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Captulo 2. Propuestas para la enseanza de las matemticas

Comit Latinoamericano de Matemtica Educativa A. C.

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Resumen. Se reportan los resultados parciales de una investigacin exploratoria cuyo objetivo fue identificar las dificultades relacionadas con el uso del lenguaje matemtico en la resolucin de problemas de Geometra Euclideana, que enfrentan los estudiantes de ingeniera de la Universidad de Guadalajara, Mxico. La metodologa se centra en una descripcin lingstica de las diferencias demostrables entre el tipo de texto que se requiere en la solucin de diversos tipos de problema y las respuestas redactadas por los estudiantes, consideradas como registros objetivos de su actividad cognitiva. Los errores detectados se clasificaron en relacin a los procesos de traduccin entre los diferentes cdigos del lenguaje matemtico. Se comentan algunos errores y se expone el anlisis utilizado para su clasificacin.

Palabras clave: lenguaje matemtico anlisis de errores, resolucin de problemas, geometra

Abstract. In this article partial results are reported from an exploratory research project aimed at identifying the difficulties faced by students of University of Guadalajara when solving problems of Euclidian Geometry, connected with the mathematic language. The methodology focuses in a linguistic description of the kind of text that corresponds to the solution of a specific problem, and the students responses considered like objective registration of their cognitive activity. The students errors were classified in the relation with translate processes between the codes of mathematic language. In this paper we include some errors and expose them to the linguistic analysis for its classification.

Key words: mathematics language, error analysis, problem solving, geometry

Introduccin

Aprender matemticas es sinnimo de resolver problemas; aprender a resolver problemas

implica adquirir el dominio de los distintos cdigos del lenguaje matemtico (verbal, simblico,

grfico, numrico, etc.) que se requieren para operar con los objetos matemticos y expresar

las relaciones entre ellos. Si un problema matemtico es expresado en forma verbal, el

estudiante debe comprender la formulacin que est expresada, no en el lenguaje cotidiano,

sino en un lenguaje especializado de las matemticas, ya que los significados de los trminos

empleados en este mbito pueden diferir de sus acepciones en el lenguaje cotidiano (Pimm,

1999; Ortiz, Batanero & Serrano, 2001; Alcal, 2002; Ardila, 2002; Palencia & Talavera, 2004).

El lenguaje utilizado en los textos y cursos de geometra euclideana suele ser poco familiar para

los estudiantes, de manera que un error en la interpretacin del planteamiento de un

problema puede conducir a una solucin equivocada o incompleta. De este tipo de situaciones

surgi el inters de brindar mayor atencin al lenguaje empleado en la formulacin y

resolucin de todas las actividades didcticas, as como investigar hasta dnde influye el

OBSTCULOS Y ERRORES EN EL APRENDIZAJE DE LA GEOMETRA EUCLIDEANA, RELACIONADOS CON LA TRADUCCIN ENTRE CDIGOS DEL LENGUAJE MATEMTICO, EN EL NIVEL LICENCIATURA

Marisol Radillo Enrquez Universidad de Guadalajara (Mxico) [email protected]

Acta Latinoamericana de Matemtica Educativa 24


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desconocimiento del lenguaje matemtico en los errores que cometen los estudiantes

geometra euclideana del Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenieras (CUCEI) de la

Universidad de Guadalajara, Mxico (Radillo, 2009).

El trmino obstculo se utiliza como sinnimo de dificultad, mientras que un problema es una

cuestin por resolver. Los errores son considerados solamente como transgresiones a las

normas establecidas. La representacin de objetos y enunciados matemticos se aborda desde

un punto de vista lingstico.

Soporte terico-metodolgico

El soporte terico fue construido desde la lingstica, la lgica terica y la axiomtica como

disciplinas normativas, por lo que la metodologa se centra en una descripcin sobria de las

diferencias demostrables entre el tipo de texto que se requiere en la resolucin de cada

problema y las respuestas redactadas por los estudiantes, consideradas stas como registros

lingsticos y objetivos de su actividad cognitiva al resolver el problema. Este enfoque difiere

respecto a la manera tradicional de proceder en la Matemtica Educativa, pero no se

contrapone a ella, sino que solamente plantea otra clase de pregunta de investigacin: Cules

son los errores relacionados con la traduccin entre los cdigos lingsticos de la geometra

euclideana que enfrentan los estudiantes del CUCEI?

