taller razonamiento logico
TRANSCRIPT
TALLER
METODOS DE RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS DE RAZONAMIENTO
LÓGICO
LIC. CARLOS RIBEIRO
PROBLEMAS DE RAZONAMIENTO LÓGICO
Son los que no dependen tanto delcontenido sino del razonamiento lógico(natural, adecuado, correcto), aunqueesto es muy difícil establecer, debido aque para resolver cualquier problematenemos que razonar, si podemos afirmarque existen problemas en los quepredomina el razonamiento lógico, siendoel contenido matemático que se necesitamuy elemental.
Por conveniencia, sin pretenderclasificar los mismos, hemos divididoestos problemas didácticamente paraque ustedes puedan comprenderalgunas vías, métodos yprocedimientos de cómo enfrentarsea la resolución de problemas derazonamiento lógico, desarrollar sumodo de actuación y prepararlospara la vida.
PROBLEMAS UTILIZANDO LÓGICA DEDUCTIVA
En este tipo de problemas se llegan
a las conclusiones deduciendo oinfiriendo de una o más premisasdadas, tal como nos enseñaron en laescuela.
ALGUNOS EJEMPLOS
Ejemplo 1
Si todos los humanos tienen dos brazos y dos piernas y Pedro es humano.¿Qué se puede deducir?
Solución
Que Pedro tiene dos brazos y dos piernas. Eso es un razonamiento lógicodeductivo, donde de dos premisas válidas, inferimos una conclusión lógica.
Ejemplo 2
Si todos los triángulos tienen tres lados y tres ángulos y el escaleno tiene tresángulos. ¿Qué se puede deducir?
Solución
Que el escaleno es un triángulo que tiene tres lados
Ejemplo 3
Si Juan es mayor que Carlos y Carlos mayor que José, ¿Qué se deduce?
Solución
Se deduce que Juan es mayor que José
Ejemplo 4
Si se tiene que A > B y B = C. ¿Qué se deduce?
Solución
Se deduce que A > C
PROBLEMAS UTILIZANDO TABLAS DE VALORES DE
VERDAD
En algunas ocasiones, para resolver un problema de
razonamiento lógico, es conveniente utilizar tablas de
valores de verdad, para lo cual se le debe asignar un
valor de verdad (verdadero o falso) a una proposición y a
partir de aquí deducir los valores de verdad de las demás
proposiciones y si no existen contradicciones llegamos a
la solución buscada.
Ejemplo
Juan, Maria y José fueron arrestados por la policía, como
sospechosos de un robo a un banco. Después de ser interrogados los
sospechosos hicieron las siguientes declaraciones: Juan: yo soy
inocente, Maria: yo soy inocente y José: Maria es la culpable. Los
detectives, usando un detector de mentiras ultramoderno que tienen
escondido, saben que una sola de las declaraciones es cierta y las
otras dos falsas, peor como no saben manipular bien el detector, no
pudieron determinar a quién correspondía cada señal del detector.
¿Podría usted ayudar a los detectives a inferir quién robo el banco?
Solución
Como una sola de las declaraciones es cierta y las
declaraciones de Maria y José son contradictorias, por lo cual una de
ésas dos es verdadera, concluimos que la de Juan es falsa y por ello
Juan es el ladrón del banco.
LUNES MARTES MIERCOLES JUEVES VIERNES SABADO DOMINGO
EDUARDO V V F F F V V
LUIS F F V V V V F
Ejemplo
Eduardo miente los miércoles, jueves y viernes, y dice la verdad el
resto de la semana. Andrés miente los domingos, lunes y martes, y dice la
verdad el resto de la semana. Si ambos dicen: “mañana es un día en que yo
miento”. ¿Qué día de la semana será mañana?
Solución
Elaboremos una tabla donde aparezcan Eduardo y Andrés y los
días de la semana. Marquemos con una V los días de la semana que dicen la
verdad y con una F los días que mienten.
Haciendo un análisis llegamos a la conclusión que ese día
se obtiene cuando el valor de verdad de ambos se cambia al
día siguiente y esto solo ocurre cuando se pasa de martes a
miércoles, entonces se concluye que mañana será
miércoles.
PROBLEMAS UTILIZANDO TRUCOS
En estos planteamientos de
razonamiento lógico sellega a la conclusiónporque en la mayoría delos enunciados hay unaespecie de trampa o truco.Se resuelve leyendo yanalizando muy bien elproblema planteado.
