo UNI104



Luego: n = 20

Finalmente: (–8)(20) + 153 = – 7

Rpta.: –7

4. Hallar "t80" de la sucesión indicada.

4; 6; 10; 19; 36; 64; ...

Resolución:

4 ; 6 ; 10 ; 19 ; 36 ; 64 ; ... 123123123123 +2 +4 +9 +17 +28 123123123123 +2 +5 +8 +11 123123123 +3 +3 +3

Usando la fórmula:

tn = 4 + 2(n – 1)

1! +

2(n – 1)(n – 2)

2! +

3(n – 1)(n – 2)(n – 3)

3!

t80 = 4 + 2 × 79 + 79 × 78 + 79 × 78 × 772

⇒ t80 = 243 561

Rpta.: 243 561

5. Dada la sucesión:

12; 15; 18; 21; ...; 159

¿Cuántos de sus términos resultan ser cuadra-dos perfectos, luego de aumentarle 4 unidades a cada uno de ellos?

Resolución:

Al aumentarle 4 unidades a cada término se tie-ne:

16 ; 19 ; 22 ; 25 ; ... ; 163 123123123 +3 +3 +3 tn = 3n + 13 <> °3 + 1 <> k2

16 ≤ k2 ≤ 163 (pero: k2 <>°3 + 1)

k2 = {16; 25; 49; 64; 100; 121}

Hay 6 términos que cumplen con la condición.

Rpta.: 6

1. Dar la suma de "t100" y "t200" en:

–1; 3; 7; 11; ...

a) 2246 b) 1156 c) 3467 d) 1211 e) 1190

2. En la siguiente sucesión dar como respuesta el término de lugar 20:

5; 18; 39; 68; ...

a) 1229 b) 1230 c) 1600 d) 1620 e) 1530

3. Hallar el término de lugar 8 en:

1; 11; 43; 109; 221; ...

a) 953 b) 954 c) 1013 d) 1000 e) 972

4. Hallar el término de lugar 5 en:

3; 12; 102; ...

a) 10 001 b) 10 002 c) 9002 d) 20 000 e) 9005

5. En la sucesión:

a7 + 8; a12 + 15; a17 + 22; ...; ax + y

Se cumple que: x + y = 303.

¿Cuántos términos tiene la sucesión?

a) 18 b) 20 c) 23 d) 24 e) 25

6. En la siguiente sucesión aritmética lineal:

3; ...; 30; ...; x;

el número de términos entre 3 y 30 es el mismo que está entre 30 y "x". Si la suma de los térmi-nos es 570, halla el número de términos.

a) 15 b) 17 c) 19 d) 21 e) 23

7. Si en una sucesión aritmética lineal se cumple que la suma de los "n" primeros términos es S = n(3n + 1), para todo "n" natural positivo, halla el primer término y la razón, respectiva-mente:

a) 3,5 b) 4,6 c) 4,7 d) 5,8 e) 5,9



Ciclo UNI104



8. Dada la sucesión aritmética lineal:

4; A; B; C; 36; ...

¿Qué lugar ocupa el término cuyo valor es 244?

a) 29 b) 30 c) 31 d) 32 e) 33

9. Si los siguientes números están en sucesión geométrica lineal:

x – 3; x; 2x; ...

halla el término de lugar 7.

a) 192 b) 384 c) 96 d) 512 e) 343

10. Hallar el primer término negativo en la siguien-te sucesión:

64; 57; 50; 43; …

a) – 1 b) – 3 c) – 6 d) – 8 e) – 13

11. Hallar el término general de la siguiente suce-sión:

1;

45

; 35

; 817

; ...

a) 2nn2 + 3

b) n + 1n + 3

c) 2nn2 + 1

d) 3n – 1n + 4

e) 6n + 1n + 5

12. Se quiere tomar "2n" términos de la siguiente sucesión de números:

–9; 5; –6; 11; –3; 17; ...;

de tal manera que sumen 365. Entonces "n" es igual a:

a) 10 b) 5 c) 20 d) 15 e) 30

13. Hallar el valor de "n" en la siguiente sucesión:

(a + 3); (a + 7)3; (a + 11)5; ...; (a + 118 – n)n

a) 12 b) 34 c) 39 d) 45 e) 22

14. En la siguiente sucesión: 8; 15; 22; 29; … ¿Cuán-tos de sus términos de tres cifras terminan en 5?

a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

15. Indicar el menor de cuatro términos de una su-cesión geométrica lineal creciente, sabiendo que la suma de sus extremos es 140 y la suma de sus términos centrales es 60.

a) 4 b) 10 c) 5 d) 15 e) 45

16. Dadas las sucesiones "S1" y "S2", hallar cuántos términos comunes tienen ambas sucesiones:

S1 = 5; 8; 11; 14; ...; 122

S2 = 3; 7; 11; 15; ...; 159

a) 20 b) 11 c) 12 d) 10 e) 41

17. Hallar "a8", si:

an + 1 = an + 2 + an; n ≥1 y a11 = –11.

a) 8 b) –8 c) 11 d) –1 e) 64

18. ¿Cuántos términos de la sucesión:

13; 16; 19; ...; 613; resultan tener raíz cuadrada exacta al sumarle 2 unidades?

a) 1 b) 7 c) 11 d) 10 e) 53

19. Ana Cecilia se propone leer una novela diaria-mente; el primer día lee 3 páginas, el segundo día lee 8 páginas, el tercer día 15 páginas, el cuarto 24 páginas y así sucesivamente hasta que cierto día se da cuenta que el número de pági-nas que ha leído ese día es 14 veces el número de días que ha estado leyendo. Hallar el núme-ro de páginas leídas en dicho día.

a) 126 b) 128 c) 168 d) 204 e) 192

20. Se escriben de corrido los siguientes números naturales:

12345678910111213……585960. Se decide anular cien cifras escritas, de tal manera que jun-tando las cifras que quedan (sin alterar el orden) se forma un número, el mayor posible. ¿Cuál es el número? Dar como respuesta la suma de sus cifras.

a) 20 b) 40 c) 70 d) 80 e) 100

Ciclo UNI106



Ciclo UNI106



1. En cada caso, hallar el término pedido e indicar la suma de los mismos.

• 5;8;11;14;...;t20• 2;9;16;23;...;t100

a) 765 b) 756 c) 757 d) 789 e) 769

2. Calcular la suma de los tres términos que tiene la figura 55, considerando la secuencia indicada.

1

35

f(1)

5

79

f(2)

9

1113

f(3)

...

...

a) 687 b) 657 c) 675 d) 652 e) 670

3. Calcular el total de cuadriláteros que contengan como máximo dos regiones simples hasta la fila 25.

→ F(4)

→ F(3)

→ F(2)

→ F(1)

a) 1230 b) 1225 c) 1450 d) 1200 e) 97

4. Los términos de la sucesión definidos por: tn = 8n2 – 6n + 3 ocupan los lugares impares de una nueva sucesión, y los términos de la su-cesión definidos por tn= 8n2 + 2n + 2 ocupan los lugares pares de la misma nueva sucesión. ¿Cuál es el término enésimo de la nueva suce-sión formada?

a) 2n2 – n + 2 b) 2n2 + n + 2 c) n2 – n + 3 d) n2 – n + 1 e) 2n2 + 2n + 1

5. Luis comienza a comer fresas de una huerta de la siguiente manera: el primer día come 4 fre-sas, el segundo día come 7 fresas, 11 el tercer día, 16 el cuarto día y así sucesivamente, hasta que cierto día se da cuenta que el número de fresas que comió ese día era 10 menos que el triple de las que comió el décimo día. ¿Cuántos días han transcurrido hasta ese cierto día?

a) 18 b) 19 c) 20 d) 24 e) 16

6. Hallar el segundo término negativo de dos ci-fras de la siguiente sucesión:

318; 311; 304; 297;......

a) –4 b) –11 c) –18 d) –25 e) –15

7. En la siguiente sucesión: 10; 5; 5; 12; 28; ...

Hallar la semisuma de los dos primeros núme-ros que resulten mayores que 100.

a) 75 b) 186 c) 222 d) 150 e) 200

8. En la siguiente sucesión : 2; 9; 16; 23; ...

¿Cuántos de sus términos de tres cifras terminan en 6?

a) 12 b) 13 c) 11 d) 10 e) 14

9. En cada caso, hallar el término pedido e indicar la suma de los mismos.

• 4;7;12;19;28;...;t10• 1;3;8;16;27,...;t15

a) 450 b) 470 c) 405 d) 375 e) 325

10. ¿Cuántas esferas se podrán contar en el arreglo número 50?

; ; ...f(1) f(2) f(3) f(4) f(5) ...

a) 2344 b) 2550 c) 2354 d) 2450 e) 2346

11. Dadas las sucesiones:

• S1: 3; 3; 113

; 92

; 275

; ...

• S2 : 32

; 43

; 54

; 65

; ...

Hallar la diferencia de los términos enésimos de las mismas.

a) n3 + 2n +1

b) n3

n(n +1) c) n3 + 1

n +2

d) n3 – 2n(n +1)

e) n3 + 2n(n +1)

Tarea domiciliaria


Ciclo UNI106



Ciclo UNI106



12. Un poeta bastante especial escribe un poema de 30 párrafos bajo las siguientes condiciones: en el título usa dos palabras, en el primer pá-rrafo emplea tres palabras, en el segundo pá-rrafo seis palabras, catorce palabras usó en el tercer párrafo, treinta en el cuarto párrafo y así sucesivamente. ¿Cuántas palabras escribe en el párrafo 18?

a) 2774 b) 2345 c) 2567 d) 2890 e) 3456

13. En un laboratorio se estudian dos tipos de bac-terias por separado. Las del tipo Axis, el primer día son 3, el segundo aumentan a 6, el tercer día son 11, el cuarto son 18 y así sucesivamen-te. Las del tipo Pexim, el primer día son 10, el segundo son 11, el tercer día son 13, el cuarto son 16 y así sucesivamente. ¿En qué día las bac-terias del tipo Axis son el doble de las del tipo Pexim?

a) 11 b) 15 c) 13 d) 23 e) 18

14. Calcule la suma de cifras del vigésimo término de la sucesión de números tetraédricos que apa-recen en el Triángulo de Pascal.

a) 1420 b) 1450 c) 1520 d) 1540 e) 1550

15. Dadas las siguientes sucesiones:

• S1: 11; 18; 25; 32; ...; 844• S2: 4; 13; 22; 31; ...; 1 165

¿Cuántos términos son comunes a ambas?

a) 12 b) 13 c) 16 d) 14 e) 10

16. ¿Qué número continúa en la siguiente secuen-cia?

1; 6; 40 ; 277; 1 935; ...

a) 13 545 b) 13 540 c) 13 535 d) 13 530 e) 13 525


11; 12; 26; 81; 328; ....

a) 1312 b) 1645 c) 1640 d) 1454 e) 984

18. Hallar los tres términos que continúan en la si-guiente sucesión:

4;5;F;8;10;J;13;15;Ñ;19;20;....

a) S; 24; 25 b) S; 24; 26 c) T; 24; 26 d) T; 26; 25 e) T; 25; 27

19. ¿Qué número completa coherentemente la si-guiente secuencia?

1; 11; 21; 1 211; 111 221; 312 211; ...

a) 312 213 b) 133 122 c) 13 112 221 d) 132 231 e) 13 111 221

20. Calcular:

4 × 22 + 8 × 32 + 12 × 42 + ... (2002 sumandos)1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ... + (2002 sumandos)

a) 2002 b) 4004 c) 6011 d) 1 e) 8

Ciclo UNI108



Ciclo UNI108



Serie numéricaSe denomina serie numérica a la adición indicada de los términos de una sucesión numérica. Al resultado de la adición si es que este existe se le llama suma o valor de la serie.

ejemplo:

Si tenemos la sucesión: 4; 7; 10; 13; 16; ...; (3n + 1); ...

La serie asociada a ella será:

4 + 7 + 10 + 13 + 16 + ... + (3n + 1) + ...

Puede observarse que el término enésimo de la sucesión dada es: tn = 3n + 1

Entonces, recordemos que podemos escribir la serie dada de forma abreviada empleando la notación sigma que denota "sumatoria".

Así:

S=S(3n + 1) = 4 + 7 + 10 +13 + ... (3n + 1)n

n=1 n=1tn

n

En general:

• Loslímites:Selesasignavaloresquepertenecenalosnaturales.• Ellímitesuperioresmayoroigualque1:n≥ 1.

Para un mejor análisis de los distintos casos que se presentan, hemos dividido el tema en dos capítulos:

Series numéricas I: Series notables

Series numéricas II: Series especiales

Principales series notables

1. n n(n + 1)

2S k ⇒ 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n =n = 1

2. n

S (2k – 1) ⇒ 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 1) = n2

n = 1

3. n n(n + 1)(2n + 1)

6S k2 ⇒ 12 + 22 + 32 + 42 + ... + n2 =n = 1

4. n n(n + 1)2

2S k3 ⇒ 13 + 23 + 33 + 43 + ... + n3 =n = 1


Ciclo UNI108



Ciclo UNI108



5. Serie de los números triangulares:

...

1 3 6 10 ...↓ ↓ ↓ ↓1 1 + 2 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 + 4 ...↓ ↓ ↓ ↓ ↓

1 × 22

2 × 32

3 × 42

4 × 52

...

Sn = 1 × 22

+ 2 × 3

2 +

3 × 42

+ 4 × 5

2 + ... +

n(n + 1)2

= n(n + 1)(n + 2)

6

Series especiales• Serie geométrica decreciente de infinitos términos:

So =

a1 – r

a = primer término

r = razón geométrica0 < r < 1

• Suma de términos de una sucesión recurrente:

Dada la siguiente sucesión polinómica:

a1 ; a2 ; a3 ; a4 ; a5 ; ... ; an

b1 ; b2 ; b3 ; b4 ; ...

c1 ; c2 ; c3 ; ...

d1 ; d2 ; ...

r ; ...

Entonces, la suma de los términos de dicha sucesión se obtiene a partir de:

Sn = a1Cn1 + b1Cn

2 + c1Cn3 + d1Cn

4 + rCn5

Donde: n = Número de términos

Ciclo UNI110



Ciclo UNI110



1. Calcular el valor de "S":

S = 1 + (1 + 4) + (1 +4 + 7) + (1 + 4 + 7 + 10) + ... (30 términos)

Resolución:

Resolviendo:

S = 1 + 5 + 12 + 22 + ... (30 términos) 123123123 + 4 + 7 +10 123123 + 3 + 3

Luego:

S = 1 × C301 + 4 × C30

2 + 3 × C303

S = 13 950 Rpta.: 13 950

2. Calcular la suma de todos los números desde la figura 1 hasta la figura 20.

3 1 5

9 5 7

11 9 13

...

(1) (2) (3)

Resolución:

Sumando los números en cada caso:

S = 9 + 21 + 33 + ... (20 términos) 123123 + 12 + 12

S = 9 × C201 + 12 × C20

2

S = 2460

Rpta.: 2460

3. Calcular:

S =

12 × 3

+ 23 × 5

+ 35 × 8

+ 48 × 12

+ ... (20 sumandos)

Resolución:

Descomponiendo cada fracción:

S = 12

– 13

+ 13

– 15

+ 15

– 18

+ 18

– ... + 1192

– 1212

Simplificando:

S = 12

– 1212

= 105212

Rpta.: 105212

4. Si:

n1 + 8 + 15 + 22 + ... + 78 = S (ax + b)

x = 1

Entonces, el valor de (n + 10a – 3b) es:

Resolución:

1 + 8 + 15 + 22 + ... + 78 123123123 +7 +7 +7

tn = 7n – 6

Para hallar el total de términos:

7n – 6 = 78

n = 12

Luego:

12S(7n – 6)

n = 1 =

nS (ax + b)

n = 1

Igualando:

n = 12; a = 7; b = -6

Finalmente, reemplazando:

n + 10a – 3b <> 100

Rpta.: 100

5. Calcular el valor de "P":

P =

712

+ 1772

+

43432

+ ...

Resolución:

Descomponiendo cada fracción:

P = 13

+ 14

+ 19

+ 18

+ 127

+ 116

+ 18

+ ... +

Luego: ordenando las fracciones

P = 13

+ 19

+ 127

+ ... + 14

+ 18

+ 116

+ ... +

Resolviendo:

P =

13

1 – 13

+

14

1 – 12

=

12

+

12

= 1

Rpta.: 1

Problemas resueltos


Ciclo UNI110



Ciclo UNI110



1. Hallar el valor de "S"

S = 1 . 0 + 2 . 2 + 3 . 6 + 4 . 12 + … + 20 380

a) 41 230 b) 44 100 c) 41 320 d) 2 870 e) 42 680

2. A los términos de la serie:

S = 2 + 5 + 8 + 11 + …

Se les agrega: 1; 2; 3; 4; …; respectivamente, de tal manera que la suma de los términos de la nueva serie sea igual a 1830. ¿Cuántos términos tiene la serie original?

a) 20 b) 24 c) 28 d) 30 e) 35

3. ¿Cuántos cuadrados se contarán en total hasta la figura 25?

...

(1) (2) (3) ...

a) 1235 b) 1225 c) 1325 d) 1425 e) 1255

4. De una hoja cuadriculada se corta un cuadra-do de 10 × 10. ¿Cuántos cuadrados en total se pueden contar en dicho cuadrado?

a) 375 b) 385 c) 380 d) 395 e) 390

5. Calcular el valor de "M":

M = 9 + 12 + 17 + 24 + …… + 177

a) 983 b) 923 c) 477 d) 756 e) 955

6. En el siguiente arreglo

1

2 3 4

3 4 5 6 7

4 5 6 7 8 9 10

M M O

¿Cuál es la suma de los términos de la fila 17?

a) 1089 b) 1890 c) 1099 d) 1409 e) 1500

7. Hallar el valor de la siguiente suma:

S = S1 + S2 + S3 + S4 + ….. + S40

Donde: Sk = 80 + 78 + 76 + 74 + …….

Posee "k" sumandos.

a) 44 800 b) 44 300 c) 44 880 d) 44 280 e) 44 780

8. A lo largo de un camino habían "n" piedras se-paradas una distancia "d" una de otra. Una per-sona empezó por un extremo a llevar una por una todas las piedras al lugar donde se encon-traba la última, llevando en cada viaje una sola piedra. Al terminar había recorrido 20 veces la distancia entre las piedras extremas. ¿Cuál era el número de piedras?

a) 19 b) 20 c) 21 d) 22 e) 23

9. Hallar la suma de las seis primeras filas del si-guiente arreglo triangular:

19 25

49 81 121169 225 289 361

N M O

a) 12 341 b) 13 451 c) 12 357 d) 12 457 e) 13 552

10. En una canasta hay 60 duraznos. Matías los va colocando de la siguiente manera: 1 en la pri-mera fila; 2 en la segunda fila; 3 en la tercera fila y así sucesivamente. ¿Cuántos duraznos sobra-rán en la canasta?

a) 7 b) 9 c) 5 d) 8 e) 12

11. Si: Sn = 1 + 2 + 3 + 4 + … + n

Hallar: S = S1 + S2 + S3 + … + S20

a) 1440 b) 1550 c) 1540 d) 1640 e) 1340

12. Un comerciante vende el jueves 9 naranjas, el viernes 20 naranjas, el sábado 31 naranjas y así sucesivamente; mientras que otro comerciante vende el jueves 4 naranjas, el viernes 16, 28 el sábado y así sucesivamente. ¿A los cuántos días venderán ambos la misma cantidad de naranjas?

a) 10 b) 12 c) 14 d) 11 e) 16


Ciclo UNI112



13. Se tienen "n" cuadrados concéntricos; el lado de cada cuadrado es numéricamente igual a la posición que ocupa. Si la suma de las diferen-cias de los lados de los cuadrados 3 y 1; 4 y 2; 5 y 3; 6 y 4; … es 396, calcular la suma de las áreas de los "n" cuadrados. Dar como respuesta la suma de las cifras del resultado.

a) 27 b) 28 c) 29 d) 30 e) 31

14. Calcular el valor de "P":

P = 1 – 4 + 9 – 16 + 25 – 36 + …

Si se sabe que tiene (2n + 1) términos.

a) n(2n+1) b) 2n(2n+1) c) n2+3n+1 d) (n+1)(2n+1) e) (n+1)(2n–1)

15. Calcular:

S = 2 + 56

+ 1336

+ 35216

+ ...

a) 3,8 b) 4,5 c) 3,5 d) 2,5 e) 2,6

16. Calcule la suma de los términos de la siguiente sucesión:

5; 12; 25; 44; 69; …; 1 164

a) 8230 b) 8030 c) 8400 d) 8130 e) 8270

17. Calcular el valor de la siguiente suma:

S = 1

7 + 4

72 + 9

73 + 16

74 + ...

a) 149

b) 145

c) 914

d) 1413

e) 514

18. Si:n

S x2 = mx = 1

Calcular

n n

S x2

x = 2–

n n

S x2x = 2

S Sx = 1 x = 11

a) 9(m – 1) b) 8(m – 1) c) 9m d) 9(m + 1) e) 8(m + 1)

19. Calcular:19

S (2x – 1)2x = 1

a) 10660 b) 9139 c) 7770 d) 9149 e) 10109


12 n

S S (2m)n = 2 m = 1

a) 720 b) 650 c) 726 d) 728 e) 736

1. Hallar al suma de los "n" primeros números pa-res mayores que 13.

a) n2 – 13 b) n2 + 13 c) 13n2 – n d) n2 + 13n e) n2 – 13n

2. La suma de los (n + 1) primeros números natu-rales mayores que 15 es:

a) n2 + 17n + 18 b) n2 + 17n – 16 c) n2 – 16 d) n2 + 17n + 16 e) n2 + 1

3. Entre dos números cuadrados consecutivos hay 42 números enteros. Determinar el mayor de dichos números.

a) 432 b) 421 c) 521 d) 483 e) 485

4. Si:n

1 + 8 + 15 + 22 + ... + 78 = S (ax + b)x = 1

Entonces el valor de (n + 10a – 3b) es:

a) 88 b) 100 c) 30 d) 82 e) 112

Tarea domiciliaria


Ciclo UNI112



5. Hallar la suma de las áreas de los infinitos círcu-los formados, tomando como diámetro el radio de la circunferencia anterior.

12

.....

a) 46 b) 45 c) 47 d) 48 e) 51

6. Un abuelo tiene 30 nietos y repartió cierta can-tidad de caramelos de la siguiente forma: al pri-mero le dio 10, al segundo 12, al tercero 14 y así sucesivamente. ¿Cuántas bolsas de caramelo ha tenido que comprar el abuelo, si cada bolsa trae 25 caramelos?

a) 46 b) 45 c) 47 d) 48 e) 51

7. Hallar "n":

3 + 6 + 11 + 18 + 27 + ... + n = 3 839

a) 491 b) 492 c) 494 d) 476 e) 486

8. Hallar el valor de "S", si se sabe que:

S = 2 + 7 + 28 + 63 + 126 + ...

Posee 25 sumandos:

a) 105 636 b) 105 646 c) 105 626 d) 106 546 e) 106 756

9. Sabiendo que:

Sx = 202 + 192 + 182 + 172 + ... 1444442444443 "x" sumandos

Calcular: S = S1 + S2 + S3 + S4 + ... + S20

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 12

10. Calcular:

12 + 52 + 92 + 132 + ... 14444244443 10 sumandos

a) 7320 b) 4810 c) 4910 d) 5930 e) 4930

11. Hallar la suma total del siguiente arreglo numé-rico:

13 + 55 + 7 + 97 + 9 + 11 + 13* * * * * * * ** * * * * * * * ** * * * * * * * * *19 + 21 + 23 + 25 + ... + 37

a) 1 065 b) 1 045 c) 1 035 d) 1 095 e) 1 075

12. Si: Sn = 1 + 2 + 3 + ... + n

Calcular: S1 + S2 + S3 + ... + S20

a) 1540 b) 1620 c) 2000 d) 400 e) 210

13. Hallar "S" en:

S = 2 + 4 + 4 + 6 + 6 + 6 + ... + 20 + 20 + ... + 20 1442443 10 sumandos

a) 700 b) 710 c) 730 d) 750 e) 770

14. Calcular:

S = 1 + 1 + 3 + 7 + 13 + ... 14444244443 20 sumandos

a) 2500 b) 2570 c) 2350 d) 2300 e) 2270

15. Calcular el valor de "E":

E =

1 – 122

1 – 132

1 – 142 ...

1 – 1n2

[1 + 2 + 3 + 4 + ... + n]

a) 2n b) n2 c)

1n2

d) n3 e) n3 – 1

16. Se conoce que: Mk = 0,5 × (10k + 1 + 8). Ha-llar la suma de cifras de:

S = M1 + M2 + M3 + ... + M20

a) 80 b) 86 c) 89 d) 99 e) 607

17. Calcular:

3 + 9 + 19 + 33 + ... 14444244443 20 sumandos

a) 5736 b) 5840 c) 5710 d) 5830 e) 5760

Ciclo UNI114



18. Hallar el valor de la siguiente serie:

E = 1 × 5 + 2 × 6 + 3 × 7 + ... + 10 × 14

a) 610 b) 609 c) 605 d) 606 e) 607

19. Calcular:

K=2+ 18

+

116

+ 132

+ ... + ∞

a) 2,85 b) 2,25 c) 2,65 d) 4,99 e) 3,25

20. Hallar el valor de "S":

S =

13 × 6

+ 16 × 9

+ 19 × 12

+ ... + 130 × 33

a) 2930

b) 3033

c)

3310

d) 1099

e) 3318





1. Resolver:

S = 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + 4 × 5 + ... + 39 × 40

a) 21 320 b) 21 420 c) 23 420 d) 21 520 e) 21 450

2. Hallar la suma de los primeros (2n + 5) núme-ros triangulares.

a)

(2n + 3)(n – 3)(2n + 7)3

b) (2n + 3)(n + 3)(2n + 7)

3

c)

(2n + 5)(n – 3)(2n + 7)3

d)

(2n + 3)(n + 3)(2n – 7)3

e)

(2n – 3)(n – 3)(2n + 7)3

3. Resolver:

S = 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + 3 × 4 × 5 + ... + 45 × 46 × 47

Dar como respuesta la suma de cifras del resulta-do.

a) 25 b) 26 c) 27 d) 28 e) 29

4. Resolver:

M = 1 × 25 + 2 × 24 + 3 × 23 + ... + 25 × 1

a) 2455 b) 2345 c) 2925 d) 2355 e) 2835

5. Resolver:

P = 3 × 17 + 4 × 18 + 5 × 19 + ... + 24 × 38

a) 9067 b) 9890 c) 9765 d) 9053 e) 9895

6. Hallar el valor de "M":

M = 117.499

(1.199+2.198+3.197+... + 50.150)

a) 20 b) 25 c) 30 d) 35 e) 40

7. Matías ingresa a trabajar en una tienda con la condición de que se le pagará por cada artículo que vende S/. 8 más que la cantidad de artículos vendidos. Si el primer día vendió un artículo y cada día vende un artículo más que el día ante-rior, ¿cuántos soles cobrará por los 32 días que trabajó?

a) 15 664 b) 15 667 c) 15 660 d) 15 670 e) 15 650

8. Hallar la suma de las inversas de los primeros 35 números triangulares.

a) 3419

b) 3413

c) 3518

d) 2313

e) 3523

9. Hallar el valor de la siguiente suma:

S = 72 × 5

+ 75 × 8

+ 78 × 11

+ (15 términos)

a) 10695

b) 10395

c) 10594

d) 10797

e) Ninguna

10. Calcular:

H = 430

S [k(k + 1)]–1

k = 4

a) 2631

b) 2331

c) 2637

d) 2831

e) 2731

11. Si: a n = 2n3 – 3n2 + 2n

Hallar:

S = a1 + a2 + a3 +.......+ a20

a) 80 010 b) 90 010 c) 85 010 d) 81 010 e) 82 010


Ciclo UNI116



Ciclo UNI116



12. Hallar el valor de "E":

E = 1 + 25

+ 325

+ 4125

+ 5625

+ ...

a) 2519

b) 2516

c) 2417

d) 2819

e) 2319

13. Calcular el valor de:

S =

11×6×9

+

12×9×12

+ ... + 110×33×36

a) 652 317

b) 642 376

c) 652 376

d) 682 379

e) 652 380

14. ¿Cuál es la suma de la serie?

S =

12×4×6

+

14×6×8

+

16×8×10

+ ... +

140×42×44

a) 1153 872

b) 1123 579

c) 153 579

d) 1123 872

e) 1202 380

15. Hallar el valor de la serie:

N = 3 + 33 + 333 + 3 333 + ... + 3333 ... 3333

Sabiendo que la misma tiene "n" sumandos.

a)

10n + 1 – 9n – 1027

b)

10n + 1 + 9n – 1027

c)

10n + 1 – 9n + 1027

d) 10n + 1 + 9n + 10

27

e)

10n + 1 – 9n – 1025

16. ¿Cuántos palitos se usarán hasta la figura 40?

...F(1) F(2) F(3)

a) 67 090 b) 67 080 c) 68 080 d) 65 080 e) 69 090


P=1 × 3 × 5 + 2 × 5 × 8 + 3 × 7 × 11 + 4 × 9 × 14 + ... (10 términos)

a) 20 090 b) 20 955 c) 20 890 d) 20 980 e) 20 850

18. Una pelota cae desde una altura de "H" metros y en cada rebote se eleva los 2/3 de la altura de la cual cae. Calcular qué altura alcanza en el rebote número 10 y el recorrido total hasta que se detiene.

a) 23

10H; 3H b) 23

10H; 4H c) 23

9H; 3H

d) 23

9 H; 4H e) 23

10H; 5H

19. Calcular:

H = 99 k + 1 – k

k2 + kS

k = 1

a) 27

b) 49

c) 29

d) 910

e) 79

20. En una huerta hay 30 caballones, cada uno de ellos tiene 16 m de largo y 2,5 m de ancho. Durante el riego, el hortelano lleva los cubos de agua desde el pozo situado a 14 m del extremo de la huerta y da la vuelta el caballón por el surco, el agua que carga cada vez le sirve para regar un solo caballón. ¿Cuál es la longitud de camino que recorre el hortelano para regar toda la huerta?

Nota: El camino comienza y termina junto al pozo.

a) 4225 b) 4555 c) 4565 d) 4125 e) 4560


Ciclo UNI116



Ciclo UNI116



1. Hallar la siguiente suma (dar la suma de cifras del resultado).

2 + 3 + 10 + 15 + 26 + ... + 1 295

a) 12 b) 14 c) 16 d) 15 e) 18

2. Hallar la suma de:

R = (x + 1) + (x + 3) + (x + 5) + (x + 7) + ... 1444445542445544443 "n" sumandos

Para: x = (n – 2)

a) n(n + 1) b) n2 + 2n c) n2 d) 2n(n – 1) e) n(n – 1)

3. Hallar la suma total:

S = 141

+ 242

+ 343

+ 444

+ ...

a) 49

b) 511

c) 713

d) 817

e) 319

4. Calcular el valor de "E", si:

E =

1 – 122

1 – 132

1 – 142 ...

1 – 1n2

[1 + 2 + 3 + 4 + ... + n]

a) 1n

b) 1n2

c) n

d)

1n4

e) 1n5

5. Hallar la suma total si hay 15 filas:

11 + 21 + 2 + 31 + 2 + 3 + 41 + 2 + 3 + 4 + 5M O

a) 1920 b) 743 c) 680 d) 980 e) 1240

6. Hallar el valor de "S" en:

S = 1

9 + 3

27 + 5

81 + 7

243 + ...

a) 310

b) 23

c) 13

d) 16

e) 19

7. Calcular la suma de las áreas de los infinitos rectángulos así formados (tomando como lados la mitad de los lados del rectángulo anterior). Considerar el rectángulo mayor.

12 m

8 m O

O'O''

a) 100 m2 b) 128 c) 108 d) 112 e) 110

8. ¿Cuántos hexágonos regulares se formarán al unir los centros de las circunferencias, tal que en el interior de cada hexágono haya solamente una circunferencia?

14442444321 circunferencias

a) 160 b) 171 c) 183 d) 195 e) 177

9. Hallar la suma total en el siguiente arreglo trian-gular:

1 F13 2 F2

5 1 4 F37 2 3 6 F4

9 4 5 6 8 F5N O F20

a) 14 836 b) 15 311 c) 15 920 d) 16 745 e) 15 486

10. ¿Cuántos cuadrados se contarán en la figura 30?

...

(1) (2) (3) ...

a) 115 b) 123 c) 118 d) 126 e) 121

Tarea domiciliaria

Ciclo UNI118



Ciclo UNI118



11. En la siguiente distribución triangular, hallar la suma de todos los términos de la vigésima fila.

12 3

4 5 67 8 9 10

N O

a) 4030 b) 4010 c) 4020 d) 4000 e) 4040

12. Calcular la diferencia de bolitas blancas y ne-gras que habrán en la figura 30.

F(1) F(2) F(3) F(4)

a) 434 b) 430 c) 428 d) 435 e) 432

13. Un camionero lleva ladrillos de un depósito a su casa, lleva en la primera 28 pero se le caen 7, entonces decide aumentar 16 ladrillos por viaje con respecto a cada viaje anterior, pero las caídas aumentan de viaje en viaje 4 ladrillos. Si desea llevar 750 ladrillos, ¿cuántos viajes debe hacer?

a) 10 b) 9 c) 8 d) 11 e) 12

14. La suma de 20 números pares consecutivos es 580. Hallar la suma de los 19 números impares comprendidos entre estos 20 números pares.

a) 530 b) 560 d) 551 d) 541 e) 513

15. En la siguiente figura se han contado en total 975 puntos de contacto. Hallar el número de esferas colocadas en la base.

a) 24 b) 25 c) 26 d) 43 e) 31

16. Hallar el valor de "x";

69 + 67 + 65 + 63 + ... + x = 1 000

a) 33 b) 35 c) 21 d) 43 e) 31

17. ¿Cuántas campanadas da un reloj en un día dando en cada hora tantas campanadas como la hora marca en ese instante y cada media hora que marca da una campanada?

a) 324 b) 300 c) 24 d) 180 e) 310

18. Sumar:

S = 16

+ 536

+ 19216

+ 651 296

+ ...

a) 56

b) 34

c) 23

d) 12

e) 16

19. Calcular la siguiente expresión:

N =

33

Sk = 8

713 +

25

Sk = 6

310

+ 21

Sk = 11

4

a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5

20. Determinar la suma de las áreas de los infinitos triángulos rectángulos formados como muestra la figura, (los vértices son puntos medios del lado del triángulo anterior).

