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a. ¿Son válidos los argumentos de la segunda persona?

b. Qué argumentos podría usar la primera persona, que sean a favor de su posición?

1 Descripción de la circunferencia

Grado 10 Tema

Matematicas - Unidad 4Descubramos nuevasformas y usemos el planocartesiano

Descripción de lacircunferencia

Nombre: Curso:

En el mundo actual se presenta diferentes formas de observar los lugares geométricos, tanto así que para observar nuestro alrededor debemos dar una mirada de 360° que forma un círculo que es encerrado por una circunferencia. El uso de los círculos y de las circunferencias se ha extendido más allá de lo ideal, para pasar a ser parte de lo real en la cotidianidad; observándose en las construcciones, los objetos y en nuestro diario vivir.

Con base en el video ¡No seas terco! que te presentó tu docente acerca de una discusión entre dos personas por diferencias de opiniones, en compañía de un compañero responde las siguientes preguntas, luego se socializarán cuando te lo indique tu docente:

Actividad Introductoria: ¡No seas terco!

c. ¿A partir de lo que ustedes conocen, qué es un círculo?

e. ¿Cuál de las personas del video, crees que tiene la razón? ¿Quién es el terco?

d. ¿A partir de lo que ustedes conocen, qué es una circunferencia?


» Justificar por qué la circunferencia es un lugar geométrico.

» Reconocer la utilidad de elementos con forma circular.

» Representar geométricamente con exactitud una circunferencia.

» Construir la concepción de circunferencia identificando sus características como lugar

geométrico.

» Reconocer la utilidad de elementos con forma circular.

» Hacer uso de ecuaciones para representar circunferencias ubicadas en el plano cartesiano

De acuerdo a las definiciones que has propuesto y la socialización desarrollada del video ¡No seas terco! observa la siguiente ilustración y detalla los círculos en amarillo y las circunferencias en azul.

Así mismo, Observa detenidamente siguientes las imágenes y haciendo uso de diferentes tonalidades de colores, resalta las partes en las que consideres fue empleada una circunferencia.

Actividad 1: Identificación de elementos básicos


Después de mirar el ejemplo, y las imágenes en las cuales identificaste las circunferencias, responde las siguientes consignas:

a. ¿Son útiles las circunferencias en el arte? Justifica tu respuesta.

b. ¿En qué contextos pueden resultar útiles las circunferencias? Justifica tu respuesta.

c. Intercambia con tu compañero de al lado tu material del estudiante, evalúa si tu compañe-ro si identificó las circunferencias o si se equivocó, y apunta cuántas circunferencias identificó correctamente al momento de colorear las circunferencias.

Circunferencias acertadas Circunferencias incorrectas


Para finalizar la actividad, identifica cada uno de los elementos básicos de una circunferencia, apóyate con colores de diferentes tonalidades y escribe sus nombres.

Con base en lo anterior, responde la siguiente consigna. Luego socializaremos las respuestas y las compararemos.

Nombre elemento básico:


Características:

Características:





Características:

Características:

Características:


a. ¿Qué objetos de tu casa o de tu colegio puedes usar para dibujar una circunferencia?

b. ¿Si necesitamos dibujar una circunferencia de diámetro superior a 30 cm, 40 cm o 50 cm qué objeto de tu casa o de tu colegio se podría utilizar para esto?

Responde las siguientes preguntas de forma individual:

Actividad 2: Dibujo y construcción de la circunferencia


Ahora, con base en lo anterior, construyamos una circunferencia a partir de sus elementos básicos. Apóyate con los instrumentos como compás, regla, lápiz, etc que tienes.

Instrucciones: Sigue atentamente las instrucciones y realiza lo que en cada una de ellas se describe. Utiliza las imágenes como referentes.

Elegimos un punto de referencia que servirá de centro.

Elegimos una distancia que utilizaremos de radio. Por ejemplo 50 cm. Y con ayuda de una soga ubicamos nuestro centro y el otro extremo servirá para posicionar nuestro lápiz.

Con la punta de la soga fija en el centro, comenzamos a mover nuestro lápiz que está amarrado en el otro extremo de la soga. Y trazamos la ruta que sigue el lápiz.