ALGUNOS EJEMPLOS
Ejemplo¿Cuánto volumen de tierra hay en un hoyo enel patio de 1 metro de ancho por 3 metros delargo por 6 metros de profundidad.
SoluciónLa mayoría de las personas tienden a calcularel volumen de tierra multiplicando las tresdimensiones, pero esa no es la respuesta. En unhoyo, cualquiera que sean sus dimensiones nohay tierra.
Ejemplo¿Es legal que un hombre se case con lahermana de su viuda?
SoluciónEse hombre esta muerto y no puede casarsecon nadie
Ejemplo
Si tarda tres minutos hervir un huevo. ¿Cuánto tiempo nos tomará hervir tres huevos?
Solución
Se supone que los tres huevos se hierven simultáneamente y la respuesta es tres minutos y no nueve, como erróneamente se puede pensar
Ejemplo
¿Se pueden colocar 10 terrones de azúcar en 3 tazas vacías, de modo que en cada taza halla un numero impar de terrones?
Solución
Se coloca 1 terrón en la primera taza, 4 en la segunda taza y 5 en la tercera. Luego se coloca la primera taza encima de la segunda taza.
Ejemplo
Un lector de un libro estaba tan enojado que arrancó las páginas 6, 7, 84, 85, 111 y 112. ¿Cuántas hojas arrancó en total?
Solución
Sólo arrancó cinco hojas de papel, porque las páginas 111 y 112 son ambas caras de una misma hoja.
Ejemplo
Tres medios chivos son chivo y medio. ¿Cuántos chivos y medio son?
Solución
Un chivo y medio
Ejemplo
Si usted ha entrado tres veces a un lugar, ¿cuántas veces ha tenido que salir?
Solución
Ha tenido que salir dos veces
Ejemplo
En un patio hay varios gatos y cada gato ve tres gatos. ¿Cuántos gatos hay en el patio?
Solución
Como cada gato ve tres gatos, entonces hay en total cuatro gatos en el patio.
PROBLEMAS UTILIZANDO LA ARITMÉTICA
Aquí no se pretende detallar toda lateoría de la aritmética para resolverlos problemas de razonamientológico, sino a partir de losconocimientos fundamentales deestá, podemos razonar en formalógica para desarrollar nuestraactividad mental.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
Ejemplo 1Un caracol sube por una pared vertical de5 metros de altura. Durante el día sube 3metros, pero durante la noche se quedadormido y resbala 2 metros. ¿En cuantosdías subirá la pared?¿Cuántos días medemoraré?
SoluciónHay que tener en cuenta que el primer díasube 3 metros pero por la noche baja 2metros, es decir, sube solo 1 metro, lomismo sucede el segundo día, pero altercer día sube 3 metros y los dos quehabía subido anteriormente, lo que hacenun total de 5 metros y ya esta arriba, esdecir, ha subido la pared. Por lo tanto,demora 3 días para subir la pared.
¿Cuántos días me demoraré?
Ejemplo 2
Un enfermo debe tomar una aspirina cada media hora. ¿En cuánto tiempo se tomará 20 aspirinas?
Solución
Intuitivamente se trata de responder que en 10 horas, sin entrar a considerar que en la primera hora el enfermo se toma tres pastillas y a partir de ahí 2 en cada hora. Por lo tanto se demorará nueve horas y media
Ejemplo 3
¿Cuántos dígitos tiene el número N = 212.58?
Solución
No es desarrollar las potencias y luego el producto, basta con aplicar las propiedades de la potenciación y tenemos que:
N = 28+4 . 58
N = 28 . 24 . 58
N = 24 . 108
N = 16 . 108
Luego el número tendrá dos cifras del 16 y ocho ceros del 108, lo que representa un total de 10 dígitos
Ejemplo 4
¿Cuál es el menor número primo quedivide al siguiente número 5247?
Solución
Lo primero que hay que recordar esque un número primo es aquel que esdivisible solamente entre la unidad yel mismo número. El 2,3, 5 y el 7 sonlos primeros números primos.
Se debe aplicar criterios dedivisibilidad. Entonces se hace unasumatoria de todos los dígitos5+2+4+7 = 18 y se verifica que elresultado es divisible entre tres, por lotanto el menor número primo quedivide al número 5247 es el 3.