4a

6a

a) 14a2 b) 18a2 c) 16a2 d) 20a2 e) 15a2

Ciclo UNI118



Ciclo UNI118



1. Una persona deja una herencia tocándole a cada hijo S/. 840. Habiendo fallecido uno de ellos, a cada uno de los restantes se les da S/. 1120. ¿Cuál es el número de hijos?

Resolución:

Como al final cada hijo recibe S/. 1120 más de lo que recibía al inicio, ello se debe a que los S/. 840 del que falleció se reparten entre sus hermanos. Luego:

840 ÷ 280 = 3

Finalmente, son 4 hijos

Rpta.: 4

2. Se compraron 65 vasos a S/. 150 cada uno. Des-pués de vender 17 con una ganancia de S/. 30 por vaso, se rompieron 5. ¿A cómo debo vender cada uno de los restantes para obtener una ga-nancia total de S/. 2 125?

Resolución:

• Gastototal:65×150=S/.9750

• Paralaprimeraventaserecauda:

17 × (150 + 30) = S/. 3060

• Aúnquedanporvender43vasosyfaltare-caudar:

9750 – 3060 = 6690 soles para recuperar el gasto.

Finalmente:

43 × precio = 6690 + 2125 → Precio = S/. 205

Rpta.: 205

3. Un comerciante compra libros a S/. 0,50 cada uno. Por cada docena le obsequian un libro, ob-teniendo en total 780 libros. Si decide regalar 30 libros, ¿a qué precio debe vender cada libro para ganar S/. 6000?

Resolución:

• Siporcadadocenaselleva13libros,enton-ces al llevarse 780 libros compró 720 libros.

• Siregala30librosdelos780lequedan750libros.

Finalmente:

750 × precio = 720 × S/. 50 + 6000 → Precio = S/. 56

Rpta.: 56

4. Silvia persigue a Emilio que lleva 130 pasos de adelanto. Silvia da 9 pasos mientras Emilio da 8 y 5 pasos de Emilio equivalen a 4 de Silvia. ¿Cuán-tos pasos dará Silvia para alcanzar a Emilio?

Resolución:

Considerando la información:

Silvia Emilio Silvia Emilio

9 pasos 8 pasos 36 pasos 32 pasos

4 pasos 5 pasos 36 pasos 45 pasos

(igualando los pasos de Silvia)

Se deduce que cada 36 pasos se acerca:

45 – 32 = 13 pasos a Emilio

IntroducciónEn la vida diaria es común hacer un planeamiento sobre las actividades que vamos a realizar, sin embargo, existen casos en los que las situaciones imprevistas se presentan, cambiando toda nuestra manera de enfocar una situación en particular.

En el presente tema se hace un análisis sobre aquellas situaciones imprevistas, relacionándolas con el uso de las operaciones matemáticas básicas. Dichos imprevistos conllevan a que no se pueda plantear una ecuación de manera directa (característica más notoria de este tema) pues es importante tomar en cuenta los cambios ocurridos. Muchas de las situaciones abordadas en este tema se refieren a situaciones comerciales.

Problemas resueltos

Ciclo UNI120



Finalmente:

36 pasos → Se acerca 13

? → Se acerca 130

? = 360 pasos

Rpta.: 360

5. En un bus Lima–Ancón el pasaje único es 5 soles y por cada persona que baja suben tres. Si llegó a Ancón con 28 pasajeros y además se recaudó 228 soles, ¿cuántos pasajeros salieron del paradero de Lima, si además del pasaje cada pasajero debe abonar un sol por el seguro?

Resolución:

De los datos:

Recaudación Pasaje + seguro

Viajaron Llegaron Bajaron Subieron (trayecto)

228 6 38 28 10 30

Viajaron 38 personas pero en el trayecto suben 30, es decir, del paradero inicial salieron 8.

Rpta.: 8

1. A un matrimonio masivo asisten 300 personas entre contrayentes y testigos (4 por pareja). Si de los testigos, 70 eran mujeres. ¿Cuántos hombres participaron en dicha reunión?

a) 120 b) 300 c) 400 d) 180 e) N.A

2. A una reunión bailable asistieron 120 perso-nas. Si todos bailan a excepción de 26 mujeres, ¿cuántas mujeres hay en total?

a) 26 b) 37 c) 83 d) 91 e) 73

3. Una frutería debería vender 300 naranjas a ra-zón de 5 por un dólar y otras 300 naranjas a razón de 3 por un dólar. Pero si las vendió todas a 4 por un dólar, ¿cuánto ganó o perdió?

a) Ganó 10 dólares b) Perdió 10 dólares c) No gana ni pierde d) Faltan datos e) Ninguna de las anteriores.

4. Lidia compra 6 docenas de globos a S/. 70 c/u, pero recibe 13 globos por docena, en la factura le hacen además un descuento de S/. 1300. Si vende c/u a S/. 75, ¿cuánto ganará vendiéndolos todos?

a) 1960 b) 1690 c) 2110 d) 2220 e) 2130

5. Ocho amigos tienen un presupuesto bimensual de S/. 6400 en Cuzco. Si 6 de ellos viajan de vacaciones a Aruba por 10 meses y gastan 1/3 de lo que gastaban en Cuzco, ¿cuánto gastaron en los 10 meses?

a) 16 000 b) 8400 c) 16 400 d) 8000 e) 7000

6. Una señora compra 2750 huevos por 1000 so-les. Pero se le rompen 350 y vende los restantes a 7 soles la docena. ¿Cuál es el porcentaje de ganancia?

a) 20% b) 40% c) 120% d) 140% e) 150%

7. Para ganar S/. 2000 en la rifa de una grabadora, se imprimieron 640 boletos. Sin embargo, solo se vendieron 210 boletos, originándose una pér-dida de S/. 150. Hallar el valor de la grabadora.

a) 1000 b) 1500 c) 2000 d) 3600 e) 1200

8. Tres equipos de fútbol: "U", Alianza (Al) y Cris-tal (SC) después de 3 partidos en los cuales cada uno jugó con los otros dos, tienen anotados los siguientes goles a favor (GF) y goles en contra (GC).

G.F. G.C.

U 6 3

Al 3 6

SC 4 4

¿Cuál fue el resultado del partido "U" con "SC"?

a) 2 – 1 b) 1 – 0 c) 3 – 2 d) 1 – 1 e) 3 – 1

9. Un auto recorre 8000 km permutando sus llan-tas (inclusive la de repuesto). ¿Qué distancia recorre cada llanta para que todas tengan igual desgaste?

a) 8 000 b) 2 790 c) 6 400 d) 5 600 e) 6 870



Ciclo UNI120



10. Se tiene un montón de 84 monedas de 10 g cada una y otro de 54 monedas de 25 g cada una. Halle el número de monedas que debe intercambiarse, para que ambos montones ad-quieran el mismo peso

a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18

11. Un vendedor compró algunos radios por 5300 dólares y luego queriendo tener una ganancia de 50 dólares en cada radio los vendió todos por 5700 dólares. ¿Cuántos radios compró?

a) 6 b) 8 c) 15 d) 18 e) 20

12. Un extranjero se aloja en un hotel pagando $ 24 diarios por la habitación y $ 60 por habitación y comida. Al cabo de 36 días el extranjero se re-tira del hotel pagando $ 1 890; suma en la que se incluye $ 192 por gastos extras efectuados durante su estadía. Si el administrador le hizo una rebaja de $ 1 por cada $ 10. ¿Cuántos días comió el extranjero en el hotel?

a) 29 b) 30 c) 35 d) 40 e) 25

13. El tiempo en el país de los soñolientos se mide de la siguiente manera:

• Cadahoraequivalea1000minutosnorma-les

• Cadadíatiene10horas

El número de días que hay en un mes normal está entre:

a) 2 y 3 b) 3 y 4 c) 4 y 5 d) 5 y 6 e) 6 y 7

14. Un biólogo observó el comportamiento de cier-tos bichos y llegó a las siguientes conclusiones:

* Existen dos tipos de bichos: LOS CARAPO-CHOS y los MUTILONES.

* Cada hora cada CARAPOCHO se comía 3 MUTILONES, seguidamente cada MUTI-LÓNsedividíaen4nuevosMUTILONES.

Si en un cultivo empezamos con "x" CARAPO-CHOS e "y" MUTILONES, ¿cuántos bichos ha-brán al cabo de 2 horas, si se cumplen las reglas dadas?

a) 16y – 50x b) 16y – 70x c) 16y – 59x d) 4y – 15x e) 4y – 12x

15. Un cañón hace 35 disparos por hora y otro hace 24; sabiendo que entre los dos han hecho 518 disparos y cuando empezó a disparar el segun-do, el primero llevaba disparando 3 horas, ha-llar cuántos disparos hizo el segundo.

a) 413 b) 186 c) 168 d) 105 e) Ninguno

16. Al comprar 10 manzanas me regalan 2 y al ven-der 15 regalo 1. ¿Cuántas debo comprar para ganar 24 manzanas?

a) 120 b) 150 c) 180 d) 200 e) 240

17. Compré cierto número de ovejas por S/. 5600. Vendí 34 de ellas por S/. 2040 perdiendo S/. 10 en cada una. ¿A cuántos soles debo vender cada una de las restantes para ganar en total S/. 1960?

a) S/. 100 b) 140 c) 125 d) 120 e) 90

18. Un comerciante compra 2200 botellas a S/. 27 el ciento y paga S/. 10,40 por el transporte de cada millar. ¿A cómo deberá vender el ciento para obtener una ganancia total de S/. 118,12; si por cada 100 botellas que vende regala 4, y 16 se rompieron en el camino?

a) S/. 25 b) 35 c) 40 d) 45 e) 55

19. Un ganadero vendió 60 cabezas de ganado entre vacas y terneros, recibiendo S/. 216 000. Pero como necesitaba S/. 250 000 tuvo que hacer una venta complementaria a los mismos compradores. Y razona que si vende 8 vacas, le sobran S/. 2000, pero si vende 20 terneros le faltarían S/. 4000. ¿Cuántas vacas y cuántos terneros vendió al principio?

a) 28 y 32 b) 18 y 42 c) 17 y 43 d) 36 y 24 e) 36 y 44

20. Un microbús hace el trayecto Lima-Callao. En cierto viaje recaudó S/. 33 000 por los pasajeros adultos y S/. 17 500 por los niños. En el trayecto se observó que por cada adulto que bajó subie-ron 3 niños y por cada niño que bajó subieron 2 adultos. Si al paradero final llegó con 20 adultos y 26 niños, ¿con cuántos adultos y niños salió del paradero inicial, si el pasaje de cada niño es S/. 500 y el de cada adulto es S/. 1100?

a) 11y 6 b) 10 y 7 c) 12 y 5 d) 12 y 6 e) 11 y 5

Ciclo UNI122



Ciclo UNI122



1. Manuel compró 40 ovejas por el valor de S/. 6000. Ha vendido algunas de ellas por el valor de S/. 1800, a S/. 120 cada oveja, perdien-do en cada una S/. 30. ¿A cómo debe vender cada una de las restantes para resultar ganando S/. 600 sobre lo pagado en la compra de todas?

a) S/. 175 b) 190 c) 192 d) 170 e) 180

2. Para una instalación, un electricista proyecta cobrar $ 14 por cada lámpara, incluyendo el material y la mano de obra, pensando ganar $ 67,20; pero hizo una rebaja de $ 1,40 por cada lámpara y solo ganó $ 44,80. ¿Cuánto le costó el material y la mano de obra?

a) S/. 156,8 b) 183,2 c) 175,6 d) 155,7 e) 191,5

3. Cuando compro, me regalan un cuaderno por cada docena y cuando vendo regalo 4 cuader-nos por cada ciento. ¿Cuántos cuadernos debo comprar para vender 1000?

a) 720 b) 960 c) 970 d) 950 e) 980

4. Dos cirios de igual calidad y diámetro difieren en 12 cm de longitud. Se encienden al mismo tiempo y se observa que en un momento la lon-gitud de uno es 4 veces la del otro y media hora después se terminó el más pequeño. Si el mayor dura 5 horas, ¿cuál era la longitud del más pe-queño?

a) 26 b) 28 c) 30 d) 27 e) 35

5. Un comerciante compró 500 vasos a S/. 2 cada uno y luego 6 docenas de vasos a S/. 60 cada una. Si vende todo por S/. 1932, ¿cuánto ganará en cada vaso?

a) S/. 1 b) 3 c) 2,5 d) 2 e) 1,5

6. Un ómnibus de Lima a Chimbote cobra como pasaje único S/. 88. Se observa que cada vez que baja un pasajero, suben tres. El ómnibus llega a Chimbote con 49 pasajeros y con una recaudación de S/. 5607, incluido el seguro del pasajero que es de un sol por cada uno. ¿Cuán-tos pasajeros partieron de Lima?

a) 20 b) 25 c) 21 d) 22 e) 28

7. Dos depósitos contienen 2 587 y 1 850 litros de agua. Con una bomba se traslada del primero al segundo 4 litros de agua por minuto. ¿Después de cuánto tiempo uno contendrá el doble de li-tros que el otro?

a) 278 b) 277 c) 275 d) 279 e) 276

8. Un comerciante compró 40 jarrones a S/. 70 cada uno. Después de haber vendido 12 con una ganancia de S/. 20 por jarrón se le rompie-ron 5. ¿A qué precio vendió cada uno de los ja-rrones, sabiendo que la utilidad fue de S/. 810?

a) S/. 70 b) 65 c) 42 d) 72 e) 110

9. Se tienen 36 bolas del mismo tamaño y de un mismo peso a excepción de una bola que pesa más. Empleando una balanza de dos platillos, ¿cuántas pesadas como mínimo se deben de ha-cer para determinar la más pesada?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

10. Un comerciante compró artículos a 3 por S/. 35 y los vende a 5 por S/. 70. Si los 50 artículos que le quedan representan su ganancia, ¿cuántos ar-tículos en total compró?

a) 300 b) 400 c) 250 d) 350 e) 450

11. El automóvil de Julio recorre 36 km por galón de gasolina. Al malograrse su coche va de su casa a la fábrica en el auto de su compañero que lo recoge en la mañana y lo regresa en la tarde. Julio calcula que de lunes a jueves, aho-rra en gasolina S/. 18. Si el galón de gasolina cuesta S/. 9, determinar la distancia de la fábri-ca a la casa.

a) 8 km b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

12. Una liebre lleva una ventaja inicial de 60 saltos a un perro. La liebre da 4 saltos mientras el pe-rro da 3, pero el perro en 5 saltos avanza tanto como la liebre en 8. ¿Cuántos saltos debe dar el perro para alcanzar a la liebre?

a) 75 b) 225 c) 300 d) 900 e) 800

Tarea domiciliaria


Ciclo UNI122



Ciclo UNI122



13. Un microbio por cada minuto que pasa se quin-tuplica. Si colocamos un microbio en un vaso, este lo llenaría en 45 minutos. ¿Cuántos minu-tos se demoran en llenar un vaso que tiene el quíntuple del volumen del anterior y además tiene 5 microbios en su interior?

a) 46 min b) 44 c) 45 d) 48 e) 49

14. Se tiene un grupo de 54 fichas de 25 g cada una y otro de 84 fichas de 10 g cada una. ¿Cuántas fichas deben intercambiarse para que ambos grupos tengan el mismo peso?

a) 12 b) 17 c) 15 d) 16 e) 14

15. Un comerciante compró cierto número de tra-jes por S/. 130 cada una y por cada 12 trajes que compró le regalaron 1. Vendió 60 trajes ga-nando S/. 50 en cada uno; 30 trajes, perdiendo S/. 50 en cada uno; se le echaron a perder 6 tra-jes y el resto lo vendió perdiendo S/. 30 en cada uno. ¿Ganó o perdió en total y cuánto?

a) Perdió, S/. 2400 b) Ganó, S/. 1200 c) Ganó, S/. 1000 d) Perdió, S/. 2600 e) Ganó, S/. 3200

16. Un comerciante compró 2500 jarrones a $ 200 el ciento. En el camino se le quebraron 190 ja-rrones y después regala 5 por cada 100 que ven-día. Determinar a cómo vendió el ciento, si al final ganó $ 1160.

a) $ 250 b) 280 c) 270 d) 275 e) 290

17. Jéssica compró limones a 4 por S/. 3 y los ven-de a 5 por S/. 7. ¿Cuántos limones debe vender para ganar S/. 130?

a) 220 b) 250 c) 200 d) 280 e) 190

18. Un almacenista compró a un fabricante cierto número de objetos iguales a razón de S/.72 la docena y los vendió después a un comeciante a razón de S/. 70 la decena. El comerciante ven-dió los objetos al público a S/. 22 el par y resul-ta que ganó S/. 1260 más que el almacenista. ¿Cuánto cobró el fabricante?

a) S/. 2300 b) 2540 c) 2620 d) 2520 e) 9760

19. Se quiere ceder un terreno de forma cuadrada cuya área es de 93 025 m2 con una cerca de 4 hileras de alambre. ¿Cuánto costará toda la obra, si el metro de alambre cuesta S/. 2 y la mano de obra total S/. 1000?

a) S/. 17 600 b) 10760 c) 100760 d) 9640 e) 9760

20. Si "A" tuviera $ 17 menos, tendría $ 18. Si "B" tuviera $ 15 más tendría $ 38. Si "C" tuviera $ 5 menos, tendría $ 10 más que "A" y "B" juntos. Si "D" tuviera $ 18 menos, tendría $ 9 más que la diferencia entre la suma de lo que tienen "B" y "C" y lo que tiene "A". ¿Cuánto tienen entre los cuatro?

a) $ 229 b) 219 c) 239 d) 129 e) 249

Ciclo UNI124



1. Con 12 960 soles en billetes de 10 soles se pue-den hacer tantos fajos de igual cantidad de bi-lletes como billetes tiene cada fajo. ¿Cuál es el valor de cada fajo?

Resolución:

Cantidad de billetes por fajo nCantidad de fajos n

Luego: 10n2 = 12 960

n = 36

Finalmente, cada fajo tiene 36 billetes de S/. 10

Rpta.: 360

2. Un grupo de aves se aproxima a un grupo de postes; si en cada poste se posa una sola ave, faltaría un poste, en cambio si en cada poste se posan dos aves resultaría un poste de más. Hallar el producto de la cantidad de postes y la cantidad de aves.

Resolución:

Número de postes: a

Del dato: Aves = a + 1 Aves = 2(a – 1)

Luego: a + 1 = 2(a – 1) a = 3 Postes = 3 Aves = 4

Rpta.: 12

3. En un salón hay tantas alumnas por cada alum-no, como alumnos hay. En total hay 420 perso-nas. Hallar el número de alumnos.

Resolución:

Alumnos: b

Alumnas: b2

Luego: b2 + b = 420 b = 20

Rpta.: 20

4. Un ganadero compró 30 caballos más que va-cas, y tantos cerdos como vacas y caballos jun-tos, pagando por las vacas el doble que por los caballos; además, por 2 vacas pagó tanto como por 7 cerdos y gastó lo mismo en vacas como en cerdos. ¿Cuántos animales compró?

Resolución:

Caballos Vacas Cerdos TotalCantidad n + 30 n 2n + 30 4n + 60

Del dato:

2 Precio vaca = 7 Precio

cerdo →Precio vaca = 7kPrecio cerdo = 2k

Gastó lo mismo en vacas y cerdos:

n . 7k = (2n + 30) . 2k

n = 20

Piden: 4n + 60 <> 140

Rpta.: 140

IntroducciónPlantear una ecuacion es una de las habilidades más importantes en la resolución de problemas. Consiste en la destreza para traducir el enunciado de un problema de un lenguaje escrito a un lenguaje matemático, estableciendo para ello una o más ecuaciones. Podemos concluir entonces, que plantear una ecuación es:

Enunciado(Escrito)

Lenguaje matemático(Simbólico)

Para poder plantear una ecuación se debe tener en cuenta lo siguiente:

• Leerycomprenderelenunciadodelproblema.• Enfocarelproblemarelacionándoloconlarealidad.• Establecerlaecuaciónparaluegoresolver.

Problemas resueltos


Ciclo UNI124



5. Pedro piensa: Si compro "x" cigarrillos me so-brarían "S" soles, pero si compro "S" cigarrillos necesito "B" soles más. ¿Qué cantidad de dine-ro tiene Pedro?

Resolución:

Sea: "n" el precio de un cigarrillo

Luego: "D" su dinero

xn = D – S

Sn = D + B

Resolviendo: D = xB + S2

S – x

Rpta.: xB + S2

S – x

1. Darío tenía 90 pelotitas y regaló 8 veces tantas pelotitas como las que no regaló. Calcular la quinta parte de las pelotitas que quedan.

a) 10 b) 2 c) 16 d) 15 e) 5

2. Un matrimonio dispone una suma de dinero para ir al teatro con sus hijos. Si compra entra-das de S/. 8 le faltaría S/.12 y si adquiere de S/. 5 le sobraría S/.15. ¿Cuántos hijos tiene el matrimonio?

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

3. En el aula, los alumnos están agrupados en un número de bancas de 6 alumnos cada uno. Si se les coloca en bancas de 4 alumnos se ne-cesitarán 3 bancas más. ¿Cuántos alumnos hay presentes?

a) 25 b) 36 c) 35 d) 42 e) 49

4. Del dinero que tengo, gasto la mitad de lo que no gasto y luego pierdo el doble de lo que no pierdo. Si sumara lo que gasto y pierdo obten-dría 1 400. ¿Cuánto más perdí que gasté?

a) S/. 800 b) 600 c) 200 d) 400 e) 1800

5. ¿Cuál es el número que es mayor que (2x–1) en la misma medida de que es menor respecto a (3 – 4x)?

a) 2 – x b) 1 – x c) x d) 2 e) 1

6. Si compro "x" naranjas me faltarían "a" soles; pero si compro "y" naranjas (y < x) me sobran "b" soles. El dinero que tengo es:

a)

bx – ayx – y

b) bx + ayx + y

c) bx + ayx – y

d) bx – ayx + y

e) bx – ayx + y

7. La lavandería cobra "x" soles por lavar una ca-misa o "y" soles por un saco. Si en total gasté "z" soles y mandé "t" camisas, ¿cuántos sacos mandé?

a) z – tx + y

b) z – tx – y

c) z – txy

d) z – txy

e) Más de una

8. Una prueba consta de 70 preguntas. Cada res-puesta correcta vale 4 puntos, cada respuesta equivocada es un punto en contra y cada res-puesta en blanco vale cero puntos. Un estudian-te que ha rendido dicha prueba, ha obtenido 95 puntos, habiéndose comprobado que las res-puestas buenas fueron el doble de las que dejó en blanco. ¿Cuántas equivocaciones cometió?

a) 30 b) 15 c) 45 d) 25 e) 10

9. Un cubo que tiene "y" m de arista se sumerge en brea y luego se divide en cubitos de 9 m de arista. Si al final se obtuvieron 84 cubitos con las 2 caras pintadas, ¿cuál será el valor de "y"?

a) 63 b) 72 c) 81 d) 90 e) Ninguno


Ciclo UNI126



Ciclo UNI126



10. Se ha comprado cierta cantidad de libros, unos a "m" soles cada uno y otros a "n" soles cada uno (m > n). El precio total de los libros más baratos es a/b partes del precio total de los li-bros más caros (a > b). Si por todo se ha paga-do "Q" soles, ¿cuántos se comprarán de los más caros?

a) Qba + b

b) Qan(a + b)

c) Qbna + b

d) Qbm(a + b)

e) N.A.

11. Con S/. 195 se compraron libros de 7; 8 y 13 soles, respectivamente. ¿Cuántos libros se com-praron, si en total se adquirió el máximo núme-ro de libros y por lo menos se compró uno de cada precio?

a) 23 b) 30 c) 24 d) 26 e) 25

12. Un poste de "a" metros de longitud está pintado de rojo y blanco. Si se pintan "b" metros más de blanco, la mitad del poste estaría pintado de rojo. ¿Cuántos metros de poste están pintados de blanco?

a) a – 2b2

b) ab2

c) a – b2

d) a2 + b

e) a2 – b

13. Sabiendo que por la compra de "a" camisas y 4 polos se pagó 119 soles, y que además la dife-rencia de precios entre 5 camisas y "a" polos es 34 soles, hallar el valor que debe tener "a" para que una camisa cueste lo mismo que un polo.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

14. Un anciano deja al morir una herencia de "2mn" soles a un cierto número de parientes. Sin em-bargo, "m" de estos renuncian a su parte y en-tonces cada uno de los restantes se beneficia en "n" soles más. ¿Cuántos son los parientes?

a) n b) m c) 2n d) 2m e) m+n

15. El doble de lo que me faltaría para tener lo que tú tendrías, si es que yo te diese S/. 5 sería igual a 6 veces más de lo que tengo. ¿Cuánto tengo, si tú tienes 3 veces más de lo que yo tengo?

a) S/. 10 b) S/. 20 c) S/. 40 d) S/. 5 e) S/. 50

16. Una persona quiere comprar 450 pelotas o por el mismo monto 50 polos y 50 shorts. Si al final compró el mismo número de objetos de cada clase, hallar el número de shorts y polos com-prados al final.

a) 80 b) 60 c) 100 d) 90 e) 120

17. Del dinero que tengo, gasté la cuarta parte de lo que no gasté; de lo que no gasté, perdí la tercera parte de lo que no perdí; y del dinero que me queda, pagué la mitad de lo que no pa-gué. ¿Cuánto tenía, si lo que no gasté excede en S/. 30 a lo que debía?

a) S/. 100 b) S/. 80 c) S/. 70 d) S/. 60 e) S/. 50

18. Si hoy gasto lo mismo que ayer, mañana gastaría la mitad de hoy y me quedaría sin dinero; pero en cambio, si ayer hubiera gastado la mitad de lo que gasté, hoy tendría para gastar S/. 10 más de lo que gasté realmente ayer. ¿Cuánto gasté ayer?

a) S/. 10 b) S/. 5 c) S/. 7 d) S/. 9 e) S/. 8

19. Si te doy lo que a ti te falta para tener lo que yo tengo y tú me das todo lo que te pido, que es lo que me falta para tener el doble de lo que tienes, resulta que lo mío y lo tuyo estarían en la relación de 5 a 4. ¿En qué relación se encon-traban nuestras cantidades iniciales?

ta) 11:2 b) 2:5 c) 3:2 d) 11:7 e) 6:4

20. Luego de gastar exactamente la mitad de su di-nero, Rafaela observa que tiene tantos centavos como soles tenía al entrar a la tienda, y tantos soles como la mitad de los centavos que había tenido. ¿Cuánto dinero (en centavos) tendría fi-nalmente, si lograse ganar tantos centavos como soles tiene y tantos soles como centavos tiene, sabiendo que la cantidad que tenía al inicio es lo mínimo posible?

a) 12 356 b) 12 444 c) 14 948 d) 14 233 e) 14 498


Ciclo UNI126



Ciclo UNI126



1. César dice: "Yo tengo tantas hermanas como hermanos, pero mi hermana tiene el doble de hermanos que de hermanas. ¿Cuántos so-mos?

a) 3 b) 4 c) 7 d) 6 e) 5

2. En una fiesta de cumpleaños hay tantas pa-rejas bailando como hombres parados que están conversando y 30 mujeres no bailan. Las personas que no bailan son el triple de las mujeres que bailan y además hay 10 hombres más bailando que sentados. ¿Cuántos hom-bres bailan?

a) 10 b) 20 c) 25 d) 15 e) 30

3. En una reunión la cuarta parte de los asistentes bailan, otros juegan y otros conversan. Si cua-tro dejan de jugar y se van a bailar y dos de los que están bailando se van a conversar y uno de los que conversan se va a jugar, quedando los que juegan, bailan y conversan con igual cantidad de personas. ¿Cuántas personas hay en la reunión?

a) 20 b) 32 c) 36 d) 40 e) 24

4. En dos salones hay igual número de personas por cada 5 personas que salen del primero; del segundo salón salen 3 para entrar al primero y uno se retira a su casa. Cuando hay 50 personas en el primero, resulta que en el segundo hay 20. ¿Cuántos había inicialmente en cada salón?

a) 40 b) 60 c) 80 d) 90 e) 100

5. Al vender un artículo pensé ganar la mitad de lo que me costó, pero al momento de vender tuve que rebajar la mitad de lo que pensé ganar, por lo que gané 6 soles menos de lo que me costó ¿Cuántos soles me costó dicho artículo?

a) 6 b) 9 c) 10 d) 8 e) 12

6. A un anciano le preguntan por la edad de su hijo y responde: "Tiene tantas semanas, como mi nieto días". Luego le preguntan por la edad de su nieto, y responde: "Tiene tantos meses, como yo años"; y al preguntarle por su edad res-ponde: "Los tres juntos sumamos exactamente 100 años". ¿En cuánto se diferencian las edades del hijo y el nieto?

a) 60 b) 30 c) 35 d) 25 e) 5

7. Aún tengo tanto como la mitad de lo que he per-dido. De no haber perdido, me hubiera sobrado tanto como el triple de lo que me falta hoy para comprar una casaca de S/. 50. ¿Cuántos soles tenía inicialmente?

a) 80 b) 75 c) 110 d) 150 e) 100

8. Un caballero da a un mendigo tantas veces 15 centavos como soles llevaba en el bolsillo. Si aún le quedan S/. 170, ¿cuántos soles llevaba en el bolsillo?

a) 180 b) 200 c) 250 d) 380 e) 320

9. Un cilindro de 1,8 de altura pesa vacío 15 kg y lleno de petróleo 95 kg. ¿A qué altura deberá llenarse para que su peso sea exactamente igual a su altura a nivel del agua expresada en centí-metros?

a) 25 cm b) 26 cm c) 27cm d) 28 cm e) 29 cm

10. Se tienen dos barriles con vino de diferente ca-lidad. El primero contiene 20 litros y el otro 30 litros. Se saca de cada barril la misma cantidad y se echa en el primero lo que se sacó del se-gundo y viceversa. ¿Qué cantidad de vino ha pasado de un barril a otro, si el contenido de ambos resultó de la misma calidad?

a) 10 b) 12 c) 16 d) 15 e) 9

11. El costo de almacenaje diario en una aduana es 1/10 del valor de la mercadería. Un comercian-te retira al final de cada día 1/5 de la mercadería almacenada inicialmente. ¿Cuál es el valor total del almacenaje si la mercadería cuesta S/. 200?

a) S/. 70 b) S/. 60 c) S/. 80 d) S/. 90 e) S/. 50

Tarea domiciliaria

Ciclo UNI128

TRILCEColegios

12. Un camión normal emplea además de sus seis llantas normales, sus dos llantas de repuesto para recorrer una distancia de 2 800 km. ¿Cuál es el recorrido promedio de cada llanta en km?

a) 350 b) 2100 c) 750 d) 1500 e) 2300

13. Son más de las dos sin ser las tres de esta ma-drugada, pero dentro de 40 minutos faltarán para las cuatro el mismo tiempo que transcurrió desde la una hasta hace 40 minutos. ¿Qué hora es?

a) 2:20 am b) 2:30 am c) 2:10 am d) 4:15 am e) 6:12 am

14. Dos cajones al estar vacíos pesan igual. Uno de ellos se llena con 58 objetos de 10 kg cada uno y el otro con 44 objetos de 15 kg cada uno. ¿Cuántos objetos se deben intercambiar a fin de que ambos cajones pesen lo mismo?

a) 15 b) 12 c) 20 d) 10 e) 8

15. Tres niños se reparten "a" canicas, del modo siguiente: el primero toma la mitad más una, el segundo la tercera parte de las restantes, el tercero se da cuenta que le quedaron el doble de las que tomó el segundo. Hallar el mínimo valor de "a"

a) 8 b) 6 c) 4 d) 10 e) 12

16. Un kilogramo de monedas de 50 céntimos tiene un valor que es el doble que el de un kilogramo de monedas de 20 céntimos. Si una moneda de 20 céntimos pesa 8 gramos. ¿Cuántos gramos pesará una moneda de 50 céntimos?

a) 10 b) 20 c) 15 d) 24 e) 12

17. Si el precio de un artículo se elevara en dos ve-ces más, con cada 108 soles se compraría una docena y media menos. ¿Cuánto cuesta en so-les, media docena de dicho producto?

a) 27 b) 24 c) 36 d) 16 e) 12

18. Una persona gasta 1/n de su dinero, luego gasta 1/(n – 1) de lo que le queda, luego 1/(n – 2) del resto, luego 1/(n – 3) del nuevo resto y así sucesivamente hasta que por último gastó una cantidad "a" que viene a ser la mitad del último resto. ¿Cuánto tenía dicha persona inicialmen-te?

a) na b) 2na c) na/2 d) 3na e) 3na/2

19. Se llamanNÚMEROSTRÁNSICOSa aquellosque consecutivamente se van diferenciando uno del otro en (2x – 3a) unidades. Si se suman cinco de estos números que son consecutivos se obtendrá (35x – 5a). ¿Cuál es el menor de los sumandos?

a) 5x+3a b) 3x+5a c) 5a+3x d) 3x – 5a e) 5x – 3a

20. Las edades de tres hermanos (niños) están repre-sentados por números enteros positivos, tal que si a cien veces la edad del primero se le suma 10 veces la edad que tenía el segundo hace 4 años y luego se le añade la edad que tendrá el tercero dentro de 7 años, se obtendrá 953. Ha-llar la edad que tendrá el menor, cuando el ma-yor tenga tantas veces su edad como el mediano aventaja al menor.

a) 17 b) 13 c) 15 d) 16 e) 19


Central: 619-8100

1. Vilma le dice a Julia: "Yo tengo nueve veces la edad que tú tenías

cuando yo tenía la edad que tú tienes. Cuando tú tengas la edad que yo tengo, la suma de nues-tras edades será 44 años". ¿Cuál es la diferencia entre las edades de estas dos mujeres? Resolución

Usando un cuadro tenemos:

5n 9n 13nn 5n 9nJulia

Vilma

Pasado Presente Futuro

Del dato: 13n+9n=44 n=2Piden: 4n

Rpta.: 8

2. Dos autos separados a una distancia de 810 km, salen a encontrarse con velocidades de 45 km/h y 54 km/h. Si el primero sale a las 5:30 h, ¿a qué hora tiene que salir el otro, para llegar al lugar del que salió el primero a la misma hora en que el primero llegue al segundo lugar?

