QÜESTIONS i PROBLEMES TEMA 1

VIBRACCIONS I ONES

COM RESOLDRE PROBLEMES?• Llig atentament l'enunciat. No podem deixar escapar cap detall, a vegades hi ha paraules o

dades que són molt importants.• Escriu les dades numèriques amb les seues unitats (es recomana utilitzar el SI, però pots fer ús

d’altres unitats de forma coherent) que podem extreure de l'enunciat . Classifica el tipus de problema: MHS; MOH; PROPIETATS D’ONES...

• Aclareix què se'ns demana? A vegades en un enunciat hi ha més d'una pregunta.• Fes un dibuix esquemàtic sobre la situació que reflexa l'enunciat. Aquest esquema ha d'incloure els

valors de les magnituds conegudes i també els símbols de les incògnites. • Fes una previsió del resultat que ha de tenir el problema (positiu, negatiu, quin interval de valors

pot prendre ...).• Descriu (mentalment o per escrit) i planifica les diferents etapes del procés a seguir per a la

resolució del problema. Pots utilitzar diagrames i diferenciar etapes.• Realitza els càlculs, tant numèrics com de les unitats. Sempre hauràs de ser coherent en les unitats.

Recorda que la fase cal expressar-la en radiants. Per això, per fer càlculs amb la calculadora utilitza el MODE RAD.

• Analitza el resultat obtingut. Ha de ser del tot coherent amb l'enunciat i la situació, alhora ha d'estar d'acord amb la previsió feta. Si aquesta anàlisi és negativa aleshores cal localitzar les possibles errades.

• Dona el resultat obtingut amb les unitats corresponents, i fes una valoració d’aquest.

PRO

BLEM

A TÍ

PIC:

PRO

CED

IMEN

T G

ENER

AL D

E RE

SOLU

CIÓ

.

Moviment Harmònic Simple

La Xarxa d’Instruments Oceanogràfics i Meteorològics (XIOM) fa servir boiesmarines per a estudiar l’onatge. De les estadístiques dels últims deu anys es potextreure que, de mitjana, l’onatge a la costa valenciana té una alçada (distància entreel punt més baix i el més alt de l’onada) de 70 cm i un període de 5 s. Escriviu l’equaciódel moviment d’una boia que es mou com aquesta onada mitjana.

PROCEDIMENT• Suposa que el moviment de la

boia és MHS.• Fes un anàlisi de l’enunciat i

identifica les dades: A i T. Determina la pulsació.

• Utilitza una equació de referència i suposa unes condicions inicials.

• Aplica les condicions del problema a l’equació per determinar l’equació de la boia.

RESOLUCIÓ• Con 2·A = 70 cm → A = 35 cm (0,35 m) i

T = 5 s. Per això:

ω = 2·π / T = 0,4·π Hz.• L’equació de referència és:

Y(t) = A sin (ω·t + Ф)

Si suposen;

quan t = 0 → Y = 0; la fase inicial és 0• L’equació de la boia és:

Y(t) = 0,35 m· sin 0,4·π·t

Prob

lem

a tip

us: d

eter

min

ació

de

l’equ

ació

del

MH

S

Una partícula vibra de manera que tarda 0,50 s a anar des d’un extrem a la posició d’equilibri, desplaçant-se 8 cm. Si per a t = 0 l’elongació és 4,0 cm,velocitat positiva, estableix l’equació de l’elongació i la velocitat en funció del temps.

PROCEDIMENT• Determina el període i l’amplitud

del MHS.• Calcula la pulsació: ω= 2π/T• Utilitza una equació general de

referència: x(t) = A sin(ω·t + φ)

• Determina la fase inicial a partir de les condicions inicial.

• Escriure l’equació de l’elongació.• Deriva la funció de l’elongació per

determinar la funció de la velocitat.

RESOLUCIÓ

Prob

lem

a tip

us: d

eter

min

ació

de

l’equ

ació

del

MH

S

El temps que tarda des de l’extrem al punt d’equilibri correspon a T/4. Per això, 0,5 s = T/4 , T = 2 s i l’amplitud (distància extrem- centre) A = 8 cm.

La pulsació és : ω = π rad/s

L’equació de referència és: X = A sin (π·t + φ), on A = 8 cm

Per determinar la fase inicial (φ) cal tenir en compte que si t = 0 s →x = 4 cm4 cm = 8 cm sin Ф → sin Ф = 0,5 →Ф = π/6 o 5π/6

Però com la velocitat és positiva, V = Vm cos Ф, cal escollir: π/6Equació elongació: x (t) = 8 cm sin (π·t + π/6)Al derivar l’elongació s’obté l’equació de la velocitat:

V (t) = 8· π cos (π·t + π/6) cm/s

RECORDA LA FASE EN RADIANTS

Calcula els valors màxims de la posició, velocitat i acceleració d’un punt que oscil·la segon la funció:

PROCEDIMENT• El valor màxim de la posició és

l’amplitud. Compara l’equació amb la general del MHS i calcula A.

• Per determinar l’equació de la velocitat deriva l’elongació. Imposa la condició de màxim, la funció sin o cos = +/- 1.

• Per determinar l’equació de l’acceleració deriva la velocitat. Imposa la condició de màxim, la funció sin o cos +/- 1.