Problemas utilizando teoría de conjuntos
Una de las cuestionesfundamentales es poderdeterminar los elementosque componen a partir deuna propiedad ocaracterística esencial delmismo; es importantedeterminar todos loselementos que componenel conjunto a partir de lapropiedad dada.
Ejemplo
Diga cuántos rectángulos hay en la siguiente figura
Solución
La propiedad esencial de este conjunto es ser rectángulos(solo se hace referencia a la forma, y no a las dimensiones),por lo que para poder determinar cuántos elementos tiene elconjunto debemos precisar cuántos rectángulos hay, sinimportar sus dimensiones.
Al analizar bien el conjunto de figuras se puede llegar a laconclusión de que hay 21 triángulos que conforman a lafigura.
6 de una pieza, 9 de dos piezas, 3 de cuatro piezas, 2 de trespiezas, 2 de tres piezas y 1 de seis piezas
Ejemplo
¿Cuántos triángulos hay en la siguientefigura?
Solución
En total hay 23 triángulos. 10 de una pieza,9 de dos piezas, 2 de tres piezas y 2 decuatro piezas.
PROBLEMAS UTILIZANDO GEOMETRÍA
Hay que tener conocimientos esenciales degeometría (conceptos, teoremas, axiomas,procedimientos, entre otros) para resolverlos planteamientos de los problemas, ellacontribuye extraordinariamente a desarrollarel pensamiento lógico.
Ejemplo
¿Puede usted distribuir 24 personas en6 filas de modo que en cada una delas filas halla 5 personas?
Solución
Hay que hallar una figura geométricaque pueda dar la solución a talsituación. Necesariamente se tieneque pensar en una figura plana quetenga seis lados, lógicamente se tieneque pensar en el hexágono parapoder formar 6 filas con un elementocomún en sus vértices.
Ejemplo
Se pretende dividir un pastel como el de la figura en 8 trozos iguales.
¿Cuál es el mínimo número de cortes necesarios para conseguirlo?
Solución
Tres cortes
Ejemplo
Se trata de unir estos nueve puntos
mediante cuatro trazos rectilíneos
continuos. Es decir, sin levantar el lápiz, ni
recorrer dos veces el mismo trazo.
¿Eres capaz de unirlos todos con las cuatro
líneas rectas continuas?
Solución
La figura ilustra cómo efectuar los trazos:partiendo del punto derecho inferior de latercera fila, se llega al punto izquierdosuperior de la primera fila
Ejemplo
Se trata de trazar tres líneas rectas por los cuatro puntos de la
figura, sin pasar dos veces por un mismo sitio y sin levantar el
lápiz del papel, se debe terminar en el mismo punto de
partida. ¿Eres capaz de unirlos?
SoluciónLa única figura de tres rectas es eltriángulo, entonces hay que trazar las tresrectas sobre los punto del tal forma que seforme un triángulo
Ejemplo
Tenemos un triángulo compuesto por diez monedas con el
vértice hacia arriba. ¿Podrías convertirlo en un triángulo con
el vértice hacia abajo, moviendo sólo tres monedas?
SOLUCIÓN
PROBLEMAS UTILIZANDO EL ÁLGEBRA
En los problemas de razonamientológico muchas veces a que aplicaroperaciones básicas del álgebra(suma, resta, multiplicación, división,entre otros) adecuadamente a ciertascantidades, o estudiar los diferentesconjuntos numéricos.
EJERCICIOS PRACTICOS
Ejemplo
¿Cuántos números enteros positivos de una cifra X son tales que X2
termina en X?
Solución
X = 1 , 12 = 1
X = 2 , 22 = 4
X = 3 , 32 = 9
X = 4 , 42 = 16
X = 5 , 52 = 25
X = 6 , 62 = 36
X = 7 , 72 = 49
X = 8 , 82 = 64
X = 9 , 92 = 81
En conclusión se demostró que solamente hay tres números de una sola cifra que al elevarse al cuadrado su resultado termina en ese mismo número. Ellos son el 1, 5 y 6.
Ejemplo
Hallar la diferencia entre media docena de docenas de huevos y seis docenas de huevos
Solución
12docenas/2 docenas = 6 docenas
6 docenas por 12 = 72
72 – 72 = 0
Ejemplo
¿Qué altura tiene un árbol que
es dos metros más corto que un
poste de altura triple de la del
árbol?
Solución
Se confecciona una ecuación
sencilla de primer grado 3m –
2m = 1m. Entonces el árbol
tiene una altura de 1 metro.