Resolución

• Alqueviajaa45km/hletoma810÷45=18 horas llegar a su destino.

• Encambio,alotrosololetoma810÷54=15 horas.

Es decir, el segundo debe salir tres horas des-pués.

Rpta.: 8:30 h

3. Si Lucas tuviese 27 años menos, el tiempo que habría permanecido durmiendo sería la quinta parte del tiempo que hubiese permanecido des-pierto si es que tuviese 27 años más. Si en el transcurso de su vida duerme un promedio de 8 horas diarias, ¿cuántos años lleva durmiendo?

Problemas resueltos

Resolución

• Siduermeunprome-dio de 8 horas al día, entonces lo que duer-me es 1/3 de lo que vive un día.

• Siasumimosquetiene"n"años,seobtiene:

( )n n327

51

32 27- = +; E → n=63

Duerme: 31×63=21

Rpta.: 21 años

4. Un camino de "A" a "B" consta de una subida y una bajada; un peatón que se dirige de "A" a "B" recorre todo el camino en 13 horas y en el camino de regreso demora una hora menos. Si a la subida va a 2 km/h y a la bajada, a 3 km/h, ¿cuál es la longitud del camino?

Resolución

Graficando el camino de "A" hacia "B"

6A km

A B

6B km Longitud :total 6(A+B)

De los datos:

•Parairde"A"→ A B2

636 13+ = →3A+2B=13

hacia "B"

• Paravolver→ 1A B3

626 2+ = →2A+3B=12

Resolviendo: A+B=5

Finalmente: 6(A+B)<>30

Rpta.: 30 km

Duerme=Vida3

Despierto= 32Vida

Ciclo UNI130



Ciclo UNI130



1. Jennifer tuvo su primer hijo a los 17 años y cua-tro años después tuvo su segundo hijo. Si en 1996 las edades de los tres sumaban 49 años, ¿en qué año nació Jennifer?

a) 1970 b) 1969 c) 1968 d) 1967 e) 1966

2. La edad de Cecilia es el triple de la edad de Mar-co. Si hace tres años la edad de ella era (a+3b), ¿dentro de cuántos años la edad de Cecilia será el doble de la edad de Marco?

a) a+3b-3 b) a-3b+3 c) a+3b+3 d) a-3b-3 e) a b

33 3+ +

3. Una persona nació en el año 19ab y en 1980 tuvo (a+b) años. ¿En qué año tendrá (5a+3b) años?

a) 2005 b) 2030 c) 2015 d) 2018 e) 2028

4. Patricia le dice a Alexandra: tengo cuatro veces la edad que tú tenías cuando yo tenía el doble de la edad que tú tienes. Cuando tengas las 3/4 partes de mi edad, nuestras edades sumarán 75 años. ¿Qué edad tiene Patricia?

a) 36 b) 28 c) 32 d) 30 e) N.A

5. La edad que tú tienes es la edad que yo tenía cuando él tenía la octava parte de lo que tendré. Cuando tú tengas lo que yo tengo, él tendrá seis años más de lo que tuve. Si lo que tuve es seis años más de lo que él tiene y 12 años más de lo que tuviste, ¿qué edad tengo?

a) 24 b) 30 c) 36 d) 40 e) 32

6. José le dice a su hermano mayor: "Si tú hubie-ras nacido cuando yo nací, tendrías seis años menos, y si yo hubiera nacido cuando mi papá

nació, tendría 28 años más; esto quiere decir que mi papá tiene...".

a) 34 años más que tú b) 34 años más que yo c) 22 años más que tú d) 17 años más que yo e) 15 años más que tú

7. Una persona nacida en la segunda mitad del si-glo XX tendrá "n" años en el año "n2". Dicha persona nació en:

a) 1999 b) 1991 c) 1980 d) 1975 e) 1990

8. Yo tengo el triple de la edad que tú tenías cuan-do yo tenía el doble de la edad que tuviste cuan-do yo tuve la dieciseisava parte de la edad que tú tienes. Si dentro de 10 años nuestras edades sumarán 175, ¿dentro de cuántos años cumpliré 90 años?

a) 15 b) 10 c) 18 d) 20 e) 22

9. KarenlediceaRosa:"Lasumadenuestraseda-des es 46 años y tu edad es el triple de la edad que tenías cuando yo tenía el triple de la edad que tuviste cuando yo nací". ¿Dentro de cuán-tosaños laedaddeKaren seráeldoblede laedad que tiene Rosa?

a) 18 b) 26 c) 24 d) 20 e) 25

10. Pedro le dice a Calín: "Cuando tú tengas lo que yo tengo, es decir, el triple de lo que tenías cuando yo tenía cuatro años menos de los años que tienes, nuestras edades sumarán 68 años". Calín a su vez, le dice a Pepe: "Cuando tengas lo que yo tengo, yo tendré cinco veces lo que tenías cuando yo tenía lo que tú tienes". ¿Cuán-


5. Un remero tarda en total 24 horas en ir y volver hasta un puerto que dista a 90 km. Si el tiem-po que emplea en recorrer 5 km a favor de la corriente es el mismo que emplea en recorrer 3 km contra la corriente, ¿cuál es la velocidad de la corriente del río en km/h?

Resolución

Sea: VR: velocidad del remero

VC: velocidad de la corriente del río

Del dato: 5=(VR+VC)×t VR=4VC 3=(VR - VC)×t

Luego: V V V V

90 90 24C R R C+

+-

=r

→ VC=2

Rpta.: 2 km/h


Ciclo UNI130



Ciclo UNI130



tos años tendrá Pepe cuando Pedro tenga el tri-ple de lo que tiene actualmente?

a) 44 b) 85 c) 58 d) 74 e) 72

11. Un motociclista, viajando a 100 km/h, llegaría a su destino a las 19 horas; en cambio, si viaja a 150 km/h llegaría a las 17 horas. Si desea llegar a las 18 horas, ¿a qué velocidad debe ir?

a) 90 km/h b) 100 c) 110 d) 120 e) 130

12. Un tren emplea seis segundos en pasar delante de un observador y 26 segundos en recorrer un puente de 400 m. Hallar la longitud del tren.

a) 100 m b) 120 c) 140 d) 150 e) 200

13. Fulano y Mengano se encuentran de espaldas el uno al otro al momento de comenzar el duelo. Al darse la señal, empiezan a alejarse el uno del otro en sentidos opuestos. Fulano camina a una velocidad de 3 m/s, mientras que Mengano camina a una velocidad de 4m/s. Al cabo de 10 segundos ambos se dan vuelta y disparan el uno en dirección del otro. La velocidad de cada una de las balas es 140 m/s (se supone que la velo-cidad de las balas es fija). ¿Después de cuántos segundos llegarán ambas balas a su destino?

a) 3/4 b) 2 c) 3 d) 1/2 e) 4

14. Un estudiante aborda todos los días un micro-bús para llegar a su clase a las 15:00 horas. Pero hoy perdió el microbús. Si esperó el siguiente y este pasó 15 minutos después y arribó en los 4/3 del tiempo normal, llegando a las 15:25, ¿a qué hora abordó el microbús?

a) 14:30 b) 14:45 c) 14:20 d) 14:25 e) 14:28

15. Dos móviles separados 100 m parten simul-táneamente al encuentro con velocidades de 3 m/s y 2 m/s. Hallar el tiempo en que estarán separados 50 m por segunda vez.

a) 20 s b) 25 c) 30 d) 35 e) 40

16. Todos los días sale de Piura un ómnibus con dirección a Lima, a una velocidad de 100 km/h. Este se cruza diariamente a las 12 horas con un ómnibus que viene de Lima con velocidad de 50 km/h. Cierto día el ómnibus que sale de Piu-

ra encuentra malogrado al otro a las 14 horas. ¿A qué hora se malogró el ómnibus que sale de Lima?

a) 6:00 h b) 7:00 c) 8:00 d) 9:00 e) 10:00

17. Un muchacho escapó de su casa, contigua a una carretera. Luego de dos horas sale el padre en su busca, y cinco horas después sale la ma-dre al encuentro de los dos. Padre, madre e hijo caminaron a razón de 6, 6 y 4 km/h, respectiva-mente. En el momento en que el padre alcanzó al hijo, vuelve con él a su casa andando a razón de 4 km/h. ¿A qué distancia de su casa encon-traron a la madre?a) 4 km b) 3 c) 12 d) 10 e) N.A.

18. Dos coches partieron al mismo tiempo: uno de "A" en dirección de "B", y el otro, de "B" en dirección de "A". Cuando se encontraron, el primero había recorrido 36 km más que el se-gundo. A partir de este momento (en que se en-contraron), el primero tardó una hora en llegar a "B", y el segundo cuatro horas en llegar a "A". Hallar la distancia entre "A" y "B".

a) 98 km b) 106 c) 108 d) 107 e) 100

19. En un corral rectangular de 30 m x 20 m se en-cuentran un vaquero (V) y un caballo (C) como indica la figura:

S

C

V

30m

20m

En el mismo instante ambos comienzan a correr hacia la salida (S); el caballo recorre 4 m por cada 3 m que recorre el vaquero. ¿Cuál es la mínima longitud en metros que ha de tener el lazo del vaquero para enlazar al caballo?

a) 12 b) 15 c) 10 d) 14 e) 9

20. Por debajo de un poste, cuyo foco está a una altura "H", pasa caminando un hombre de esta-tura "h", con rapidez "V": Si el hombre camina por un llano, ¿cuál es la rapidez de su sombra?

a) Vh/(H+h) b) Vh/(HV+h) c) HV/(H-h) d) (H+V)/(H-V) e) HV/(2H-h)

Ciclo UNI132



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Tarea domiciliaria

1. Augusto nació en el año 19xy y en 1993 tuvo (x+y) años. ¿En qué año tendrá (3x+y) años?

a) 2012 b) 2007 c) 2003 d) 2010 e) 2014

2. Un tren demora en pasar delante de un observa-dor 20 s y en cruzar un túnel, 30 s. ¿En cuánto tiempo cruzará el tren un puente que tiene el cuádruple de la longitud del túnel?

a) 40 s b) 60 c) 50 d) 49 e) 35

3. Un remero tarda en total 24 horas en ir y volver hasta un puerto que dista 135 km. Si el tiem-po que emplea en recorrer 5 km favor de la corriente es el mismo que emplea en recorrer 3 km contra la corriente, ¿cuál es la velocidad de la corriente del río en km/h?

a) 1,8 b) 2 c) 2,5 d) 1,5 e) 3

4. Una persona, en el mes de agosto, suma a los meses que ha vivido los años que tiene y obtie-ne 270. ¿En qué mes nació dicha persona?

a) Octubre b) Setiembre c) Noviembre d) Junio e) Julio

5. Un microbús debía cubrir una cierta distancia en un determinado tiempo, pero como el con-ductor era novato, recorrió todo el trayecto con 1/5 menos de la velocidad normal y llegó con un retraso de cuatro horas. ¿En cuántas horas debió llegar normalmente?

a) 12 h b) 18 c) 15 d) 16 e) 19

6. La velocidad de Juan es 10 km/h mayor que la de Beto. Si Juan en 16 horas recorre lo mismo que Beto en 20 horas, ¿en cúanto tiempo se encontrarían, si salieran en sentidos contrarios desde dos ciudades distantes 450 km?

a) 3 h b) 9 c) 4 d) 5 e) 7

7. ¿A qué hora alcanza Jan a Nena, si estando sepa-rados por 40 km, Jan la busca con una rapidez de 90 km/h, después de cinco horas que Nena emprendió viaje a la velocidad de 20 km/h? (Se sabe que Jan partió a las 11:07 a.m.).

a) 2:05 p.m. b) 1:56 p.m. c) 1:07 p.m. d) 7:49 p.m. e) 1:35 p.m.

8. Un tren sale de una estación con una velocidad de 36 km/h. A los cinco minutos de marcha, obedeciendo a una señal de precaución, dismi-nuye su velocidad a 20 km/h, recorriendo con esta 2 km y volviendo a marchar con la velo-cidad primitiva hasta la estación inmediata, a la que llega a los 21 minutos de haber partido. ¿Qué distancia hay entre las dos estaciones?

a) 8 km b) 12 c) 10 d) 11 e) 13

9. Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuan-do yo tenía la edad que tú tienes, y cuando tú tengas la edad que yo tengo, nuestras edades sumarán 63 años. ¿Cuántos años tengo?

a) 21 b) 24 c) 27 d) 28 e) 30

10. La suma de las edades de Cristina y Alonso es 68 años. Al acercarse Lorena, Cristina le dice: "Cuando tú naciste, yo tenía seis años, pero cuando Alonso nació, tenías cuatro años". ¿Cuál es la edad de Lorena?

a) 21 años b) 33 c) 24 d) 20 e) 29

11. Los móviles mostrados se mueven con velo-cidades constantes. ¿Después de qué tiempo "1" distará de "B" lo mismo que "2" dista de "A"?

36 km/h

1200 mA B

1 254 km/h

a) 96 s b) 100 c) 240 d) 60 e) 120

12. Yo tengo el triple de la edad que tú tenías cuan-do yo tenía la edad que tú tienes, y cuando tú tengas 4/3 de la edad que yo tengo, nuestras edades sumarán 72 años. ¿Cuántos años tendré dentro de 12 años?

a) 36 b) 24 c) 28 d) 30 e) 32

13. Una liebre y una tortuga parten simultáneamen-te en un mismo punto. La tortuga recorre en cada minuto 10 m y la liebre, 100 m. Ambas se dirigen hacia un mismo punto, y la liebre llega a la meta, regresa hasta la tortuga, luego va hasta


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la meta y así, sucesivamente, hasta que la tortu-ga llega a la meta. Si la tortuga recorrió 1 km, ¿cuánto recorrió la liebre?

a) 10 km b) 100 c) 1000 d) 1 e) 120

14. Ana María tuvo en el año 1988, tantos años como el producto de las dos últimas cifras del año de su nacimiento. ¿Cuál es la suma de cifras de la edad que tenía en el año 1980?

a) 6 b) 4 c) 5 d) 7 e) 8

15. Dos móviles parten de un mismo punto en sen-tidos opuestos, dirigiéndose respectivamente a "P" y a "Q". Luego de llegar a su destino em-prenden el retorno. ¿A qué distancia de "Q" se vuelven a encontrar?

3 m/s

60 m 140 m

P Q2 m/s

a) 20 m b) 30 c) 15 d) 10 e) 25

16. Rosario le dice a Beatriz: "Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la quinta parte de la edad que tienes; y cuando tú tengas el doble de mi edad, en ese entonces la suma de nuestras edades será de 90 años. ¿Cuál es la edad actual de Beatriz?

a) 25 b) 30 c) 35 d) 40 e) 45

17. Si en el instante mostrado se enciende la vela, ¿qué rapidez posee el extremo de la sombra en la pared si la vela se consume a razón constante de 2 cm/s?

20 m 30 m

Pared

a) 2 cm/s b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

18. Cuando yo tenía la edad que él tiene, tú tenías la tercera parte de la edad que tienes ahora, y cuando yo tenga la edad que tú tienes él tendrá la tercera parte de lo que tú tienes y tú tendrás 4 años más de lo que yo tengo. Entonces, la suma de las edades de los tres es:

a) 15 b) 16 c) 19 d) 18 e) 24

19. Conversando, Rosa y María, esta le decía a aquella: "Dentro de 10 años la suma de nuestras edades será de 57 años", a lo que Rosa respon-de: "Así es, aunque hace tres años la diferencia de nuestras edades era de tres años". ¿Cuántos años tiene actualmente Rosa, si ella es la ma-yor?

a) 12 b) 15 c) 17 d) 20 e) 24

20. Yo tengo el triple de la edad que tú tenías cuan-do yo tenía la edad que tuviste cuando yo tuve la novena parte de la edad que tengo ahora. Si nuestras edades suman 57 años, ¿cuántos años tengo?

a) 27 b) 28 c) 29 d) 30 e) 31

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Problemas resueltos

1. Un quinto de la población de cierto pueblo

vive del cultivo de flores; 41 del resto vive del

cultivo de árboles frutales y los restantes 2100 habitantes trabajan fuera del pueblo. ¿Cuántos habitantes tiene el pueblo en mención?

Resolución Sea: Total de la población: 20 k <> 3500

• Cultivodeflores:4k

• Cultivodeárboles:41 (16k)=4k

• Elresto:12k=2100 4k=700 Rpta.: 3500

2. Un granjero vendió primero los 65 de las aves de su

granja; más tarde, una parte igual a 81 de lo anterior

y le quedan nueve aves. ¿Cuántas aves tuvo?

Resolución

Sea: Total de aves: 48 k <> 144

• Primeraventa:65 (48k)=40k

• Segundaventa:81 (40k)=5k

Finalmente: 3k=9 → k=3 Rpta.: 144

3. De un recipiente que inicialmente estaba lleno, saqué los 5/16 de lo que dejé y luego devolví la cuarta parte de lo que no devolví. ¿Qué frac-ción de lo que hay debería sacar para dejar una cantidad igual a los 3/4 de lo que quedó luego de mi primera extracción?

Resolución Analizando los datos:

• Saqué:5kLuego de devolver, en el depósito quedan 17k

14243Devolvi: k

No devolvi:4k

• Dejé:16k

• Debodejarunacantidadquees43 de 16k

<> 12k • Entonces,de17kdebosacar5k<>5/17 Rpta.: 5/17

4. Se distribuyeron 63 litros de agua en tres depó-sitos por partes iguales. El primero se llena hasta sus 2/5 partes y el segundo, hasta sus 2/7 partes. ¿Qué fracción del tercer depósito se llenará si su capacidad es el doble de la suma de las ca-pacidades de los dos primeros?

Resolución

21=52 ×C1 →C1=

2105

21=72 ×C1 →C1=

2147

21

63

Pero: C3=2(C1+C2)→C3=

2105

2147

+c m.2=252

Piden: De los 252 litros que tiene el tercer de-pósito solo se llenarán 21 litros.

Es decir: 25221

121<>

Rpta.: 121

5. Federico puede hacer una obra en 12 días y Américo puede hacer la misma obra en 10 días. Federico em-pieza la obra durante cuatro días, luego recibe la ayu-da de Américo, terminando juntos la obra. ¿En qué tiempo terminaron la parte que faltaba de la obra?

Resolución

Obra total=60k Federico=5k En 1

día123

Américo=6k Luego:

La parte que falta la harán

enFedericopor 4 días

60K

juntos

k kk

5 640

1140 3

117=

+= =20K 40K

Rpta.: 3117


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1. Si a una fracción propia la convertimos en im-propia invirtiendo sus términos, y sumamos estas fracciones, resultaría el producto de estas dos fracciones, más el resultado de la suma del numerador al cubo y el denominador al cubo de esta fracción. Hallar el producto de la suma de los términos de la fracción con el producto de estos mismos términos.

a) 1 b) 2 c) 3 d) -1 e) -2

2. A cada término de una fracción propia, que son consecutivos, se le añaden dos unidades. Esta nueva fracción excede en 1/12 a la original. Hallar la fracción original.

a) 2/3 b) 1/3 c) 2/5 d) 3/4 e) 5/6

3. Se tiene un recipiente que contiene una mezcla de leche, alcohol y agua en la relación de 3, 4 y 5, respectivamente. Se extraen de la mezcla 2/5; 1/3; 5/7 y 5/12 de lo que iba quedando, resultando el volumen final de leche igual a dos litros. Hallar el volumen inicial de agua.

a) 50 l b) 23 c) 24 d) 56 e) 70

4. Se tiene un recipiente lleno de vino, del cual se extraen 2/5 de su contenido para luego ser reemplazados por agua: De la mezcla resultante se extraen 2/3 para ser reemplazados por agua. Por último se extrae 1/7 de la nueva mezcla. ¿Qué parte del volumen inicial quedará con agua?

a) 12/23 b) 23/34 c) 22/31 d) 24/35 e) 17/18

5. Un tanque puede ser llenado por un primer caño en 3 h, por un segundo caño en 4 h y un desagüe puede desalojar todo su contenido en 12 h. ¿En cuántas horas se llenaría el tanque, si funcionan a la vez los dos caños y se abre el desagüe?

a) 3 b) 1 c) 2 d) 1,5 e) 3,5

6. Se tiene un tonel lleno de 324 l de vino puro. Se saca 1/3 del contenido y se completa con agua. ¿Cuántas veces más se debe repetir esta opera-ción para que al final queden 260 l de agua?

a) 4 b) 3 c) 5 d) 6 e) 7

7. Un albañil y su ayudante pueden hacer una obra en 12 días. Después de haber trabajado juntos durante seis días, se retira el ayudante y el albañil termina lo que falta de la obra en 10 días. ¿En cuántos días puede hacer el ayudante toda la obra trabajando solo?

a) 25 b) 45 c) 20 d) 30 e) 32

8. Del dinero que tenía, gasté 1/2 de lo que no gasté, luego perdí 1/3 de lo que no perdí, en seguida regalé 1/4 de lo que no regalé. ¿Qué parte del total aún me queda?

a) 1/8 b) 1/4 c) 1/3 d) 2/5 e) 2/7

9. "A", "B" y "C" pueden hacer una obra en 4 días, "A" y "B" trabajando juntos, pueden hacerla en 12 días, "B" y "C", en 4 1/2 días. ¿En qué tiempo la haría "A" trabajando solo?

a) 28 días b) 36 c) 30 d) 32 e) 24

10. Pamela hace una obra en ocho días y Marlene hace la misma obra en 10 días. Pamela empieza la obra y dos días después recibe la ayuda de Marlene, terminando juntas la obra. ¿En cuántos días hicieron toda la obra?

a) 5 1/3 b) 5 2/3 c) 4 7/9 d) 6 8/13 e) 5 11/17

11. Un depósito tiene dos dispositivos de desagüe, uno ubicado al fondo que deja vacío el depósi-to en seis horas, mientras que el otro dispositivo se ubica a la mitad de la altura y desocupa lo que le corresponde en cinco horas. Si estando lleno el depósito se abren ambos dispositivos, ¿en cuántas horas quedará vacío el depósito?

a) 4 6/7 b) 3 4/5 c) 4 7/8 d) 5 4/7 e) 6 7/9

12. Tengo un vaso lleno de alcohol. Bebo la sexta parte, luego bebo 1/4 de lo que queda. ¿Qué fracción de lo que queda debo volver a beber para que aún sobren los 3/8 del vaso?

a) 2/3 b) 2/5 c) 1/6 d) 1/3 e) 1/5

13. Manolo tiene cierta suma de dinero que gasta de la siguiente manera: en cinco chocolates, 5/8 de lo que tiene; en tres refrescos; 1/3 de lo que


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queda; y en cuatro galletas 4/9 del resto. Si aún le quedan 10 soles, entonces:I. Por un chocolate, un refresco y una galleta

pagó 14 soles.II. Gastó en total 62 soles.III. No es cierto que después de comprar refres-

cos le quedan 18 soles. Son ciertas:

a) Solo I b) Solo III c) I y II d) II y III e) Solo II

14. Si te pago lo que te debo, me sobraría tanto como me faltaría. Si quisiera pagarle a él lo que le debo, ¿qué fracción del total de mi deuda es lo que yo tengo?

a) 1/3 b) 2/3 c) 1/2 d) 1/4 e) 2/7

15. Se sacaron nueve litros de un barril que estaba lleno de vino, reemplazándolos por agua. Se sacaron nueve litros de la mezcla que fueron sustituidos por agua. La cantidad de vino que quedó en el barril y la de agua están en la rela-ción de 16 a 9. Calcular la capacidad del barril.

a) 50 litros b) 45 c) 40 d) 35 e) 30

16. Una persona demora 80 segundos en llegar al segundo nivel del aeropuerto, subiendo por la escalera mecánica detenida. Si la escalera es-tuviera en movimiento y la persona detenida demorara 48 segundos, ¿cuánto demoraría si caminara sobre la escalera en movimiento?

a) 15 s b) 45 c) 20 d) 30 e) 10

17. De un depósito que contiene vino se vende su contenido de la siguiente manera: se venden los 2/5, luego los 3/7 de lo que quedaba y por último, se venden los 2/3 de lo que quedaba. Si todavía quedan 60 litros. ¿Cuántos litros se vendieron?

a) 215 b) 350 c) 245 d) 345 e) 465

18. Giselle gasta su dinero del modo siguiente: 2/5 de su dinero más tres soles en un pantalón, 3/8 de lo que queda más siete soles en una blusa, y la mitad del resto más un sol en un par de zapatos. ¿Cuánto gastó en la blusa, si al final se quedó con tres soles?

a) S/. 45 b) 16 c) 18 d) 32 e) 19

19. En un depósito se mezclan 30 litros de agua y 50 litros de leche, luego se extraen 16 litros de la mezcla y se la reemplaza por la misma canti-dad de agua. Si de la nueva mezcla se vuelven a extraer 48 litros, ¿cuántos litros de leche salen de esta última extracción?

a) 32 b) 28 c) 25 d) 24 e) 30

20. ¿Cuántos litros de vino hay que agregar a un ba-rril donde hay cinco litros de vino por cada cua-tro litros de agua para que resulte una mezcla de 180 litros, en la que, por cada nueve litros de mezcla haya siete litros de vino?

a) 60 b) 100 c) 70 d) 80 e) 90

Tarea domiciliaria

1. Yo poseo los 53 de una hacienda llamada

"Paraíso". Si vendo 85 de mi parte, ¿cuáles son

correctas?

I. Me quedan 409 de la hacienda.

II. Me quedan los 85 de mi parte.

III. Vendí menos de 41 del total de la hacienda.

a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) I y II e) II y III

2. Se distribuyeron 300 l de gasolina entre tres depósitos, en partes iguales. El primero se llena

hasta sus 53 y el segundo hasta los

43 . ¿Qué

fracción del tercer depósito se llenará si su ca-

pacidad es la suma de las capacidades de los

dos primeros?

a) 31 b)

52 c)

2027

d) 1511 e)

41

3. Se tiene un barril lleno de vino. Se sacan nueve litros y se reemplazan por agua, luego se sacan nueve litros de la nueva mezcla y también se reemplazan por agua. Si finalmente la relación entre la cantidad de vino y agua es como cuatro es a cinco, hallar la capacidad del barril.

a) 21 l b) 24 c) 18 d) 30 e) 27


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4. Si un depósito que está lleno 31 de lo que no

está lleno, se vacía 81 de lo que no se vacía,

¿qué parte del volumen del depósito quedará con líquido?

a) 72 b)

92 c)

71

d) 83 e)

278

5. ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles de denominador 250 existen, tal que su numera-dor sea de tres cifras?

a) 60 b) 45 c) 10 d) 30 e) 70

6. Un tranvía parte con cierto número de pasaje-ros. En el primer paradero deja la tercera parte; en el segundo, suben 65 pasajeros; en el terce-ro, bajan los

53 de lo que lleva; en el cuarto,

suben 50 pasajeros, y en el trayecto al quinto

paradero deja los 83 de los que lleva, llegando a

este con 80 pasajeros. Determinar, con cuántos pasajeros partió.

a) 200 b) 195 c) 300 d) 190 e) 320

7. Tres tuberías "A", "B" y "C" funcionando juntas, pueden llenar la mitad de un tanque en cuatro horas. Si funcionan solo "A" y "B", pueden lle-nar todo el estanque en 10 horas; y si funcionan "B" y "C", lo llenan en 15 horas.

¿En cuántas horas llenará la tercera parte del tanque la tubería "B", si funciona sola?

a) 12 horas b) 8 c) 6 d) 9 e) 3

8. Se tienen dos cajas de fósforos: se usan de la pri-

mera, 83 del total y de la segunda,

72 del total.

Los fósforos usados en la primera son 13 más

que en la segunda, y quedan en la segunda caja

74 de los fósforos que quedan en la primera.

¿Cuántos fósforos tiene cada caja?

a) 56 y 28 b) 19 y 14 c) 28 y 56 d) 14 y 19 e) 30 y 12

9. De un recipiente, se sabe que están vacíos los

32 de lo que no está vacío. Luego se extraen

52

de lo que no se extrae y finalmente no se eli-

mina 41 de lo que se elimina. Si luego de esto

quedaron 15 litros de agua, ¿qué capacidad del

recipiente estuvo vacía al comienzo?

a) 35 l b) 70 c) 10 d) 175 e) 75

10. Un obrero puede hacer una obra en nueve días; luego de cuatro días recibe un ayudante, terminan-do la obra en dos días. El ayudante, trabajando solo, ¿cuántos días emplearía en hacer la obra?

a) 5 b) 6 c) 8 d) 12 e) 18

11. Una persona demora 90 s en llegar al segundo nivel del aeropuerto, subiendo por la escalera mecánica detenida. Si la escalera estuviera en movimiento y la persona detenida demorara 60 s, ¿cuánto demoraría si caminara sobre la es-calera en movimiento?

a) 75 s b) 45 c) 20 d) 30 e) 36

12. Dos albañiles pueden construir un muro en 20 días; pero trabajando por separado, uno tardaría nueve días más que el otro. ¿Qué tiempo tarda-rá este otro?

a) 36 días b) 40 c) 45 d) 48 e) 54

13. Un galón de pintura rinde para 30 m2. Si con

los 52 de los

43 de ocho galones se han pintado

los 32 de los

54 de una pared, ¿cuál es la super-

ficie de dicha pared?

a) 720 m2 b) 270 c) 135 d) 13,5 e) 15,5

14. En un corral, la relación entre el número de po-llos y el número de gallinas es como tres es a cinco respectivamente. Si se muere

31 del nú-

mero de aves, del cual 32 son pollos y el resto

gallinas, ¿cuál sería la nueva relación entre el número de pollos y gallinas?

a) 2919 b)

1929 c)

2113

d) 133 e)

3711

15. He gastado los 5/8 de mi dinero. Si en lugar de gastar los 5/8 hubiera gastado los 2/5 de mi di-nero, tendría ahora S/. 72 más de lo que tengo. ¿Cuánto no gasté?

a) S/. 100 b) 10 c) 120 d) 125 e) 130

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16. El caño “A” llena un depósito en 6 horas y el desagüe “B” ubicado a la mitad de la altura del depósito saca la parte que le corresponde en 8 horas. ¿En cuántas horas quedará lleno dicho depósito si se abren ambos caños a la vez?

a) 4 b) 5,2 c) 2 d) 3,4 e) 7,8

17. Si sabemos que “A” y “B” pueden hacer una obra en 20 días, “B” y “C” pueden hacer la mis-ma obra en 15 días y además “A” y “C” hacen la misma obra en 12 días. ¿en cuántos días harán la obra “A”, “B” y “C” juntos?

a) 5 b) 10 c) 14 d) 16 e) 20

18. Beatriz hace un trabajo en 20 días y Manuel hace el mismo trabajo en 60 días. Después de trabajar juntos durante cinco días se retira Bea-triz. ¿En cuántos días terminará Manuel la parte que le falta?

a) 40 b) 20 c) 15 d) 30 e) 25

19. De un recipiente que contiene alcohol puro, se extrae 3/8 y se reemplaza por agua, luego se extrae 4/5 y también se reemplaza por agua, fi-nalmente se extrae 1/4 de la nueva mezcla y se reemplaza por agua. ¿En qué relación están al final el alcohol y el agua?

a) 3/29 b) 4/11 c) 3/17 d) 5/29 e) 13/27

20. De un frasco lleno de alcohol se extrae un cuar-to de su contenido y se reemplaza con agua. Luego se extrae 3/4 de la mezcla y se llena con agua pero sólo hasta los 2/3 de su capacidad. ¿En qué relación se encuentran el alcohol y el agua al final?

a) 9/25 b) 8/23 c) 13/23 d) 9/23 e) 14/31

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Problemas resueltos

1. En una granja, el 30% de patos es el 20% del número de pavos. ¿Cuánto por ciento del 80% del total es el número de patos?