RESOLUCIÓ• La funció general de l’elongació del MHS

és:

Al comparar-la amb l’equació del problema s’obté: A = 1 m• Al derivar l’equació de l’elongació s’obté:

El valor és màxim quan sin2πt=-1. Per tant, v máx. = 2π m/s

• Al derivar l’equació de la velocitat s’obté:

L’acceleració màxima és:

Prob

lem

a tip

us: a

nàlis

i equ

ació

MH

S

La velocitat d’una partícula amb MHS correspon a l’equació: (en unitats del SI)Determina l’amplitud (A), el període (T) i la freqüència (N).Si la partícula té una massa de 300 g, quin és el valor màxim de la força resultant?

PROCEDIMENT• Utilitza l’equació general de la

velocitat d’un MHS:V (t) = A·ω cos (ω·t + φ), on v m = A·ω

Compara amb l’equació del problema per identificar termes.

• Identifica els termes i calcula: ω, N = ω / 2·π, T = 1/ N i A = v m /ω.• Relaciona la constant recuperadora (K)

amb les característiques del MHS. Calcula el valor de K. Un altre mètode és calcular l’acceleració màxima:

• Calcula la força màxima: F màxima = K·A = m·

RESOLUCIÓ• Al comparar identifiquem: ω = 20 π rad/s → N = 20 π/ 2π = 10 Hz

T = 1/N = 0,1 s

Com V m = 10·π m/s → A =10π/20π = 0,5 m

Com en un MHS a = - ω2 x i la força resultant és : F resultant = m·a = - m ω2 x

D’altra banda F resultant = - K x.

En conseqüència: K = m ω 2

K = 0,3 kg (20 π) 2 = 120 π2 N /m

Finalment:

F màxima = 0,5 m· 120 π2 N /m = 60 π2 N

Prob

lem

a tip

us: a

nàlis

i equ

ació

MH

S

La gràfica representa l’elongació en funció del temps d’un cos amb MHS. Analitza-la i calcula: a) El període i la freqüència.B) La rapidesa i l’acceleració màxima de vibració.

PROCEDIMET• Analitza la gràfica per

determinar el període i calcula la freqüència.

• Recorda que la V màx = Aω i que l’a màx = Aω2. Per això, has de calcular ω i l’amplitud (analitza la gràfica)

RESOLUCIÓ• La gràfica permet calcular el temps de

mig cicle; T/2 = 10 s. Per tant, T = 20 s i N = 1/20 Hz.

• La pulsació del MHS és : ω = (2·π / 20) Hz = 0,1·π Hz.

Segons la gràfica l’amplitud és 10 cm• La v màxima = 10 cm·0,1π Hz = π cm/s

• L’a màxima = π·0,1 π cm/s2 = 0,1 π2 cm/s2

Prob

lem

a tip

us: a

nàlis

i d’u

na g

ràfic

a de

l MH

S

Una partícula realitza el moviment harmònic representat en la figura: a) Calcula l’amplitud, la freqüència angular i la fase inicial d’aquest moviment. Escriu l’equació del moviment en funció del temps. b) Calcula la velocitat i l’acceleració de la partícula en t = 2 s.

PROCEDIMENT• Analitza la gràfica i determina: l’amplitud

(màxima desviació respecte la posició d’equilibri), el període (mínim temps que tarda en repetir l’estat de moviment) i les condicions inicials. Per calcular la freqüència angular aplica la definició operativa de la pulsació.

• Tria una equació general de referència, per exemple

Substitueix les dades i calcula la fase inicial. • Deriva l’equació de l’elongació per

determinar l’equació de la velocitat. Després deriva l’equació de la velocitat i obté l’equació de l’acceleració. Finalment substitueix en les equacions la variable temps pel valor indicat.

RESOLUCIÓ• Segons la gràfica elongació – temps, l’amplitud és A = 1 cm. El

període es determina a partir del interval de temps que tarda en repetir l’estat de moviment (X = A) i és

T = (1,25 – 0,25) s = 1 s. Les condicions inicials (t = 0) són: X = 0,4 cm i velocitat positiva. La pulsació és: • Al substituir les dades conegudes en l’equació de referència

s’obté:

Per determinar la fase inicial apliquem la condició: t = 0 → x = 4·10-3 m (v +)

Per tant:

L’equació és: • L’equació de la velocitat és:

• L’equació de l’acceleració és:

• Al substituir t = 2 s s’obté:V ( t = 2 s) = 0,06 m/s i a (t = 2 s) = -0,16 m/s2

0,25 1,25T

V+ V-

Prob

lem

a tip

us: a

nàlis

i d’u

na g

ràfic

a de

l MH

S

El gràfic annex representa la variació de la rapidesa amb el temps d’un cos amb MHS. Analitza’l i :a) Determina la freqüència, el període i l’amplitud del mòbil.B) Escriu l’equació que represente la variació de la posició amb el temps.

PROCEDIMENT• Utilitza la gràfica per calcular el

període i la rapidesa màxima.• Determina la freqüència i la pulsació

(ω). Aplica la relació entre la rapidesa màxima i la pulsació per calcular l’amplitud.

