RAZONAMIENTO LOGICO

Un pedazo de torta de chocolate tiene 1500 calorías, esa cantidad es los ¾

de las necesidades diarias de calorías de un adulto. Halle las necesidades

diarias de calorías de un adulto.

520 520 3 6240 -------- x = 1560 x = ------------- 520 520 4 3

1560 x = ---------- x = 2080 //R

3 -------- 4

Miguel, Guillermo y Daniela, están jugando con videojuego, Miguel tiene x

puntos, Guillermo tiene 0.01 (x + 18000) y Daniela tiene 0.02 (x – 800), si

juntos tiene 11288 puntos ¿Cuántos puntos tiene cada uno?

x + 0.01 (x + 18000) + 0.02 (x – 800) = 11288

x + 0.01 + 180 + 0.02 x – 16 = 11288

x + 0.01 x + 0.02 x = 11288 – 180 + 16

1.03 x = 1124

11124 x = ---------- 1.03

x = 10800//R

Miguel x = 10800

Guillermo 0.01 (x + 18000) = 0.01 (10800 + 18000) = 288

Daniela 0.02 (x - 800) = 0.02 (10800 – 800) = 200

GEOMETRICA ANALÍTICA

Estudia las figuras geométricas mediante técnicas básicas del análisis

matemático y del algebra en un determinado sistema de coordenadas. Su

desarrollo histórico comienza con la geometría cartesiana impulsada con

la aparición de la geometría diferencial de Carl Friedrich y mas tarde con

el desarrollo de la geometría algebraica.

Actualmente la geometría analítica tiene múltiples aplicaciones más allá

de las matemáticas y la ingeniería, puso forma parte ahora del trabajo de

administradores para planeación de estrategias y logística en la forma de

decisiones.

CUESTIONES FUNDAMENTALES

Dado un lugar geométrico en un sistema de coordenadas obtener su

ecuación.

Dado la ecuación en un sistema de coordenadas determinadas la gráfica

o lugar geométrico de los puntos que verifican dicha ecuación.

SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES

Ordenadas

II I

- x Abscisas

III IV

- y

Este sistema está conformado por líneas perpendiculares es decir para un

par de líneas que se corten en un determinado punto y forma un ángulo

de 90º. Esto se representa claramente en el plano cartesiano donde el

ángulo de 90º esta compuesto por el vértice el eje de las x (+, -) o abscisa

y el eje de las y x (+, -) o eje de las ordenadas, al sumar los cuatro ángulos

obtendremos 360º

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

y

Puntos

p(x - y)d

y2 – y1

x2 – x1

- x x

y

c2 = a2 + b2

d2 =(x2 – x1)2 + (y2 – y1)

2

d =(x2 – x1)2 + (y2 – y1)

2

EJEMPLO: Calcular la distancia entre los puntos A ( – 3, – 4) y B (3, 2)

d = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)

2

d = (3 + 3)2 + (2 + 4)2

d = 36 + 36

d = 72

d = 8,49

B (3, 2)

A (–3, –4)

Demostrar que los vértice forman un triángulo rectángulo (1, –3); (1, 3),

(6, –3) mediante la fórmula de la distancia.

d1 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)

2 d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)

2

d1 = (1– 6)2 + (–3 + 3)2 d2 = (6– 1)2 + (–3 – 3)2

d1 = 25 + 0 d2 = 28 + 36

d1 = 5 d2 = 7,81

d3 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)

2 d3 = (1 + 1)2 + (- 3 - 2)2

d3 = 0 + 36 d3 = 6

d22 = (d1)2 + (d3)2

(7.81)2 = (5)2 + (6)2

60.9961 = 25 + 36

61 = 61

(1,3)

d2

(1,3) (6, -3)

d1

Demostrar que los siguientes puntos son los vértices de un

paralelogramo (2, 4) (6, 2) (86) (4, 8).

d1 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)

2 d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)

2

d1 = (2– 6)2 + (4 –3)2 d2 = (6 – 8)2 + (2 – 3)2

d1 = 16 + 4 d2 = (4) + 16

d1 = 4,47 d2 = 4,47

d3 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)

2 d4 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)

2

d3 = (8 + 4)2 + (6 - 8)2 d4 = (4 – 2)2 + (8 - 4)2

d3 = 16 + 4 d4 = 4 + 16

d3 = 4,47 d4 = 4,47

(4,8)

(8,6)

(2,4)

(6,2)

PUNTO DE DIVISION

y

P2(x2, y1)

P(x, y)

P(x2, y1)

- x x

y

El punto de división es aquel punto que divide a una recta. El resultado de la

comparación de dos cantidades de la misma especia, se llama razón o relación

de dichas cantidades. Las razones o relaciones pueden ser razones por

cociente o geométrico.

La razón por cociente o geométrica es el resultado de la comparación de dos

cantidades homogéneas con el objeto de saber cuántas veces la una contiene

a la otra.

Observación:En geometría analítica las razones deben considerarse con su

signo o sentido porque se trata de segmentos de recta dirigida. La diferencia

de X y de Y

Despejando X

x – x1 = r (x2 – x) x – x1 = r (x2 – x), x – x1 = rx2 – rx

r + yx = rx2 – x1 factorizando yx2 + x1

x (1– y) = rx2 + rx2 + x1 por lo tanto x = ……………..

1 + y

PENDIENTE DE UNA RECTA

y

Símbolo

P2 (x2 , y1) y2 , y1

Tg= ……….

y2 , y1 x2 , x1

(x2, y1)

x2, x1

- x x

y

En matemáticas y ciencias aplicadas se denomina pendiente a la inclinación de

un elemento ideal, natural o constructivo respecto de la horizontal.

En geometría se refiere a la pendiente de la ecuación de una recta como caso

particular de la tangente cuyo caso representa derivada de la función en el

punto de consideración y es un parámetro relevante por ejemplo en el trazado

altimétrico de carreteras.

La pendiente de una recta en un sistema de representación rectangular de un

plano cartesiano suele ser representada por la letra M y es definido como el

cambio o diferencia en el eje Y dividido por el respectivo cambio en el eje X

entre 2 puntos de la recta.

En el siguiente ecuación se describe toda recta que no sea horizontal tiene que

cortar el eje X se dice que si una recta corta el eje X la inclinación de la recta se

defina como el ángulo positivo menor de 180º

y m = ---------- x

El Angulo que una recta forma con el eje horizontal este relacionado con la

pendiente M por medio de la siguiente relación trigonométrica m = tan

Recta paralela:Son paralelas si ambos poseen la misma pendiente o si ambas

son verticales y por ende tienen pendiente definida.

Recta perpendicular:Son perpendiculares forman un ángulo recto entre ellas

si el producto de sus pendientes es igual a – 1

Calcular las pendientes formada por

5 + 2 A (– 3, – 2) B (4, 5) m = tg = …………. 4 + 3 7 = tg-1 1 m = ……… m = 1 7 = 45º

P = (x2, y2)

P1 = (x2, y2)