Resolución

3 patos=2 pavosPato=2kPavo=3k Rpta.: 50%

2. Si el área de una esfera aumenta 21%, ¿en qué porcentaje varía su volumen?

Resolución

Sin considerar las constantes, se tendría

AF=121%AI

RF2=121%RI

2

VF=(110%RI)3 VF=133,1%RI

3

VF=+33,1%VI

Rpta.: Se incrementa 33,1%

3. Si "S" es el 150% de "T", ¿cuánto por ciento de "T" es (S+T)?

Resolución

Del dato: S= 23 T

Piden:X×T=(S+T) →X=T

S T+c m×100%

→X=250%

Rpta.: 250

4. De la mesa de un laboratorio se toma un reci-piente que contiene 40 litros de alcohol al 10% y se vierte todo el contenido en un segundo re-cipiente que contenía 10 l de alcohol al 20%. Si luego se agregaron 38 litros de alcohol puro, ¿cuánto tanto por ciento de la mezcla final no es alcohol puro?

Resolución

Rpta.: 50%

5. Si yo tuviera 20% más de lo que tengo, lo que tendría y lo que tú tienes estarían en la relación de seis a dos. ¿Cuánto por ciento más de lo que tienes es lo que yo tengo?

Resolución

Yo: 5k → si tuviera, 20% más=6k Tú: 2k

Rpta.: 150%

2k → 100%5k → ??=250%

Piden:

x.80%(5k)=2k

x=50%

→ Se demuestra que el radio final (RF) se incrementa en 10% respecto al radio ini-cial (RI).

36 litros4 litros

8 litros2 litros

Agua → Agua →

Agua: 36+8=44

Alcohol → Alcohol →

Alcohol:4+2+38=44

Se observa que el agua y el alcohol tienen la misma

cantidad de litros.

• 40litrosdeal-cohol al 10%

• 10litrosdeal-cohol al 20%

Mezcla final

Yo tengo 150% más que tú.

Ciclo UNI140



Ciclo UNI140




1. Si de 80 alumnos, 20 son hombres, ¿qué por-centaje de las mujeres representan estos?

a) 16% b) 75% c) 33,3!

%

d) 19% e) 66,6!

%

2. ¿Cuánto por ciento menos es 100 de 125?

a) 20%↓ b) 16%↑ c) 18%↑ d) 19%↓ e) 17%↓

3. El largo de un rectángulo "A" es 10% mayor que el lado del cuadrado "B". El ancho del rectán-gulo es 10% menor que el lado del cuadrado. Entonces, la razón A/B de las áreas es :

a) 1 b) 5 c) 2/5 d) 17/19 e) 99/100

4. Al aumentar el precio de la entrada a un espec-táculo en 10%, la asistencia disminuyó en 10%. ¿Qué sucedió con la recaudación?

a) 10% ↑ b) 1% ↑ c) 1%↓

d) 17,6!

% ↓ e) 2% ↑

5. El 10% de la suma de las edades de dos com-pañeros equivale al 70% de la diferencia de dichas edades. ¿Qué porcentaje de la edad del mayor es la edad del menor?

a) 30% b) 31% c) 70% d) 75% e) 76%

6. En las elecciones municipales se observó que el 54% de los varones votaron por el partido "A" y el 78% de las mujeres no votaron por dicho partido. Si acudieron a votar tantos hombres como mujeres, ¿qué porcentaje de la votación alcanzó el partido "A"?

a) 38% b) 44% c) 57% d) 99% e) 1%

7. Pedro es un futbolista que ha disparado 17 penales, acertando todos ellos. ¿Cuántos más debe ejecutar (fallando todos ellos), para tener una eficiencia del 85%?

a) 3 b) 4 c) 5 d) 7 e) 10

8. En una jaula hay 12 gallos que representan el 40% del total, el resto son gallinas. ¿Cuántas ga-

llinas se deben retirar para que el porcentaje de gallinas resultante sea el que antes correspondía a los gallos?

a) 20 b) 30 c) 10 d) 40 e) 50

9. En una asamblea se discuten dos propuestas "A" y "B". El 40% de los asistentes está en favor de "A" y el resto en favor de "B". Si el 25% de "A" abando-nan la asamblea y el 25% de los que apoyan a "B" deciden cambiar de opinión, calcular, del nuevo total, el porcentaje que favorece a "A".

a) 45% b) 90% c) 50% d) 75% e) 65%

10. ¿A qué aumento o descuento único equivalen tres descuentos sucesivos del 50%, 40% y 50%, seguidos de dos aumentos también sucesivos del 120% y 150%?

a) 19,3% ↓ b) 17,5% ↓ c) 79,4%↓ d) 16%↑ e) 19,78%↑

11. Si el lado de un cuadrado aumenta en un 30%, ¿en qué porcentaje aumenta su área?

a) 10% b) 15% c) 30% d) 69% e) 90%

12. Si el largo de un rectángulo aumenta en 50% y su ancho disminuye en 50%, ¿en cuánto por ciento varía su área?

a) 16%↑ b) 16%↓ c) 25%↑ d) 25%↓ e) 17%↑

13. Dada la expresión:

E = R

A B KM10

32 ≠

¿Cuál sería su variación porcentual si "A" au-mentase en 10% y "B" disminuye en 19%?

a) 8,9%↑ b) 10,2%↑ c) 11%↑ d) 20%↑ e) 21%↑

14. Una secretaria quiere comprar un equipo de so-nido que cuesta S/. 950. El vendedor le comu-nica que se le harán tres descuentos sucesivos del 10%, 20% y 25%. Como su sueldo no le al-canzaba en ese momento, solicitó un aumento al jefe, el cual le fue otorgado. Se le hicieron tres aumentos sucesivos del 10%, 20% y 25%, pero aun así le faltaron S/. 18 para la compra. ¿Cuál era el sueldo de la secretaria antes del aumento?

a) S/. 300 b) 513 c) 650 d) 250 e) 750


Ciclo UNI140



Ciclo UNI140



15. De un recipiente retiro el 25% de lo que no re-tiro, y de lo que he retirado devuelvo el 25% de lo que no devuelvo, quedando ahora 84 litros en el recipiente. ¿Cuántos litros no devolví?

a) 26 l b) 18 c) 16 d) 56 e) 54

16. El precio de un artículo aumenta en p%. Después, el nuevo precio disminuye en p%. Si el último precio era de S/. 1, el precio original era de:

a) p10001 2- b) 1 p

1000

2-

c) p

p10000

12

2

-- d)

p1000010000

2-

e) p 11002 -

17. "A" encarga vender un objeto a "B" y este a su vez, a "C", quien hace la venta y se queda con un 20 por mil; "B" recibe el resto, pero retiene el 10 por 200 de lo que le dio "C" y entrega el saldo de 1862 soles a "A". ¿En cuánto se vendió el objeto?

a) S/.1900 b) 2200 c) 1980 d) 2000 e) 2020

18. Al escribir en una pizarra se consume el 80% de cada tiza y con lo que queda se vuelve a fabri-car tizas. En este proceso se pierde el 5% de la materia prima. Hallar el número de tizas que se pueden fabricar con los residuos de una caja de 13 000 tizas.

a) 1357 b) 2470 c) 2333 d) 4512 e) 2782

19. Si el volumen inicial de un cubo aumentó en 72,8%, ¿en qué porcentaje aumentó su área to-tal?

a) 72% b) 40% c) 48% d) 44% e) 45%

20. A inicios de 1985, una población tenía 10 000 habitantes; el consumo de agua por persona por hora, era de 10 litros. La población crecía a un ritmo de 20% anual. Determinar el lado de la base cuadrada de un reservorio de 4 m de altura capaz de satisfacer la demanda diaria de la po-blación al inicio de 1989.

a) 7 b) 8 c) 25 d) 35 e) 36

Tarea domiciliaria

1. El peso de un ladrillo es 20 gramos, ¿cuánto pe-sará otro ladrillo del mismo material, pero con sus dimensiones aumentadas en 50%?

a) 72,5 g b) 62,5 c) 89,5 d) 58,7 e) 67,5

2. Si el área del triángulo equilátero AED aumenta en 96%, entonces el lado del cuadrado ABCD aumenta en:

B

A

CE

D

a) 20% b) 40% c) 70% d) 96% e) 4%

3. En un recipiente se tienen 80 litros de una mez-cla al 40% de alcohol. Se extrae el 25% de ella y se añade sobre otra mezcla de 30 litros al 60% de alcohol. ¿Cuál es la concentración de la mezcla final?

a) 55% b) 52% c) 50% d) 48% e) 15%

4. En la expresión: M=x2y, si "x" disminuyera en un 20% e "y" aumentara en un 30%, ¿en qué porcen-taje aproximadamente variaría la expresión "M"?

a) 17% b) 20% c) 30% d) 27% e) 15%

5. Janet vendió dos televisores en S/. 1500 cada uno. En el primero ganó el 25% y en el segundo perdió el 25%. ¿En este negocio ganó o perdió y cuánto?

a) No gana ni pierde b) Perdió S/. 200c) Ganó S/. 200 d) Ganó S/. 300e) Perdió S/. 300

6. Si el lado de un cuadrado se reduce a la mitad, ¿en qué porcentaje disminuye su área?

a) 25% b) 75% c) 80% d) 5% e) 30%

Ciclo UNI142



Ciclo UNI142



7. Un autobús tiene 70 pasajeros, de los cuales el 70% están sentados. De las mujeres, están sen-tadas el 80% y de los hombres, están sentados únicamente el 10%. ¿Cuántos hombres viajan en el autobús?

a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 12

8. El área de una superficie esférica disminuye en 19%. ¿En qué porcentaje disminuirá su volu-men?

a) 27% b) 27,1% c) 27,2% d) 27,3% e) 28,3%

9. En la Universidad de San Marcos hay 10 500 alumnos, de los cuales el 30% son mujeres y el resto, hombres. Si el número de mujeres au-menta en 20% y el número de hombres aumen-ta en 40%, ¿en qué porcentaje aumentara el to-tal de alumnos?

a) 44% b) 30% c) 24% d) 27,3% e) 34%

10. Una persona consigue en la compra de una tela, un primer descuento del 20% y sobre el precio rebajado, otro descuento del 30%. Si al final pagó S/. 3360, ¿cuál era el precio original?

a) S/. 5040 b) 6000 c) 5000 d) 6720 e) 8000

11. Un litro de mezcla formado por 25% de agua y 75% de alcohol pesa 900 g. Sabiendo que el litro de agua pesa 1 kg, averiguar el peso de un litro de mezcla de 25% de alcohol y el resto, agua.

a) 694,4!

g b) 964,6!

c) 966,6!

d) 968,6!

e) 969,6!

12. ¿En qué porcentaje aumenta el volumen de un cilindro cuando la altura se reduce en 25% y su radio aumenta en 20%?

a) 6% b) 16% c) 8% d) 12% e) 18%

13. Si la base de un triángulo disminuye 20%, ¿en qué porcentaje debe aumentar la altura para que el área no varíe?

a) 20% b) 30% c) 40% d) 25% e) 35%

14. En una industria se han fabricado 1000 produc-tos; el 60% de ellos han sido fabricados por la

máquina "A" y el resto, por la máquina "B". Si se sabe que el 5% de lo fabricado por A y el 4% por "B" son productos defectuosos, ¿cuántos de estos hay en los 1000 productos?

a) 48 b) 50 c) 12 d) 46 e) 34

15. Un depósito cilíndrico se desea cambiar por otro de la misma forma, pero con una base cuya circunferencia es 50% mayor en longitud. ¿En cuánto tanto por ciento se incrementará el volu-men del nuevo cilindro respecto al primero?

a) 125% b) 175% c) 150% d) 225% e) 50%

16. Una industria redujo en 5% el precio de venta de los artículos que produce. ¿En qué porcen-taje debieron aumentar sus ingresos, si esta po-lítica produjo un incremento en las ventas del 20%?

a) 11% b) 12% c) 13% d) 14% e) 15%

17. ¿Cuál debe ser la pureza del alcohol que debe añadirse a 80 litros de alcohol al 96% de pu-reza, para obtener un hectolitro de alcohol de 80% de pureza?

a) 12% b) 20% c) 16% d) 10% e) 26%

18. En la venta de un reloj gané tanto como rebajé, que es el 20% de lo que me costó. ¿Cuánto pen-saba ganar sin rebajar, si me costó 60 soles más de lo que gané?

a) S/.30 b) 42 c) 35 d) 25 e) 36

19. Un químico tiene "m" onzas de agua salada al m% de sal. ¿Cuántas onzas de sal deben agre-garse para obtener una solución que tenga 2m% de sal?

a) m

m2 100

2

- b)

mm

2 1002

+ c)

mm

1002 2

-

d) m

m100 2

2 2

- e)

mm

100 2

2

-

20. Si se incrementa en un 60% la profundidad de una piscina circular, ¿cuál sería el porcentaje en que hay que aumentar el radio de la piscina para que su volumen aumente en 150%?

a) 28% b) 24% c) 26% d) 25% e) 27%

Ciclo UNI142



Ciclo UNI142



Problemas resueltos

1. Si: P(x2+1)=x4+1, hallar el equivalente redu-cido de: Q=P(x3 - 1) - P(x3+2).

Resolución

Analizando: x2+1 -1;( )2;+1 x4+1 Aplicando:

P(x3 - 1)=(x3 - 1 - 1)2+1=x6 - 4x3+5

P(x3 +2)=(x3 +2 - 1)2+1=x6+2x3+2Finalmente: Q= -6x3+3

Rpta.: -6x3+3

2. Se define: a%b=a ba b

-+

Si: 3%5=m; y además, se cumple que: m%(-5)=p; entonces:

a) m - p=9 b) mp= -45 c) m%p= -13/5 d) m+p=1 e) m/p=5/4

Resolución

Considerando la información:

• 3%5=m→m= -4 • m%(-5)=p→(-4)%(-5)=p → p=-9 se cumple: m%p= -13/5

Rpta.: C

3. Si:

x -1 x +2=9x ; =3x

Calcular:

3

Resolución

• x +2 =3x

x3 ; -6

Entonces •

Rpta.: 14

4. Se define en IR la siguiente operación:

t =

0 ; t<a

123

1 ; t ≥aa

Determinar para t∈[5,7] el valor de:

E=3+4 t2 - 2 t

5+7 t

8

Resolución

Analizando:

E=3+4 t2 - 2 t

5+7 t

8

E=3+4(1) - 2(1)+7(0)

E=3+4 - 2=5

Rpta.: 5

5. Para a,b ∈ Z+ se define la operación:

a9b=ab+1

Si: → x, w ∈Z+

Además: x9w=16 ¿Cuál es el valor o valores que podría tener "w"?

Resolución

Del dato:

x9w=16

xw+1=16

xw+1=42

xw+1=24 w=3

w=1→

→

Rpta.: 1 y 3

x -1 =3x + 2

x3; +5

=14 =

x3;-6Luego:

x3;+5

3 3

Aplicando

x -1 -6=9x 3

x3 - 6=9x

Ciclo UNI144



Ciclo UNI144




1. Si : r1 = 3 y además:

rn+1=rn+103

n; n εN.

Hallar: r10 - r8.

a) 0,0000003 b) 0,00000033 c) 0,000003 d) 0,000000033 e) 0,00000003

2. Se define la operación: (x+y - 3)*m=2(x+y)+3m, para cualquier valor

de "x", "m" e "y". ¿A qué equivale: (x + y + m)*(x + y - m)?

a) 5x+5y-m+6 b) 5x+11 c) 5m-11 d) 5x+5y+6 e) 5x+5y+m-6

3. Se define una operación matemática mediante el operador matemático * como el doble del producto de sus términos, multiplicado por el inverso multiplicativo de la suma de estos. Ha-llar “A”.

A=31

21 1

31* * *; ;E E

a) 2/3 b) 3/2 c) 9/4 d) 4/9 e) 2/7

4. Dada la expresión:

x2 +1 =3x+x2 ; x∈ZZ+

Hallar: A4 + A8 +1

Donde:

Ak= ...1 2 3 4" "k sumandos

+ + + +1 2 34444 4444

a) 180 b) 108 c) 801 d) 901 e) 100

5. Si: a*b = ( * )b a5

2

Calcular: 2 * 3.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

6. Si:

a - 1 = ( )a a

21-

Calcular "x" en:

3x+2 = 55

a) 3/2 b) 2/5 c) 1/3 d) 2/3 e) 2/4

7. Si: N =2N+6 ; ∀N∈ZZ+

Además: x2 - 6 = 66

Calcular: 2x

a) 26 b) 38 c) 44 d) 18 e) 28

8. Se define el operador " " como :

a - 2 =a2 - 2a

Hallar “x”, además:

2x+5

+1 = 108

a) 3 b) 2 c) –2 d) –3 e) 0

9. Se define:

a * b = ( * )a b a

Calcular: 16 * 2

a) 8 b) 9 c) 10 d) 2 e) 3

10. Si: P M =N↔ MN=P

Calcular el valor de “x” en:

3x-1 3x+1y = a ; y = 2a

a) 2 b) 4 c) 3 d) 1 e) Cero

11. Dado: P(2a + b, a - 2b) = a2 + b2 Calcular el valor de:

P( ,5 3 5 3+ - )

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


Ciclo UNI144



Ciclo UNI144



12. Dado: %(n+2) = n x %(n) Además: %2 = 2 Calcular: %2002

a) 21001 x 1001! b) 22002 x 2002!c) 22002 x 1001! d) 2200!e) 21001 x 1000!

13. Sabiendo que:

x

x

=x2 - 1

=x(x+2)

Calcular: 3 + 2

a) 4 b) 7 c) 3 d) 2 e) 1

14. Para un entero “x”, x > 0 se define:

x =2x+5 ; x =x2+2

Hallar el valor de “a” en: a =a

a) 1 b) 2 c) 3 d) –1 e) 1/2

15. Si: fn= (-1)n + 1 An = f1 + f2 + f3 + …….+ fn Calcular: M = A100 – A99

a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 4

16. Si:

= 5a; a*b>0;

= a2+1

a*b

a+2

Calcular: 13 * 29

a) 8 b) 9 c) 10 d) 13 e) 29

17. Si: =a+ba2* b3

n+1 = 3n. Calcular: 4 * 4.

a) 16 b) 66 c) 21 d) 24 e) 23

18. Si: f(x2 - 3x + 2) = x2 + 3x + 2; donde: x > 0; calcular “x” en: f(f(f(x + 22))) = 420

a) 106 b) 108 c) 110 d) 112 e) 114

19. Si se sabe que: 24 * 15 = 3 49 * 26 = 24 18 * 23 = 2

a5*3b=8

Calcular : **

ba aabb ab ; si: a≠b.

a) 6/7 b) 4/7 c) 2/7 d) 9/7 e) 1/7

20. Si: f(n) = n – n + n – n + n – ... Calcular: f(2)

a) 0 b) 2 c) 1 d) 3 e) Absurdo

Tarea domiciliaria

1. Si sabemos que: m@n=n(n@m) - m Calcular: E=6@5

a) 30 b) 29 c) 31/29 d) 29/31 e) 31

2. Si:

a =a × a - 1

a

a a a-1 -1 -1× ×

Hallar: A=

a) 1 b) a2 c) a! d) a e) (a - 1)!

3. Se sabe que: (m*n)º=4m; m*n>0, además: (m+1)º=m2+4 Calcular: E=10*80

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

4. Si se sabe que f(x+4)=2x2+6 Calcular: f(3x+2)

a) 18x2 - 24x+14 b) 18x2 - 24x+8c) 18x2+24x+14 d) 18x2+24x+8e) 18x2+24x - 8

5. Si: (2x2 - 5x)=2x+x3; ∀"x"∈ Z Hallar: M ((-3))

a) 24 b) 35 c) 37 d) 40 e) 45

Ciclo UNI146



6. Si x*y=x - y+2(y*x), hallar: 12*3

a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 9

7. Si: [ xb ]=b.xb-1

f(x+1)=[x2]+3[x3]+f(x); además: f(4)=2 Calcular: f(2)

a) -85 b) -105 c) -120 d) -40 e) -125

8. Se define la operación: (a - 3)*b=2a+3b Para cualquier valor de "a" y "b". ¿A qué equivale (a+b)*(a - b)?

a) 5a - b+6 b) 5a+6 c) 5a+11 d) 5a+b - 6 e) 5a - 11

9. Se define: ax a=x2+1 Calcular el valor de: 2 244 4 4

a) 601/750 b) 501/576 c) 601/576 d) 576/601 e) 576/567

10. Si definimos:

f x4

2 32+c m=6x2+5 Hallar: f(x)

a) 3x-4 b) 12x-3 c) 4(3x-1) d) 3x-5 e) 4(4x-3)

11. Si:

2x+3 x-1 +x2 - 2x+7=

Calcular: 3

Sabiendo que: -5 =3

a) 10 b) 21 c) 20 d) 34 e) 40

12. Si: x x-2= 2 +1, además: 1 = 2

Calcular: 7 9+M=

a) 70 b) 55 c) 35 d) 60 e) 50

13. Se definen las siguientes operaciones:

2x+1 x+2 +x+1=2

x33x-1 +x2+1=3

4x-13x+2 -x+5=4

a) 7 b) 23/30 c) -30/31 d) -32/23 e) 23/32

14. Sabiendo que:5 2 4 63 4 8 126 7 11 159 10 14 18

Hallar: B=845100

a) 250 b) 271 c) 281 d) 354 e) 324

15. Se cumplen las siguientes condiciones, según el gráfico adjunto:

1*4=4*1=6

2*5=5*2=7

3*6=6*3=1

Calcular: R=(7*3)*1

a) 4 b) 1 c) 2 d) 7 e) 3

16. Si: x+1 =x(x - 1); x∈N

Ademas:

x2- 5 =20

Calcular: 2x -1

a) 19 b) 12 c) 18 d) 15 e) 13

17. Se sabe que: *(1)=11, Además: *(t+1)=*(t)+2t+3, siendo t ∈ Z Hallar: *(0)+*(3)

a) 25 b) 38 c) 29 d) 30 e) 31

18. El operador "θ" es definido en el conjunto "z":

( ) ( ) :( ( )); :

n n si nn si n3 100

5 1001

$=

+θ

θ θ-

)

Hallar: θ(87)÷θ(83)

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

19. Si:

ax bax b

-+

bax=

Calcular:

2Q= 4 6 2n× × × ... ×

a) 2n2 - 1 b) n2 - 1 c) 2n - 1 d) 2n+1 e) 2n

2

34

5

6

71

Hallar: 7


Ciclo UNI146



20. Conviniendo en que ( a ; b ),( c ; d ) representan elementos arbitrarios de R2, definimos las ope-raciones y como sigue:

( a ; b ) ( c ; d ) = ( a+c ; d-b )

M ( a ; b ) = ( Mb; Ma ) , M R

Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones

I. Existe un ( a; -b ) satisfaciendo la igualdad ( a ; b ) ( 0 ; 0 ) = ( a ; -b )

II. Existe un ( b ; a ) satisfaciendo la igualdad

1 ( a ; b ) = ( b ; a )

III. 2 [ (1 ; 2 ) ( 3 ; 4 ) ] = ( 4 ; 8 )

a) V V F b) V F V c) F V V d) V V V e) F F F

Ciclo UNI148



Ciclo UNI148



PRINCIPALeS PROPIedAdeS de UNA OPeRACIóN MATeMÁTICA:

Se define en el conjunto "A" una operación representada mediante el operador *. Estudiaremos las siguientes propiedades:

I. CLAUSURA

∀a ∧ b ∈A →a*b ∈A

Se toma un par de elementos del conjunto "A" y se realiza con ellos la operación definida, si el resultado de dicha operación pertenece al con-junto "A", entonces se dice que la operación cumple la propiedad de clausura o también que la operación es cerrada en el conjunto "A".

Ejemplo:

Se define en "N" la siguiente operación:

a * b = 2 a + b2

¿Cumple con la propiedad de clausura?

en tablas:

a) Se define en el conjunto:

A = {a,b,c,d}

* a b c da d a b cb a b c dc b c d ad c d a b


b) Se define en el conjunto:

A = {a,b,c,d}

* a b c da d b c db b c d ec c d a bd e a b c


II. CONMUTATIVA

∀a ∧b ∈ A →a*b=b*a

El orden de los elementos en la operación no altera el resultado.

Ejemplo:

En "N" se define la adición:

5 + 8 = 8 + 5

La adición es conmutativa en "N".

En "R" se define: a * b = a + b – ab

¿Es conmutativa? ................................

en tablas:

a) ¿La siguiente operación en tablas es conmu-tativa? ............................

* a b c da a b c db b c d ac c d a bd d a b c

b) Se define en el conjunto M={1; 3; 5; 7} la siguiente tabla:

* 1 3 5 73 7 1 3 57 3 5 7 11 5 7 1 35 1 3 5 7

¿Es conmutativa la operación?

Resolución:

Ordenando la tabla:

*


Ciclo UNI148



Ciclo UNI148




1. La operación * está definida mediante la tabla adjunta; el resultado de efectuar la operación: (a * b) es:

* a b ca a b cb b a cc c c a

a) a b) b c) c d) d e) a * c

2. En la siguiente tabla se define el operador *.

* 1 3 5 7

2 3 1 -1 -3

4 7 5 3 1

6 11 9 7 5

8 15 13 11 9

Calcular: *

( * ) *4 3

12 11 1 13+6 @

a) 6 b) 4 c) 3 d) 5 e) 8

III. eLeMeNTO NeUTRO (e)

∃!e ∈A / ∀a ∈ A →a*e=e*a=a

• Enlaadición,elelementoneutroeselcero(0):

a + 0 = 0 + a = a

• En lamultiplicación,elelementoneutroesel (uno):

a×1 = 1×a = a

Ejemplos:

1. Se define en "R": a*b = 3 a x b4

Hallar el elemento neutro.

Solución:

.................................................................... ....................................................................

2. Se define en "R": a * b = a + b + 3

Hallar el elemento neutro.

Solución:

.................................................................... ....................................................................

en tablas:

Definimos en: A = {1;2;3;4} la siguiente tabla. Hallar el elemento neutro:

* 1 2 3 4 1 3 4 1 22 4 1 2 33 1 2 3 44 2 3 4 1

→ e = .................

IV. eLeMeNTO INVeRSO (a-1)

Dado:∀a∈A, ∃a-1∈A/a*a-1=a-1*a=e

Observación: "a-1" se lee "elemento inverso de "a".

Ejemplo : - Se define en "R": a * b = a + b – 2 Calcular: 3–1 ; 4–1; 6–1

Importante:1. Se verifica que la operación sea conmutativa.2. Se busca el elemento neutro "e".3. Aplicamos teoría de elemento inverso.

en tablas

En la siguiente tabla :

* 1 3 5 71 3 5 7 13 5 7 1 35 7 1 3 57 1 3 5 7

Hallar: E = ( 3 * 5–1 ) * ( 1–1 * 7)–1

Resolución: ....................................................................

....................................................................

Ciclo UNI150



Ciclo UNI150



Son ciertas:

I. 16 * 1 = 5 I. El elemento neutro es cero. II. El operador * no es asociativo. III. El operador * es conmutativo.

a) Solo I b) III, IV c) II, III d) Solo IV e) Todas

7. En el conjunto de los números reales "R", se define el operador # según: a # b = 0. ¿Qué propiedad verifica #?

a) La operación # no es asociativa. b) La operación # no es conmutativa. c) Existe elemento neutro. d) No existe elemento neutro. e) Para cada elemento existe su inverso.

8. Si: a * b = a – b + 5 Calcular: (3 –1 * 5 –1) * 6 –1

a) 28299 b)

31298 c)

31299

d) 30299 e)

29298

9. Definida la operación: m * n = m – 3 + n, en el conjunto de los números reales "R", calcular:

L = (1-1 * 2) * 3-1

(a–1 : elemento inverso de "a")

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0

10. Dada la operación: a # b = a + b + 6, en el conjunto "R", hallar el elemento inverso de 4.

a) -8 b) -12 c) -16 d) -10 e) 9

11. En el conjunto de los números racionales "Q", se define: a @ b= 3ab. El elemento neutro de @ es:

a) 1 b) 1/2 c) 1/3 d) 1/4 e) 1/5

12. Se define la operación (*) en el conjunto: A = {m,n,p}

* m n pm m n pn n p mp p m n

Calcular "x" en:

(m –1 * p –1 ) * ( n –1 * x )=m –1

Siendo m-1 = elemento inverso de "m"

a) p b) n c) m d) "p" o "m" e) "m" o "n"

3. Con los dígitos: 1; 2; 3; 4 se define la operación (*), como:

a*b = a b2+

Obteniéndose el cuadrado adjunto, que debe completarse. Se afirma, entonces, que los nú-meros de las líneas horizontales deben colocar-se en los espacios vacíos.

* 1 2 3 41 1 2 2,52 2 33 2 3 3,54 3 4

I. Primera línea: 0,5 II. Segunda línea: 1,5 y 2,5 III. Tercera línea: 1,5 IV. Cuarta línea: 2,5 y 3,5 De estas afirmaciones, son verdaderas:

a) I y IV b) Solo II c) II y IV d) I y III e) Ninguna

4. Si:* 0 1 2 30 0 1 2 31 1 3 0 22 2 0 3 13 3 2 1 0

Hallar “x”: (1*x) * (3*0)=(2*2)*1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 0 e) 3 ó 2

5. Se define el operador # en el conjunto: A ={m,n,r,s} de acuerdo con la tabla adjunta:

# m n r sm r s m nn s m n rr m n r ss n r s m

I. El operador # representa a una operación que cumple con una ley de composición interna.

II. El operador # representa a una operación que cumple con la propiedad conmutativa.

III. El elemento neutro respecto a # es (s).IV. El inverso de (s) es m.

Son ciertas:

a) Solo I b) I, III c) I, II d) Solo IV e) Todas

6. En el conjunto de los números reales "R", se de-fine * mediante: a * b= a + b + 1.


Ciclo UNI150



Ciclo UNI150



13. En el conjunto A={1; 2; 3; 4} se define la opera-ción representada por "*" mediante la siguiente tabla:

* 3 1 4 24 3 1 4 21 2 4 1 32 1 3 2 43 4 2 3 1

• Calcular:"x" [3 * (x * 4)] *1 = (4*2) * (3* 1)• Determinarsilaoperación es cerrada.• Determinarsilaoperaciónesconmutativa.• Hallar,siesqueexisten,elelementoneutro.

y el elemento inverso de cada elemento.

• Calcular:A=3–1*2–1

4–1*1–1

14. En: A = {1; 2; 3; 4} se define la operación "%" mediante la tabla adjunta:

% 1 2 3 41 4 3 2 12 3 4 1 23 2 1 4 34 1 2 3 4

Indicar la afirmación falsa:a) Existe un elemento neutro para cada operación.b) La operación es conmutativa.c) Todo elemento de "A" tiene un inverso respecto

de "%".d) Si (4 % 1) % x = 3, entonces: x = 2e) (2 % 3) % (3 % (4 % 1)) = 4

15. Se definen las operaciones “∆”, “∇” en el con-junto "Z".

∇ 1 2 3 4

1 0 -1 -2 -3 2 7 6 5 4

3 26 25 24 23

4

63

62

61

60

∆ 5 6 7 5 23 28 33 6 28 34 40 7 33 40 47

Calcular: (10∆3)(10∇250)

a) 20 000 b) 21 000 c) 21 100 d) 20 100 e) 2 100

16. El operador * está definido mediante la siguien-te tabla:

* 1 2 3 41 1 2 3 42 2 3 4 13 3 4 1 24 4 1 2 3

Hallar el valor de "x" en: [(2-1 # 3)-1 # x] # [(4-1 #2) # 3]-1 = 3Siendo: x-1 elemento inverso de "x"

a) 3 b) 4 c) 2 d) 1 e) 1 o 2

17. Se define en: A = {1; 2; 3; 4}.

* 1 2 3 41 1 2 3 42 2 4 1 33 3 1 4 24 4 3 2 1

Calcular "x" en: [(2-1*3)-1*x-1]*[(4-1*2)*4]-1=2Siendo: x-1 elemento inverso de “x”

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Cero

18. Definimos la operación (*) mediante: Nota: a-1. elemento inverso de “a”.

* p n m

p m p n

n p n m

m n m p

Calcular : E= ( * ) * ( * )m p n m1 1 1- - -6 @ a) m b) n c) p d) "m" y "n" e) "p" y "n"

19. En el conjunto: B={0; 1; 2; 3; 4}, se define el operador "*" mediante la tabla adjunta:

* 0 1 2 30 0 p 2 31 1 2 3 02 2 3 0 13 3 q r 3

Sabiendo que *representa a una operación con-mutativa, es conmutativo, calcular:

L = p-1 + 1-1 + q-1

Siendo: p-1 elemento inverso de "p"

a) 1 b) 2 c) 6 d) 4 e) 5

20. En "R", se define la operación: m & n = 2mn. Entonces:

I. La operación es cerrada. II. La operación es conmutativa. III. El elemento neutro es 1. Son ciertas :

a) Solo I b) Solo II c) I, II d) II,III e) Todas

Ciclo UNI152



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Tarea domiciliaria

1. En el conjunto de los números reales "R", se de-fine el operador # según: a#b=0.

¿Qué propiedad no verifica #?

a) La operación # es asociativa. b) La operación # es conmutativa. c) Existe elemento neutro. d) No existe elemento neutro. e) Para cada elemento no existe su inverso.