Ya con nuestra circunferencia dibujada, Reconozcamos los elementos básicos de la circunferencia

Imágen de referenciaInstrucción


Tracemos el diámetro con ayuda de la cuerda que hemos tenido.Duplica su tamaño y ponla sobre el radio, de tal forma que cruce de lado a lado de la circunferencia pasando por encima del centro.

Tracemos una línea secante a la circunferencia, esta será nuestra cuerda. Y puede ir desde un punto en la circunferencia a otro sin tener que pasar por encima de nuestro centro.

Por lo que viendo todos los elementos básicos en conjunto obtendremos uan imagen similar a esta


A partir de lo visto hasta el momento, responde las siguientes preguntas:

a. ¿Existen otros elementos, que al igual que la soga, nos permitan dibujar circunferencias?

b. ¿Si te asignan la tarea de realizar una circunferencia que tiene 20 metros de radio sin usar una soga sino otros elementos, cómo la realizarías?

c. A partir de lo realizado ¿Qué elementos consideras necesarios para dibujar una circunferencia?


A partir de lo observado en el video “el compás”, y con ayuda de tu compás construye de manera individual una circunferencia, dados los siguientes elementos:

a. Se da un Radio de 3 centímetros.

b. Se da un Diámetro de 13 centímetros.


c. Se da un punto que se tomará como centro de una circunferencia.

d. Se da un punto que se tomará como centro y un punto externo por el que pasara la circunferencia.


Traza un plano cartesiano en la cuadrícula que tiene cuadrados de 0.5cm y ubica los siguientes centros y puntos:

Ejercicios # 1

a. Centro (0,0) y pasa por el punto A (0,4)

b. Centro (0,0) y pasa por el punto B (8.5, 3)


c. Centro (0,0) y pasa por el punto D (5, 6.5)

d. Traza la circunferencia que pasa por cada pareja de centro y punto.


Después, haciendo uso de tu compás, saca aparte la longitud del radio de cada una de las circunferencias construidas y determina cuál de estas es de mayor longitud.

Posteriormente, tomando en consideración los siguientes centros y longitudes de radio en la cuadricula que tienes con cuadrados de 0.5cm de lado, traza las circunferencias solicitadas; luego las socializaremos:

a. C (0,0) y r = 5u


b. C(0, 1/10) y r = 3.5u

c. C(11, 0) y r = 5/4u


Traza un plano cartesiano en la cuadrícula que tiene cuadrados de 2cm y ubica los siguientes centros y puntos:

Ejercicios # 2

b. Centro (-20,0) y pasa por el punto E (-10,-25)

b. C (0,-3/2) y pasa por el punto F (15, 30)


c. C (10,-25) y pasa por el punto G (30,50)

d. Traza las circunferencias que pasen por cada uno de los centros y los puntos dados.


Responde las siguientes preguntas de acuerdo a lo desarrollado en los literales anteriores, luego socializaremos las respuestas con el resto del grupo.

a. ¿La cuadricula te alcanza para desarrollar las circunferencias que se piden?

b. ¿Cómo están graduados los ejes?

c. ¿Cómo graduarías los ejes del plano cartesiano a utilizar?


Traza un plano cartesiano en la cuadrícula que tiene cuadrados de 0.5cm y ubica los siguientes centros y puntos:

Ejercicios # 3

a. Una circunferencia con centro en el origen

b. Una circunferencia con centro diferente al origen.


c. Una circunferencia con radio mayor a 10 unidades.

d. Una circunferencia con radio menor 10 unidades.

e. Después, haciendo uso de diferentes tonalidades de colores, resalta en tus circunferencias los elementos constitutivos de cada una


Con base en lo trabajado anteriormente, responde la siguiente pregunta, luego comparte con tus compañeros y docente tu respuesta.

¿Qué tienen en común los puntos de la circunferencia?

¿Escribe a continuación la definición que se construidas en clase con el aporte de tus compañeros y tuya y compárala con la definición que se presente.

Actividad 3: Ecuación de la circunferencia


“Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado centro”.