• Com la rapidesa inicial és nul·la la partícula comença des d’un extrem cap l’origen en sentit positiu. Per la qual cosa, utilitza de referència la funció cosinus.

• Escriu l’equació general de l’elongació en funció del temps i determina els valors.

RESOLUCIÓ• A partir de la gràfica es dedueix:

T = 6,3 s i V màx = 1,6 m/s.• La freqüència és: N = 1 /6,3 s = 0,16 s. • La pulsació és:

ω= 2·π· 0,16 s = 0,32·π Hz = 1 Hz • Com V màx = A·ω, i per tant:

A = 1,6 / 0,32·π = 1,6 m • L’equació general de referència és:

On les condicions inicials són:

t = 0 s → x = - 1,6 m ( es mou cap la dreta) → v = 0 m/sEn conseqüència:

- 1.6 = 1,6 cos θ → θ = π L’equació del mòbil és:

6.3

1,6Pr

oble

ma

tipus

: car

acte

rístiq

ues

del M

H S

a p

artir

de

gràfi

cs

El gràfic annex representa la variació de la rapidesa amb el temps d’un cos amb MHS. Analitza’l i :a) Determina la freqüència, el període i l’amplitud del mòbil.B) Escriu l’equació que represente la variació de la posició amb el temps.

PROCEDIMENT• Utilitza la gràfica per calcular el

període i la rapidesa màxima.• Determina la freqüència i la pulsació

(ω). Aplica la relació entre la rapidesa màxima i la pulsació per calcular l’amplitud.

• Com la rapidesa inicial és nul·la la partícula comença des d’un extrem cap l’origen en sentit positiu. Per la qual cosa, utilitza de referència la funció cosinus.

• Escriu l’equació general de l’elongació en funció del temps i determina els valors.

RESOLUCIÓ• A partir de la gràfica es dedueix:

T = 6,3 s i V màx = 1,6 m/s.• La freqüència és: N = 1 /6,3 s = 0,16 s. • La pulsació és:

ω= 2·π· 0,16 s = 0,32·π Hz = 1 Hz • Com V màx = A·ω, i per tant:

A = 1,6 / 0,32·π = 1,6 m • L’equació general de referència és:

On les condicions inicials són:

t = 0 s → x = - 1,6 m ( es mou cap la dreta) → v = 0 m/sEn conseqüència:

- 1.6 = 1,6 cos θ → θ = π L’equació del mòbil és:

6.3

1,6Pr

oble

ma

tipus

: car

acte

rístiq

ues

del M

H S

a p

artir

de

gràfi

cs

El gràfic annex representa la variació de l’acceleració amb el temps d’un cos amb MHS. Analitza’l i :a) Determina la freqüència, el període i l’amplitud del mòbil.B) Escriu l’equació que represente la variació de la posició amb el temps.

PROCEDIMENT• Utilitza la gràfica per calcular el període

i l’acceleració màxima.• Determina la freqüència i la pulsació

(ω). Aplica la relació entre la rapidesa màxima i la pulsació per calcular l’amplitud.

• Com l’acceleració inicial és màxima i negativa i, per tant, la partícula comença des de l’extrem x = + A, cap l’origen en sentit negatiu (velocitat nul·la). Per la qual cosa, utilitza de referència la funció cosinus.

• Escriu l’equació general de l’elongació en funció del temps i determina els valors.

RESOLUCIÓ• A partir de la gràfica es dedueix:

T = 6,3 s i amàx = 1,6 m/s 2• La freqüència és: N = 1 /6,3 s = 0,16 s. • La pulsació és:

ω= 2·π· 0,16 s = 0,32·π Hz = 1 Hz • Com a màx = A·ω2, i per tant:

A = 1,6 / 1 2 = 1,6 m • L’equació general de referència és:

On les condicions inicials són:

t = 0 s → x = 1,6 m ( es mou cap l’esquerra)→ v = 0 m/sEn conseqüència:

1.6 = 1,6 cos θ → θ = 0 L’equació del mòbil és:

6.3

1,6Pr

oble

ma

tipus

: car

acte

rístiq

ues

del M

H S

a p

artir

de

gràfi

cs

Una massa de 250 g suspesa d'una molla oscil·la verticalment amb una freqüència d'1,5 Hz. Quant val la constant recuperadora k de la molla?

PROCEDIMENT• Cal tenir en compte la

relació: K = m ω 2 . Per això s’ha de calcular ω i després aplicar la relació.

RESOLUCIÓ• Càlcul de ω: ω = 2·π·1,5 Hz = 3·π HzPer tant; K = 0,250 kg·(3·π Hz) 2 = 2,25·π 2 N/m

Prob

lem

a tip

us: a

nàlis

i din

àmic

d’u

n M

HS

ATENCIÓ A LES UNITATS, TREBALLA EN UNITATS DE SI (TOTES LES MAGNITUDS) PER EVITAR ERRADES

Una mosca (Musca domestica) de 0,30 g de massa queda enganxada en una teranyina d'una aranya que vibra amb una freqüència N = 15 Hz.(a) Què val la constant elàstica de la teranyina? (b) Amb quina freqüència vibrarà si hi queda enganxat un mosquit (Anopheles maculipennis) de 0,10 g de massa?