PROBLEMAS UTILIZANDO RAZONAMIENTO MATEMÁTICO LIBRE
Es necesario realizar un
razonamiento matemáticoelemental para darsolución a los problemas
que se nos presentancotidianamente y nospermiten el desarrollo
mental en nuestro modo deactuación.
Ejemplo
Un avión cubrió la distancia quesepara a Maracaibo y Valencia enuna hora y cuarenta minutos, sinembargo al volar de regreso recorrióesta distancia en 100 minutos. ¿Cómose explica esto?
Solución
Aquí no es necesario aclarar nada,hay que darse cuenta que las dossituaciones representan el mismotiempo, la única diferencia son lasunidades en que están expresadas.
Ejemplo
Si en Venezuela esta lloviendo a las 11 de lanoche. ¿Es posible que en Bogota halla un díasoleado 50 horas después?
Solución
Debemos precisar que 50 horas despuéssignifica exactamente dos días de 24 horas y 2horas más, lo que quiere decir que serían la 1de la madrugada y es imposible que a esahora tengamos un día soleado.
Ejemplo
Un sastre compró la mitad de 1m2 de tela y gastó ½ m2. ¿Cuánta tela le sobró?
Solución
Se hace referencia a la misma cantidad de tela comprada y gastada, por lo tanto no le sobró nada.
Ejemplo
Si ayer fue tres días antes del viernes. ¿Qué día será mañana?
Solución
Tres días antes del viernes fue martes, hoy es miércoles; entonces mañana será jueves.
PROBLEMAS UTILIZANDO LOS ARGUMENTOS DE PARIDAD
Muchos de los problemas derazonamiento lógico se resuelven con muypocos elementos del contenidomatemático, en algunos es fundamentalutilizar algunas reglas en el trabajo con laparidad de los números; entre ellas:
La + de dos números pares es = a unnúmero par
La + de los números impares es = a unnúmero par
La + de un número par y un número impares = a un número impar
La x de dos números impares es = a unnúmero impar
La x de dos números pares es = a unnúmero par
La + de números pares es = a un númeropar
El x de números pares es = a un númeropar
El x de números impares = a un númeroimpar
La + de un número par de númerosimpares es = a un número par
La + de un número impar de númerosimpares es = a un número impar
EJEMPLOS
Ejemplo
Se tienen 5 números enteros, ¿cuántos deben ser impares si el producto de los cinco es impar?
Solución
Vamos a tomar cinco números enteros sin importar que se repitan para multiplicarlos entre ellos y comprobar la solución obtenida
(1x3)x(5x3)x1
3x15x1
45x1
45
En conclusión todos los números deben ser impares
PROBLEMAS UTILIZANDO CÓDIGOS
Se exige el conocimiento básico de matemáticas ylenguaje, pues como su nombre lo indica suobjetivo es presentar un código que difiere al usadodiariamente, para esconder la información quepermitirá solucionar la situación problemática. Laclave esta en identificar el código. Este tipo deproblemas permite preparar a la persona paraenfrentarse a ambientes iconográficos, para lainterpretación de información grafica.
PARA ENTENDEREJEMPLO1
¿Qué letra falta en la siguiente secuencia lógica?L M __ J V S D
SoluciónSon las iniciales de los días de la semana en español. Entonces falta la M que representa el día miércoles.
Ejemplo 2¿Qué número continua en la siguiente secuencia lógica?1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,....,
SoluciónEs una secuencia que se produce por la suma de los dos valores continuos, anterior más el siguiente da como resultado el próximo.1+1=2; 1+2=3; 2+3=5; 3+5=8; 5+8=13; 13+21=33Entonces el número que continúa es el 33
Ejemplo
¿Qué sucede en el
siguiente dibujo?
Solución
Esta figura representa un
jeroglífico, se puede
deducir al observar la
figura que la letra A
salta.
PROBLEMAS UTILIZANDO PARADOJAS
Una paradoja es una construcción lingüística de la que nosomos capaces de afirmar ni su verdad ni su falsedad, ya seaporque su verdad implica una falsedad o porque su verdadimplica su verdad de la misma forma que su falsedadimplica su falsedad.
Ejemplo 1Tenemos aquí tres enunciados falsos. ¿Será usted capaz dedescubrir cuáles?
2+2=4
3x7=19
16/2=8
20-14=12
6+4=10
SoluciónÚnicamente son falsos los enunciados 2 y 4. Por lo tanto, laafirmación que hay tres enunciados falsos es falsa. Entoncestenemos así el tercero de los enunciados falsos.