Teniendo en cuenta la definición construida anteriormente, responde las siguientes preguntas:

a. ¿Cuáles conocimientos previos, crees que se necesitarían para encontrar la ecuación que determina una circunferencia con centro en C (h,k) dado y radio r, dado?

b. ¿Cómo crees que se puede encontrar la ecuación que determina una circunferencia con centro en C (h,k) dado y radio r, dado?


Revisemos ahora la construcción de la ecuación de la circunferencia a partir de un punto cualesquiera P(x,y).

Instrucciones: Sigue atentamente las instrucciones y realiza lo que en cada una de ellas se describe. Utiliza las indicaciones como referentes.

1. Aplicamos la propiedad que cumplen todos los puntos que pertenecen a una circunferencia.

2. Elevamos al cuadrado la expresión algebraica.

3. obtenemos la definición matemática de circunferencia

4. Una circunferencia con Centro en el origen.

Si P(x,y) es un punto cualesquiera sobre la circunferencia, entonces el conjunto: (x,): d(P,C)=r define la circunferencia, de esta manera:

Al momento de elevar la expresión algebraica al cuadrado obtenemos que

Por lo que la relación que define a una circunferencia de radio r con centro en un punto cualesquiera C(h,k) estará dada por la expresión la expresión

Ahora bien, ésta expresión es para una circunferencia de radio r y centro en (h,k).

En el caso de ser h y k iguales a cero, es decir ser una circunferencia con centro en el origen.

La expresión canónica estaría reducida a:

¿Qué pasaría en la anterior relación, si h y k, fueron igual a cero?Responde en tu material del estudiante. Luego compartiremos las respuestas con el resto de la clase.

Por haber aplicado la fórmula de la distancia entre puntos.

Imágen de referenciaInstrucción


5. Expandimos los binomios para obtener la expresión general.

6. Elevamos al cuadrado la expresión algebraica.

Considerando una circunferencia con centro en (h,k), y luego de desarrollar los binomios al cuadrado la expresión

Al tener las consideraciones anteriores, podemos ver que a partir de una característica de la circunferencia obtenemos para cualesquier caso con centro en (h,k) la siguiente expresión:

Quedará de la siguiente manera

Donde

Con base en la anterior explicación observa los siguientes ejemplos y responde de manera indi-vidual las preguntas que se hacen al respecto:

• Halle la ecuación de la circunferencia con centro C(2,3) y tiene radio 2cm

• Ahora, utilizamos los datos para hallar la expresión final.

• Halle la ecuación de la circunferencia con centro P(0,0) y tiene radio 3cm.

• Ahora, utilizamos los datos para hallar la expresión final.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:


a. Describe paso a paso, los procedimientos realizados, para determinar la ecuación general de la circunferencia en cada uno de los ejemplos.

b. Determina cuáles de los pasos anteriores se pueden considerar como necesarios en cual-quier caso, justificando tu elección.


c. Describe paso a paso, los procedimientos realizados, para determinar la ecuación general de la circunferencia en cada uno de los ejemplos.

d. Escribe en el siguiente apartado las dudas que puedas tener y en el momento indicado por tu docente, compártelas con el resto de la clase.


Resuelve las siguientes consignas de manera individual:

1. Dado el centro y el radio, determinar la ecuación de la circunferencia:

a. C(3,6) y r=5

b. C(0,2) y r=2


c. C(7,4) y r=3

d. C(-3,-5) y r=4


e. C(-5, 4) y r=1

2. Dadas lasw siguientes gráficas de circunferencias, encuentra las ecuaciones que describen su lugar geométrico:

a)


b)


c)


d)


e)


3. Dada la ecuación de la circunferencia, construir su gráfica.

a.


b.

c.


d.

e.


3. Dada la ecuación de la circunferencia, determinar su centro y su radio:

a.

b.


c.

d.


e.

Resuelve la siguiente consigna de manera individual, luego abordaremos cada representación y la relación existente:

• De acuerdo a las siguientes representaciones, ¿Qué relación existe entre la recta y la circunferencia en cada caso?

Representación 1 Representación 2 Representación 3


Observa la siguiente información:

Representación 1

Dadas una recta y una circunferencia en un mismo plano, se pueden presentar las siguientes situaciones: En la representación #1, la recta es Exterior a la circunferencia, si no tienen puntos en común


Representación 2

Representación 3

Dadas una recta y una circunferencia en un mismo plano, se pueden presentar las siguientes situaciones: En la representación #2, la recta es Tangente a la circunferencia, si tienen un solo punto en común.