Para contestar esta pregunta se parte del supuesto de que los errores en la solucin de

problemas de la geometra euclideana se clasifican en tres tipos, no excluyentes entre s:

(a) de representacin, ya sea verbal, grfica y/o simblica, as como los procesos de traduccin

entre stas; (b) deductivos o de razonamiento, en cuanto a la lgica seguida para solucionar un

problema dado; (c) axiomticos o de aplicacin de teora, relativos a la disponibilidad funcional

de los conocimientos previos necesarios para resolver el problema. El primer tipo de error

corresponde al factor lingstico y los dos ltimos a las caractersticas esenciales de la materia.

Cada tipo de error puede tener consecuencias en los otros dos.

La clasificacin de los errores de representacin requiri establecer los cdigos que rigen las

formas de representacin ms comunes de la geometra euclideana:

Verbal. Descripcin de un objeto o enunciado matemtico expresado solo en palabras, ya sea de manera oral o escrita. En este caso se utiliza el Espaol Especializado de la

geometra euclideana (EE).

Simblica. Descripcin de uno o ms objetos matemticos, sus propiedades y/o relaciones, expresada nicamente con la notacin matemtica tradicional (SIM).



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Grfica. Imagen de uno o ms conceptos matemticos y las relaciones entre ellos. Suele incluir letras que asignan nombres especficos a los componentes de la figura

(GRAF).

Las tres formas de representacin y los procesos de traduccin entre ellas se muestran en la

figura 1. La relacin entre estas tres formas de representacin se pone de manifiesto en la

resolucin de problemas de la geometra euclideana. Por ejemplo, el planteamiento de una

demostracin requiere un proceso de traduccin de la representacin verbal a sus

correspondientes representaciones grfica y simblica.

Representacin Simblica

Representacin

Verbal

Representacin Grfica

Traduccin Traduccin

Traduccin

Figura 1. Formas de representacin de los objetos y enunciados matemticos y los procesos de traduccin entre ellas.

Los cdigos del lenguaje matemtico

A cada forma de representacin corresponde un cdigo o conjunto de normas que la rigen.

Algunas normas no son universales, pues difieren de acuerdo al grupo social que las utiliza, lo

que en lingstica se denomina variantes dialectales. Por ejemplo:

La notacin simblica para la magnitud de un segmento se puede encontrar como AB |AB| , mientras que un rayo o semirrecta puede simbolizarse como

, A , ABao o o

, en diferentes textos.

En algunas instituciones se define el tringulo issceles como aquel que tiene solo dos lados de igual longitud, mientras que en otras se considera que este tipo de tringulo

contiene al menos dos lados iguales y por tanto el tringulo equiltero tambin es

issceles.

El cdigo grfico es an ms laxo que los anteriores y prueba de ello son las diversas maneras de representar una recta, como se muestra en la figura 2.



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(a) (b) (c)

A

B

A

B

A

B

Figura 2. Tres formas equivalentes de representacin grfica de una recta.

A diferencia de los cdigos verbal y simblico, el cdigo grfico no contiene oraciones en

sentido estricto, ya que los trazos no son signos ordenados (n-tuplos de signos), y por ende

pueden ser ledos de diversas maneras. Mientras que las oraciones de los otros dos cdigos

son conjuntos ordenados de signos que no pueden agruparse de cualquier manera puesto que

se altera su significado, en el cdigo grfico es ms adecuado referirse a combinaciones de

elementos tales como puntos, lneas rectas o partes de ellas, ngulos, polgonos,

circunferencias, etc.