Ejemplo
Aquí se cometen tres errores, ¿cuáles son?
Ocho más dos es igual a cuatro
Caracas es la Capital de Venezuela
10/2 es igual a 5
Magallanes no fue campeón de béisbol en la temporada 2006 – 2007
Solución
Hay dos errores, uno es la frase que cita “ocho más dos es igual a cuatro” y el otro error es: Aquí se cometen tres errores
PROBLEMAS UTILIZANDO EL PRINCIPIO DE DIRICHLET Y SU GENERALIZACIÓN
Para resolver un problema lógico esconveniente utilizar este principio quees muy elemental, pero fundamentalque se conoce como Principio deDirichlet, de las casillas, de las gavetas,de las casitas y otros más.
Principio de Dirichlet: Si un conjuntotiene m elementos y esta dividido en nsubconjuntos, con m>n, entonces existeal menos dos elementos.
Principio generalizado de
Dirichlet: Si un conjunto tiene n-
k+1 elementos o más y está
dividido en n subconjuntos,
entonces existe al menos un
subconjunto que tiene al menos
k+1 elementos.
Es evidente que si todos los
elementos están en un
subconjunto el principio se
cumple, lo importante es, la
validez en condiciones extremas,
es decir, cuando halla elementos
en todos los subconjuntos.
Ejemplo
De un periódico local se escogen al azar
30 palabras. Demuestra que al menos
dos de las palabras seleccionadas
comienzan con la misma letra.
Solución
El alfabeto español tiene 28 letras por lo
tanto se podrían encontrar 28 palabras
que inicien con letras diferentes, pero el
número 29 tiene que comenzar
necesariamente con una de las letras
anteriores
PROBLEMAS UTILIZANDO PROBABILIDADES
Existen sucesos, tales como el lanzar
una moneda al aire, en el que unas
veces sale cara y otra sale sello, o
lanzar un dado sobre una mesa y
sacar un naipe de un mazo de cartas;
todos estos son sucesos o hechos son
debidos al azar. Este tipo de sucesos
se denominan fortuitos o aleatorios. En
los sucesos de azar, se llama
probabilidad al cociente entre el
numero de casos favorables y el
número de casos posibles.
Probabilidad de un evento (P) =
número de casos favorables / números
de casos posibles
Ejemplo
Una caja contiene 4 metras rojas y 6
metras blancas. ¿Cuál es la
probabilidad de sacar al azar una
metra blanca?
Solución
En la caja en total hay 10 metras, 6
blancas
P = 6/10 = 3/5 = 0,6 = 60%
La probabilidad de sacar una metra
blanca es del 60%
EjemploEn un salón hay 18 personas, 12 muchachos y 6 muchachas. Si salieron dos muchachas. ¿Cuál es la probabilidad de que la próxima persona que salga sea una muchacha?
SoluciónNúmero de personas que quedan 18 – 2 = 16Número de muchachas que quedan 6 – 2 = 4La probabilidad de que salga una muchacha será P =
4/16 = ¼ = 0,25 = 25%Ejemplo
De una caja que contiene 12 medias rojas, 8 blancas y 10 azules se extrae una al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la media sea roja?
SoluciónEl total de medias es 12+8+10 = 30Entonces la probabilidad de extraer una media roja es P
= 12/30 = 2/5 = 40%
Certeza
corresponde a la probabilidad 1 (o del 100%), es decir,
cuando un número de casos favorables coincide con
el número de casos posibles.
Ejemplo
Si una caja contiene 4 metras rojas y 6 metras blancas.
¿Cuántas metras habrá que sacar para estar seguros
de sacar 2 metras rojas?
Solución
El razonamiento que debemos aplicar en este tipo de
problemas es el de suponer siempre que las cosas
ocurren de manera más favorable para nuestro
propósito de sacar 2 metras rojas. Se debe suponer
que las primeras 6 que se sacan son blancas, como
quedan las 4 rojas necesariamente las 2 próximas
serán rojas, entonces se necesitan sacar 8 metras para
sacar dos rojas.
Ejemplo
En una maquina de chicles quedan 3 rojos,
2 azules y 6 blancos. Si cada chicle cuesta
2000 bolívares y van saliendo al azar.
¿Cuántos bolívares tendremos que gastar
para estar seguros de lograr sacar los 2
chicles blancos?