Dadas una recta y una circunferencia en un mismo plano, se pueden presentar las siguientes situaciones: En la representación #3, la recta es Secante a la circunferencia, si tienen solo dos puntos en común.

Con base en los elementos vistos hasta el momento es posible determinar la posición de una recta con respecto a una circunferencia. Para determinar la posición, resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, en los cuales encuentras la ecuación de una circunferencia y la segunda es la ecuación de una recta.

Sistema 1 Sistema 2


Recuerda:

Si el sistema tiene una única solución, la recta es tangente a la circunferencia, pues la corta en un solo punto.

Mientras que si el sistema no tiene solución como en este caso, la recta es exterior a la circunferencia, pues no la corta en ningún punto.

Pero si la recta tiene dos soluciones, la recta es secante a la circunferencia pues la corta en dos de sus puntos.

Con base en las representaciones que hemos visto anteriormente, revisemos un ejemplo para cada una de los casos vistos con ayuda de tu docente.

Representación 1: recta externa a la circunferencia

Sea un sistema compuesto por la circunferencia Y por la recta

Para resolver el sistema debemos de despejar a y en la ecuación de la recta. Y sustituirla en la ecuación de la circunferencia:

Desarrollamos los binomios

Simplificamos.

Por lo que la respuesta a este sistema

Serán dos números que sumados den como resultado (-7) y multiplicados den como producto (+14). Lo cual dentro de los números reales no es posible. Esto es, que el sistema no tiene solución como se observa en la gráfica inicial.


Representación 2: recta tangente a la circunferencia

Representación 3: recta secante a la circunferencia

Sea un sistema compuesto por la circunferencia

Sea un sistema compuesto por la circunferencia Y por la recta

Para resolver el sistema despejamos a y en la ecuación de la recta. Y sustituimos en la ecuación de la circunferencia:

Para resolver el sistema despejamos a y en la ecuación de la recta. Y sustituimos en la ecuación de la circunferencia:

Sustituimos y desarrollamos.

Por lo que la respuesta a este sistema

Es posible verla como:

Lo que significa que x=6 es la solución.

Por lo que, por tener una única solución, la recta es tangente a la circunferencia, como se observa en la gráfica inicial.

Simplificamos.

Y por la recta


Sustituimos y desarrollamos los binomios.

Al resolver el sistema en términos de la variable x, tenemos que las raíces son:

Por lo que, por tener dos soluciones, la recta es secante a la circunferencia como se observa en la gráfica inicial.

Con base en los anteriores ejemplos, desarrolla la siguiente consigna que abarca la parte práctica de la clase:

Determina la posición relativa de la recta para cada caso:

a.


b.

c.


De acuerdo a lo trabajado en clase hasta el momento, desarrolla las siguientes consignas que luego socializaremos con el grupo:

a. ¿Recuerdas alguna propiedad matemática?

a. Lee atentamente la siguiente lectura, y resuelve las consignas y preguntas que se presentan a continuación:

Si, Enúnciala

No, ¿por qué?

LecturaPropiedad: Si una recta y una circunferencia en un mismo plano se interceptan en un punto, entonces la circunferencia y la recta son tangentes y el punto se llama punto de tangencia.

Propiedad: Una recta perpendicular al segmento radial de una circunferencia en su extremo externo es tangente a la circunferencia.

Recíproco: Toda recta tangente a una circunferencia es perpendicular al segmento radial en el punto de tangencia.

Recíproco: Los segmentos tangentes trazados a una circunferencia desde un punto exterior son congruentes y determinan ángulos congruentes con la recta que pasa por el centro y el punto de intersección de las tangentes


1. Representa gráficamente la información que presenta cada propiedad y recíproco.

2. Representa gráficamente la información que presenta cada propiedad y recíproco.


3. ¿Qué se puede ganar, al conocer las propiedades y recíprocos que se establecen a partir de la tangencia entre la circunferencia y la recta?

De acuerdo a lo trabajado hasta el momento en la clase, resuelve las siguientes situaciones por medio de resolver el sistema por medio analítico y geométrico.