Para efectos de la investigacin se construyeron los cdigos de cada forma de representacin

de acuerdo a las normas institucionales del CUCEI y a las partes de la Lingstica aplicables al

lenguaje matemtico: sintaxis, lxico y morfologa (Leal, 2000). Una vez que se hubo

explicitado cada cdigo fue posible analizar las respuestas de los estudiantes y determinar si se

quebrantaba alguna regla determinada. Por ejemplo, en CUCEI se especifica claramente la

diferencia entre las notaciones de una recta ( ABmo

), un rayo ( ABo

), un segmento ( AB ) y/o la

magnitud de un segmento ( AB ), de manera que si un alumno denota un rayo como Bo

, se

considera como un error de sintaxis ya que quebranta una norma institucional. Pero si el

enunciado del problema involucra una recta y el estudiante la simboliza como AB , el error es

considerado de traduccin entre el cdigo verbal y el simblico (VERB SIM), ya que lo que se tradujo a smbolos es segmento, en lugar de recta.

Procesos de traduccin entre cdigos

En una primera fase de la investigacin, a 4 semanas del inicio del curso, se aplic un

cuestionario con ejercicios de traduccin entre cdigos. En el anlisis de las respuestas se

detectaron algunos trminos cdigo verbal que condensan mucha informacin y cuya

traduccin a alguno de los otros dos cdigos representa un obstculo para los estudiantes.

Tal es el caso de la representacin simblica del trmino mediatriz de un segmento, pues es

necesario expresar que existe una recta (la mediatriz) perpendicular a un segmento

( MN ABmo A ) y que lo divide en dos partes iguales ( AM MB ). Tambin es importante

simbolizar cul es el punto de interseccin, lo cual se puede hacer de diversas



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maneras: MN AB Mmo , en MMN ABmo A , o con dos enunciados de pertenencia:

,M MN M ABmo . Solamente de esta manera, las traducciones EE SIM y SIM EE darn

el mismo resultado de traduccin en ambas direcciones (figura 3).

Figura 3. Al planteamiento simblico dado corresponde la representacin grfica de la mediatriz de un segmento, y viceversa.

SIM GRAF, GRAF SIM Si faltase alguna de estas tres expresiones simblicas, su traduccin a grfica o a enunciado

verbal podra ser diferente; esto significa que las funciones de mapeo entre los cdigos del

lenguaje matemtico no siempre son unvocas, como se expone a continuacin. En la notacin

simblica que aparece en la figura 4 se omite que M es el punto de interseccin entre la

mediatriz y el segmento; por tanto hay ms de un esquema que le corresponde a la traduccin,

puesto que en ambos casos se cumple la condicin AM = MB.

Figura 4. Dos representaciones grficas que corresponden a un mismo planteamiento simblico. SIM GRAF Errores en solucin de problemas

En otra fase de la investigacin, a 3 meses de iniciado el curso, se pidi a 37 estudiantes que

demostraran el teorema del ngulo semi-inscrito a una circunferencia.

En la figura 5 se aprecia la respuesta de un estudiante que contiene errores de representacin

sin consecuencias en los otros dos tipos de error, ya que el resto de la demostracin es

correcta. El primer error de representacin est en la hiptesis (1), pues el texto del problema

se refiere a una circunferencia ( ) pero el estudiante utiliza el smbolo de crculo ( ) lo cual

A B

N

M

, ,MN AB AM MB MN AB Mmo moA TRADUCCIN

N

A M B

M

ABMN Al ,AM=MB



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se cataloga como un error de representacin en la traduccin EE SIM, de acuerdo a las normas institucionales del CUCEI-U. de G.

Figura 5. Errores de representacin en una demostracin (alumno #45).

Otro error de representacin en el mismo enunciado consiste en simbolizar la tangente a la

circunferencia utilizando un segmento en vez de una recta, lo cual tiene otras interpretaciones.

Si se parte de la expresin simblica utilizada por el estudiante, O

UV V para la traduccin SIM GRAF, se obtendran las siguientes representaciones grficas que no corresponden a una tangente (figura 6).