PROCEDIMENT RESOLUCIÓ• La pulsació del MHS de la

mosca és:ω = 2·π· 15 Hz = 30·π Hz

I la constant elàstica és:K = 0,30·10-3 kg· (30·π)2 = 2,7 N/m• La nova pulsació és:

Per això, la nova freqüència és:N = ω/2·π = 26,15 Hz

• La constant elàstica està relacionada amb la força recuperadora del MHS: F = K· x = m· ω2 x. Per això;

K = m·ω2

Per calcular K s’ha de calcular ω.

•Donat que el mosquit s'enganxa a la mateixa teranyina és manté K i canvia la pulsació de vibració. Per calcular la N s’ha de calcular la nova pulsació a partir de K i m.

Hzm

K31,164

0001,0

7,2

Prob

lem

a tip

us: r

elac

ió e

ntre

la K

i ω

en

un M

HS

Quin dels sistemes, representats en les figures annexes, té un major període de vibració?

Procediment• Cal diferenciar el tipus de

sistema per calcular el període:

• Massa amb ressort has d’aplicar la relació:

• Pèndol simple:

RESOLUCIÓ

• Sistema a (ressort):

• Sistema b (ressort)

• Sistema c (pèndol):

Prob

lem

a tip

us: c

àlcu

l del

per

íode

d’u

n si

stem

a en

MH

S

sT 1400

10·2

sT 5,0800

5·2

sT 8,28,9

2·2

Per a estudiar les característiques del MHAS fem oscil·lar subjectes a una molla diferents masses i calculem el temps invertit en 5 oscil·lacions, com mostra la taula.a) Afegeix a la taula una columna amb els valors de T i altra amb els de T 2 .b) Representa gràficament T 2 enfront de m; quina conclusió n’obtens? Justifica-la des del punt de vista teòric. Finalment, determina la constant elàstica de la molla?

PROCEDIMENT• Calcula el període de cada massa en MHS (• Eleva el període al quadrat i afegeix els

valors(T2) en una nova columna a la taula.• Representa el període al quadrat en funció

de la massa.• Interpreta la gràfica i estableix l’equació.• Recorda la relació entre el període i la

constant elàstica d’una molla:• Eleva el període al quadrat i obté l’equació

teòrica que representa la relació del quadrat del període amb la massa:

• Compara la expressió teòrica amb l’equació de la recta experimental.

• Determina el valor de K.

RESOLUCIÓ• La nova taula és:• La representació gràfica és:

Interpretació:El quadrat del període és directament proporcional a la massa.L’equació és:

T2 (s2)= 0,793 m (kg)Al comparar l’expressió teòrica amb l’equació de la recta, es conclou:

Prob

lem

a tip

us: A

nàlis

i de

la re

laci

ó de

l per

íode

d’u

n re

ssor

t

El següent diagrama representa diferents partícules que vibren amb MHS. Totes vibren al voltant del mateix punt d’equilibri amb la mateixa amplitud (20 cm). Analitza els diagrames i, per a la situació representada, indica quin sistema té:

A) Més energia mecànica.B) Més energia potencial.C) Més energia cinètica.

Procediment - Resolució• L’energia mecànica d’un MHS és Em

= 0,5 K A2, com tots tenen la mateixa amplitud quan major siga K més gran serà l’energia mecànica (a, c, d).

• L’energia potencial és determinada per Ep = 0,5 K x2, com al cas c la K és major i X = A l’energia potencial és major.

• La major energia cinètica correspon al de menor energia potencial amb idèntica energia mecànica. En conseqüència, serà el d.

Prob

lem

a tip

us: a

nàlis

i ene

rgèti

c de

l MH

S

Un cos de 400 g de massa es connecta a un ressort elàstic de K = 10 N/m i el sistema oscil·la amb un moviment harmònic de 20 cm d’amplitud. Calcula:a) L’energia cinètica i potencial del sistema quan l’elongació del cos és de 10 cm.B) L’acceleració i la velocitat màxima del cos.

PROCEDIMENT• Analitza l’enunciat i determina les

dades.• Aplica la fórmula de l’energia

potencial d’un cos en MHS.• Per determinar l’energia cinètica

calcula, en primer lloc, l’energia mecànica (energia potencial màxima). Desprès determina l’energia cinètica per diferencia.

• Per calcular l’acceleració i velocitat màxima de vibració has de calcular la pulsació (ω).

• Aplica les formules operatives de la rapidesa i l’acceleració màxima.

RESOLUCIÓ• Les dades són:

m = 0,4 kg; K = 10 N/m; A = 0,2 m.• La fórmula de l’energia potencial d’un cos en MS

és: Per això, quan x = 0,1 m→ • L’energia mecànica del cos és l’energia potencial

màxima:

Com: • La pulsació del MHS és: • La velocitat màxima és:

• L’acceleració màxima és:

Prob

lem

a tip

us: E

stud

i ene

rgèti

c de

l MH

S

Les gràfiques següents representen la variació de la posició en funció del temps per a dos mòbils amb MHS. Analitza les representacions i determina:

1) Les condicions inicials de cada mòbil.

2) El període i la pulsació de cada mòbil.