Solución
La situación más desfavorable es que
salgan primero todos los rojos y los azules,
en este caso ya se han gastado 10000
bolívares y para sacar 2 blancos hay que
gastar 4000 bolívares más, todo esto hace
un total de 14000 bolívares.
PROBLEMAS UTILIZANDO TEORÍA COMBINATORIA
No se pretende abordar la teoría combinatoria deforma rigurosa y profunda, sino que utilizaremos lasreglas más generales, deducidas a partir derazonamientos lógicos.
Principio de adición: Si cierto objeto A puede ser escogidode m maneras y otro sujeto B de n maneras, entoncesla elección de A o B se efectuar de m + n modos.
EjemploCinco empresas de transporte terrestre tienen servicio diario entreCaracas y Maracaibo. Tres empresas de aviación tienen vuelodiario entre Caracas y Maracaibo. ¿Cuántas maneras hay para irde Caracas a Maracaibo en avión o autobús?
SoluciónAplicando el principio de adición 5+3 = 8 Hay 8 maneras de ir deCaracas a Maracaibo en avión o autobús.
Principio del producto: Si el objeto A sepuede escoger de m maneras y sidespués de una de estas elecciones,el objeto B se puede escoger de nmodos, la elección del par ordenado(A,B) se puede efectuar de m x nmodos.
Ejemplo
De la ciudad A hasta la ciudad Bconducen 5 caminos y de la ciudad Bhasta C 3 caminos. ¿Cuántos caminosque pasan por B conducen de Ahasta C?
Solución
Aplicando el principio del producto 5x3= 15. Hay 15 caminos que pasan por By conducen de A hasta C.
Otra manera de resolverlo eselaborando un pequeño grafico
Al escoger el primer camino de A hastaB, entonces para llegar a C puede
escoger cualquiera de los tres caminos yasí sucesivamente, entonces seria5x3=15 caminos diferentes.
PRINCIPIO DE INCLUSIONES Y EXCLUSIONES
Designemos por a1,a2,...,an las propiedades queposeen algunos de los N elementos de un conjuntoN(cada elemento puede o no poseer algunas de estaspropiedades); por N(ai) la cantidad de elementos de Nque cumplen con la propiedad ai ; por N(ai , aj ) lacantidad de elementos de N que cumplen con laspropiedades ai , aj y así sucesivamente N(a1 , a2 , ..., an) la cantidad de elementos de N que cumplen con laspropiedades de a1 , a2 ,..., an ; y por N(a1 , a2 , ..., an )la cantidad de elementos de N que no cumplenninguna de las propiedades de a1 , a2 ,..., an , entoncesse cumple:
N(a1 , a2 , ..., an ) = N – N(a1) – N(a2) - … - N(an) + N(a1 ,a2) + N(a1 , a3) + … + N(a1 , an) + N(a2 , a3) +…+ N(a2 ,an) + N(an-1 , an) – N(a1 , a2 , a3) – N(a1 , a2 , a4) - …-N(a2 , a3 , a4) - .. – N(an-2 , an-1 , an) +….+ (-1)n N(a1 ,a2, …, an)
Para que sea más factible, vamos a mostrarles como quedaría
para cuando el conjunto de N elementos cumple con solo dos
propiedades:
N(a1 , a2) = N – N(a1) – N(a2) + N(a1 , a2)
Para cuando cumpla tres propiedades:
N(a1 , a2 , a3) = N – N(a1) – N(a2) – N(a3) + N(a1 , a2) + N(a1 , a3)
+ N(a2 , a3) - N(a1 , a2 , a3)
Se puede notar que a la cantidad de elementos se le excluyen
todos los elementos que poseen por lo menos una propiedad,
luego se incluyen los que poseen al menos dos propiedades,
se excluyen los que poseen al menos tres y así sucesivamente,
el que cumple todas las propiedades se suma si al cantidad es
un número par y se resta si la cantidad es un número impar de
propiedades.
Ejemplo
De las 140 personas que participan enun campamento 80 usan reloj, 62usan lentes, 72 gorras, 40 usan reloj ylentes, 35 usan reloj y gorras, 25 usanlentes y gorras y 20 usan las tresprendas. ¿Cuántas personas no usanninguna de las prendas?
Solución
140 – 80 – 62 – 72 + 40 + 35 + 25 – 20 =6 personas
Ejemplo
En una empresa trabajan 80 personas.De estas 35 hablan inglés, 55 italianoy 27 los dos idiomas. ¿Cuántaspersonas no hablan ni el inglés ni elitaliano?