2. En el conjunto Q={1; 3; 5; 7} se define la ope-ración "∇" según la siguiente tabla:

∇ 5 7 3 1

7 7 1 5 3 3 3 5 1 7

1 1 3 7 5

5 5 7 3 1

Luego, sea x-1 el inverso de x∈Q. Según la ope-ración ∇, hallar:

E=7 13 5

1 1

1 1

++

- -

- -

a) 1/3 b) 3/5 c) 1 d) 5/3 e) 3

3. Se define: a$b=a+b - 4 Hallar: M=(2-1$4)-1 $(6-1$8)-1 Donde a-1 es elemento inverso de "a"

a) 2 b) 1 c) 3 d) 0 e) 4

4. Se define en el conjunto "Q", una operación simbolizada por #, de la siguiente manera:

# 1 2 3 41 5 7 9 11 2 8 10 12 14 3 11 13 15 17 4 14 16 18 20

Calcular:

A=#

( # ) ( # )4 8

8 3 7 5+

a) 23/12 b) 45/44 c) 23/22 d) 61/28 e) 61/29

5. Se define: a*b=a+b+ab. Hallar: (3-1*2-1)-1

donde: a-1 es el elemento inverso de "a".

a) 11 b) 23/35 c) 33/35 d) 3/4 e) -12/5

6. Dada la siguiente tabla:

* 4 8 12 16 5 4 8 12 16 15 12 24 36 48 25 20 40 60 80

Indicar verdadero o falso:I. La tabla muestra una operación conmutativa.II. El operador "*" representa a una operación

que cumple con la propiedad asociativa.III. El elemento neutro es 3.IV. Considerando que a-1 es el elemento inverso

de "a", entonces: (2-1*3-1)=1/25.a) VVFF b) VVFV c) VVVV d) FVFV e) FFVV

7. Se define: m#n=5mn/2 Donde: m-1 es el elemento inverso de "m". Calcular:

E= # #251

501

2541 1 1- - -

c c cm m m; E

a) 120 b) 200 c) 12 d) 180 e) 10

8. Se define en "R": a%b=a+b-4/3 a-1=elemento inverso de "a"; siendo 2-1 para di-

cha operación de la forma n/m; donde n/m es una fracción irreductible. Entonces "nm" es igual a:a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 0

9. Para la operación definida en el conjunto A={1; 2; 3; 5} mediante la siguiente tabla:

∇ 1 2 3 5 5 1 2 3 5 3 2 1 0 3 2 3 0 1 2 1 5 3 2 1

Se afirma: I. Es cerrada en el conjunto "A". II. Es conmutativa. III. Posee elemento neutro. Son ciertas:

a) Solo I b) I y II c) II y III d) I y III e) Todas

10. En los Reales se define la operación: a%b=a+b+4ab, a ≠ -1/4. Hallar 4-1; donde: a-1

es el elemento inverso de "a".a) -4/17 b) -4/7 c) -4/15 d) 4/15 e) 1/4


Ciclo UNI152



Ciclo UNI152



11. Se define la operación binaria "" en el con-junto M={2; 3; 4; 5; 6; 7} mediante la siguiente tabla:

2 3 5 72 5 a p 37 q r a d3 7 2 q m5 2 q 5 c

Si dicha operación es commutativa, además: c c=2; entonces podemos afirmar que: I. La operación tiene elemento neutro. II. q-1 (c - 5)-1=3 III. Si (m-1 7)-1 =(d-1 x)-1; entonces: x=5


12. Definimos en el conjunto: A={1; 2; 3; 4}

* 1 2 3 41 1 2 3 42 2 4 1 33 3 1 4 24 4 3 2 1

Calcular "x", si:

[(2-1 * 3)-1 * x] * [(4-1 * 2) * 3]-1=1, siendo a-1 elemento inverso de "a".

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

13. Se define el operador (*) en el conjunto Q={0; 1; 2; 3} mediante la siguiente tabla:

* 0 1 2 30 0 1 2 31 1 3 0 22 2 0 3 13 3 2 1 0

Entonces, es falso: I. La operación es cerrada. II. El elemento neutro es 4. III. 0-1=0 ; 1-1=2 ; 2-1=1 ; 3-1=3 IV. 3-1*2-1=0

a) I y II b) II y III c) II y IV d) I, II, III e) Todas

14. Se define en los la operación matemática: m*n=m+n+(4/3)mn ¿Qué número no tendría inverso? ¿El inverso de qué número es la unidad? Dar como respuesta la suma de ambos resultados.

a) -33/28 b) 9/28 c) -28/9 d) 28/33 e) 29/38

15. Se define: ab=3ab+2 , ∀a,b ∈ R

Indicar (V) o (F) I. (32)2=122 II. La operación es conmutativa. III. La operación tiene elemento neutro.

a) VFV b) VVF c) FVV d) FVF e) VVV

16. Se define:∆ 0 2 4 6 8 0 4 6 8 0 2 8 2 4 6 8 0 6 0 2 4 6 8 4 8 0 2 4 6 2 6 8 0 2 4

Calcular: M=[(2-1∆ 6-1)-1∆(6 ∆8-1)-1]∆4-1

a) 4 b) 7 c) 2 d) 1 e) 6

17. Dado: 1-1=1; 4-1=4; 2-1=3; 3-1=2. Además el elemento neutro toma su máximo valor en esta operación cerrada. Calcular:

A=[(3&2)-1 & (4&1-1)]-1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 1 o 2

18. Si: x = 4x - 5

Además: a*b = 4(a+b)+3 Calcular:

P=(3-1*4-1)-1 * ( 3 -1* 2 -1)-1

Se sabe que b-1 es el elemento inverso de "b".

a) 16 b) 14 c) 23 d) 10 e) 22

19. Definimos el operador (*) en el conjunto de los nú-meros reales mediante la siguiente operación:

a*b= a b2

2 +

Hallar el elemento neutro respecto al operador (*):

a) 0 b) 1 c) 2 d) -1 e) No existe

20. Definida la operación en :

a#b=a+b+8

¿Cuál es el elemento inverso de -26?

a) 8 b) -12 c) -16 d) 10 e) 9

Ciclo UNI154



Ciclo UNI154



Problemas resueltos

1. Si se sabe que el 15 de febrero del año 1939 fue lunes, ¿qué día de la semana será el 12 de abril del año 2014?

Resolución

• Primero hallaremos qué día de la semanaserá el 15 de febrero de 2014.

•Añostranscurridos=75 •Añosbisiestos

42012 1940 1 19- + =

Luego: 75+19=94= 73

º

LunJueves

+S

S

+3

Entonces: 15/02/2014 → Jueves 12/04/2014 →? Hallando los días transcurridos.

• Febrero

Del: 15Al : 28

13123

• Marzo:31 • Abril:12 13+31+12=56<>7º

Rpta.: Jueves

2. Cierto reloj se adelanta cuatro minutos cada cinco horas. ¿Qué hora será en realidad cuando el reloj marque las 11:00 h, si hace 20 horas que empezó a adelantarse?

Resolución

• Dichorelojtiene16minutosdeadelanto;es

decir, está marcando 16 minutos más

• Luego:Hora=11:00 - 16 minutos=10:44 real

Rpta.: 10:44

3. La campana de una iglesia suena (n2+2) veces en "m" minutos. ¿Cuántas veces sonará dicha campana en (m+3) minutos?

Resolución:• Recordemosquesedebenconsiderarlosin-

tervalos de tiempo.

Intervalos TiempoCampanadas

n2+1

x - 1

m

m+3

n2+2

x

-1-1

Rpta.: x= ( ) ( )m

n m m1 32+ + +

4. Un reloj se empieza a atrasar cinco minutos por cada hora que pasa. ¿Cuánto tiempo como míni-mo debe pasar para que este reloj vuelva a marcar la misma hora que el reloj normal?

Resolución Observación: Cuando un reloj se empieza a atra-

sar o adelantar, para que este reloj vuelva a marcar la misma hora se tiene que atrasar o adelantar 12 horas (720 minutos).

Se adelantaPasan

5 minutos720 minutos

1 hx

5x=720 x=144 h

Rpta.:Tienen que pasar 144 h o 6 días

5. ¿Qué ángulo forman el horario y el minutero a las 19 horas, 20 minutos, 15 segundos?

Resolución

Usaremos la fórmula Debemos convertir el dato para poder aplicar la

fórmula: 19 h 20 min 15 seg <>07:2041 p.m.

Luego: α=211⋅(20

41 )+30(7)

α=98,7º

Rpta.: 98,7º

Se adelantaPasan

4 minutos

x

5 h

20 h5x=20(4) x=16 minutos

α=±211M ±30H

Nota: el horario lleva el signo (+) pues está más cerca de las 12 (en sentido horario).


Ciclo UNI154



Ciclo UNI154




1. El campanario de una iglesia toca siete campa-nadas en 12 segundos. ¿Cuántos segundos de-mora en dar 10 campanadas?

a) 16 b) 15 c) 12 d) 17 e) 18

2. Un reloj demora (m + 2) segundos en tocar (m2 + 2m + 1) campanadas. ¿Cuántas campa-nadas tocará en un minuto?

a) 30 m b) m+1 c) m d) 60 m+1 e) 60 m - 1

3. La campana de una iglesia emplea 12 segun-dos en tocar tantas campanadas como segun-dos transcurren entre campanada y campanada. ¿Cuántas campanadas tocará en 20 segundos?

a) 7 b) 6 c) 4 d) 5 e) 8

4. El campanario de una iglesia indica las horas con igual número de campanadas. Si para indi-car las “n” horas tarda “m” segundos, ¿cuántas horas habrán transcurrido, desde el instante en que empleó “n” segundos para indicar dicha hora hasta el instante en que utilizó “4n” se-gundos para indicar la hora correspondiente?

a) (3n+1) / (n-1) b) 3n(n-1) / n c) 3n(n-1) / m d) m/ n e) (mn+1)/ (mn-1)

5. Si el 7 de febrero de 1984 fue viernes, entonces el 10 de abril de 1984 fue:

a) Lunes b) Viernes c) Sábadod) Domingo e) Martes

6. Si el 10 de febrero de 1972 fue martes, ¿qué día fue el 29 de diciembre de ese mismo año?

a) Martes b) Miércoles c) Juevesd) Viernes e) Lunes

7. Si el 6 de marzo de 1950 fue sábado, ¿qué día fue el 6 de marzo de 1973?

a) Sábado b) Lunes c) Martesd) Viernes e) Domingo

8. Si el 28 de julio de 1948 fue lunes, ¿qué día será el 5 de agosto del año 2018?

a) Lunes b) Martes c) Miércoles d) Domingo e) Viernes

9. En un determinado mes existen cinco viernes, cinco sábados y cinco domingos. ¿Qué día de la semana será el 24 del mes que le sigue al mes en mención si todavía faltan más de dos meses para celebrar fiestas patrias?

a) Martes b) Miércoles c) Viernes d) Lunes e) Domingo

Observación:

Número de días de la semana que más aparecen o

se repiten (cinco veces)

Indica que el mes tiene:

1 día 29 días

2 días 30 días

3 días 31 días

10. Carlos pregunta: "¿Qué hora es?" y le responden: "Ya pasaron las 11 y falta poco para las 12. Además, dentro de 13 minutos faltará para las 13 la misma cantidad de minutos que habrán pasado desde las 11 hasta hace 7 minutos". ¿Qué hora es?

a) 11:57 b) 11:54 c) 11:58 d) 11:56 e) 11:55

11. ¿A qué hora entre las 2 y las 3, las agujas de un reloj forman un ángulo de 130° por segunda vez?

a) 2h 52 8/11min b) 2h 50 minc) 2h 49 3/11 min d) 2 h 51 mine) 2 h 47 3/10 min

12. En una mañana de sol, un árbol de 8 3 m de al-tura arroja una sombra de 8 m de longitud. ¿Qué ángulo forman las agujas en ese momento?

a) 60° b) 70° c) 260° d) 340° e) 80°

13. ¿A qué hora, entre las 15 horas y 16 horas, las agujas de un reloj están superpuestas?

a) 15h 17 min b) 15h 19 min c) 15h 19 7/11 min d) 15h 16 4/11 mine) 15h 17 7/11 min

14. Fabiana empieza una tarea cuando las agujas del reloj forman un ángulo recto entre las 2 y las 3, y termina cuando las agujas del reloj están superpuestas entre las 3 y las 4. ¿Qué tiempo duró la tarea?

a) 45 min b) 34 6/7 min c) 49 1/11 min d) 78 min e) 49 min

Ciclo UNI156



Ciclo UNI156



15. ¿Qué hora indica el gráfico?

a) 2:57 1/7 b) 2:53 1/7 c) 2:55 7/8 d) 2:57 7/11 e) 2:57 1/11

16. ¿Qué hora indica el reloj de la figura?

a) 1:37 7/13 b) 1:38 4/9 c) 1:39 5/9 d) 1:38 4/7 e) 1:38 9/11

17. ¿A qué hora inmediatamente después de las 14:00 h, el minutero adelanta al horario tanto como el horario adelanta a la marca de las 12?

a) 14:32 h b) 14:28 h c) 14:35 hd) 14:24 h e) 14:40 h

18. Un reloj se adelanta ocho minutos cada 15 mi-nutos. ¿Qué hora marcará dicho reloj cuando en realidad sean las 7:54 h, si hace cinco horas que viene funcionando con este desperfecto?

a) 10:44 h b) 10:34 h c) 10:25 hd) 10:24 h e) 10:14 h

19. Un reloj se atrasa seis minutos cada 20 minutos. ¿Qué hora será en realidad cuando dicho reloj marque las 14:48 h, si hace 3 h 20 min que vie-ne funcionando con este desperfecto?

a) 13:48 h b) 13:38 h c) 13:40 hd) 13:28 h e) 15:48 h

20. Dos relojes se sincronizan a la misma hora, a partir de cuyo instante uno de ellos se adelanta dos minutos por hora y el otro se atrasa tres mi-nutos, también por hora.

a) ¿Cuánto tiempo como mínimo debe transcu-rrir para que ambos relojes marquen la mis-ma hora?

b) ¿Cuánto tiempo como mínimo debe transcu-rrir para que ambos relojes marquen la hora correcta?

Tarea domiciliaria

1. Un reloj da ocho campanadas en 16 s. ¿Cuántas campanadas dará en 80 s?

Rpta.: ....................................

2. Un reloj indica la hora tocando tantas campa-nadas como la hora indica en ese momento y además, toca tres campanadas cada media hora. ¿Cuántas campanadas se oirán en un día?

Rpta.: ....................................

3. Un boxeador da 10 golpes en 4 s. ¿Cuánto tiem-po demorará en dar 28 golpes?

Rpta.: ....................................

4. Si el 17 de febrero de 1986 fue domingo, ¿qué día será el 28 de diciembre de ese mismo año?

Rpta.: ....................................

5. Si el 19 de agosto de 1994 fue martes, ¿qué día será el 15 de agosto del año 2007?

Rpta.: ....................................

6. En un determinado mes existen cinco lunes, cinco martes y cinco miércoles. ¿Qué día caerá el 18 del siguiente mes?

Rpta.: ....................................

7. Tránsito nació cuatro años exactos antes que Eucalipta. Tránsito nació el 28 de diciembre. Si la Navidad cae sábado, ¿qué día de la semana cae el cumpleaños de Tránsito?

Rpta.: ....................................

8. Si el 31 de julio del próximo año será martes, ¿qué día habría sido el 1 de agosto del año pa-sado que fue bisiesto?

Rpta.: ....................................


Ciclo UNI156



Ciclo UNI156



9. ¿Cuántos años bisiestos ha habido desde 1920 hasta 1986, inclusive?

Rpta.: ....................................

10. Si el primer día de 1934 fue sábado, ¿en qué día empezará el año 1981?

Rpta.: ....................................

11. Si un mes empieza y termina en domingo, ¿qué día será el último día del siguiente mes?

Rpta.: ....................................

12. Si el 15 de abril de 1980 fue sábado, ¿qué día habrá sido el 14 de julio de 1982?

Rpta.: ....................................

13. Durante cierto mes se pueden contar más lunes y martes que los demás días de la semana. ¿Qué día fue el último día del siguiente mes?

Rpta.: ....................................

14. Un reloj da (a+1) campanadas en a2 segundos, entonces, ¿cuántas campanadas dará en 3a se-gundos?

Rpta.: ....................................

15. En una casa encantada hay un fantasma bastan-te especial: aparece cuando el reloj comienza a dar la medianoche y desaparece con la última campanada. El reloj tarda seis segundos en dar seis campanadas. ¿Cuánto dura la aparición del fantasma?

Rpta.: ....................................

16. Dentro de dos días faltarán para terminar el mes de febrero tantos días como la mitad de los días transcurridos hasta hace seis días desde el inicio de dicho mes. ¿Qué día es, si febrero se encuen-tra en un año bisiesto?

Rpta.: ....................................

17. ¿Qué día del año marcará la hoja de un almana-que cuando el número de hojas arrancadas exce-da en dos a los 3/8 del número de hojas que que-dan?

Rpta.: ....................................

18. ¿En qué día y hora del mes de abril del año 2000 se verificará que la fracción transcurrida de ese mes sea igual a la fracción transcurrida de ese año?

Rpta.: ....................................

19. Si el 13 de marzo de 1972 fue jueves, ¿qué día habrá sido el 18 de agosto de 1990?

Rpta.: ....................................

20. Un reloj indica las horas con tantas campanadas como el número de horas transcurridas. Si para indicar las 8:00 h tardó 14 segundos en dar las campanadas, ¿qué hora indicó cuando tardó 22 segundos?

Rpta.: ....................................

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Problemas resueltos

1. Se requiere determinar el número de asistentes a una reunión de padres de familia.

Información brindada:I. El 60% de los asistentes son mujeres. II. El número de mujeres que asistieron excede

en 10 al número de hombres. Para resolver el problema:

a) La información I es suficiente.b) La información II es suficiente.c) Es necesario emplear ambas informaciones a

la vez.d) Cada una de las informaciones, por separa-

do, es suficiente.e) La información brindada es insuficiente.

Resolución

• DatoI:

Mujeres: 60%T Hombres: 40%T

• DatoII: Mujeres: n+10 Hombres: n

• Siambosdatosson insuficientes, se pueden juntar

Rpta.: c

2. La pregunta que a continuación se propone está acompañada de las informaciones I y II. Anali-zar e identificar la información suficiente para responder: la figura ABCD ¿es un cuadrado?

Información: I. α=45º II. Medida del ángulo ADC es 90º

a) Solo la información I b) Solo la información II c) Ambas informaciones a la vez. d) Cada una de las informaciones por separada. e) La información brindada es insuficiente.

Resolución

• DatoI:α=45º

• DatoII:\ADC=90º • Datos: I y II

Rpta.: e

3. Una bolsa contiene bolas verdes, amarillas y blancas. Si en total existen nueve bolas, se de-sea saber de cuántas maneras distintas se pue-den ordenar dichas bolas.

Información brindada:I. Existen tres bolas verdes y cuatro blancas.II. Dentro de la bolsa existen, además, dos bo-

las amarillas. La pregunta se puede resolver, considerando:

a) Solo la información I b) Solo la información II c) Ambas informaciones a la vez. d) Cada una de las informaciones por separado. e) La información brindada es insuficiente.

Resolución

dato I: dato II: Verdes=3 Blancas=4 \Amarillas=2

No se puede conocer la cantidad de bolas verdes y blancas (insuficiente)

En total, la bolsa contiene nueve bolas:

Rpta.: a

Al conocer la cantidad de cada color, es posible calcular de cuántas ma-neras se pueden ordenar (suficiente)

MH

32=

Se determina la relación de la can-tidad de hombres y mujeres pero no el total (insuficiente)

No se conoce el total

→ T=50

nn10 3

2=+

Dα

A

C

B

B

D

ANo necesariamente es un cuadrado (insuficiente)

C45º

D

A

(insuficiente)

C

B

D

A

(insuficiente)

C45º

B


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Nota: Luego de analizar de manera indepen-diente cada dato y determinar que uno de ellos es suficiente, no son necesarios ambos datos.

4. ¿Cuál es el valor de x? Información brindada: I. x2 - 2x=8 II. x<2 Para resolver este problema se requiere utilizar:

a) I solamente b) II solamentec) I y II conjuntamente d) I o II, cada una por separadoe) Información adicional

Resolución

Dato I: Dato II:

x2 - 2x=8 x<2

Se determina: x=4 x=-2 No se precisa el valor de "x" (insuficiente)

Datos I y II:

-2 2

x=-24

Rpta.: c

Existen infinitos valores

(insuficiente)

5. Determinar el valor de "n". Se sabe que n3 es un número de tres cifras. Información brindada:

I. (n+3)3 es un número de cuatro cifras. II. n2 es múltiplo de 2.

Para resolver:

a) La información I es suficiente.

b) La información II es suficiente.

c) Es necesario utilizar ambas informaciones.

d) Cada una de las informaciones por separado, es suficiente.

e) Las informaciones dadas son insuficientes.

Resolución

De la información: n3=abc se deduce que n={5; 6; 7; 8; 9}

Dato I:

(n+3)3=xyzwse cumple para

n={7;8;9}(insuficiente)

Dato II:

n2=2º

Se cumple para n={6;8}(insuficiente)

Datos I y II:

Se cumple para n=8

Rpta.: c


1. Calcular el valor de: E = (x2 + 2y)(x4 - 2x2y + 4y2) – (x2 - 2y)(x4 + 2x2y + 4y2) I. x = 2 II. y = 1

a) I b) II c) I y II d) I o II e) F.D.

2. ¿Cuál es el radio del círculo de centro O?I. El área del círculo es 25p.I. El área del círculo dividido entre el diámetro

del círculo es igual a pveces la mitad del radio del círculo.


3. Si: y > 0, ¿cuál es el valor de x/y?I. x = 1/4 yII. y = 400% de "x"


4. Hallar: E=mm133

+ , m>0

I. m2+m12

=4

II. mm1 6+ =


5. Si: P(x+3) – P(x) = 2x+1, hallar: P(4). I. P(0) = 2 II. P(1) = 3


6. ¿Es x > y? I. x/y = 5/4 II. x2 > y2


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7. ¿Cuántas frutas tiene un árbol, si dicho número está entre 80 y 90?I. Si se cuentan de cuatro en cuatro, sobra una.II. Si se cuentan de seis en seis, sobra una.


8. ¿Cuánto gasté, si tenía S/. 240 para hacer com-pras?I. Gasté los 3/5 de lo que no gasté.II. Lo que no gasté excede en S/.60 a lo que

gasté.


9. Resolver la ecuación, hallando un único valor numérico para "x":

p(2x – 1) + 3 = 4 – (p + 1) + q + xI. p = 2II. q = 0; p≠1/2


10. Determinar si: x(3x + 5) es par. I. "x" es par. II. "x" es impar.


11. Si: b ca b

cb

++ = ; "a", "b" y "c" son enteros.

Entonces, para hallar "b" se necesita: I. a + c = 20 II. ac = 64


12. Hallar el valor de "x", entero positivo: I. 5x < 7 II.

xx 1+ es un entero positivo.


13. Determinar A + B, si:

xA

xB

x xCx D

2 5 3 102-+

+=

+ -+

I. C = 3 II. D = 29


14. En un triángulo ABC, AB = 7 m y AC = 2 m. Determinar el perímetro de dicho triángulo

I. La longitud de BC es un número entero. II. El <A es obtuso.


15. Hallar: 2 * 4.

I. a * b = *b aab

II. a * b = ab3


16. Hallar el conjunto solución de la inecuación: 3x + a < 5x + b – 2x I. a – b < 0 II. b < a


17. Si "A" y "B" son números reales y positivos, hallar: M =

A BAB+

I. A B AB64+ = II. (A+B)2= 4AB


18. El signo de la expresión: xyz I. x2y2z< 0 II. x < 0


19. Se tiene un mantel formado por paños rectan-gulares, de los cuales se conocen su superficie y el número de estos que conforman el mantel. ¿Con cuáles de los siguientes datos se pueden hallar las dimensiones del mantel si los paños están uno a continuación del otro?

I. El perímetro del mantel II. Las dimensiones de los paños


20. Hallar la distancia entre la ciudad de “Anco” y “Cañaverales”. I. La distancia de “Anco” a “Puquero” es 40 km.II. La distancia de “Puquero” a “Cañaverales” es

30 km.



Ciclo UNI160



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Tarea domiciliaria

1. Sean "p" y "q" dos números enteros. Entonces, para determinar cuál de ellos es siempre el mayor se re-quiere conocer además, la información dada:

(1) qp =3

(2) p q>0

a) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero la "(2)" sola no lo es.

b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero la "(1)" sola no lo es.

c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, pero ninguna sola.

d) Si cualquier afirmación sola es suficiente.e) Si la información dada no es suficiente.

2. En un taller de reparación hay ocho vehículos entre motos y autos. Determinar la información necesaria para responder a la siguiente pregun-ta: ¿Cuántos autos y motos hay en el taller?

(1) Se encontraron 28 ruedas.(2) La cantidad de autos excede en 4 unidades

a la de motos.




d) Si cualquier afirmación sola es suficiente.e) Si la información dada no es suficien-

te.

3. Un comerciante se plantea obtener una ganan-cia de S/.1000, vendiendo 30 relojes de pulse-ra. Para determinar esta ganancia debe conocer:

(1) El precio total de la compra (2) El precio unitario de la venta





4. En un salón de clases hay cierto número de alumnos. Para determinar cuántos alumnos hay en el salón, se debe conocer que:

(1) El 20% del total están desaprobados (2) El 30% del total son mujeres.





5. Una persona parte de una ciudad "P" y pasa por las ciudades "A", "B" y "C" sucesivamente. Se puede calcular la distancia de "P" a "B", si se sabe que:

(1) "S" es la distancia de "P" a "A". (2) "Q" es la distancia de "P" a "C".





6. Entre Pablo, Sebastián, Nicolás y Ricardo se comieron una torta. De la información dada en (1) y (2), ¿cuál es la necesaria para determinar quién fue el que más comió?

(1) Sebastián comió el doble que Pablo y el tri-ple que Ricardo.

(2) Nicolás ha comido más que Pablo y más que Ricardo.





7. "P", "Q" y "R" representan a tres personas: el abuelo, el padre y el hijo. Si las relaciones que a continuación se señalan se refieren a la edad, entonces para determinar quién es el abuelo, el padre y el hijo, respectivamente, se debe cono-cer que:

(1) Q>P (2) P+Q<R


Ciclo UNI162






8. Para saber qué porcentaje de 16 es "m", se debe conocer que:

(1) "m" es el 5% de 10 (2) 400% de "m" es 2





9. Sea x+y=z, para determinar si el número "z" es impar se debe conocer que:

(1) "x" e "y" son números consecutivos. (2) "x" e "y" son números mayores que 34.





10. Hallar la medida del \x:

(1) "D" es el incentro. (2) El \B mide la tercera parte de un ángulo

llano.

A

B

C

D

x





11. ¿Cuál es el perímetro del cuadrilátero circuns-crito?

(1) R=4 (2) a=10 - b





12. En un cuarto de círculo, hallar el perímetro de A.

A

B

(1) Perímetro de "B" (2) Perímetro del cuarto del círculo





13. Si: AB=BC, hallar el área del triángulo ABC.

(1) BP=2 (2) MB=BN= 2





a

b

cR

B

A

CN

M P


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14. ¿Cuántas cartas pueden escribir dos mecanógra-fas en un día de trabajo?

(1) Un día de trabajo tiene una duración de seis horas y 30 minutos.

(2) Cuatro mecanógrafas pueden escribir 600 cartas en tres días de trabajo.





15. ¿Qué número de personas no votan en un país?

(1) Solo pueden votar los mayores de 20 años.(2) Este país tiene una población total de

5 362 486 personas.





16. ¿Cuánto mide la circunferencia de un círculo?

(1) El radio es 4. (2) La superficie es 16p.





17. ¿Cuánto pesa Miguel?

(1) Si Miguel midiera 5 cm más, pesaría 12 kg más.

(2) Si Miguel midiera 5 cm más, su peso se in-crementaría en un 10%.





18. ¿Cuántas bolas rojas hay en una caja?

(1) Elevando al cuadrado el número de bolas ro-jas se obtendría el mismo resultado que mul-tiplicando por tres dicho número.

(2) Hay diez bolas en la caja.





19. Un colegio tiene un auditorio con 25 filas de asientos. Cada fila tiene de 30 a 35 asientos. Si el auditorio está lleno, qué porcentaje del cole-gio tiene cabida?

(1) El colegio tiene 2000 alumnos y 70 profeso-res.

(2) La media de asientos por fila es de 32.





20. Se cayó un canasto con 90 huevos, de los cua-les 60 eran blancos. ¿Cuántos huevos de color se quebraron?

(1) Los huevos blancos que no se quebraron son 53.

(2) Se quebró una docena de huevos.





Ciclo UNI164



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Gráfico (1-2) Los gráficos adjuntos representan el resultado de un estudio realizado sobre los ingresantes a una universidad nacional durante los años 2005 y 2006.

10%

40%

50%

15%

25%

60%

220023002400250026002700280029003000

INGRESANTES

INGReSANTeS de dIVeRSOS COLeGIOS

2005 2006

2005 I 2005 II 2006 I 2006 II

Nacionales Particulares Religiosos

1. ¿Cuál es la diferencia entre la cantidad de alum-nos que ingresaron de colegios nacionales en 2006 y los de colegios particulares de 2005?

Resolución

Analizando: • Ingresantes2005 5800 • Ingresantes2006 5400

• Ingresantescolegiosnacionales2006→ 60%×5400=3240

• Ingresantescolegiosparticulares2005→ 40%×5800=2320

Piden: 3240 - 2320 = 920 Rpta.: 920

2. Si el 10% de los ingresantes de los colegios re-ligiosos en el año 2005 está representado por mujeres, de las cuales el 50% pertenecieron al tercio superior de sus respectivos colegios, ¿qué cantidad es esa?

Resolución

• Losingresantesdecole-10%×5800=580 gios religiosos en 2005

son el 10% del total • El10%de580son 10%×580=58 mujeres

• El50%perteneció 50%×58=29 al tercio superior

Rpta.: 29

3. Respecto a la información brindada en el dia-grama de barras mostrado

2002 2003 2004 2005 2006

3

6

9

12

Producción de lápices en millones

años

Es correcto afirmar:

a) El promedio de producción de los últimos tres años supera al promedio del total de años.

b) El promedio de producción de los cuatro pri-meros años supera al promedio del total de años.

c) El promedio de producción del segundo, ter-cer y cuarto año supera al promedio de pro-ducción de los últimos tres años.

d) El promedio de producción del segundo y cuarto año es mayor al promedio de produc-ción de los primeros cuatro años.

e) El promedio de producción del primer y ter-cer año es igual al promedio de producción del segundo y cuarto año.

Problemas resueltos

Gráficos de barras1

23


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Resolución

Analizando cada alternativa:

a) 3

3 6 95

12 9 3 6 9<+ + + + + + (falso)

b) 4

12 9 3 65

12 9 3 6 9<+ + + + ++ + (falso)

c) 3

3 6 95

12 9 3 6 9+ + + + + += (falso)

d) 2

9 64

12 9 3 6+ + + += (falso)

e) 2

12 32

9 6+ += (verdadero)

Rpta.: e

4. El gráfico de barras muestra el número de postu-lantes en cada especialidad y el gráfico circular indica el porcentaje de ingresantes por especia-lidad.

D

I

M A

4

5

6

7

8

Miles A. ArteD. DerechoI. IngenieríaM. MedicinaC.S. Ciencias Sociales

Especialidades

CS

I

60º

D

M

C.S.A

Total de ingresantes: 3600

Indicar las afirmaciones correctas:

I. A Medicina, de cada 20 postulantes ingresó uno.

II. A Derecho ingresaron 1500 postulantes.III. La relación postulantes / ingresantes es ma-

yor en Ingeniería que en Ciencias Sociales.

a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) I y II e) Todas

Resolución

Del gráfico circular obtenemos la cantidad de ingresantes a cada especialidad.

12k=3600 → k=300

Luego:

7000 5k<>1500

8000 2k<>600

6000 k<>300

5000 3k<>900

6000 k<>300

Derecho

Ingeniería

MedicinaCiencias Sociales

Arte

Postulantes Ingresantes

I. IngresantesPostulantes

3006000

120= = (V)

II. De la tabla (V)

III. Ingeniería

IngresantesPostulantes

6008000

340

= =

C.S.

IngresantesPostulantes

9005000

950

= = (V)

Rpta.: e

5. El gráfico I muestra lo que gana por hora un operario, y el gráfico II, la cantidad de horas que labora por cada día.

Indicar la alternativa correcta:

a) El día jueves gana el 42% de lo que percibe el día martes.

b) El día viernes gana el 50% de lo que percibe el día domingo.

c) Lo que gana los días sábado y domingo supe-ra a lo que percibe los días martes y viernes.

10

20

30

40

S/.

Gráfico I

díasL M M J V S D

4

6

8

10

Horas

Gráfico II

díasL M M J V S D

I

60º

D

150º

30º

k↑

↑

↑

2k → ←3k

5k

k

30º

90º

M

C.SA

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enunciado (1-2)

Una discoteca del centro de Lima muestra en el gráfico adjunto las cantidades promedio de hombres y mujeres que acuden a su local cada uno de los días de la semana:

50100150200250300350400

Personas

L M M J V SDÍA

Hombres Mujeres

Además, se sabe que el precio de las entradas es de:• Lunesajueves:S/.20 • Viernesysábado.S/.40• PROMOCIÓN:losmiércoleslaschicasnopagan.