3) La rapidesa màxima de cada mòbil.4) Si el mòbil A té una massa de 400 g

i el mòbil B de 1 kg, l’energia mecànica de cada mòbil.

PROCEDIMENT- RESOLUCIÓ1) Mòbil A (x = - 5 cm, velocitat negativa);

mòbil B (x = 10 cm, velocitat positiva).2) Mòbil A (T= 2 s; ω = 2·π/T = π Hz); mòbil

B (T = 4 s, ω = π/2).3) La rapidesa màxima correspon a :

v màxima = A·ω.

Mòbil A ( Vm = 0,1·π m/s).

Mòbil B (Vm = 0,2·π/2= 0,1 π m/s).

4) L’energia cinètica màxima correspon a l’energia mecànica de cada mòbil. Al mòbil A és:

Em= 0.5·0.4 (0,1·π)2 =0,02 JI al mòbil B és:

Em= 0.5·1· (0,1·π)2 =0,05 J

MÒBIL A MÒBIL B

Prob

lem

a tip

us: c

arac

terís

tique

s de

l MH

S a

par

tir d

e gr

àfics

L’èmbol d’una màquina de vapor té un recorregut D = 100 cm i comunica a l’eix una velocitat angular de 60 rpm. Si considerem que el moviment de l’èmbol descriu un moviment harmònic simple, calcula el valor de la velocitat que té quan és a una distància de 20 cm d’un dels extrems del recorregut.

PROCEDIMENT RESOLUCIÓ• Les dades del problema són: 100 cm = 2·A → A = 50 cm = 0,5 m; ω = 60 rpm = 2·π rad/s.• L’equació de referència és: x(t) = A·cos (ω·t +Ф)

Si suposen que les condicions inicial són: t = 0 → x= A L’equació del pistó és:

x(t) = 0,5 m cos 2·π·t• Quan l'èmbol és a 20 cm d’un extrem l’elongació,

posició respecte al centre, és de 30 cm. Per calcular el temps mínim que tarda en arribar es planteja l’equació:

0,3 = 0,5·cos 2·π·t → t = 0,1476 s• La velocitat del mòbil correspon a l’equació:

v(t) = - (0,5 m)· (2·π)·sin 2·π·t

I quan t = 0,1476 s el valor de la velocitat és

v = 2,51 m/s

FES UNA LECTURA ATENTA DE L’ENUNCIAT I IDENTIFICA LES DADES. RECORDA QUE EL RECORREGUT DEL PISTÓ ÉS 2·A.

UTILITZA L’EQUACIÓ GENERAL DEL MHS I APLICA-LI LES CONDICIONS DEL PROBLEMA (SUPOSSA UNES INICIALS) PER DETERMINAR L’EQUACIÓ DEL PISTÓ.

CALCULA EL TEMPS MÍNIM QUE TARDA EN PASSAR PER LA POSICIÓ INDICADA I APLICA L’EQUACIÓ DE LA VELOCITAT DEL MHS.

Prob

lem

a tip

us: d

eter

min

ació

del

val

or d

e la

vel

ocita

t

TREBALLA EN UNITATS DEL S.I. PER EVITAR ERRADES

Un cos d’3,75 kg de massa es connecta a una molla de constant elàstica 15 N/m. El sistema oscil·la sobre un pla horitzontal sense fregament. Si l’amplitud és de 20 cm.Calcula: a) L’energia total del sistema; b) L’energia cinètica del sistema quan el desplaçament del cos és de 11,5 cm; c) la rapidesa màxima del cos.

PROCEDIMENT• L’energia potencial màxima

correspon a l’energia mecànica.

• L’energia cinètica es pot calcular per diferència:

Ec = Em – Ep

• La rapidesa màxima és A·ω, per la qual cosa has de calcular ω a partir de K (dada del problema). Recorda K = m·ω2

RESOLUCIÓ• Com Em = Ep, màxima = 0,5·K·A2. Segons les dades K = 15 N/m i A = 0,2 m:

Em = 0,5·15·0,2 2 = 0,3 J• L’energia potencial del mòbil quan x

= 0,115 m és: EP = 0,5·15· (0,115)2= 0,1 J i

Ec = 0,3 J - 0,1 J = 0,2 J• Càlcul de la pulsació:

La velocitat màxima és: V màxima = 0,2 m·2 Hz = 0,4 m/s

Prob

lem

a tip

us: c

arac

terís

tique

s e

nerg

ètiqu

es d

el M

HS

Hzm

K275,3

15

Una massa de 0,5 kg descriu un moviment harmònic unida a l’extrem d’una molla, de massa negligible, sobre una superfície horitzontal sense fregament. En la gràfica següent es relaciona el valor de l’energia mecànica de la molla amb el quadrat de l’amplitud d’oscil·lació del moviment harmònic, calcula: a) El valor de la freqüència d’oscil·lació.b) El valor de la velocitat màxima de la massa quan l’amplitud d’oscil·lació del moviment és 0,141 4 m.

PROCEDIMENT• Analitza el gràfic i estableix el tipus

de relació entre l’energia i l’amplitud.

• Recorda l’expressió de l’energia mecànica d’un MHS en funció de l’amplitud i compara-la amb l’equació de la gràfica.

