GUIA DE EJERCICIOS Nº 5 ESPACIOS EUCLIDEANOS

1.- (a) En si verifique las tres condiciones para que

sea un producto interno.

(b) En (a) usando la base determine la matriz de Gram asociada a B.

(c) Repita (b) con la base canónica E de (d) Verifique que las matrices en (b) y (c) satisfacen la condición de “definida positiva”

mediante determinantes ( Se le llama criterio de Sylvester) (e) Determine la matriz de cambio de base de E en B (anteriores) (f) Verifique la propiedad del cambio de base y las matrices de Gram (con las matrices

anteriores)

2.- Sea y sean .

(a) Verifique si es un producto interno en V

(b) Verifique si es un producto interno en V

3.- Sea un espacio vectorial euclideano (e.v.e.) con el producto interno usual. Demuestre que la matriz de Gram asociada a ese producto interno es la matriz identidad.

4.- En , el espacio vectorial de las funciones continuas en se define el producto

interno: .

Determine la matriz de Gram para el conjunto de vectores

5.- Defínase un producto escalar en mediante:

(a) Calcule (b) Obtenga la matriz de Gram respecto de la base canónica.

(c) Obtenga la matriz de Gram con respecto a la base

(d) Si Calcule la norma de los vectores Calcule el ángulo que forman: (e) Determinar el valor de k de modo que sea ortogonal con (f) Verifique la desigualdad de Cauchy-Schwartz para los vectores

6.- Sea un e.v.e. con producto interno usual y sean

dos bases de V.

Si son la matrices de Gram en las bases respectivamente, verifique la

relación: , donde P es la matriz de cambio de base de

7.- En se considera una base y un producto escalar con norma

asociada tal que y

(a) Halle la matriz de Gram en la base B (b) Halle la matriz de Gram en la base

8.- Determine los valores de para los que la expresión: define un producto interno en . Para hallar una base ortonormal de ( respecto del anterior producto interno)

9.- Hallar la relación que deben verificar los números reales para que

siendo

determine un producto escalar en Para hallar la matriz de Gram de este producto interior en la base

10.- En con la base , considere la expresión:

donde y (a) Encuentre la matriz de Gram asociada a la base B. (b) Determine el menor número natural tal que la expresión anterior sea un producto interno. (c) Repita (a) y (b) usando la base canónica de (d) Verifique la relación de cambio de base con las dos bases anteriores.

11.- Sea V el espacio vectorial de los polinomios en x de grado menor o igual que 2, en símbolos y considere la base . Para dos polinomios defínase

donde es la derivada de y a, b, c son constantes.(a) Encuentre la matriz de Gram asociada a esa base.(b) Encuentre condiciones para a,b,c de modo que la expresión anterior sea un producto interno.

12.- Sea con producto escalar

(a) Encuentre una expresión para siendo

(b) Demuestre que en el caso que

13.- Sea V un e.v.e que tiene definida su norma mediante

(a) Demostrar que

(b) Demostrar la ley del paralelogramo:

14.- Sea V un e.v.e. Demostrar que la suma de dos productos internos en V es otro producto interno en V.

15.- Determinar si los siguientes son productos internos sobre . En caso afirmativo, encontrar la matriz de Gram en la base canónica.

(a) (b)

16.- En e.v.e considere los vectores

Calcule mediante: (a) el producto interno usual

(b) el producto interno:

17.- Suponga que son dos vectores en un espacio vectorial euclídeo tales que .

(a) (b) Calcule (b) Dé un ejemplo en que verifique las condiciones anteriores.

18.- Verifique la desigualdad de Cauchy-Schwartz y la desigualdad triangular con los vectores

usando:

(a) el producto interior usual en (b) usando el producto interno:

19.- Considere el espacio vectorial de los polinomios en la variable x de grado menor o igual a 1,

digamos , con el producto interno usual, esto es

Determine el ángulo que forman

20.- Sea el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a 2 y una base

dada por . Definamos los productos

(a) Demuestre que el anterior es un producto escalar en (b) Calcule el ángulo entre los vectores 1 y x (c ) Determine la matriz de Gram en la base B

21.- Sea las matrices cuadradas de orden 2, con el producto interno usual.

(a) Calcule la norma de los vectores

(b) Calcule el ángulo entre esos vectores. (c ) Calcule la distancia entre esos vectores. (d) Encuentre un vector unitario paralelo con cada uno de los anteriores.

GUIA DE EJERCICIOS Nº 6 ESPACIOS EUCLIDEANOS

1.- Sea con el producto interno usual en este espacio.

(a) Encuentre un matriz B que sea ortogonal con

(b) Encuentre una matriz C que tenga norma 1 y tal que (c) Encuentre el valor de k de modo que

2.- Verifique en cada caso si el conjunto dado es ortogonal, con los productos internos usuales.

(a) en

(b)

3.- A Partir de los vectores encuentre otro vector w tal que

forme una base ortonormal de

4.- Considere con producto interno dado por

¿Qué ángulo forman los polinomios ?

5.- Considere , la base canónica y el producto interno dado

por .

(a) Calcule el ángulo entre 1 y x (b) Determine valores de a de modo que sean ortogonales los vectores

6.- Sea V un e.v.e. (a) Demostrar que si dos vectores tienen la misma norma entonces su suma y su diferencia son

ortogonales. (b) Demostrar que si

7.- Determine una base ortogonal y otra ortonormal para a partir de la base

Determine la distancia ( mínima) de al subespacio

8.- Determine una base ortonormal para a partir de las bases:

(a)

(b)

9.- Sea e.v.e con producto interno usual.

(a) Determine

(b) Verifique que y que

(c) Escriba el vector como suma de un vector de y otro de (d) A partir de U determine una base ortonormal para

10.- Hallar la proyección ortogonal del vector sobre el subespacio de :

11.- Determine el complemento ortogonal del subespacio de : 12.- En con el producto interno usual, determine:

(a) una base ortonormal para el espacio solución del sistema

(b) la proyección de sobre S.

13.- En con el producto interno usual, considere el subespacio U generado por los vectores

(a) Encuentre una base ortonormal para U (b) Encuentre la proyección de sobre U (c) Complete la base anterior hasta obtener una base ortonormal para (d) Encuentre el complemento ortogonal de U (d) Encuentre la proyección de sobre

14.- Determinar una base ortonormal y el complemento ortogonal de los subespacios: (a) con el producto interno usual en (b) con el producto interno usual en (c) con el producto interno usual en

15.- En con el producto interno usual, halle la proyección ortogonal del vector sobre el subespacio

16.- En el espacio se define el producto escalar

(a) Encuentre una base ortonormal. (b) Determine la matriz de Gram en la base usual de (c) Determine el subespacio ortogonal al subespacio generado por el polinomio (d) Encuentre la proyección ortogonal de (e) Determine el vector de que está a mínima distancia de

17.- En considere el producto interno definido por la matriz Gram en la base canónica

y considere el subespacio

(a) Calcule el ángulo que forman loas vectores (b) Encuentre una base para (c) Encuentre la proyección ortogonal de