O

V

U

O

V U

O

V

U

Figura 6. Representaciones grficas correspondientes a la expresin OUV V En otro problema planteado a los mismos estudiantes se pide demostrar que si del vrtice del

ngulo recto de un tringulo rectngulo se traza una perpendicular a la hipotenusa, la

perpendicular es media proporcional entre los dos segmentos de la hipotenusa. A

continuacin se muestran algunas respuestas de los estudiantes, su anlisis lingstico y los

errores detectados.

La respuesta que se muestra en la figura 7 contiene varios tipos de error:



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Las hiptesis estn incompletas, pues no se estipul que ABC es un tringulo rectngulo; puesto que esta informacin es indispensable para establecer la semejanza

de los tringulos formados, este error cataloga tanto de representacin (traduccin

incompleta EE SIM), como de tipo deductivo. La tesis est mal planteada, lo cual se considera tanto un error de representacin

como axiomtico. En cuanto a la representacin, hay un error de traduccin VERB SIM, pues no se ha simbolizado una media proporcional como se especifica en el

teorema; tambin es un error axiomtico (aplicacin de teora) ya que dicha tesis no

es una proporcin vlida entre los tringulos que se forman en la figura, de los cuales

tampoco se puede demostrar que sean semejantes porque falta una hiptesis.

Otro error est en la justificacin de la semejanza de tringulo (paso 4), por el criterio la, que no existe. Este ltimo error es de tipo axiomtico y est ligado al anterior, de

representacin y deductivo, ya que forma parte de la cadena de proposiciones que

parten de las hiptesis para demostrar la validez de la tesis.

Es de llamar la atencin que el estudiante concluye la demostracin con la tesis que plante.

Figura 7. Errores axiomticos y de aplicacin de teora en la demostracin de un teorema (alumno #15).

Consideraciones finales

La solucin de los problemas matemticos implica que el estudiante produzca un texto

determinado, el cual es susceptible de un anlisis objetivo segn los principios explcitos de la

sintaxis y la morfologa generales. Por ello es que se asume que el anlisis lingstico es la base

de un estudio cognitivo completo, mismo que podr llevarse a cabo en etapas posteriores de

la investigacin.



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Si bien fue posible identificar algunas causas y consecuencias de los errores relacionados con el

lenguaje matemtico, no es posible hacer generalizaciones debido a la limitada poblacin de

estudio. An as, se estableci de manera tentativa una tipologa de errores en la solucin de

problemas de la geometra euclideana, la cual consta de tres grupos de acuerdo a las

caractersticas esenciales de esta materia y al factor lingstico:

Deductivos Axiomticos o de aplicacin de teora De representacin:

x En un solo cdigo (SIM, GRAF VERB), en referencia a las normas institucionales. x De traduccin: VERB SIM, VERB GRAF, SIM VERB

SIM GRAF GRAF SIM GRAF VERB

Otro hallazgo importante fue identificad los trminos complejos cuya traduccin a alguno de

los otros dos cdigos representa un obstculo para los estudiantes. Tal es el caso de trminos

como bisectriz, mediatriz, equidistar, circunscrito, inscrito, semi-inscrito, y los

sintagmas que se forman con ellos en la representacin verbal (punto equidistante de dos

rectas, cuadriltero circunscrito a una circunferencia, etc.). Se recomienda que los

profesores aborden con detenimiento los conceptos matemticos relacionados con stos

trminos y que los alumnos se ejerciten en las diversas formas de representacin de cada uno

de ellos y los procesos de traduccin entre ellas.

En resumen, estos hallazgos aportan herramientas para llevar a cabo el anlisis puntual de los

ejercicios de los estudiantes en todas las tareas que se utilizan en el proceso de enseanza-

aprendizaje de las Matemticas, as como una exploracin ms profunda de los aspectos lxico-

sintcticos del lenguaje matemtico escolar. Se espera que los resultados mostrados

constituyan la base para plantear hiptesis y mtodos de intervencin destinados a mejorar el

aprendizaje de los estudiantes de matemticas.

Si se ha logrado al menos intrigar al lector y despertar su curiosidad sobre el gran potencial de

estas nuevas herramientas, la investigacin que se reporta habr cumplido con creces su

principal objetivo.

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