Solución
80 – 35 – 55 + 27 = 17 personas
PERMUTACIONES
Para n objetos tenemos que si tomamos el elemento nentonces en el siguiente lugar podemos colocarcualquiera de los n-1 y en el tercero los n-2 y asísucesivamente, por lo tanto tenemos Pn = n (n-1) (n-2) …o sea Pn = n!
En toda permutación se cumple que: el número deelementos coincide con los que se toman, influye elorden en que se toman, y no se repiten los elementos.
Ejemplo 1
Una madre tiene cinco hijos, ¿De cuántas manerasdistintas, nombrándolos uno a uno, puede llamarlos acenar?
Solución
P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 maneras
Ejemplo 2
¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con lascifras 1, 2, 3 si cada cifra debe aparecer exactamenteuna vez?
Solución
P3 = 3! = 3.2.1 = 6 números
PERMUTACIONES CON REPETICIÓN
Si algunos de los objetos permutados son iguales se obtendránmenos permutaciones, pues algunas de ellas serán iguales entresí.
PRm = a,b,..,n
Ejemplo
¿Cuántas palabras diferentes pueden formarse con las letras dela palabra casual?
Solución
La palabra casual tiene 6 letras, pero 2 son A por lo quetenemos una permutación con repetición P6,2 = = = 360 ,entonces se pueden forman 360 palabras diferentes con lasletras de la palabra casual.
Ejemplo
¿Cuántos números diferentes pueden formarse con los dígitosdel número 834354?
Solución
El número 834354 tiene 6 dígitos, pero 2 son 3 y 2 son 4, entonceses una permutación con repetición P6,2,2 = = = 180 , entoncesse pueden formar 180 números diferentes con las cifras delnúmero 834354.
VARIACIONES
Se llama variación de m objetos tomados
n a n (o variaciones de orden n) a todo
conjunto ordenado formado por n objetos
escogidos de modo cualquiera entre los
m objetos dados. En toda variación se
cumple que: el número de objetos que se
toma es menor que el número de objetos
del conjunto, influye el orden en que se
toman y no pueden repetirse.
Vm,n = Ejemplo 1
¡Cuantos diccionarios hay que editar para que sepuedan efectuar directamente traduccionesentre cualquiera de los cinco idiomas: español,portugués, italiano, francés e inglés?
Solución
V5,2 = = = 20 , es necesario confeccionar 20diccionarios
VARIACIONES CON REPETICIÓN
Es el caso donde cada objeto puede repetirse n veces.
VRm,n = mn
Ejemplo
¿Cuántos números de tres cifras pueden formarse conlos dígitos 3 y 5?
Solución
Los dígitos 3 y 5 pueden repetirse varias veces en laconformación del número, entonces es una variacióncon repetición VR2,3 = 23 = 8 , entonces se puedenformar 8 números de tres cifras con los dígitos 3 y 5.
COMBINACIONES
Se llama combinación de los m objetos tomados n a n (ocombinaciones de orden n) a todo conjunto de n objetoselegidos entre ellos de tal modo que dos conjuntos que sediferencian al menos de un objeto. En toda combinación secumple que: el número de objetos que se toma es menor queel número de objetos del conjunto (m>n), no influye el orden yno se pueden repetir los elementos.
Cm,n = Ejemplo
¿De cuántas maneras diferentes se pueden escoger dos pinturasdiferentes de las cinco que existen?
Solución
C5,2 = = = = = 10 , entonces se pueden escoger de 10 formasdiferentes dos pinturas diferentes de las cinco que existen.
Combinaciones con repetición
Se deben distribuir los elementos según lostipos, hay que numerar todos loselementos de la combinación, pero atodos los números de los del segundo tipodebe agregársele 1, a los del tercer tipohay que agregársele 2 y asísucesivamente. CRm,n = Cm+n-1,n =
Ejemplo
En una oficina de correos se venden sellosde 4 tipos. ¿De cuántas maneras sepueden comprar en ella sellos?
Solución
Para comprar 6 sellos de los 4 tipos queexisten debemos combinar los tiposexistentes hasta completar los quequeremos, estamos en presencia de unacombinación con repetición.
CR4,6 = C4+6-1,6 = C9,6 = = = = 84 ,entonces se pueden comprar los 6 sellosde 84 formas diferentes.