Ejercicio de desafo 27 de la discusion 8: Interacciones de

la radiacion con los atomos

Universidad de El Salvador, Facultad de Ciencias Naturales y Matematica

Asignatura: Fsica 4

Alumno: Sergio Ernesto Aguilar Gutierrez AG13001

Profesor del curso: Lic. Americo Meja Lopez

Fecha de entrega: Jueves 21 de Mayo de 2015

1

Ejercicio 27.

Para la dispersion de Compton demuestre que la relacion entre los angulos de dispersion del fotony el electron viene dada por:

cot

2=

(1 +

h

mec2

)tan

Solucion:

Por el diagrama siguiente:

Figura 1: Interaccion entre un foton y un electron originalmente en reposo.

Se utiliza la nomenclatura siguiente: me es la masa del electron, que ademas se encuentra enreposo respecto al sistema de laboratorio, E es la energa del foton incidente, p su momento, Ela energa del foton final, p el respectivo momento, el angulo del electron despues de la colisionrespecto al foton inicial, es el angulo del foton final respecto al inicial, Ee es la energa del electrondespues de la colision, pe su momento. Al expresar la conservacion del momento por componentesa partir de la figura 1 se tiene:

px,inicial = px,final

p = p cos + pe cospe cos = p p cos (1)

py,inicial = py,final

0 = p sin pe sinpe sin = p

sin (2)

De dividir (2) entre (1), multiplicando y dividiendo por c se obtiene:

tan =p sin

p p cos c

c=

E sin E E cos

2

Ya que para cualquier foton E=pc. Tambien se puede despejar 1E

:

tan =sin

EE cos

E

E cos = sin

tan

1

E =

1

E

(sin

tan+ cos

)(3)

Sustituyendo (3) en la formula de dispersion de Compton para la relacion de energas:

1 cos mec2

=1

E 1E

1 cos mec2

=1

E

(sin

tan+ cos 1

)E

mec2=

1

1 cos (

sin

tan (1 cos )

)h

mec2=

1

tan sin

1 cos 1 (4)(1 +

h

mec2

)tan =

sin

1 cos (5)

En (4) se usa la formula de Planck, E=h, con la frecuencia. Para reescribir (5) de manera mascompacta se puede usar la formula de angulo doble con el seno:

sin = sin (

2+

2) = sin

2cos

2+ cos

2sin

2= 2 sin

2cos

2

Ademas que sin2 u =1 cos 2u

2, por lo que si se toma u=

2en la derecha de la igualdad en

(5) y se multiplica y divide la expresion por 12

resulta:

sin

1 cos 1/2

1/2=

sin 2

cos 2

sin2 2

=cos

2

sin 2

Sustituyendo este resultado en (5) se obtiene:

cot 2

=

(1 +

h

mec2

)tan

3

Anexo.

Demostracion de la formula de dispersion de Compton para la relacion de energas

De la figura 1 se puede sacar una relacion entre energas de los fotones y electron antes y de-spues del choque, dada la conservacion de la energa:

Einicial = Efinal

E +mec2 = E + Ee

E2e = (mec2 + E E )2 (6)

Utilizando el hecho que en general para una partcula E2 = (mc2)2 + (pc)2, se puede escribir (6)como:

E2e = (mec2)2 + (pec)

2 = (mec2)2 + 2(E E )mec2 + (E E )2

(pec)2 = 2(E E )mec2 + E2 2EE + E 2 (7)

Pero ya se haban derivado las relaciones de momento del electron en la discusion anterior, elevandoal cuadrado (1) y (2), sumandolas y recordando que para los fotones E = cp, se tiene:

p2e = (pe sin)2 + (pe cos)

2

(pec)2 = (pc pc cos )2 + (pc sin )2

(pec)2 = (E E cos )2 + (E sin )2

Combinando este resultado con (7) encontramos:

E2 + (E sin )2 + (E cos )2 2EE cos = 2(E E )mec2 + E2 2EE + E 2E 2 + 2EE 2EE cos = E 2 + 2(E E )mec2

2EE (1 cos ) = 2(E E )mec2

= 1 cos mec2

=1

E 1E

4