radicals. teoria.pdf
TRANSCRIPT
RADICALS. TEORIA 1
DEFINICIÓ DE RADICAL
DEFINICIÓ: expressió algebraica formada per unaarrel enèsima en forma indicada1
n√a
PARTS: n és l'índex i a és el radicand.
SIGNIFICAT: una arrel enèsima comporta trobar unnombre que multiplicant-lo n vegades coincideixi
amb el radicand.
n√a=x→xn=a
EXPRESSIÓ ALTERNATIVA: un radical es pot expressar enforma de potència mitjançant l'equivalència següent:
n√a=a1n
També tenim que:
n√am=amn
1 enèsima: de valor n, és a dir, un número qualsevol; forma indicada: sense resoldre l'arrel, només s'indica que el valor que representa l'expressió s'obté fent l'arrel.
RADICALS. TEORIA 2
RADICALS EQUIVALENTS. SIMPLIFICACIÓ
Quan dos radicals aparentment diferents resultaque representen un mateix nombre real, diem que
són equivalents2.
n√a=m·n√am
SIMPLIFICACIÓ DE RADICALS: podem trobar la versióequivalent més simple d'un radical expressant-loen forma de potència amb exponent fraccionari i
simplificant la fracció, si és que es pot.
8√16=8√24=2
48 =2
12=√2
El procés també el podem fer al revés. Això es faràservir amb la multiplicació i la divisió de
radicals amb índexos diferents:
3√5=513=5
618=
18√56
2 Tenim aquest comportament amb els radicals perquè en poder reescriure'ls com potències amb exponent fraccionari, hereten moltes propietats de les fraccions.
RADICALS. TEORIA 3
PRODUCTE I DIVISIÓ DE RADICALSAMB ÍNDEXOS COINCIDENTS
El resultat de multiplicar o dividir radicals ambel mateix índex és un altre radical que conservael mateix índex i que té un nou radicand que és
el resultat de la multiplicació o divisió, segonscorrespongui, dels radicands originals:
n√a · n√b=n√a ·b
n√an√b
=n√ ab
RADICALS. TEORIA 4
PRODUCTE I DIVISIÓ DE RADICALSAMB ÍNDEXOS DIFERENTS
La multiplicació o divisió de radicals quan elsíndexos són diferents l'acabarem fent igual que
en el cas anterior després de preparar elsradicals fent que tinguin els mateixos índexos.
Per aconseguir-ho utilitzarem el procediment vistal final de la pàg. 2.
3√7 · 4√2=3 · 4√74 ·
4 ·3√23=
=12√74 ·
12√23=
12√74 ·23=
12√19208
El primer pas, expressat de forma més detallada,tot i que normalment la part amb exponent
fraccionari no l'escriurem, seria:
3√7 · 4√2=713 ·2
14=7
412 ·2
312=
12√74 ·12√23
RADICALS. TEORIA 5
EXTRACCIÓ DE FACTORS D'UN RADICAL
Consisteix en simplificar una expressió radicalaprofitant que el radicand conté factors dels
quals se'n pot fer una arrel exacta. Cal recórrera la descomposició en factors primers del
radicand:
3√16200=3√23 ·34·52=
=3√23 ·
3√33 ·3 ·3√52=2·3 3√3·
3√52
=6 ·3√3·52
=6 3√75
RADICALS. TEORIA 6
INTRODUCCIÓ DE FACTORS EN UN RADICAL
RADICALS. TEORIA 7
POTÈNCIA I ARREL D'UN RADICAL
RADICALS. TEORIA 8
RADICALS SEMBLANTS
DEFINICIÓ: diem que dues expressions amb radicalssón semblants quan, després d'extreure tots els
factors possibles fora de l'arrel, la partradical és idèntica.
Aquests tres radicals són semblants:
5√2
4 5√2
−5√2
En aquests radicals la part radical és5√2 .
En canvi aquests no són semblants perquè tenen índexos diferents:
3√12
5 4√12
i aquests dos no ho són perquè tenen radicands diferents:
√10
2√5