1. ¿Qué porcentaje del total de personas que acu-den los jueves son hombres?

a) 32,5% b) 37,5% c) 42,9% d) 40% e) 35%

2. Considerando la cantidad mínima y la cantidad máxima de hombres y mujeres que asistieron en cualquier día, indicar verdadero o falso:

I. En ambos casos, la suma del número de hom-bres y el número de mujeres es la misma.

II. La cantidad máxima del número de hombres es el 700% más que la cantidad mínima de mujeres.

III. Las cantidades máximas entre ambos sexos se dio en diferentes días.

IV. Las cantidades mínimas entre ambos sexos se dio en diferentes días.

a) V V F V b) V F V V c) V F F F d) F V F V e) V V V V

enunciado (3-7)La comercializadora "El pollón" se dedica a la venta de alimento balanceado para pollos. El siguiente gráfico muestra el precio de venta en función de la cantidad de kilogramos deseados:

50

90

120

Precio(S/.)

10 20 30 Peso (kg)

3. ¿Cuánto se debería pagar si se desean adquirir 7 kg del alimento balanceado?

a) S/. 28 b) 32 c) 35 d) 38 e) 42

4. Si se pagaron S/. 78, ¿cuántos kilos se adquirie-ron?

a) 16 kg b) 17 c) 18 d) 19 e) 16,5

5. Si se compraron 40 kg, ¿cuánto se pagó?

a) S/. 135 b) 142 c) 145 d) 160 e) 150

6. Si se pagan S/. 77,04 por kilogramo de alimento balanceado para pollos, ¿cuántos kilogramos se adquirieron?

a) 15 kg b) 15,5 c) 16 d) 16,5 e) 16,76

d) Los días lunes, miércoles y viernes gana más que los días martes, jueves y sábado.

e) El ingreso que percibe trabajando los días miércoles, jueves y domingo es menor al que percibe trabajando los días martes, sá-bado y lunes.

Resolución

Analizando, se halla lo que gana día a día:Lunes = 10×S/.10=S/.100Martes = 8×S/.40=S/.320

Miércoles = 8×S/.30=S/.240Jueves = 6×S/.20=S/.120Viernes = 8×S/.20=S/.160Sábado = 8×S/.30=S/.240Domingo = 6×S/.40=S/.240

Evaluando cada alternativa se deduce que la única correcta es la "e".

Rpta.: e


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7. Si el 1 de enero se compraron 25 kg y el 15 de enero, 15 kg, ¿cuánto se habría ahorrado si el 1 de enero se compraban los 40 kg?

a) S/. 15 b) 20 c) 22 d) 25 e) 30

8. Gráfico: Presión - Velocidad - Temperatura

a

b

c

escala

I II III IV

tiempo

PresiónTemperaturaVelocidad

De la información brindada por el gráfico, indi-car las alternativas verdaderas o falsas.

I. La temperatura tiene una tendencia creciente en el tiempo.

II. La presión y la temperatura tienen la misma tendencia.

III. La presión y la velocidad tienen la misma tendencia.

IV. La presión y la velocidad tienen tendencias opuestas.

a) F V V V b) F V V F c) V V F F d) F F V F e) F F F V

9. El gráfico muestra el movimiento de entrada de extranjeros (ME) y el número de actos delictivos (ND) en el año 2006.

Movimiento de entrada de extranjerosNúmeros de actos delictivos

180

150

120

90

Miles

E F M A M J J A S O N DMeses

Del análisis de la información brindada, se pue-de afirmar:

I. Con el aumento de actos delictivos, disminu-ye el flujo de entrada de extranjeros.

II. Hay temporadas altas de entrada de extran-jeros, al margen del número de actos delicti-vos.

III. Los actos delictivos aumentan más rápida-mente con la entrada de extranjeros.

a) Solo I b) I y II c) II y III d) Solo II e) Solo III

10. En enero de 2006, un inversionista compró acciones de la empresa "A", "B" y "C", por un monto de 36 000 dólares en las proporciones indicadas en el gráfico I. En el gráfico II se mues-tra la variación de los precios de cada acción de enero a diciembre. Determinar el monto de las acciones en total en el mes de diciembre.

Gráfico I

A

BC

150

90120

Gráfico II

5 510 1015 1520 2025 2530 30

enero

$/acción

B

AC

junio diciembre

a) $ 34 500 b) 32 600 c) 35 500 d) 37 500 e) 38 500

11. Para la aprobación del TLC con China, se reunie-ron los 120 congresistas del Parlamento Nacio-nal y emitieron su voto. Los resultados se mues-tran en la tabla adjunta.

Tipo de voto Número de congresistas

A favor a

En contra b

Abstención c

Total 120

Se pudo observar que el número de votos fa-vorables superó en 20 a los desfavorables y en 40 a las abstenciones. Si la mitad de quienes se abstuvieron pertenecen al partido PEM, calcular la cantidad de congresistas de ese partido políti-co.

a) 5 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14

Ciclo UNI168



Ciclo UNI168



enunciado (12-13)Para las próximas elecciones se ha realizado una encuesta para saber la opción de voto de las personas, de las cuales, las que votan por "B" se dividen en tres clases socioeconómicas.

A5%

D40%

B30%

C25%

24

36

60

Nº de personas

SOLO VOTARON POR EL CANDIDATO "B"

Clasesocioeconómica

ALTA MEDIA BAJA

12. ¿Qué porcentaje del total representan los que votaron por "B" en clase media?

a) 3% b) 6% c) 20% d) 40% e) 30%

13. Si el 50% no votaría por ningún candidato, es-tos representan, en cantidad de personas:

a) 200 b) 400 c) 800 d) 600 e) N.A.

14. El siguiente cuadro muestra los precios unitarios y las cantidades vendidas de un artículo por una compañía, en tres años diferentes:

AÑO PRECIO (S/.) CANTIDAD

2000 25 170

2001 30 200

2002 40 350

¿Cuál es la variación porcentual entre lo que re-caudó la compañía en el año 2002 con respecto al año 2000?

a) 119,4% b) 129,4% c) 219,4% d) 229,4% e) 19,4%

enunciado 15 - 16Un restaurante se dedica a la venta exclusiva de caldo de gallina (S/. 7 el plato). El gráfico siguiente muestra los volúmenes de venta por día de la semana:

L M Mi J V S D

10

20

30

40

Cantidad de platos vendidos

DÍA

15. ¿Cuál es el ingreso promedio diario por la venta de caldo de gallina? (En nuevos soles).

a) 180 b) 200 c) 300 d) 150 e) 275

16. Si asumimos que algunos días de la semana hubo una variación en la cantidad de platos vendidos, tal como lo indica la tabla:

DÍAS LUN MAR MIER JUE VIER SAB DOM

VARIACIÓN +10% -40% +50% 0% -30% +60% 0%

Entonces:a) ¿Cuántos nuevos soles más se hubieran re-

caudado?b) ¿Cuál fue la variación porcentual en la canti-

dad de platos vendidos?

a) S/.70 y 5% b) S/.75 y 15% c) S/.75 y 5% d) S/.70 y 10% e) S/.100 y 5%

enunciado (17-20)El gráfico muestra la producción de dos tipos de fideos en una fábrica de pastas (en miles de kilogramos):

2002

2001

2000

1999

1998

210Fideo envasado

Fideo a granel

200

140

150

160

80

75

55

60

70

17. Respecto de los fideos envasados, ¿en cuáles de los siguientes años se tiene una producción ma-yor al promedio de la producción de este tipo de fideos en los cinco años?

I. 1998 II. 2001 III. 2002


Ciclo UNI168



Ciclo UNI168




18. Respecto de los fideos a granel, ¿cual de las si-guientes afirmaciones es verdadera?

a) La producción en el año 2000 sufrió una caí-da de 10% con respecto al año anterior.

b) La producción en el año 2001 se incrementó en un 35% con respecto al año anterior.

c) El promedio de producción por año es de 65 mil kilogramos con respecto a los años dados.

d) La producción en el año 2002 se incrementó en más de 5% con respecto al año anterior.

e) La producción en el año 2003 se habría de

incrementar por lo menos 3% con respecto al año anterior.

19. Respecto de los fideos envasados, ¿en qué año la producción fue el 75% del año anterior?

a) 1998 b) 1999 c) 2000 d) 2001 e) En ningún año

20. ¿En qué periodo el incremento porcentual de los fideos envasados fue mayor al incremento porcentual de los fideos a granel?

a) 1998-1999 b) 1999-2000c) 2000-2001 d) 2001-2002e) 1998-2000

Gráfico (1-5)El siguiente gráfico muestra los ingresos de 250 empleados del colegio Trilce durante el mes de enero de 2007.

400

50

30

60

80

2010

600 800 1000 1200 1400 1600

Núm

ero

de tr

abaj

ador

es

Sueldo (S/.)

1. ¿Cuántos trabajadores ganan más de S/.700 y menos de S/.1300?

a) 170 b) 165 c) 175 d) 155 e) 180

2. SielK%delostrabajadoresgananentreS/.600yS/.1025,determinarelK%de"K".

a) 16 b) 25 c) 36 d) 9 e) 12

3. El ingreso medio es:

a) S/. 924 b) 918 c) 926 d) 932 e) 916

4. ¿Cuántos trabajadores ganan menos del ingreso medio? (Aproximadamente)

a) 125 b) 120 c) 118 d) 115 e) 112

5. ¿Qué fracción del total gana menos de S/.1150?

a) 53 b)

52 c)

54

d) 107 e)

109

6. El gráfico muestra las inversiones en cuatro ru-bros de una cuenta de S/. 37 810:

C

D

A

B9%

34%

Si la suma de las inversiones en los rubros "B" y "C" es de S/. 9830,6, ¿cuántos nuevos soles se invirtieron en el rubro "A"?

a) 6427,7 b) 12 558 c) 12 855,4 d) 15 124 e) 15 142,7

7. La gráfica circular muestra la distribución del presupuesto de una familia

otras 5%

Eduación

Diversión

Salud

Casa

Comida

Si el ingreso familiar es de 3600 soles, indicar las afirmaciones correctas.

I. El presupuesto para gastos de educación es de S/.720.

II. Si usaran la tercera parte del presupuesto de diversión en el rubro salud, podrían gastar hasta S/.480 en salud.

III. En casa y educación gastan S/.1440.

a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) I y II e) Todas

Tarea domiciliaria

Ciclo UNI170



Gráfico (8-9)El gráfico adjunto representa las ventas de una empresa de vehículos durante un mes y medio. Se sabe que en la primera semana se vendieron 23 camionetas menos que el total de motos y autos; y que en la segunda semana se vende 1/3 menos de camionetas que las vendidas en la primera semana.

SEMANA1

SEMANA2

SEMANA3

SEMANA4

SEMANA5

SEMANA6

50

10

15

20

253035

VeHÍCULOS VeNdIdOS

AUTOS CAMIONETAS MOTOS

8. ¿Cuál de los vehículos vendidos tiene la mayor variación porcentual y en qué periodo se produ-jo dicha variación?

a) Motos; de: semana 4 a: semana 5 b) Autos; de: semana 4 a: semana 5 c) Camionetas; de: semana 4 a: semana 5 d) Motos; de: semana 5 a: semana 6

e) Autos, de: semana 3 a: semana 4

9. ¿En qué semana se vende el 50% de los vehícu-los vendidos en la tercera y quinta semana?

a) Semana 1 b) Semana 2 c) Semana 3 d) Semana 6 e) Semana 5

Gráfico (10-13)

El siguiente gráfico muestra cómo se deprecia el valor de un auto a través del tiempo:

3000

5 15 años

9000

18000

Valor($)

10. Un auto con más de cinco años de antigüedad, ¿cuántos dólares por año disminuye su valor?

a) 500 b) 600 c) 400 d) 1000 e) 800

11. ¿Qué valor tiene el auto después de tres años de comprado?

a) $ 14 400 b) 23 400 c) 12 800 d) 12 600 e) 11 800

12. ¿Qué antigüedad tiene un auto cuyo precio es $ 4800?

a) 8 años b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

13. Suponiendo que la tendencia del gráfico conti-núe luego de los 15 años, ¿a los cuántos años el auto no tendría valor?

a) 20 b) 21 c) 18 d) 22 e) 25

Gráfico (14-16)El gráfico muestra las preferencias de 500 personas entrevistadas acerca de los siguientes productos:

20%

35%45%

AB

Otros

5%

20%45%

30%D

CE

F

Otros

14. ¿Cuántos prefieren el producto "B"?

a) 45 b) 100 c) 175 d) 200 e) 225

15. ¿Qué porcentaje del total prefiere "E"?

a) 6% b) 9% c) 11,25% d) 45% e) 90%

16. ¿Qué porcentaje representan los que prefieren "E" con respecto a los que prefieren "B"?

a) 10% b) 20% c) 40% d) 60% e) 100%

El siguiente gráfico muestra el total de bosques del Perú (% de participación):

Bosques productivos

66%

Bosques no productivos

34%


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Ayacucho9%

Junín14%

Pasco14% Huánuco

21%BOSQUeS PROdUCTIVOS

San Martín35%

Cusco5%

Puno2%

17. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son cier-tas?

I. El ángulo central que corresponde a la par-ticipación de Ayacucho en los bosques pro-ductivos mide 34,2º.

II. El ángulo central que corresponde a la par-ticipación de Junín en los bosques producti-vos mide 50,4º.

III. El ángulo central que corresponde a la parti-cipación del Cusco en los bosques producti-vos es mayor en 10,8º al que le corresponde a Puno.


18. ¿Cuál es la relación entre la producción de San Martín y el total de bosques productivos?

a) 1/4 b) 11/20 c) 119/340 d) 35 e) 7/20

19. Si la diferencia entre la producción de Huánuco y Pasco es de 14 mil toneladas, ¿cuál es la dife-rencia, en miles de toneladas, entre San Martín y Puno?

a) 60 b) 70 c) 66 d) 74 e) 132

20. ¿Qué porcentaje del total de bosques del Perú representa la producción de Puno?

a) 2% b) 33% c) 17% d) 1,32% e) 0,68%

Ciclo UNI172



Ciclo UNI172




1. En el último día del año 1995 fue el cumpleaños de Valentina. Estando reunida con sus amigas, sumaron los años de nacimiento de cada una de ellas; luego sumaron sus respectivas edades para finalmente juntar las sumas, obteniendo 29 925. ¿Cuántas amigas asistieron al cumplea-ños de Valentina?

a) 24 b) 19 c) 16 d) 14 e) 18

2. Si al año en que cumplí los 12 años se le suma el año en que cumplí los 16 y se le resta la suma del año en que nací con el actual, se obtendrá seis. ¿Qué edad tengo?

a) 22 b) 32 c) 20 d) 24 e) 26

3. Paul le dice a Yuri: "Cuando tengas lo que yo tengo, es decir, el triple de lo que tenías cuando yo tenía cuatro años menos de los años que tienes, nuestras edades sumarán 68 años". Yuri a su vez, le dice a Calichi: "Cuando tengas lo que yo tengo, yo tendré cinco veces lo que tenías cuando yo tenía lo que tú tienes". ¿Qué edad tendrá Calichi cuando Paul tenga el triple de lo que tiene actualmente?

a) 44 años b) 85 c) 58 d) 74 e) 66

4. Dos móviles m1 y m2, separados 4000 m van al encuentro uno del otro con velocidades de 30 m/s y 20 m/s, respectivamente. Una paloma sale del móvil m1 con una velocidad de 70 m/s y se dirige hasta tocar el móvil "m2 ", luego regresa a " m1 " y así, sucesivamente, hasta que se encuentran los móviles. ¿Qué espacio recorrió la paloma hasta el momento en que se encontraron los dos móviles?

a) 4000 m b) 3200 c) 6400 d) 5600 e) N.A.

5. A las 8:00 horas salen de “M” dos ciclistas "A" y "B" al encuentro de otros dos ciclistas "C" y "D" que vienen de "N" a una velocidad de 600 m/min, pero que salieron con cinco minutos de diferencia entre ellos. A las 8:15 horas se encuen-tran "A" con "C" y tres minutos después con "D",

luego "B" se encuentra con "C" y cuatro minutos después se encuentra con "D". ¿Qué distancia en km, separa a "A" y "B" a las 9:00 horas?

a) 15 b) 13,5 c) 14,5 d) 16,5 e) 15,5

6. En un negocio, Deborah pierde m/n partes de su capital; si aún le quedan "x" soles, ¿cuánto tenía al empezar el negocio?

a) ( )n

x m1

1-- b)

mxn c)

mxn

1 -

d) ( )nmx1 -

e) n mnx-

7. Un caño vierte "x" l en "y" horas y un desagüe arroja "w" l en "z" horas. Estando vacío un de-pósito y actuando los dos juntos, lo llenan en “T” horas. Calcular la capacidad del depósito.

a) Txy

xyz w-c m b) ( )Tyz

xz yw-

c) Tyz

xy zw-c m d) Tyz

xy z-c m

e) Tyz

yz xw-c m

8. Si de una lata saco el 20% de lo que no saco y de lo que saco devuelvo el 25% de lo que no devuelvo, resulta que hay 208 litros en la lata. ¿Cuántos litros no devolví?

a) 23 l b) 24 c) 32 d) 21 e) 35

9. La base de un rectángulo aumenta sucesiva-mente en 20% y 20%, y su altura disminuye en 20% y 20%, sucesivamente. ¿En cuánto por ciento varió el área?

a) 4,53% b) 2,34% c) 5,56% d) 7,84% e) 9,1%

10. Dado: x = 64x - 6364x - 63

Calcular : -2-2

a) -2 b) 8 c) -10 d) -11 e) 11


Ciclo UNI172



Ciclo UNI172



11. Si: aa * b = b(b-a)

Calcular: (2003*2002) x (2002*2003)a) 111 b) 11 c) 1 d) -1 e) -2001

12. Si: f(x3+1) = 14x calcular "a" en: f(f(2a+1)) = 42

a) 4 b) 3 c) 2 d) 5 e) 9

13. Si: x = 4x - 5 ; además: a * b = 4(a + b) + 3

Calcular: S=[(3-1*4-1)-1*( 3 -1*2 -1)-1]*1 Siendo a-1 el elemento inverso de "a".

a) 16 b) 14 c) 23 d) 10 e) 26

Gráfico IUna empresa se dedica a la producción de panetones en caja. El gráfico siguiente muestra todos los costos en función del volumen de producción:

Costo (s/.) S

I

600

CF

100 200

CT = S + I + CF

Nº de panetones

14. Si se desea vender los panetones a S/.12 y se quiere ganar S/. 2 por panetón, ¿cuántos pane-tones se deberán producir?

a) 500 b) 600 c) 400 d) 800 e) 1200

15. ¿Cuánto se gana en cada panetón si se han pro-ducido 1500 panetones que han sido vendidos a S/. 11 cada uno?

a) S/. 1,6 b) 1,4 c) 1,0 d) 1,5 e) 1,2

Gráfico II“Parrillas & Chicken” nos muestra los precios de compra y de venta de su producto premium: “Fantastic Burger”, durante el periodo 1998 – 2001

PRECIOS DE FANTASTIC BURGUER

4 56 6

810

12

15

1998 1999 2000 2001

AÑO

Pre

cio

(s/

.)

Precio de costo Precio de venta

PReCIOS de FANTASTIC BURGeR

VENTAS DE FANTASTIC BURGUER

15 1412

8

0

5

10

15

20

Año 1998 Año 1999 Año 2000 Año 2001

Can

tid

ad (

mil

es)

VeNTAS de FANTASTIC BURGeR

16. Para el 2002, el costo pronosticado es de 7 so-les y se desea fijar un precio mayor en 0,75 so-les que el promedio de los precios de venta para el periodo 1998 – 2001. ¿Cuántas hamburgue-sas deberán venderse para ganar igual que en el año 2001?

a) 15 500 b) 14 400 c) 16 000 d) 13 800 e) 13 500

17. Si en el año 2001, por cada sol menos de ga-nancia se pueden vender 1000 unidades más, ¿cuál debió haber sido el precio de venta para ganar en dicho año 66 000 soles?

a) S/. 14 b) 13 c) 12 d) 11 e) 10

Gráfico IIISe está haciendo un estudio sobre la creación de regiones en el país. Para ello se ha agrupado a los departamentos en cuatro regiones. Los gráficos muestran la distribución de la recaudación anual entre las regiones, así como la distribución en la región sur.Recaudación por región

Región Oriente19%

Región Norte20%

Región Sur25%

Región Centro36%

Recaudación en la Región Sur

Tacna10%

Moquegua9%

Cuzco16%

Puno12%

Arequipa53%

Cusco

18. Si Tacna recauda anualmente 120 millones de so-les, ¿cuánto recauda anualmente la Región Centro?

a) 960 millones de soles b) 1200 millones de soles c) 833,3 millones de soles d) 1728 millones de soles e) 912 millones de soles

Recaudación por región

Ciclo UNI174



Ciclo UNI174



19. Sin considerar la Región Centro, ¿qué porcentaje del país corresponde a la recaudación del Cusco?

a) 7,25% b) 6,25% c) 4% d) 5,75% e) 3,50%

Gráfico IVLa tabla muestra los costos de envío de encomienda de Lima a otros departamentos de acuerdo con el tipo de servicio y al peso de la encomienda:

Envío Terrestre

Envío aéreo

Envío expreso

Paquetes de hasta 2kg.

S/. 1,5

S/. 2,5

S/. 4,5

Recargo por kilogramo adicional o fracción (para los primeros 8 kilogramos adicionales)

S/. 0,4

S/. 0,6

S/. 1,2

Recargo por kilogramo adicional o fracción (más allá de los 8 kilogramos adicionales)

S/. 0,2

S/. 0,4

S/. 0,8

2 kg

terrestre

20. ¿Cuál es el costo de enviar un paquete de 14,3 kilogramos de peso, si se elige el sistema de envío aéreo?

a) S/. 3,5 b) S/. 5,7 c) S/. 11,8 d) S/. 8,9 e) S/. 9,3

Tarea domiciliaria

enunciado (1-2)Seis amigos "A", "B", "C", "D", "E" y "F", se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Y se sabe que:• "A"sesientajuntoyaladerechade"B",yfrentea

"C".• "E"nosesientajuntoa"C".

1. Se puede afirmar con certeza que: I. "C" se sienta entre "D" y "F". II. "D" se sienta frente a "B". III. "F" se sienta frente a "E".

a) Solo I b) Solo II c) II y III d) Todas e) N.A.

2. Si "D" no se sienta junto a "B", ¿dónde se sienta "F"?a) Entre "C" y "E" b) Frente a "D" c) Entre "B" y "C" d) Frente a "B" e) N.A.

3. Un barril lleno de vino cuesta S/. 900. Si se extraen 80 litros de vino costaría solamente S/. 180. Hallar la capacidad del barril (en litros) si se sabe que el barril vacío cuesta tanto como 10 litros de vino.

a) 100 b) 92 c) 72 d) 82 e) 90

4. Se define para Z+

n ( )n n2

1= -

Determinar el valor de a+b. (a ∈ IN), si:

aa

4 752+ =6555 ; =105b

a) 9 b) 11 c) 12 d) 15 e) 18

5. Sabemos que: • Algunos"A"queson"B"noson"C".

• Todoslos"B"son"A". • Ningún"A"es"C". Entonces: I. Ningún "B" es "C". II. Todos los "A" son "B". III. Algunos "C" no son "A". Son ciertas:


6. Se desea hallar el número abba(7), sabiendo que es múltiplo de 6. Información brindada:

I. "a" y "b" son cifras impares. II. a - b=4 Para resolver el problema es necesario:

a) Solo I b) Solo II c) I y II d) I o II e) F.D

7. Si se sabe que cada figura le corresponde un número, entonces, ¿qué número le corresponde a la figura "M"?

11 17 13 12 Figura "M"

a) 19 b) 18 c) 17 d) 20 e) 15

8. Se encienden simultáneamente dos velas de igual longitud y después de una hora se observa que una se ha consumido en su tercera parte y la otra, en su quinta parte. ¿Cuántas horas más tienen que transcurrir para que una de ellas tenga el triple de longitud que la otra?

a) 0,5 b) 1,5 c) 1 d) 2,5 e) 2


Ciclo UNI174



Ciclo UNI174



9. Hallar la suma de cifras de: E=( ... )333 333

cifras

2

2001 2 3444 444

a) 900 b) 1200 c) 1800 d) 2700 e) 8784

10. Hallar: P=53+63+73+.... +123

a) 4785 b) 5984 c) 6984 d) 6103 e) 8784

11. Todos los días una persona sale de su casa a la misma hora, y llega a su trabajo a las 8 horas 30 minutos. Cierto día triplicó su velocidad y llegó a las 7 horas 30 minutos. ¿A qué hora sale normalmente de su casa?

a) 7:10 horas b) 7:05 horas c) 7:00 horas d) 6:45 horas e) 6:30

12. Entre cuatro hermanos tienen S/. 64. Si al dinero del mayor se le añaden S/. 3, al segundo se le quitan S/. 3, se triplica el dinero del tercero y se divide entre tres el dinero del cuarto, resultará que todos tendrían la misma cantidad. Enton-ces, el que menos tiene es el:

a) Segundo b) Tercero c) Primero d) Cuarto e) Quinto

13. ¿Qué parentesco tengo con la madre del nieto de mi padre, si soy hijo único?

a) Tío b) Sobrino c) Esposo d) Abuelo e) Hermano

14. Cotita nació en el mes de mayo de 1980 un día domingo. ¿Qué día de la semana fue el cum-pleaños de Cotita en 1990?

a) Lunes b) Martes c) Viernes d) Jueves e) Sábado

15. Si 14 cuadernos cuestan lo mismo que seis libros, ocho libros cuestan lo mismo que cinco maleti-nes, tres maletines cuestan S/. 35, ¿cuántos soles tengo que gastar para adquirir 16 cuadernos?

a) S/. 40 b) 35 c) 50 d) 45 e) 60

16. Se organiza una función de teatro en nuestro cole-gio. Si el Sr. Fernández paga S/. 6 por cada entrada le sobrarían S/. 16, y si paga S/. 7 por cada entrada, le sobrarían S/. 8. ¿Cuántas entradas compró?

a) 11 b) 8 c) 13 d) 7 e) 6

17. En la figura se muestran 300 estacas colocadas alternadamente cada 2 m y 1 m. Hallar la dis-tancia "d" entre la primera y la última estaca.

2 1 2 1

d1 2

a) 449 m b) 450 c) 452 d) 451 e) 448

18. El gráfico de barras muestra las notas obtenidas por un grupo de alumnos y sus frecuencias. Indicar qué porcentaje de los alumnos obtuvo una nota entre 9 y 10.

100

5%

10%

15%

20%

25%

30%

200

300

400

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

frecu

enci

a

calificaciones

a) 10,00% b) 15,38% c) 16,66% d) 18,18% e) 27,07%

19. ¿Qué máquina fotocopiadora, "X" o "Y", hace las copias a la proporción más rápida?

(1) La máquina "X" hace 90 copias por minuto. (2) En tres minutos, "X" hace 15 copias más que "Y".





• Dadoelsiguiente gráfico:

300

500600

800

0 16 18 20 22

Cantidad de alumnos

Edad(años)

20. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verda-deras?I. La edad promedio de los alumnos está entre

18 y 19 años.II. El número de alumnos que tienen 16 ó 22

años es igual al número de alumnos que tie-nen 18 ó 20 años.

III. El número de alumnos que superan la edad promedio del grupo es 1100.

a) I y III b) I y II c) II y III d) Todas e) Ninguna

Ciclo UNI176



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1. Pedro, a inicios del año 2010, compró 10 000 dóla-res y 10 000 euros. Al término del cuarto trimestre del 2010, cambia nuevamente sus ahorros a nuevos soles. ¿Qué porcentaje de su capital inicial en nue-vos soles perdió durante el año 2010, si el comporta-miento del tipo de cambio en las monedas mencio-nadas es el mostrado en las figuras adjuntas?

3,5

1,6

2,8

1,3

3,0

1,45

I

I

II

II

III

III

IV

IV

nuevos soles/dólar

dólar/euro

trimestres 2010

trimestres 2010

a) 1,87% b) 9,56% c) 18,75% d) 20,00% e) 21,70%

2. Un alumno universitario reparte (porcentualmen-te) su tiempo diario, tanto en invierno como en verano, en las siguientes actividades: asistir a clase (A), estudiar (B), tomar sus alimentos (C), dormir (D) y recrearse (E), según el gráfico que sigue:

5

10152025303540

A B C D E

% del día

actividad

verano

invierno

De las afirmaciones:

I. En invierno estudia 3,6 horas menos que en verano.

II. En verano duerme 2,4 horas más que en in-vierno.

III. En verano emplea más horas en alimentarse y dormir que en estudiar.

Son ciertas:

a) Solo I b) Solo II c) I y II d) II y III e) Todas

3. Un plan constante de construcción de vivien-das para 10 años, se inició en enero de 2006. ¿Cuáles de las siguientes figuras representaría el avance de tres años en los cuales se retrasa la décima parte de lo planificado?

% de viviendas construidas

a) 70

b) 83

c)

63

d)

27

e)

10

enunciado (4-5)Una distribuidora se dedica a la comercialización de cuatro marcas de bebida. El consumo total en el año 1980 fue de 40 000 unidades; y en el año 2000, de 100 000 unidades. Además, los niveles de consumo de las cuatro marcas está mostrado en los gráficos adjuntos.

B10%

1980 2000

A25%

A25%

B25%D

40%C

25%

C25% D

25%


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4. Señalar la afirmación correcta.

a) El consumo de "D" en 1980 es igual al con-sumo de "D" en el año 2000.

b) En dicho periodo el consumo de "D" aumen-tó en 20 000 unidades.

c) En dicho periodo el consumo de "A" aumen-tó en 10 000 unidades.

d) El porcentaje de consumidores de "B" en 1980 se cuadruplica en 2000.

e) La cantidad de consumidores de "A" en 1980 aumentó en 15 000 en el año 2000.

5. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

a) En 1980, el consumo de "A" fue de 10 000 unidades.

b) En el año 2000, el consumo de "D" fue de 40 000 unidades.

c) En el año 2000, el consumo de "A" fue de 10 000 unidades.

d) El consumo de "B" en el año 1980 fue igual al consumo de "B" en el año 2000.

e) El consumo de "C" en 1980 fue igual consu-mo de "C" en el año 2000.

enunciado (6-8)El siguiente gráfico muestra el ingreso de una corporación:

98

3,54

4,55 5

6

99 00 01 02 03

Ingreso (en miles de millones de dólares)

Facturación del año 2003 por sectores (millones de dólares)

Años

División de Educación

3690

Otros 1030Grupo TF 120

GrupoPIK1160


I. El grupo TF representa el 2% del ingreso del año 2003.

II. El Grupo Pik representa aproximadamente el 19,3% de la facturación del año 2003.

III. El ingreso de los últimos tres años se incre-mentó a un ritmo constante de 20%

a) I, II b) II y III c) I y III d) Solo I e) Todas

7. Si los porcentajes de facturación del año 2002 son los mismos del año 2003, entonces, ¿cuál fue el ingreso por facturación de la División de Educa-ción para el año 2002, en millones de dólares?

a) 2575 b) 257,5 c) 307,5 d) 3075 e) 2753

8. ¿Cuánto por ciento más factura la División de Educación respecto del Grupo Pik? (Aproxima-damente).

a) 220% b) 218% c) 222% d) 300% e) 318%

9. A continuación se muestran dos gráficos que refle-jan el número de turistas que llegan cada año a una ciudad y el dinero que gastan durante su visita:

10,1

15,1

7,2

13,5

5,0

12,1

4,7

0

0

2005

2005

2006

2006

2007

2007

2008

2008

número de turistas (en millones)

gastos (en miles de millones de dólares)

año

año

Marcar la alternativa que haga la secuencia co-rrecta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).

I. En promedio, en el año 2007 un turista gastó más que otro turista en el año 2006.

II. La variación porcentual en el número de tu-ristas en el año 2007 respecto del 2006 es

30,5!

%.

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III. El promedio de gastos por turista en el perio-do 2005 a 2008 es 3000 dólares.

a) VVV b) VVF c) FVV d) VFF e) FFF

10. Los gráficos muestran la producción de los pro-ductos "A" y "B", el precio de cada componen-te y la proporción de los componentes en cada producto.

Producto Precio en soles

20%

A B

zz

xxww yy 60º

120

100

z

y

x

w

0 0A 5 10 15 20B

Indicar la afirmación correcta.

I. El costo del producto "A" es mayor al del producto "B".

II. Para la producción mensual de los productos "A" y "B" se consumen 110 t de los compo-nentes (x+w).

III. En el producto "B" se gasta menos que en el producto "A", considerando solo el compo-nente "Z".


11. Indicar cuál de las siguientes afirmaciones es correcta, considerando la información del cua-dro de barras adjunto.

Cantidad de personas que prefieren tomar café instantáneo en el desayuno, según estado civil y sexo (septiembre de 2007).

0 200

Divorciado/a 431

210

633

364

132

318

142

521

Esta

do c

ivil Viudo/a

Casado/a

Soltero/a

400 600 800 1000

I. Hay más hombres que mujeres que prefieren tomar café instantáneo.

II. El 28,17% de las personas que prefieren to-mar café son casadas.

III. Hay más viudas que mujeres divorciadas, que prefieren tomar café instantáneo.

IV. El porcentaje de mujeres solteras que prefie-re tomar café instantáneo es mayor al por-centaje de viudos.

a) I y II b) II y III c) I y III d) II y IV e) III y IV

enunciado (12-14)Las ventas totales de un empresa en el año 1998 fueron de S/. 1 000 000 y en el año 1999 aumentaron 20%.