• Relaciona el valor de la K (constant elàstica) amb la pulsació. Determina el valor de la pulsació i, després, calcula la freqüència.

• Recorda la fórmula de la rapidesa màxima d’un MHS i calcula el seu valor.

RESOLUCIÓ• L’energia mecànica és directament proporcional al

quadrat de l’amplitud. En conseqüència:

Per tant, • L’energia mecànica d’un MHS és: Al comparar amb l’equació es pot determinar el valor de K:

• Com , la pulsació és:

Per tant, • Com:

Prob

lem

a tip

us: c

arac

terís

tique

s e

nerg

ètiqu

es d

el M

HS

Un oscil·lador que consisteix en un cos d'1,50 kg unit a una molla, i que oscil·la sense fricció, descriu un moviment harmònic simple de 2 cm d'amplitud amb una freqüència de 4 Hz.A) Escriu l'equació de moviment que dóna l'elongació en funció del temps (considerar que t = 0 → x = 1 cm, velocitat positiva).B) Què val l'energia total d'aquest oscil·lador?

PROCEDIMENT• Utilitzar l’equació general X = A sin (ω·t + φ), identifica

termes i calcula la fase inicial a partir de les condicions inicials.

• Calcula la velocitat màxima de vibració (Vm = A·ω) i determina l’energia cinètica màxima, que correspon a l’energia mecànica del mòbil.

RESOLUCIÓ• Segons dades A = 2 cm =0,02 m; ω = 2·π·N = 8π HzPer determinar la fase inicial:1 cm = 2 cm sin (φ) →sin Ф = 0,5

Pot ser: π/6 o 5 π/6. Però com la velocitat és positiva cal escollir π/6

(recorda v = Vm cos Ф). Per tant:

x = 0,02 m sin (8π ·t + π/6)• La velocitat màxima és: V m = 0,02 m · 8π Hz = 0,16 π m/s

En conseqüència:Em = Ec,m = 0,5·1,5· (0,16 π )2 = 0,2 J

Prob

lem

a tip

us: d

eter

min

ació

equ

ació

i en

ergi

a M

HS

FASE EN RADIANTS

Un cos té un MHS horitzontal de període 12,6 s. Quan t = 0 s està a 10 cm de la posició d’equilibri amb una velocitat de 5 cm/s cap el punt d’equilibri (segons es representa a la figura annexa). Calcula el temps que tardarà en passar pel punt d’equilibri.

PROCEDIMENT• En primer lloc cal escriure

l’equació de l’elongació en funció del temps. Per la qual cosa s’apliquen les condicions inicials i es planteja un sistema d’equacions.

• Resolt el sistema d’equacions reduint a una equació (recorda la relació tg θ = sen θ/cos θ )

• Escriu l’equació de l’elongació, i aplica la condició X= 0 per calcular t.

RESOLUCIÓ• Les equacions de referència són:

• Sistema d’equacions:(eq-1) 10 cm = A cos θ0

(eq-2) - 5 cm/s =- A· 0,5 sin θ0

• Resolució del sistema, dividint eq-2/eq-1:

tg θ0 = 1 →θ0 = 0,8 rad;

A = 10 cm /cos 0,8 = 14,4 cm

Equació: X = 14,4 cm cos (0,5· t + 0,8)• Quan 0 = 14,4 cos (0,5· t + 0,8) implica que

(0,5· t + 0,8) = π /2 Aïllant s’obté: t = 1,5 s

Condicions inicials: t = 0 s; x = 10 cm; v = - 5 cm/sOn ω = 2π/12,6 s= 0,5 Hz

Prob

lem

a tip

us: A

plic

ar le

s eq

uaci

ons

del M

HS

CAL UTILITZAR LES UNITATS DE FORMA COHERENT.Per això, si la velocitat s’expressa en cm/s l’elongació cal

indicar-la en cm

Un cos de massa 200 g està penjat d’un ressort elàstic (de constant elàstica K = 5 N/m). El cos s’estira, des de la seua posició d’equilibri, per l’acció d’una força de 3 N cap a baix. Tot seguit s’allibera i descriu un moviment harmònic vertical. Calcula:a) L’amplitud, la pulsació i el període.b) Escriu l’equació de l’elongació en funció del temps, si inicialment la posició del cos és la de màxima elongació.c) El valor de la velocitat màxima, l’acceleració màxima i l’energia mecànica del MHS.

PROCEDIMENT• Analitza l’enunciat i identifica les

dades rellevants.• Relaciona la força aplicada amb

l’amplitud.• Relaciona la constant elàstica

amb la pulsació.• Calcula el període a partir de la

fórmula operativa de la pulsació.• Tria una equació de referència

apropiada i determina la fase inicial.

• Aplica les fórmules de la rapidesa màxima i l’acceleració màxima.

• Determina l’energia mecànica per l’energia potencial màxima.