Situación # 1

Un grupo de epidemiólogos necesita aislar una zona de tierra tal que no se afecten las muestras a estudiar ni que éstas infecten al resto de la fauna y flora del terreno. Para ello aíslan la zona en un radio de 5 metros a la redonda. Si el centro de la zona en cuarentena debe estar a 5 metros de distancia al oriente y a 7 metros de distancia al norte del puesto de control. ¿Un epidemiólogo que se desplace sin protección por la recta -3x+10y=0 entrará a la zona de cuarentena en algún momento?


Situación # 2 Un banda musical a nivel mundial se presenta en el estadio Atanasio Girardot de la ciudad de Medellín, dentro del esquema de seguridad para el evento se han organizado tres perímetros a la redonda del escenario deportivo, con punto central a 3 Hectómetros al este y a 2 Hectómetros al norte del puesto unificado de mando, el primer perímetro cuenta con un radio de 3Dm, el segundo 4Dm, y el último con un radio de 6Dm.

Un turista debe de seguir la ruta descrita por la recta - 1.77x - 4.67y= -39.67 para llegar alcanzar a abordar su transporte al aeropuerto. ¿Qué posición relativa a la segunda circunferencia tiene dicha trayectoria lineal?


Situación # 3

Un contratista requiere revisar el nivel de inclinación que tiene el parque central de forma circular en una población, para ello hace uso de un taquímetro (instrumento para medir distancias y ángulos por medio de un láser), el haz de luz que emite el taquímetro describe una recta de ecuación -2x+3y=18 y el parque tiene un contorno de ecuación x2+y2=36. ¿La recta descrita por el haz de luz del instrumento qué posición relativa a la circunferencia del parque tendrá?


Situación # 4

Una glorieta en una intersección vial presenta un corte del fluido eléctrico, los contratistas encargados del mantenimiento y reparación de la red eléctrica de la ciudad identificaron que el cableado que presenta fallas se encuentra ubicado espacialmente por medio de la ecuación –x+6y=16, y que la glorieta que se encuentra sin iluminación pública tiene un contorno que cumple con el lugar geométrico de una circunferencia de ecuación (x+2)^2+(y+2)^2=20¿el cableado en qué posición relativa a la circunferencia se encuentra?


Situación # 5

Un equipo de bomberos requiere apagar un incendio forestal que aqueja una zona de llanura, el fuego ha consumido una zona a la redonda del punto de ignición que se encuentra encerrada por la ecuación (x+4)2+(y+3)2=16, para ello recurren a trazar una línea de acción descrita por un corta fuego de ecuación -x+6y=14. ¿Surtirá efecto la medida con respecto al fuego, teniendo en cuenta que se necesita de al menos dos puntos de contacto con el corta fuego para que el fuego se extinga?


Después de conocer los aspectos particulares de la circunferencia como un lugar geométrico, resuelve los sistemas que se plantean para dar respuesta a las siguientes situaciones. Apóyate en él procedimiento analítico y gráfico.

a. Haciendo uso de 10 términos trabajados en clase, elabora un crucigrama, para que sea resuelto por uno de tus compañeros. Recuerda que en un crucigrama, se da una pista para que la persona descubra la palabra que corresponde y que ésta debe ser lo más clara posible.


b. De acuerdo a la figura de la derecha, en la cual O es el centro de la circunferencia, completa las siguientes oraciones:

es un diámetro.

es un radio.

es una cuerda.

es una recta secante.

es una recta tangente.

es una recta exterior.

Busca en la Web o en libros de arte, cuatro pinturas o esculturas en las cuales la circunferencia sea tomada como elemento principal. Después, resuelve las siguientes consignas y preguntas:

a. Busca el nombre del artista que la elaboró.

b. ¿Qué tendencia o línea artística sigue el artista?


c. ¿Es posible conocer o determinar los elementos constitutivos reales de las circunferencias? ¿Cómo?

d. Finalmente, elabora un dibujo en el cual reúnas varias circunferencias y haciendo uso de diferentes tonalidades de colores, elabora tu obra de arte


rado 10 tea ateaticas nidad 4 escricin de a …...• halle la ecuación de la circunferencia con...

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