C40%

1998 1999

C35%

A50%

A45%

B10%

B20%

12. En 1999, ¿en cuánto varió "B" respecto al año anterior?

a) "B" aumenta en 140% b) "B" aumenta en 240% c) "B" disminuye en 10% d) "B" aumenta en 340% e) "B" aumenta en 10%

13. En 1999, ¿en cuánto varió "A" con respecto al año anterior?

a) "A" aumenta en 108% b) "A" aumenta en 8% c) "A" disminuye en 108% d) "A" disminuye en 8% e) "A" aumenta en 54%

14. En 1999, ¿en cuánto varió "C" respecto al año anterior?

a) "C" aumenta en 105% b) "C" disminuye en 5% c) "C" disminuye en 105% d) "C" aumenta en 5% e) "C" aumenta en 25%

MujeresVarones

Producción(+) Componentes


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1. Un empresario decide invertir S/. 300 000 en tres actividades económicas, tal como se mues-tra en el gráfico adjunto:

Textil72º

Pesca108º

Minería

Las acciones de cada sector variaron mes a mes, tal como se indica en el siguiente gráfico:

Si compró y vendió sus acciones en los meses más convenientes, ¿en qué actividad gana más

Tarea domiciliaria

enunciado (15-17)En la siguiente tabla se muestran las unidades vendidas de tres productos -"A", "B" y "C"- en tres tiendas -T1, T2 y T3- en el mes de agosto.

T1 T2 T3

A 135 240 200B 225 320 200C 100 100 200

ProductoTienda


I. En el mes de agosto, T2 vendió en total 200 unidades más que T1.

II. En el mes de agosto, se vendieron en total 170 unidades más de "B" que de "A".

III. En el mes de agosto, T3 vendió en total me-nos que el total vendido por cualquiera de las otras dos tiendas.

a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) I y II e) I y III

16. En el mes de agosto, ¿qué porcentaje fueron las ventas que T2 realizó de "A" con respecto a las que realizó de "B"?

a) 65% b) 70% c) 72% d) 75% e) 78%

17. Si el precio de venta unitario del producto "C" es 20% mayor que el de "B", el del producto "B" es 5% mayor que el de "A" y el precio de venta unitario de "A" es $100, ¿cuál fue el in-greso total de la tienda T3 en agosto?

a) $66 200 b) $70 200 c) $62 600 d) $65 400 e) $68 300

enunciado (18-20) El siguiente gráfico muestra la cantidad de libros vendidos por las librerías Alfa, Beta, Delta y Gamma, en tres meses:

070

DELTA

GAMMA

BETA

ALFA

80 100 130 180140 190 200 240

EneroFebreroMarzo


I. La librería Gamma vendió 50 libros en marzo.II. La librería Beta vendió 60 libros en marzo.III. La librería Alfa vendió 10 libros menos en

marzo que en febrero.


19. En enero, ¿qué porcentaje de los libros fueron vendidos por la librería Beta, aproximadamen-te?

a) 20% b) 22% c) 24% d) 26% e) 28%

20. De enero a febrero, la venta de libros en ___ decayó en 37,5%.

a) la librería Alfa b) la librería Gamma c) la librería Beta d) la librería Delta e) ninguna librería

ENERO FEBRERO

COSTODECADAACCIÓNEN$

MARZO ABRIL MAYO JUNIO

10

23456789

10

TEXTIL MINERÍA PESCA

Librerías

Cantidadde

libros

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dinero? ¿En qué meses hizo su mejor negocio? ¿Cuánto gana en la actividad que le resulta más rentable?

a) Pesca: febrero y junio; S/. 150 000 b) Pesca, enero y mayo; S/. 130 000 c) Minería; febrero y abril; S/. 120 000 d) Textil; febrero y junio; S/. 150 000 e) Textil, febrero y mayo; S/. 130 000

Gráfico (2 - 4)Se realizó una encuesta a 60 empleados de una empresa privada; los resultados de dicha encuesta se muestran en el gráfico I y el gráfico II.

GRÁFICO II

INVeRSIóN MeNSUAL POR HIJO

NUeVOS SOLeS (S/.)

0 50

VESTIDO

MOVILIDAD

SALUD

COLEGIO

100 150 200 250

20%

15%

55%

GRÁFICO I10%

con 1 hijocon 2 hijoscon 3 hijoscon 4 hijos

con 1 hijo : 10%con 2 hijos : 55%con 3 hijos : 15%con 4 hijos : 20%

2. ¿Cuántos soles invierte en total un empleado que pertenece al grupo mayoritario de emplea-dos con hijos?

a) S/. 2000 b) 1800 c) 1200 d) 2200 e) 1500

3. Indicar verdadero (V) o falso (F)

I. Hay nueve empleados que tienen tres hijos.

II. Si durante el mes anterior, ninguno de los hijos de un empleado que pertenece al se-gundo grupo mayoritario se ha enfermado, Entonces, dicho empleado ahorró S/. 500.

III. La máxima inversión realizada en un hijo es 100% mayor que la mínima inversión.

a) VFV b) VVF c) FFV d) VFF e) FVF

4. Si el 50% de los empleados que pertenecen a la minoría logran una beca de estudios para todos sus hijos, entonces, ¿cuánto ahorraría dicho gru-po?

a) S/. 500 b) S/. 400 c) S/. 700 d) S/. 600 e) S/. 550

5. Gráfico

1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º

PREC

IO ($

)

0

10

5

25

20

15

ACCIONES DE "B"ACCIONES DE "A"

Si el segundo y tercer día, Luis compra 20 ac-ciones "A" y 35 acciones "B", y las vende el últi-mo y séptimo día, respectivamente, ¿qué ocurre con su inversión?

a) Gana $100 b) Pierde $200 c) Gana $150 d) Pierde $150 e) Gana $200

Gráfico 6. El gráfico muestra las exportaciones del Perú en

los dos últimos meses del año.

TEXTILERÍA AGRICULTURA

PESCA MINERÍA

0

10

20

30

40

50

EN MILLONES ($)

NOVIeMBRe dICIeMBRe

¿En qué porcentaje se incrementaron las expor-taciones de nuestro país?

a) 33,33% b) 32% c) 35% d) 33% e) 35,25%


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Gráfico (7-9)A continuación se muestra la distribución de notas del curso de Cálculo en la UNI.

0 4

10

18

24

32

6

8 12 16 20

Número de alumnos

Nota

7. Si se aprueba con "m" puntos, ¿cuál es ese valor si se sabe que los aprobados fueron 56 alum-nos?

a) 7 b) 8 c) 9 d) 20 e) 11

8. Hallar la suma de la mediana, la media y la moda, aproximadamente:

a) 34,01 b) 32,03 c) 34,04 d) 30,89 e) 31,04

9. Si para mejorar el promedio se decide aumentar dos puntos a todos los que obtuvieron 8 o me-nos, y un punto a los que obtuvieron más de 8, el nuevo promedio estaría entre:

a) 10,5 y 11 b) 11 y 11,5 c) 11,5 y 12 d) 12 y 12,5 e) 12,5 y 13

Gráfico (10-11) El gráfico representa los resultados de una encuesta realizada a un grupo de personas sobre su estado civil y si tienen o no hijos.

0

5

1012 13 15

1820

30

25

32

15

20

25

30

35

CA

NTI

DA

D D

E PE

RSO

NA

S

HOMBRES SOLTEROS HOMBRES CASADOSMUJERES SOLTERAS MUJERES CASADAS

CON HIJOS SIN HIJOSCONdICIóN

10. ¿Qué porcentaje representan las mujeres sin hijos?

a) 34,56% b) 34,67% c) 34,54% d) 35,54% e) 36,54%

11. ¿Qué porcentaje de las personas casadas repre-sentan los hombres solteros con hijos?

a) 12,9% b) 13,8% c) 12,8% d) 13,4% e) 12,6%

12. El gráfico muestra la evolución de la matrícu-la en el sistema universitario del Perú, del año 2001 a 2004.

200

250

300

150

100

50

0 2001 2002 2003 2004

miles de matriculados

Univ. públicaUniv. privada

año

Determinar el porcentaje que representa la can-tidad de matriculados en las universidades priva-das en los cuatro años, respecto al total de matri-culados en el sistema universitario nacional.

a) 40,00% b) 42,10% c) 50,00% d) 52,38% e) 53,00%

13. Las ventas de una tienda en el año 2009, se muestran por rubros en el gráfico I. En el gráfico II, se muestra el rubro "equipos de cómputo" por tipo. Determinar el monto aproximado de ventas de laptops en miles de dólares.

Equipos de audio-video$500 000Equipos de

computo

GRÁFICO I

Lavadoras cocinas

Equipos de frio20%

60º

90º

15%Calculadoras y accesoriosLaptos

GRÁFICO II

PC de escritorio

150º

a) 319,44 b) 332,22 c) 333,33 d) 434,44 e) 766,66

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14. Los gráficos muestran las ventas de una tienda de artefactos eléctricos.

0 2005 2006 2007

45

56

80miles de dólaresVentas

Año 2007

años

PC

Otros

TVEquipos de

sonido

100º

120º

Indicar las afirmaciones que son verdaderas.

I. Las ventas se han incrementado en más del 70%, de 2005 a 2007.

II. En 2007, la venta en equipos de sonido fue de 20 mil dólares.

III. Las ventas en otros artículos, para 2007, fue menos de 10 000 dólares.

a) I b) II c) I y II d) I y III e) II y III

15. Del gráfico Tasa de aprobación de un grupo de estudiantes

en los cursos "A", "B", "C", "D" y "E".

0 A

60% 60%

80%

50%

70%

B C D E

%

año

Se afirma:

I. El porcentaje promedio de desaprobación por curso es 36%.

II. El porcentaje de aprobación del curso "D" es el 60% del porcentaje de aprobación del curso "B".

III. La tasa de desaprobación del curso "E" es el 60% de la tasa de aprobación del curso "C".

¿Cuáles de las afirmaciones son verdaderas?


16. El gráfico adjunto muestra cómo comparten el mercado de computadoras las empresas "A", "B", "C" y "D". Si la empresa "A" se retira del mercado, la empresa "B" desea mantener la misma proporción del mercado, comparado con "C" y "D" antes de que se retire "A". De-terminar qué porcentaje del mercado total debe tener "B" para cumplir su deseo.

AB C D

%MERCADO

a) 36,10 b) 38,88 c) 39,12 d) 40,01 e) 41,31

17. El siguiente histograma muestra la distribución de las masas en kilogramos de un grupo de per-sonas.

a

b

c

d

50 90

f

masa (kg)

El ancho de clase es constante. Si "a", "b", "c" y "d" son entre sí como 2; 3; 4 y 5; respecti-vamente ¿qué porcentaje de las personas tiene una masa comprendida entre 65 y 80 kilogra-mos? (Redondear al centésimo).

a) 42,31 b) 45,31 c) 47,51 d) 48,31 e) 50,51

35

3025

10


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Gráfico (18-20)Una empresa de golosinas saca al mercado su nuevo producto, el cual es vendido en los sectores "A", "B", "C" y "D" de la gran Lima y provincias. Los resultados son:

D5% D

20%

C40%

C30%B

25%

B40%

A30%

A10%

GRAN LIMA PROVINCIAS

En Lima hubo el triple de ventas que en Provincias.

18. ¿Qué porcentaje de las ventas totales (Lima y provincias) se realizan en el sector "B"?

a) 27,5% b) 28,5% c) 28,25% d) 28,75% e) 29,25%

19. ¿Cuál es el porcentaje de chocolates que se ven-dieron en el sector "C" de Lima respecto al sec-tor "C" de provincias?

a) 23% b) 300% c) 400% d) 600% e) 350%

20. Si sumaran Lima y provincias, ¿qué ángulo cen-tral le correspondería al sector "A"?

a) 60º b) 75º c) 85º d) 90º e) 100º

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Problemas resueltos

1. Encontrar el valor de "A".

A=!!

!!

!! ...

!!

20

31

42

2018

+ + + +

Resolución

Simplificando, se tiene:

A=× × ×

...×1 2

12 3

13 4

119 20

1+ + + +

A=21

21

31

31

41 ...

1911

201- + - + - + + -

A=1-201

2019=

Rpta.: 19/20

2. ¿En cuántos ceros termina el resultado de la si-guiente expresión?

M=(11!×22!×33!)3

Resolución

En forma práctica buscamos los múltiplos de 5 contenidos en cada caso.

11 52

2 ceros

• 22 54

4 ceros

• 33 5561

6+1=7 ceros

•

Luego:

M= (

...×10

11!2

?×

...×10

22!4

?×

...×10

33!7

?)3

M=( × × )3

M=(...1013)3=...1039

Rpta.: Termina en 39 ceros

3. ¿De cuántas maneras distintas se pueden sentar en un salón de clase cuatro alumnos en nueve carpetas unipersonales?

Resolución

1er

Alumno2do

Alumno3er

Alumno4to

Alumno

9carpetas

8carpetas

7carpetas

6carpetas

Finalmente:

Total de formas: = 9×8×7×6=3024

Rpta.: 3024

4. ¿Cuántas palabras diferentes (no necesariamen-te pronunciables) se pueden formar con las le-trasdelapalabra"PERÚ"?

Resolución

1a

Letra2a

Letra3a

Letra4a

Letra

4casos

3casos

2casos

1casos

Finalmente: Total de palabras = 4×3×2×1=24

Rpta.: 24

5. ¿De cuántas maneras diferentes puede una per-sona ir de "A" hacia "D" si en ningún caso va a retroceder?

Resolución

A B C D

A →B→ C→ D 2×4×2=16

A → C→ D 1×2=2

A →B→ D 2×1=2

o

o

Finalmente: Total=16+2+2=20 Rpta.: 20


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1. Si: !

( ) ! ( ) !a

a a2 131- + - =

Calcular: ( ) !( ) !aa

21

-+

a) 24 b) 48 c) 60 d) 120 e) 144

2. Si: (x+3)! + (x+1)!(x+2)(x+3) = 240. Calcular el valor de:

E=!

( ) !x

x 1+

a) 2 b) 3 c) 4 d) 7 e) 6

3. Hallar "n" en:

! ( ! )

!n n

n1

6201

++ =

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

4. Calcular "a" en:

!

! ( ) ! ( ) ! ( ) !a

a a aa

a a a1 2 1+ + + +=

+ +

a) 3 b) 4 c) 5 d) 8 e) 9

5. Calcular:

!

(( !) !) ! !( !) !721

3 7193359+

+

a) 1/3 b) 2 c) 4 d) 1/2 e) 1/5

6. Señalar el valor entero y positivo de “n” para el cual se cumple que:

(n+1)! x (n-1)! = 36n + (n!)2

a) 13 b) 72 c) 4 d) 6 e) 2

7. Simplificar:

! ( ) !

( ) !Q

nm

nm n

nm

nm n2

=+ +

+ -

a) 1 b) mn c) m/n d) n/m e) m

8. Encontrar la suma:

!!

!!

!!

!! ...S

20

21

42

53= + + + + "n" sumandos

a) n/(n+1) b) n(n+1) c) (n2 - 1)/n d) (n+1)/n e) n

9. Dos varones y tres mujeres van al cine y se sien-tan en una fila de cinco asientos.

¿De cuántas maneras pueden sentarse? ¿De cuántas maneras, si las mujeres deben estar

juntas? ¿De cuántas maneras, si los hombres deben es-

tar juntos? ¿De cuántas maneras, si las mujeres no pueden

estar juntas? Dar la suma de los resultados.

a) 231 b) 211 c) 216 d) 238 e) 120

10. En una fiesta se encuentran Juan, Paty, dos varo-nes y cuatro mujeres más.

¿Cuántas parejas se pueden formar? ¿Cuántas, si Juan solo quiere estar con Paty? ¿Cuántas, si Paty solo quiere estar con Juan? ¿Cuántas, si Paty solo quiere con Juan y vicever-

sa? ¿Cuántas, si ambos no desean estar juntos? Dar la suma de los resultados.

a) 60 b) 45 c) 34 d) 79 e) 62

11. ¿De cuántas maneras se puede llegar de "A" a "B" en el siguiente circuito?

A B

a) 20 b) 21 c) 22 d) 31 e) 30

12. Un ladrón quiere abrir la caja fuerte y sabe que la combinación consta de tres dígitos y que los dígitos posibles son 2; 4 y 6. ¿Cuál es el mayor número de combinaciones erradas que podría intentar?

a) 21 b) 24 c) 25 d) 26 e) 27

Ciclo UNI186



Ciclo UNI186



13. La placa de un automóvil esta conformada por cinco símbolos, siendo las dos primeras, voca-les, y los tres últimos dígitos.

¿Cuántas placas se pueden hacer? ¿Cuántas, si las vocales son diferentes? ¿Cuántas, si los dígitos son diferentes? ¿Cuántas, si vocales y dígitos son diferentes? Dar la suma de los resultados.

a) 67 700 b) 77 400 c) 66 890 d) 77 300 e) 77 895

14. Orlando solo sabe contar hasta el 30 y observa los siguientes números: 2; 5; 4; 3; 1. ¿De cuán-tas maneras podrá identificar lo siguiente: 3 2 4 5 1 3?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

15. ¿De cuántas maneras podrá vestirse Leo si tiene tres pares de zapatillas, cuatro pantalones (dos iguales), seis polos (tres iguales) y siete shorts (cuatro iguales)?

a) 504 b) 144 c) 200 d) 84 e) 70

16. Con cuatro banderas de diferente color se debe mandar un mensaje de un barco a otro. ¿Cuán-tos mensajes se pueden mandar si no es obliga-torio usar todas las banderas?

a) 64 b) 40 c) 24 d) 8 e) 12

17. ¿Cuántos números pares de tres cifras pueden formarse con los dígitos: 1; 2; 5; 6; 7; 8 y 9? Además, la cifra de las decenas es impar.

a) 90 b) 84 c) 56 d) 88 e) 200

18. ¿De cuántas maneras distintas pueden cinco niños y cinco niñas sentarse en cinco bancas, cada una con capacidad para dos de ellos, de modo que en cada banca se sienten un niño y una niña?

a) 456 000 b) 234 900 c) 231 890 d) 460 800 e) 450 800

19. ¿En cuántos ceros termina 100!?

a) 12 b) 23 c) 24 d) 25 e) 30

20. Se dispone de cinco colores diferentes para pin-tar la siguiente figura:

En la cual debe verificarse que cuadrados ve-cinos tengan colores distintos. ¿De cuántas maneras puede cumplirse dicho objetivo, si el número de colores utilizados en cada caso es mínimo?

a) 24 b) 60 c) 120 d) 180 e) 360

21. Un bote va a ser tripulado por ocho hombres, de los cuales Manuel y Pedro reman en el lado derecho y Juan, en el lado izquierdo. ¿De cuán-tas maneras puede ordenarse la tripulación, si en cada lado se ubican cuatro hombres?

a) 2400 b) 120 c) 360 d) 5760 e) 2600

22. Si cinco niños, cuatro hombres y tres mujeres van a sentarse en una fila de 12 asientos, ¿de cuántas maneras diferentes se podrán ubicar para que los niños permanezcan juntos entre sí, lo mismo que los hombres y las mujeres?

a) 120 001 b) 23 1000 c) 103 456 d) 103 280 e) 103 680

23. Hallar "x" en:

1! 22+2!32+3!42+… 20!212 = ×! – 2!

a) 12 b) 13 c) 24 d) 25 e) 22

24. Si: 120.(120) 24! = (5!) (4!)! . (5+x)!

Calcular: (x+2)!

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

25. ¿Cuántos números capicúas de cinco cifras sig-nificativas existen, tales que el producto de es-tas sea un cuadrado perfecto?

a) 234 b) 243 c) 122 d) 121 e) 456


Ciclo UNI186



Ciclo UNI186



Tarea domiciliaria

1. Juanito tiene cuatro pantalones y dos pares de zapatos, todos de diferente color. ¿De cuántas formas puede vestirse alternando estas prendas?

a) 12 b) 24 c) 8 d) 16 e) 20

2. Simplificar: ( ) ! ( ) !

( ) ! ( ) ! ( ) !n n

n n n1 2

1 2 3+ + +

+ + + + +

a) n b) n+3 c) n - 2 d) n+2 e) n+1

3. Simplificar:

P= ( !× ! ×( !) )

( !) × ! ×( !) × !9 7 8

8 7 9 8!

! ! ! !

9 2 8

8 1 9 8 8+

a) 1 b) 8 c) 8! d) 9 e) 9!

4. Una persona puede viajar de "A" a "B" por vía terrestre o por vía aérea y tiene a su disposición dos líneas aéreas y cinco líneas terrestres. ¿De cuántas maneras distintas puede realizar el via-je?

a) 7 b) 5 c) 6 d) 8 e) 10

5. Juan Carlos tiene cinco pantalones y seis cami-sas, todos de distintos colores. ¿De cuántas ma-neras puede escoger las prendas, sabiendo que el pantalón marrón se lo debe poner siempre con la camisa crema y viceversa?

a) 30 b) 20 c) 21 d) 36 e) 24

6. Con todas las letras de la palabra "PERUANO", ¿cuántas palabras diferentes se podrán formar, si todas deben empezar con la letra "P", terminan en "O" y llevan siempre consigo la sílaba "RU"?

a) 60 b) 120 c) 48 d) 24 e) 12

7. ¿De cuántas maneras diferentes, cuatro parejas de enamorados pueden ubicarse alrededor de una fogata? Se debe cumplir que:

I. Los hombres y mujeres se sienten alternados. II. Cada pareja debe estar siempre junta. Dar como respuesta la suma de los resultados

obtenidos en ambos casos.

a) 36 b) 96 c) 122 d) 132 e) 142

8. ¿Cuántas permutaciones distintas se pueden for-mar con las letras de la palabra "CAPACIDAD"?

a) 30 240 b) 15 120 c) 7560 d) 6832 e) 3415

9. Con cuatro oficiales y ocho soldados, calcu-lar el número de grupos de seis miembros que pueden formarse, de manera que en cada grupo haya un solo oficial.

a) 220 b) 224 c) 315 d) 320 e) 248

10. ¿Cuántos ordenamientos diferentes pueden obtenerse con las letras de la palabra "BLAN-QUIAZUL"?

a) !8

11 b) !6

11 c) !5

12

d) !8

10 e) !5

10

11. Si se tienen cuatro consonantes diferentes y tres vocales diferentes, ¿cuántos arreglos de cuatro letras se pueden formar donde intervengan dos vocales diferentes y dos consonantes diferentes?

a) 36 b) 432 c) 144 d) 24 e) 720

12. ¿Cuántos partidos de fútbol se juegan en total en un campeonato que se disputa a dos ruedas? Supongamos que participan 20 equipos.

a) 190 b) 380 c) 830 d) 890 e) 910

13. De un grupo de ocho hombres y siete mujeres, ¿cuántos grupos mixtos de siete personas se puede formar, sabiendo que en cada grupo hay cuatro varones y el resto son damas?

a) 2480 b) 4520 c) 2450 d) 4250 e) 5240

14. Si disponemos de las fichas de ajedrez (solo las blancas) y queremos ordenarlas en una fila, ¿de cuántas maneras se puede realizar este ordena-miento?

a) 2!!

715c m b) 2

8!15!c m c) 23!

d) 16! e) 15!

Ciclo UNI188



15. Con un grupo de 10 personas, ¿cuántos cuarte-tos diferentes se podrán formar?

a) 10! b) 5040 c) 210 d) 24 e) 40

16. Se tienen ocho frutas diferentes. ¿Cuántos jugos surtidos diferentes se podrán preparar con tres de ellas?

a) 336 b) 56 c) 8! d) 24 e) 6

17. En un torneo futbolístico participan siete equi-pos. ¿Cuántos partidos diferentes se realizarán, si juegan todos contra todos?

a) 21 b) 5040 c) 42 d) 2520 e) 49

18. Un club desea formar una bandera representati-va, de tres franjas verticales, una a continuación de la otra. Si se proponen siete colores diferen-tes, ¿cuántas banderas tricolores diferentes se podrán formar?

a) 35 b) 210 c) 5040 d) 21 e) 20

19. Se tiene ocho puntos en un plano, de los cuales tres o más no pueden estar en línea recta. ¿Cuán-tos triángulos diferentes se podrán formar?

a) 56 b) 28 c) 81 d) 336 e) 168

20. ¿En cuántos ceros termina el resultado de 30!?

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10





Problemas resueltos

1. Con las frutas: fresa, papaya, mango y plátano, ¿cuántos jugos de diferente sabor se pueden hacer?

Resolución Considerando que los jugos se pueden preparar

de diferentes maneras, es decir:

Con 1 fruta: C14=4

Con 2 frutas: C24=6

Con 3 frutas: C34=4

Con 4 frutas: C44=1

Nota: Al preparar los jugos no interesa el orden de la frutas

Rpta.: 15

2. En la familia Muñoz hay seis hermanos y cada hermano tiene tres sobrinos (de primer grado). ¿Cuántas fotos diferentes se les puede tomar, si en cada foto debe haber tres hermanos y dos sobri-nos?

Resolución Analizando: Lo primero es seleccionar quiénes

se van a fotografiar y luego, en cada foto, se de-ben ordenar a las personas; tenemos:

Hermanos=6 Sobrinos=3 En las fotos : C3

6 × C23×5!=7200

Rpta.: 7200

3. En una reunión hay: cuatro peruanos, dos co-lombianos y tres argentinos. ¿De cuántas ma-neras diferentes se pueden sentar en una fila, de modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos?

Resolviendo

Analizando: • Soloperuanos=4! • Solocolombianos=2!

•Soloargentinos=3!• Tambiénesnecesarioordenarlospornacio-

nalidad, finalmente:

Total de casos=4!×2!×3!×3!=1728

Rpta.: 1728

4. Se tienen seis telas de colores distintos. ¿Cuán-tas banderas de tres costuras verticales se pue-den formar?

Resolviendo

Analizando, se tiene:

color1

cuatro colores a usar por bandera

color2

color3

color4

Finalmente:

Color1↓6

Color2↓5

Color3↓4

Color4↓3× × × =360

Rpta.: 360

5. Se tienen cinco números positivos y siete núme-ros negativos, se eligen cuatro números arbitra-riamente, sin sustitución, y se multiplican. ¿De cuántas formas se puede obtener un producto positivo?

Resolución

• Paraobtenerunproductopositivosetienenlos siguientes casos:

• 4positivos→ C45=5

• 4negativos→ C47=35

• 2positivosy2negativos→ ×C C25

27=10×21

Finalmente: Total=5+35+210=250 Rpta.: 250

Total de jugos:

4+6+4+1=15

se escogen3 de 6

se escogen2 de 3

Hay tres nacionalidades

Ciclo UNI190



Ciclo UNI190




1. En un torneo pugilístico participan siete boxea-dores. Si pelean todos contra todos, ¿cuántas luchas se realizarán?

a) 71 b) 504 c) 21 d) 42 e) 6

2. ¿Cuántos números de cinco cifras diferentes pue-den formarse con todos los dígitos significativos?

a) 15 120 b) 720 c) 153 d) 9! e) 60

3. ¿Cuántos grupos de cinco letras se pueden formar con las letras "a", "b", "n", "o", "e", "q" y "r"?

a) 7 b) 12 c) 21 d) 35 e) 60

4. ¿Cuántas sumas diferentes de dos sumandos se pueden hacer con los números: 1; 3; 5; 7; 11 y 26?

a) 10 b) 12 c) 14 d) 13 e) 15

5. Con un grupo de 10 personas, ¿cuántos cuarte-tos diferentes se podrán formar?

a) 10! b) 5040 c) 210 d) 24 e) 40

6. Se tienen ocho frutas diferentes. ¿Cuántos jugos surtidos diferentes se podrán preparar con tres de ellas?

a) 336 b) 56 c) 8! d) 24 e) 6

7. Entre ocho candidatos, se desea elegir a un pre-sidente, un secretario y un tesorero. ¿Cuántas directivas diferentes se podrán formar?

a) 336 b) 56 c) 81 d) 6 e) 24

8. Un marinero tiene siete banderolas del mismo tamaño, pero de colores diferentes; si iza cinco de ellas en un mástil una a continuación de la otra, siendo la primera blanca y la última amari-lla, ¿cuántas señales diferentes podrá hacer?

a) 60 b) 10 c) 120 d) 210 e) 20

9. ¿De cuántas maneras distintas se pueden ubicar cinco parejas de esposos alrededor de una foga-ta, siempre que cada matrimonio permanezca junto?

a) 362 b) 1444 c) 1236 d) 768 e) 760

10. ¿De cuántas maneras podemos sentar a seis ni-ños alrededor de una mesa circular, de modo que dos de ellos ("P" y "Q"), previamente deter-minados, no estén juntos?

a) 18 b) 42 c) 70 d) 72 e) 120

11. Un alumno quiere responder 10 de 12 pregun-tas de un examen. ¿De cuántas maneras puede hacerlo?

a) 25 b) 24 c) 12 d) 66 e) 32

12. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir siete canicas blancas idénticas en cuatro recipientes diferentes?

a) 84 b) 72 c) 36 d) 240 e) 120

13. ¿De cuántas maneras diferentes, dos peruanos, tres argentinos y cuatro colombianos pueden sentarse en fila, de modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos?

a) 864 b) 1728 c) 688 d) 892 e) 1700

14. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sen-tar 10 personas en una mesa redonda de seis asientos, si cuatro están en espera?

a) 2520 b) 1200 c) 25 200 d) 10! e) 1800

15. De una baraja de 52 cartas, se extraen al azar cinco de ellas. ¿De cuántas formas se pueden obtener tres corazones y dos espadas?

a) 12 345 b) 12 222 c) 12 113 d) 22 308 e) 22 480

16. Un grupo de inversionistas está conformado por siete mujeres y cuatro hombres. ¿De cuántas maneras diferentes se puede formar una expedi-ción de seis personas en la cual debe haber por lo menos dos hombres?

a) 320 b) 125 c) 729 d) 371 e) 900


Ciclo UNI190



Ciclo UNI190



17. De un grupo formado por siete hombres y cua-tro mujeres hay que escoger seis personas de forma que entre ellas haya no menos de dos mujeres. ¿De cuántas maneras puede efectuarse la elección?

a) 72 b) 181 c) 192 d) 371 e) 901

18. Con las frutas: plátano, melón, piña, papaya y mamey, ¿cuántos jugos de diferentes sabores se pueden hacer?

a) 13 b) 10 c) 25 d) 32 e) 31

19. Un examen consta de 12 preguntas, de las cua-les el estudiante debe contestar 10. Si de las seis primeras preguntas debe contestar por lo menos cinco, ¿cuántas posibilidades de elegir 10 pre-guntas tiene el estudiante?

a) 15 b) 36 c) 51 d) 21 e) 27

20. ¿Cuántas palabras de seis letras, que contengan dos vocales diferentes y cuatro consonantes distintas, se pueden formar con cuatro vocales, incluyendo la "e", y seis consonantes, incluyen-do la "s", de manera que empiecen con "e" y contengan la "s"?

a) 21 600 b) 3600 c) 7200 d) 10 800 e) 9600

21. Si disponemos de las fichas de ajedrez y quere-mos ordenarlas en una fila, ¿de cuántas maneras se puede realizar este ordenamiento?

a) !!

832 b)

!!

831

2 c) 32!

d) !!

1632 e)

. ( !)!

2 831

2

22. ¿Cuál será el número de letras de una palabra, sa-biendo que el número de combinaciones toma-das de dos a dos, es igual al de combinaciones tomadas de tres a tres, como tres es a cinco?