RESOLUCIÓ• Les dades del problema són: m= 0,2 kg, K = 5 N/m, F màxima = 3 N.• Com la força aplica és directament proporcional a la deformació:• Com • El període és: • L’equació de referència és:

Al substituir les dades conegudes en l’equació s’obté:

Per determinar la fase inicial s’aplica la condició : t = 0 → 0,6 m →

• La velocitat màxima és:

• L’acceleració màxima és:

• L’energia mecànica correspon a l’energia potencial màxima:

Prob

lem

a tip

us: A

plic

ar le

s eq

uaci

ons

del M

HS

Una molla de constant k = 125 N/m té un extrem fix i, en l’altre. lligada a una massa de 200 g que pot lliscar sobre una superfície horitzontal sense fregament. Desplacem inicialment la massa 12 cm de la posició d’equilibri, tot allargant la molla, i la deixem anar. Determinaa) El valors màxims de les energies cinètica i potencial assolides durant el moviment i la velocitat màxima de la massa.b) El període i la freqüència del moviment harmònic resultant. Escriu l’equació d’aquest moviment prenent t = 0 com l’instant en què s’ha deixat anar la massa.

PROCEDIMENT• Analitza l’enunciat i determina les dades:

K, m i A.• Recorda que E c, màx = E p, màx i determina el

seu valor.• Per calcular la velocitat màxima has de

calcular la pulsació.• Relaciona la pulsació amb la constant

elàstica (k). Calcula la pulsació i la velocitat màxima.

• A partir de la pulsació calcula la freqüència i el període.

• Utilitza de referència l’equació general: I determina la fase inicial ( t = 0 → x= A)

RESOLUCIÓ• Segons l’enunciat:

K =125 N/m, m = 0,2 kg i A = 0,12 m• Com:

• La velocitat màxima és: • Com , • la velocitat màxima és:

• La freqüència és: s

• L’equació de l’elongació és:

Com t = 0 → x= A, la fase inicial és zero.

Prob

lem

a tip

us: A

plic

ar le

s eq

uaci

ons

del M

HS

Una molla, situada sobre una taula horitzontal sense fregament, està fixada per un dels extrems a una paret i a l’altre extrem hi ha lligat un cos de 0,5 kg de massa. La molla no està deformada inicialment. Desplacem el cos una distància de 50 cm de la seua posició d’equilibri i el deixem moure lliurement, amb la qual cosa descriu un moviment vibratori harmònic simple. L’energia potencial del sistema en funció del desplaçament es representa amb la paràbola de la gràfica annexa. A) Determina el valor de la constant recuperadora de la molla i el valor de la velocitat del cos quan té una elongació de 20 cm.B) Determina la freqüència i la posició (o posicions) on l’energia cinètica és 37,5 J

PROCEDIMENT• Aplica la condició que l’energia mecànica

és l’energia potencial màxima. Determina el valor de K a partir de la fórmula de l’energia potencial màxima.

• Calcula el valor de l’energia potencial quan x = 0,2 m. Dedueix el valor de l’energia cinètica i aplica la fórmula per calcular la velocitat.

• Utilitza la relació entre la K i la pulsació per calcular-la. Aplica la fórmula operativa de la pulsació i calcula la freqüència.

• Aplica el principi de conservació de l’energia mecànica per calcular el valor de l’energia potencial. Després aplica la fórmula de l’energia potencial per calcular l’elongació.

RESOLUCIÓ

• A l’aïllar K s’obté: K = 400 N/m• L’energia potencial quan x = 0,2 m

és: • L’energia cinètica és:

• Com • Com • Per tant: • Com: • Aïllant x s’obté:

Una massa m= 0,3 kg, situada en un pla horitzontal sense fricció i unida a una molla horitzontal, descriu un moviment vibratori harmònic. L’energia cinètica màxima de la massa és 15 J.a) Si sabem que entre els dos punts del recorregut en què el cos té una velocitat nul·la hi ha una distància de 50 cm. Calcula l’amplitud, la freqüència, el període del moviment i la constant elàstica de la molla.b) Calcula la posició, la velocitat i l’acceleració del cos en l’instant t= 3 s, considerant que quan t= 0 s el cos té l’energia cinètica màxima.

PROCEDIMENT• Recorda els punts on l’energia cinètica

és nul·la (extrems) i determina l’amplitud.

• Determina la rapidesa màxima de la partícula a partir de la seua energia cinètica màxima.

• Calcula la pulsació. Després aplica la fórmula operativa de la pulsació per calcular N i T.

• Aplica la relació entre K i la pulsació per calcular la constant elàstica.

• Determina l’equació general de l’elongació a partir de les condicions inicials. Després deriva per obtenir les equacions de la velocitat i l’acceleració. Finalment substitueix el valor de t i calcula els valors.

RESOLUCIÓ• Com la velocitat és nul·la als extrems: 2·A = 50 cm.

Per tant: A= 25 cm = 0,25 m.• Com l’energia cinètica màxima és:

• En un MHS la Per això, la pulsació és: La freqüència és N = ω/2·π = 20/π Hz (T = π/20 s)• Com K = m·ω2 = 0,3·402 = 480 kg/s2

• L’equació general de l’elongació és:•

( condició inicial t = 0 → x = 0 “velocitat màxima”)

• Al substituir t =3 s s’obté: x = 0,145 m; v = 8,14 m/s; a = - 232,24 m/s2

Prob

lem

a tip

us: A

plic

ar le

s eq

uaci

ons

del M

HS

Una partícula de massa m = 0,2 kg, descriu un moviment harmònic simple l’elongació del qual ve expressada per l’equació: Calcula: a) La constant elàstica de l’oscil·lador i la seua energia mecànica total.B) El primer instant de temps en què l’energia cinètica i potencial són iguals.