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

23. ¿Cuántos partidos de fútbol se juega en un cam-peonato a dos ruedas, si existen 30 equipos?

a) 435 b) 900 c) 870 d) 890 e) 910

24. El número de permutaciones de "x" objetos to-mados de seis en seis es 720 veces el número de combinaciones de esos mismos objetos agrupa-dos de cuatro en cuatro. Hallar el valor de "x".

a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

25. ¿Cuántos números enteros y desiguales, mayo-res de 10 y menores de 100, se pueden formar con las cifras: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 y 8?

a) 72 b) 58 c) 64 d) 50 e) 35

Tarea domiciliaria

1. ¿Cuántas palabras diferentes, con o sin sentido, se pueden formar con todas las letras de la pala-bra PISCO?

a) 24 b) 60 c) 120 d) 72 e) 48

2. ¿Cuántas palabras diferentes, con o sin sentido, se pueden formar con todas las letras de la pala-bra CALABAZA?

a) 1680 b) 40 320 c) 2460 d) 5040 e) 3360

3. ¿De cuántas maneras diferentes se podrán orde-nar a seis personas en una fila?

a) 120 b) 240 c) 720 d) 360 e) 1 440

4. Se tiene cinco puntos coplanares donde no exis-ten tres o más puntos colineales. ¿Cuántos trián-gulos diferentes se pueden trazar si se usan los puntos como vértices?

a) 20 d) 10 c) 12 d) 15 e) 60

5. A un trabajo se presentan cuatro hombres y seis mujeres. Si hay plazas disponibles para dos mu-jeres y tres hombres, ¿de cuántas maneras dife-rentes se podrá realizar la selección?

a) 36 b) 48 c) 120 d) 60 e) 90

Ciclo UNI192



6. Alrededor de una mesa circular con ocho asien-tos distribuidos simétricamente se van a sentar ocho amigos. ¿De cuántas maneras diferentes podrán ocupar los asientos?

a) 40320 b) 5040 c) 10240 d) 10320 e) 720

7. Se dispone de siete frutas. ¿Cuántos jugos surti-dos de tres frutas diferentes se podrá preparar?

a) 35 b) 28 c) 210 d) 120 e) 70

8. En una carrera de 100 metros planos participan 8 atletas. ¿De cuántas maneras fueron ocupados los cuatro primeros lugares, si Usain Bolt ganó la carrera?

a) 840 b) 640 c) 70 d) 210 e) 336

9. Un profesor debe elegir a un delegado, un te-sorero y un asistente de aula. Si cuenta con 24 alumnos, ¿de cuántas maneras diferentes podrá realizar la elección? Dar por respuesta la suma de las cifras del número.

a) 12 b) 14 c) 15 d) 13 e) 11

10. La Tinka es un juego que consiste en que cada concursante elige 6 números de 48 posibles. El día domingo, el conductor del espacio saca seis bolos de un ánfora y si ellos coinciden con los bolos que eligió algún concursante, gana un premio de varios millones de soles. ¿Cuántos boletos debo jugar para estar seguro de que ga-naré el premio? Dar por respuesta la suma de las cifras del número.

a) 18 b) 19 c) 21 d) 22 e) 20

11. Según el enunciado de la pregunta anterior, si el premio es de 5 millones de soles y el costo de cada boleto es de 3 soles, ¿cuánto se perderá, en soles, si se compra todos los boletos que sean necesarios para asegurar que se ganará el premio?

a) Más de 30 millones b) Entre 25 y 30 millones c) Entre 20 y 25 millones d) Menos de 20 millones

e) 25 millones

12. Se desea contratar tres arquitectos y cuatro abo-gados. Si se presentan ocho arquitectos y seis abogados, ¿de cuántas maneras diferentes se podrá realizar la elección de los puestos?

a) 720 b) 720 c) 1 160 d) 840 e) 1680

13. En una mesa de póker hay seis asientos distri-buidos simétricamente. Si existen ocho perso-nas paradas que desean participar del juego, ¿de cuántas maneras diferentes se podrán sentar seis de ellas sabiendo que las restantes deberán hacer una cola para que cuando haya un elimi-nado pasen a sentarse en la mesa?

a) 6720 b) 3360 c) 1440 d) 2960 e) 10080

14. Se han producido doce chocotejas y cuatro de ellas no tienen relleno. Si una persona recibe una chocoteja sin relleno entonces se le entre-gará otra gratis. Mariana compró una chocoteja y al final comió tres por el precio de una, ¿de cuántas maneras diferentes pudo haber hecho la selección para que ocurra ello?

a) 48 b) 96 c) 72 d) 124 e) 66

15. Se desea contratar a cinco alumnos (más muje-res que hombres) para participar de un proyec-to escolar. Si se presentan seis mujeres y cinco hombres, ¿de cuántas maneras diferentes se po-drá realizar la elección?

a) 234 b) 264 c) 196 d) 281 e) 296

16. En una bolsa hay dos bolas blancas, tres bolas verdes y cuatro bolas azules. ¿De cuántas ma-neras diferentes podré extraer una bola de cada color, sin importar el orden?

a) 24 b) 12 c) 18 d) 36 e) 48

17. Una fábrica produce lotes de 20 televisores. Se elige una muestra de 6 televisores y se acep-ta el lote si máximo hay dos defectuosos, caso contrario se envía el lote a reparaciones. ¿De cuántas maneras diferentes se podrá devolver el lote a reparaciones si este tiene 4 defectuosos?

a) 1840 b) 25480 c) 2360 d) 7860 e) 4720


Ciclo UNI192



18. Responda lo mismo que en la pregunta anterior pero considere que el lote tiene 30 televisores, que se aceptará el lote si no hay ningún defec-tuoso en la muestra tomada, y que en el lote hay 5 defectuosos. El tamaño de la muestra será el mismo.

a) 236 435 b) 345 234 c) 416 675 d) 342 240 e) 526 920

19. Se dispone de doce números diferentes, seis po-sitivos y seis negativos. Se escoge cuatro de los números y se multiplican. ¿De cuántas maneras se podrá obtener un producto positivo?

a) 195 b) 255 c) 315 d) 45 e) 240

20. Una licorería produce diferentes tragos en base a vodka, ron, gin, tequila, whisky, pisco, vino, aguardiente y brandy. Si los licores tienen al menos dos de los ingredientes indicados, ¿cuán-tos tragos diferentes podrá preparar la licorería?

a) 511 b) 246 c) 1 014 d) 502 e) 512

Ciclo UNI194



Problemas resueltos

1. Se tiene un mazo de 52 cartas (13 de cada palo). ¿Cuántas cartas hay que sacar como mínimo para estar seguros de haber obtenido una carta con nu-meración par y de color rojo?

Resolución

• Analizando,sededuce:

Rojos

Paresimpares

1214

Negros

1214

• Considerandoelpeordeloscasos,setiene:

= 28 + 12 + 1 = 41Cartasextraídas

Impares Paresnegros

Rpta.: 41

2. Una urna contiene 18 bolas negras, 14 rojas y 17 blancas; la menor cantidad que debe sacarse para obtener al menos una de cada color es:

Resolución

• Lopeorquepodríaocurriresqueseextraigaun color por completo, entonces tendríamos:

Bolas extraídas=18 + 17 + 1 = 36 negras blancas

Rpta.: 36

3. Un kilogramo de duraznos contiene desde ocho hasta 12 duraznos. El precio de los más grandes varía desde 2 hasta 3,5 soles cada kilo, y el de los más pequeños, entre 1 y 1,5 soles el kilo. Si Lucía compra cuatro docenas pagando lo máxi-mo posible e Irene, la misma cantidad con el mínimo posible de dinero, ¿cuál es la diferencia entre los pagado por ambas?

Resolución

• Para que Lucía pague lo máximo posibledebe comprar muchos kilogramos a un pre-cio mayor, en cambio, Irene debe comprar

pocos kilogramos a menor precio, enton-ces:

Para Lucía

48÷8=6 kilogramosa S/.3,5 el kilogramo

GastaS/.21

123

Para Irene48÷12=4 kilogramosa S/.1 el kilogramo

GastaS/. 4

123

Piden la diferencia: 21 - 4=S/. 17

Rpta.: S/. 17

4. En una caja hay 18 pares de guantes de color marrón y 13 pares de color negro. ¿Cuántos guantes se deben sacar como mínimo para con-seguir necesariamente un par de guantes del mismo color?

Resolución

Analizando, tenemos que de cada color hay: Marrones=36 Negros=26 Considerando lo peor que puede ocurrir, se de-

duce:

Guantes 1 + 1 + 1 = 3 extraídos

=marrón negro

Rpta.: 3

5. Una bolsa contiene caramelos: "n" de limón, (n - 1) de naranja, (n - 2) de piña y (n - 3) de mango. ¿Cuán-tos caramelos como mínimo hay que extraer al azar para tener la seguridad de haber extraído por lo me-nos, tres de cada sabor? (n>6).

Resolución

• Considerandolopeorquepuedeocurrir,setiene:

Caramelosextraídos = n+(n - 1)+(n - 2)+3=3n

Rpta.: 3n


Ciclo UNI194




1. En una caja se tienen 21 fichas rojas, 20 blan-cas, 28 verdes, 11 negras, 11 azules y 9 amari-llas. ¿Cuál es el mínimo número de fichas que se deben extraer para tener necesariamente 15 fichas de un mismo color?

a) 31 b) 43 c) 74 d) 22 e) 20

enunciado (2 - 7)Dentro de una bolsa oscura hay un mazo de cartas (52 cartas, 13 de cada palo). ¿Cuántas hay que sacar como mínimo para estar seguro de haber obtenido:

2. Un as:

a) 3 b) 48 c) 49 d) 50 e) 13

3. Una carta de color negro:

a) 27 b) 28 c) 14 d) 26 e) 30

4. Dos corazones:

a) 39 b) 40 c) 41 d) 42 e) 43

5. Una carta con numeración prima:

a) 28 b) 29 c) 30 d) 31 e) 32

6. Dos cartas que sumadas resulten 10:

a) 34 b) 26 c) 24 d) 25 e) 27

7. Dos cartas múltiplos de 5:

a) 44 b) 46 c) 47 d) 42 e) 45

8. De un juego de ajedrez, cuántas fichas se de-ben extraer al azar y como mínimo para tener la certeza de haber obtenido tres peones (uno blanco y dos negros).

a) 24 b) 25 c) 26 d) 27 e) 28

9. De un juego de naipes (52 naipes, 13 de cada palo), ¿cuántos hay que extraer al azar y como mínimo para tener la seguridad de haber obte-nido lo siguiente?:

I. Una carta de color rojo II. Dos corazones y un diamante III. Tres naipes impares múltiplos de 3

Dar la suma de dichos resultados.

a) 115 b) 110 c) 112 d) 118 e) 120

10. Se tienen dos cajas: en una de ellas hay seis da-dos blancos y seis dados negros, y en la otra hay seis fichas blancas y seis fichas negras. ¿Cuál es el mínimo número de objetos que se deben sacar para tener necesariamente entre ellos un par de dados y un par de fichas, todos del mismo color?

a) 11 b) 7 c) 6 d) 4 e) 2

11. Una caja contiene “P” bolas rojas, “Q” blancas y “R” azules. Si se extraen al azar, ¿cuál es el mí-nimo número de bolas que deben sacarse para tener la certeza de que haya cuando menos dos bolas de colores diferentes? (P>R>Q).

a) PR-Q b) PR+1 c) P+1 d) Q+1 e) PQR-1

12. Pepe tiene en su establo: 20 caballos blancos, 25 caballos negros, 12 yeguas blancas y 10 ye-guas negras. ¿Cuántos animales se deben sacar al azar y cómo mínimo para tener la certeza de tener una pareja mixta del mismo color?

a) 26 b) 46 c) 12 d) 27 e) 39

13. Dentro de una urna depositamos 120 esferas numeradas del 1 al 120. Señalar cuántas esferas hay que extraer como mínimo para tener la cer-teza de haber obtenido:

I. Una esfera con numeración que termine en cero.

II. Dos esferas cuya numeración esté compren-dida entre 50 y 70.

III. Tres esferas comprendidas entre 80 y 110 que sean impares.

a) 110-109-108 b) 109-110-108 c) 109-103-108 d) 110-103-109 e) 103-108-109

14. Tres cajas idénticas contienen, cada una, dos pelotas. Una contiene dos pelotas negras, otra contiene dos pelotas blancas y la tercera, una pelota negra y una pelota blanca. Cierta vez las cajas estuvieron correctamente etiquetadas, pero debido a una confusión las etiquetas se mezclaron y ninguna caja quedó correctamen-

Ciclo UNI196



Ciclo UNI196



te etiquetada. Las etiquetas están marcadas con las siguientes abreviaturas: B.B.: Blanca-Blanca; N.N.: Negra-Negra; B.N.: Blanca-Negra. ¿Cuál de los siguientes pasos, por sí solo es suficiente para determinar el contenido de las tres cajas?

I. Extraer una pelota de la caja etiquetada N.N.II. Extraer una pelota de la caja etiquetada B.B.III. Extraer una pelota de la caja etiquetada B.N.

a) Solo I b) Solo III c) I o II d) II o III e) Solo II

15. Pedro tiene en una caja 10 fichas numeradas del 1 al 10. ¿Cuál es el mínimo número de fichas que ha de extraer para tener la seguridad de haber sacado tres fichas numeradas consecutivamente?

a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 7

16. Una bolsa contiene cuatro bolas blancas y dos bolas negras; otra contiene tres bolas blancas y seis bolas negras. Se saca sin mirar una bola de la primera bolsa y luego una de la segunda bolsa, y así se sigue alternadamente. Si se empieza sa-cando de la primera bolsa, ¿cuántas bolas como mínimo hay que sacar para tener la certeza de que se han sacado dos bolas de diferente color?

a) 4 b) 3 c) 6 d) 8 e) 7

17. En una reunión se encuentran 390 personas. ¿Cuántas personas como máximo deberán re-tirarse para que en dicha reunión tengamos la seguridad de que estén presentes dos personas que compartan el mismo onomástico?

a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 35

18. Una caja contiene (n3 - 1) bolas amarillas, (n2+1) bolas rojas, (3n+1) bolas verdes, (2n-4) bolas azules y (3n2+5) bolas negras. Si el mínimo número de bolas que deben extraerse al azar para tener la certeza de contar con dos bolas amarillas, tres rojas, cinco negras es (n3+354), ¿cuál es el valor de "n"? (n>3).

a) 11 b) 9 c) 10 d) 8 e) 7

19. Se tienen en una caja 15 pares de guantes ne-gros y 15 pares de guantes blancos. ¿Cuántos guantes como mínimo se deben extraer de la caja, sin mirarlos, para estar seguro de tener un par de guantes blancos que sirvan para usarse?

a) 32 b) 31 c) 60 d) 46 e) 45

20. Una bolsa contiene seis bolas blancas y tres bo-las negras; otra contiene cuatro bolas blancas y siete bolas negras. Se saca sin mirar una bola de la primera bolsa y luego una de la segun-da bolsa, y así se sigue alternadamente. Si se empieza sacando de la primera bolsa, ¿cuántas bolas como mínimo hay que sacar para tener la certeza de que se han sacado dos bolas de diferente color?

a) 4 b) 9 c) 10 d) 8 e) 11

MÁXIMOSYMÍNIMOS

21. Si “x” tiene un valor entre 4 y 5; y “z” tiene un valor entre 20 y 40, ¿entre qué valores estará z/x?

a) 4 y 8 b) 5 y 8 c) 4 y 10 d) 10 y 20 e) N. A.

22. Un kilo de duraznos contiene entre 8 y 12 du-raznos. El precio de los más grandes varía entre 2 y 3,5 soles por kilo, y el de los más pequeños, entre 1 y 1,5 soles por kilo. Si Rosario compra cuatro docenas pagando lo máximo posible y Erica, la misma cantidad pagando lo menos posi-ble, ¿cuál es la suma de lo pagado por ambas?

a) S/. 21 b) S/. 17 c) S/. 25 d) S/. 14 e) N. A.

23. Una caja contiene entre 20 y 25 unidades. Si el precio de compra varía entre 10 y 15 soles por caja, y el precio de venta, entre 20 y 25 soles por caja, ¿cuál sería la máxima ganancia a obte-ner por la venta de 100 naranjas?

a) S/. 50 b) S/. 60 c) S/. 75 d) S/. 80 e) S/. 85

24. Si 10 manzanas pesan entre “p” y “q” kg (p<q), ¿cuál es el máximo número de manzanas que pueden haber en 10 000 gramos?

a) p/100 b) q/100 c) 100/p d) 100/q e) N.A.

25. A un herrero le dan cinco pedazos de cadena de tres eslabones cada uno, y luego le encargan que los una formando una cadena continua. El herrero cobra S/. 1 por abrir un eslabón y S/. 2 por cerrar-lo. ¿Cuántos soles como mínimo debe pagársele?

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) N.A.


Ciclo UNI196



Ciclo UNI196



1. Dentro de una bolsa oscura depositamos 10 es-feras rojas, ocho negras y 12 blancas. ¿Cuántas hay que sacar al azar y como mínimo para tener la certeza de haber extraído cuatro esferas de uno de los colores?

a) 9 b) 10 c) 5 d) 8 e) 26

2. ¿Cuántas veces se debe lanzar un dado para te-ner la seguridad de obtener tres veces el mismo puntaje?

a) 12 b) 15 c) 13 d) 14 e) 3

3. Se tienen fichas de "m" clases diferentes y la cantidad suficiente de cada grupo. ¿Cuántas como mínimo se deben extraer para tener la certeza de haber sacado (m+1) de una de las clases?

a) m2 - 1 b) m2+m c) m2+1 d) m+3 e) 1 - m

4. Depositamos dentro de una urna, seis pares de guantes negros utilizables y seis pares de guan-tes blancos utilizables. ¿Cuántos guantes se de-ben sacar al azar y como mínimo para tener la seguridad de haber extraído un par de guantes utilizables y del mismo color?

a) 12 b) 13 c) 18 d) 3 e) 15

5. Sarita tiene en una urna 10 fichas numeradas del 1 al 10. ¿Cuál es el mínimo número de fi-chas que ha de extraer para tener la seguridad de haber sacado, cuatro fichas numeradas con-secutivamente?

a) 5 b) 8 c) 9 d) 4 e) 10

6. En una urna se tienen (a- b) fichas negras y (a+b) fichas blancas. ¿Cuántas fichas se deben sacar para tener la certeza de haber extraído "a" fichas de uno de los colores?

a) 2b - a b) a+b c) a - b d) 2b+a e) 2a - b

7. Depositamos 20 esferas blancas, 18 azules y 12 cremas, todas del mismo tamaño. ¿Cuántas se deben extraer como mínimo para tener la segu-ridad de haber obtenido 15 de uno de los colo-res?

a) 44 b) 43 c) 42 d) 41 e) 40

8. Depositamos en un ánfora 80 bolas numeradas del 1 al 80. ¿Cuántas esferas hay que extraer como mínimo para tener la seguridad de haber obtenido una esfera con numeración par?

a) 44 b) 58 c) 46 d) 41 e) 50

Tarea domiciliaria

26. Francesca quiere abrir el maletín de su novio, cuya clave consta de tres dígitos. Si ella solo sabe que los dígitos posibles son 3, 4 y 5, ¿cuál es el menor número de combinaciones erradas que podría intentar?

a) 5 b) 27 c) 26 d) 30 e) N.A.

27. Una librería tiene 11 tiendas en una ciudad. Si en total cuenta con 100 empleados y ninguna tienda tiene menos de siete ni más de 12, ¿cuál es el menor número de empleados que puede haber en tres tiendas?

a) 19 b) 20 c) 21 d) 28 e) N.A.

28. ¿Cuál es el máximo valor de la siguiente expre-sión?

( ) ( )

Qx x1 1 3

22 2

=+ - +

a) 1 b) 2 c) 2/3 d) 1/2 e) N.A.

29. Un grupo de 456 alumnos de la Universidad Ca-tólica va a elegir a su representante estudiantil. Si se presentan cinco candidatos, ¿cuál es el menor número de votos que puede obtener uno de ellos para tener así, más que cualquiera de los otros cuatro?

a) 90 b) 91 c) 92 d) 93 e) N.A.

30. Se tienen 3n perlas, todas del mismo color y ta-maño, pero una de ellas más pesada que las de-más. ¿En cuántas pesadas como mínimo se puede determinar cuál es la más pesada con seguridad, si se dispone de una balanza de dos platillos?

a) 2n b) nn c) 2n - 1 d) n+1 e) n+2

Ciclo UNI198



9. En un camal hay 10 toros negros y 10 toros blancos. En otro camal hay 10 vacas negras y 10 blancas. ¿Cuántos animales se deben extraer en total y al azar para tener la seguridad de haber obtenido una pareja mixta del mismo color?

a) 11 b) 3 c) 12 d) 10 e) 21

10. De un juego de cartas (52 naipes, 13 de cada palo), ¿cuántas hay que extraer al azar y como mínimo para tener la seguridad de haber extraí-do dos cartas que sumadas resulten 11?

a) 32 b) 31 c) 33 d) 34 e) 35

11. Para cualquier número real "x", ¿cuál es el máximo valor de: F=8x - 3x2 ?

a) 0 b) 4 c) 5 d) 16/3 e) 8/3

12. 13 naranjas pesan entre 3 y 4,8 kg. ¿Cuál es el máximo número de naranjas que puede haber en 12 kg?

a) Menos de 40 b) Entre 40 y 50 c) Entre 50 y 60 d) Entre 60 y 70 e) Más de 70

13. Una persona puede comprar 24 manzanas y 20 naranjas o 36 manzanas y 15 naranjas. Si com-pra solo naranjas, ¿cuál es el máximo número que podría comprar?

a) 30 b) 35 c) 25 d) 40 e) 45

14. Dos kilos de huevos contienen entre 20 y 35 huevos. ¿Cuál es el mínimo peso de 140 hue-vos?

a) 4 kg b) 8 c) 5 d) 6 e) 2

15. Se tiene una balanza de dos platillos y 17 bolas de billar, aparentemente iguales, pero una de ellas pesa más. ¿Cuál es el menor número de pesadas a realizar para determinar la que pesa más?

a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5

16. ¿Cuál es el mínimo número de colores a em-plear, de modo que no se tengan dos rectángu-los pintados del mismo color juntos?

a) 2 b) 4 c) 6 d) 3 e) 6

17. El costo de fabricación de un par de zapatos os-cila entre 24 y 32 soles, y el precio de venta, en-tre 40 y 52 soles. ¿Cuál es la mínima ganancia que se puede obtener en 80 pares de zapatos?

a) S/. 320 b) 640 c) 140 d) 530 e) 840

18. Una vela misionera se consume aproximada-mente 1 mm por minuto. En un hogar se acos-tumbra prender la vela por espacio de 30 a 60 minutos al día. Si una vela tiene una longitud de 10 centímetros, ¿durante cuántos días se podrá contar con dicha vela como máximo?

a) 10 días b) 3 días c) 4 días d) 3 días y 10 minutose) 3 días y 20 minutos

19. ¿Cuántos días dura como máximo una caja de tizas, si cada seis horas se consume el equiva-lente a una tiza, y si se sabe que un profesor trabaja 10 horas diarias y que siempre en cada clase utiliza tres colores diferentes en forma equitativa?

Nota: las cajas traen 10 tizas.

a) 20 días b) 17 c) 19 d) 18 e) 21

20. Un tanque de agua de 8 m3 de volumen ali-menta a todo un edificio de 20 departamentos, en cada uno de ellos se consume de 50 a 100 litros de agua diariamente. Suponiendo que el tanque está medio lleno y que el edificio está medio vacío, ¿cuál será la máxima cantidad de días que dure el contenido del tanque?

a) 16 días b) 32 c) 48 d) 8 e) 4





BLOQUe I

1. Un recipiente "A" contiene 8 litros de vino puro y cuatro litros de agua. Un segundo recipiente "B" contiene nueve litros de vino puro y seis litros de agua. Se sacan tres litros de las mezclas de cada recipiente y se hace el intercambio res-pectivo. ¿Cuántos litros más de vino hay en un recipiente con relación al otro?

a) 2,4 b) 1,8 c) 1,4 d) Igual e) Ninguna

2. Se define el operador matemático no conven-cional "*" como: P*=P(P+1) - P(P - 1).

Calcular:

E=* * * ... ** * * ... *

20 19 18 11 2 3 40

+ + + ++ + + +

a) 83/20 b) 45/76 c) 82/21 d) 44/23 e) 33/25

3. María tiene cierta suma de dinero que gasta de la siguiente manera: en gaseosas, la mitad de su dinero, más dos soles; en galletas la tercera parte del resto, más cuatro soles, y en cigarrillos las 3/4 partes del dinero que le queda más tres soles. Si aún le quedan dos soles, entonces po-demos afirmar como verdadero:I. Gastó en total 76 soles.II. Si cada galleta costó un sol, entonces com-

pró 16 galletas.III. Gasta en cigarrillos 22 soles menos que en

gaseosas.

a) Solo I b) I y II c) II y III d) I y III e) Solo III

4. Se tienen cinco números enteros positivos a los que llamaremos "A", "B", "C", "D" y "E". Si se sabe que:

• "A"noesmayorque"D"ni"C". • "E"esmayorque"C". • "B"esmayorque"A".

Entonces, ¿cuántos posibles ordenamientos existen?

a) 7 b) 6 c) 5 d) Menos de 9 e) Más de 9

5. Cada vez que compro nueve manzanas me re-galan 2 y cada vez que vendo 10 regalo una. Si compro y vendo las manzanas al mismo precio, ¿cuántas debo comprar para ganar 44 manzanas?

a) 360 b) 340 C) 450 d) 400 e) 460

6. Hallar el valor de la siguiente serie: E=1×5+2×6+3×7+...+10×14

a) 610 b) 609 c) 605 d) 606 e) 607

7. En la competencia de natación de damas, Carla, Carmen y Diana ocuparon los tres primeros lu-gares, aunque no necesariamente en ese orden. Al ser cuestionadas acerca del resultado de la competencia, ellas contestaron:• Carla : "Yoganélacompetencia".• Carmen : "Yonoganélacompetencia".• Diana : "Yoterminémejorubicada

que Carmen". Si Carmen terminó en segundo lugar, ¿cuáles de

las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. Al menos una de ellas miente. II. Diana ganó la competencia. III. Diana dice la verdad.


8. ¿Qué figura completa coherentemente el si-guiente arreglo?

?

a) b) c)

d) e)


Ciclo UNI200



Ciclo UNI200



9. ¿Cuántos apretones de manos se dieron los 120 representantes reunidos en la última reunión del ALC-UE?

a) 7140 b) 7450 c) 7410 d) 7240 e) 7420

10. En la siguiente sucesión: 10; 5; 5; 12; 28; ... Hallar la semisuma de los dos primeros núme-

ros que resulten mayores que 100.

a) 75 b) 186 c) 222 d) 150 e) 200

11. En el siguiente gráfico, ¿cuántos triángulos equi-láteros se formarán, en total, al unirse los cen-tros de tres circunferencias vecinas inmediatas?

Observación: de la forma indicada.

1 2 3 19 20 21

a) 201 b) 210 c) 400 d) 441 e) 360

12. Dadas las siguientes sucesiones: S1: 11; 18; 25; 32; ...; 844 S2: 4; 13; 22; 31; ...; 1165 ¿Cuántos términos son comunes a ambas?

a) 12 b) 13 c) 16 d) 14 e) 10

13. Un tablero de ajedrez no convencional tiene 10 cuadrados chicos por lado. ¿Cuántos triángulos se formarán en total si se traza una diagonal al tablero?

a) 107 b) 110 c) 108 d) 109 e) Más de 110

14. ¿Qué figura completa coherentemente la si-guiente distribución?

a) b) c)

d) e)

15. La facultad de Economía de una universidad está realizando un estudio sobre los cursos des-aprobados por sus estudiantes. Los datos obte-nidos de 50 estudiantes que desaprobaron al menos un curso se muestran en la figura:

24

2

0 1 2 3 4 5

Alumnos

cursosdesaprobados

Se sabe que la cantidad de alumnos que desaprobaron dos cursos supera en cuatro a los alumnos que desaprobaron tres cursos; y que la cantidad de alumnos que desaprobaron cua-tro cursos es el doble de los alumnos que desa-probaron cinco cursos. Calcular la cantidad de alumnos que desaprobaron dos cursos, de los 50 considerados.

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14

16. En el conjunto A={1; 2; 3; 4} se define la ope-ración representada por (*) mediante la siguien-te tabla:

* 1 2 3 4

1 1 2 3 4

2 2 1 1 1

3 3 1 1 4

4 4 2 3 4

I. Si: [3*(x*4)]*1=(4*2)*(3*1), entonces x=3II. La operación es cerrada.III.Operación conmutativa.IV.Existe el elemento neutro y un elemento in-

verso para cada elemento de "A".

Son ciertas:

a) Solo II b) Solo I c) I, II y IV d) III y IV e) II, III y IV


Ciclo UNI200



Ciclo UNI200



17. El gráfico indica el costo de tres tipos de semi-llas "A", "B" y "C" por cada 50 kg. Con el costo de 150 kg de semilla "B", ¿cuántos kg de semilla "C" se pueden comprar?

10 20 30 40 50 60 70

Costo por 50 kilos

Miles desoles

a) 75 b) 100 c) 125 d) 150 e) 300

BLOQUe II

1. Un empresario razonaba de la siguiente mane-ra: "Si pago S/. 15 a cada uno de mis emplea-dos, me faltarían S/. 400; pero si les pago S/. 8 me sobrarían S/. 160. ¿Cuántos empleados hay en la empresa?

a) 80 b) 72 c) 85 d) 75 e) 60

2. Un club de vóley tiene en total 10 jugadoras, de las cuales, en cada partido solo pueden jugar seis. ¿Cuántos equipos diferentes podrían for-marse en este club, sabiendo que en todos ellos siempre tiene que estar como capitana la misma jugadora cuyo nombre es María Luisa?

a) 42 b) 120 c) 162 d) 126 e) 60

3. Si asumimos como cierto que: • Cadaunadelasmujeresesromántica. • Ningunacelosaesromántica. Entonces, podemos concluir: a) Muchas románticas son celosas. b) Todas las mujeres son celosas. c) Muchas celosas gustan de los hombres. d) Ninguna mujer es celosa. e) Todas las celosas son atractivas.

4. Un corredor de bienes raíces recarga el precio de una casa en 25% de su valor. Si al venderla hace un descuento del 12%, ¿cuál ha sido su porcentaje de utilidad?

a) 15% b) 13% c) 12% d) 10% e) 11%

5. Una persona está parada en el punto "A" del cuadrado que se observa en la figura y decide, tirando una moneda, hacia cuál de las esqui-

nas próximas se dirigirá. En la próxima esquina volverá a hacer lo mismo. Si tira la moneda tres veces, ¿cuál de los recorridos mostrados no es posible?

B

A

C

D

a) ABCD b) ABAD c) ADCB d) ADAB e) ADCA

6. Si: ...A 999 99

cifras50= 1 2 344 44 ...B 444 44

cifras50= 1 2 344 44

Además: (A - B)2= ...CAR MENcifras100

1 2 344 44 ; A=M

Calcular: C+A+R+M+E+N

a) 18 b) 28 c) 19 d) 21 e) 32

7. Se define en R:

a ( )a21 12= +

Además: x*y =(x+y)(x - y)

Si se cumple: a b* 31=

Hallar: a2+b2

a) 6 b) 9 c) 3 d) 8 e) 1

8. Se sabe que para colocar los códigos de los pos-tulantes a una universidad se emplean las cifras y la letra que van apareciendo en la siguiente secuencia:

3 - B; 4 - D; 7 - G; 13 - L;

¿Cuál podría ser el código de un postulante, si aquel se formará con el término que sigue en la secuencia?

a) 2233R b) 4568P c) S7506 d) R3232 e) Hay más de una respuesta.

9. Sabiendo que:

...A101

103

105

3 5= + + +

...B102

104

106

2 4 6= + + +

Calcular: A÷B

a) 1,01 b) 1,02 c) 0,1 d) 5,05 e) 0,12

A

B

C

Ciclo UNI202

TRILCEColegios

10. Un automóvil parte de "A" con 10 galones de ga-solina, y un agujero en el tanque por el cual pier-de 1/2 galón por hora. Si su velocidad es 80 km/h, ¿a qué distancia de "A" se encontrará el automóvil cuando se le acabe la gasolina, si su rendimiento es de 40 km/galón?

a) 300 km b) 240 km c) 320 km d) 350 km e) 360 km

11. En el calendario de un año no bisiesto se obser-vó que desde el jueves primero de enero has-ta el onomástico de una persona se emplearon 264 cifras para numerar los días transcurridos. ¿Qué día y mes nació dicha persona?

a) Martes 7 - 06 b) Domingo 8 - 06 c) Sábado 8 - 06 d) Sábado 7 - 06 e) Domingo 7 - 06

12. En cantidades iguales el peso del vino es 1/50 me-nos que el agua. Se tiene una mezcla de 500 l de vino y agua que con el recipiente pesa 523 kg. Si el recipiente vacío pesa 32 kg, ¿qué cantidad de vino y de agua hay en el recipiente?

a) 450 y 80 b) 300 y 50 c) 450 y 50 d) 500 y 20 e) N.A.

13. José y Luis salieron de cacería y trajeron patos y conejos. José mató el doble de patos que cone-jos; Luis mató tantos conejos como José. Ambos trajeron en total, 21 cabezas y 54 patas. ¿Cuán-tos patos mató Luis?

a) 6 b) 3 c) 12 d) 8 e) 9

14. Tres trenes parten del mismo punto y siguen igual vía en la misma dirección. El primero par-te a las 6:00 horas, el segundo, a las 7:00 horas; y el tercero, a las 9:00 horas; siendo sus veloci-dades de 25, 30 y 40 km/h, respectivamente.

¿A qué hora el tercer tren estará en el punto me-dio de la distancia que separa al primero y al segundo?

a) 22:00 h b) 16:00 c) 14:24 d) 19:00 e) N.A.

15. Hallar el producto de las cifras del resultado de:

3 * * ×2 *

* * 3

* * * *

* 6 2

a) 105 b) 108 c) 124 d) 0 e) 126

16. Un profesor nació en el año 19ab; su hijo, en el año 19ba, y en el año 1992 sus edades estaban en la relación de cuatro a uno. Determinar la edad del profesor. (Año actual: 2011).

a) 36 b) 24 c) 63 d) 43 e) N.A

17. En un corral hay tantas patas de patas como ca-bezas de patos; pero hay tantas patas de patos y patas como cabezas de patas y patos aumen-tadas en 30. ¿Cuántos animales se contará en total, luego de que cada pata tenga tres crías de patitos?

a) 60 b) 70 c) 75 d) 80 e) N.A.

18. En una reunión de la academia había 100 perso-nas entre profesores, alumnos y empleados. El número de profesores que tenían anteojos era igual a la raíz cuadrada del número de alumnos. Entre los asistentes había un número de em-pleados igual a la raíz cúbica de el número de alumnos. ¿Cuántos profesores tenían anteojos?

a) 18 b) 20 c) 24 d) 26 e) 28

19. Verónica gasta su dinero del modo siguiente: en 25 chocolates, 3/5 de su dinero más tres soles; en 62 refrescos, 2/3 del dinero que le queda más un sol y en 40 galletas gasta 3/7 del resto más cuatro soles, quedándose al final únicamente con cuatro soles. ¿Cuánto gasta en 10 chocola-tes, seis refrescos y ocho galletas? (En soles).

a) 35 b) 44 c) 39 d) 33,5 e) N.A

20. "La mitad de lo que me queda de gaseosa en la botella", dice ella: "Es igual a la tercera parte de lo que ya me tomé. Si tomo la cuarta parte de lo que me queda". ¿Qué fracción de toda la gaseosa se habrá tomado?

a) 3/10 b) 3/7 c) 2/3 d) 7/10 e) N.A.

razonamiento_matemático-1.pdf

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