PROCEDIMENT• Compara l’equació del mòbil amb

l’equació general del MHS i determina l’amplitud i la pulsació.

• Estableix la relació de la constant elàstica amb la pulsació. Calcula la constant elàstica.

• Relaciona l’energia mecànica amb l’energia potencial màxima. Calcula l’energia mecànica.

• Imposa la condició d’igualar l’energia cinètica amb la potencial i estableix una equació en funció del temps. Resol l’equació i calcula el temps mínim.

RESOLUCIÓ• L’equació general del MHS és:Al comparar-la amb la del mòbil s’obté:

A = 0,6 m i ω=2π Hz.• on

K = m·ω2 = 0,2 kg (2π)2 Hz2 = 0,8·π2 kgHz2

• Com

• La condició és:

• Com • Per tant:

• Al resoldre s’obté:

• Solució t = 0,125 s

𝒙 (𝒕 )=𝑨𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕

Prob

lem

a tip

us: A

plic

ar le

s eq

uaci

ons

del M

HS

La gràfica següent representa l’energia cinètica d’un oscil·lador harmònic en funció de l’elongació (x).a) Determina el valor de l’energia cinètica i de l’energia potencial quan x = 0 m (i quan x = 0,20 m . Quin és el valor de la constant recuperadora ?b) Calculeu la massa de l’oscil·lador, si sabem que la freqüència de vibració és(100/2π) Hz.

PROCEDIMENT• Analitza la gràfica i determina

l’amplitud del MHS, l’energia cinètica en el centre (x = 0) i l’extrem (x = 0,20 m).

• Determina l’energia cinètica i potencial als punt d’equilibri (x = 0) i l’extrem (x = 0,20 m).

• Utilitza la definició d’energia potencial màxima per calcular la constant recuperadora.

• Calcula la velocitat màxima de la partícula en MHS.

• Aplica la definició d’energia cinètica màxima per calcular la massa de la partícula.

RESOLUCIÓ• L’amplitud del MHS és A = 0,2 m, màxima

desviació del punt d’equilibri. Aquest moviment conserva la seua energia mecànica. Per això, quan l’energia cinètica és màxima la potencial és nul·la.

• Punt d’equilibri (x = 0 m): l’energia cinètica és màxima (10 J, segons gràfica) i l’energia potencial és nul·la (no hi ha elongació).

• Punt extrem (x = 0,20 m): l’energia cinètica és zero (partícula no té velocitat) i l’energia potencial és màxima (10 J, tota l’energia cinètica es transforma en potencial).

• Com l’energia potencial màxima correspon a x = A = 0,2 m es verifica:

• La rapidesa màxima de la partícula en MHS és: = 20 m/s

• Com l’energia cinètica màxima és:

MOVIMENT ONDULATORI HARMÒNIC

PER ANALITZAR ELS CONCEPTES POTS TREBALLAR LA SEGÜENT

PÀGINA WEB

• http://concurso.cnice.mec.es/cnice2005/56_ondas/index.htm

Analitza l’applet i modifica les característiques de l’ona:http://www.xtec.cat/~ocasella/applets/ones/appletsol.htm

Per valorar la comprensió de l’applet respon les següents qüestions:

• Quines diferències hi ha entre el moviment d’unt punt (el vaixell) i el de l’ona?

L’ona té un moviment uniforme, v X, mentre que el punt té un moviment periòdic on la velocitat i l’acceleració ( v y , a y ) canvien de sentit i de valor entre un valor nul i un màxim.

• Què passa al modificar sols el període de l’ona?

Si no canvia la longitud d’ona la velocitat de propagació (v x) ha de variar, ja que la rapidesa d’ona és inversament proporcional al període de l’ona. D’altra banda, la velocitat i l’acceleració de vibració ( v y , a y ) dels punts de l’ona disminueixen a l’augmentar el període.

• Què passa al modificar sols l’amplitud de l’ona sense variar el període ni la longitud d’ona?

La velocitat ona d’ona no es modifiquen, però el valor màxim de l’acceleració i velocitat de vibració dels punts de l’ona augmenten amb l’amplitud.

Anàl

isi d

’un

appl

et q

ue re

pres

enta

un

MO

H

Una cubeta d’ones consisteix en un recipient amb un líquid en què, mitjançant una punta que percudeix la superfície del líquid, es generen ones superficials. Regulem el percussor perquè colpege el líquid 300 vegades per minut. Si l’ona tarda 0,6 s a arribar al límit de la cubeta, situat a 30 cm del percussor, calcula la longitud d’ona. Què passa si augmenten el ritme del percussor a 600 colps per minut?

PROCEDIMENT• Calcula la freqüència del focus.• Determina la rapidesa de propagació

de l’ona.• Aplica la fórmula operativa de la

rapidesa de l’ona en funció de la longitud d’ona. Calcula la longitud d’ona.

• Com el medi no canvia la rapidesa d’ona és constant.

• A l’augmentar la freqüència la longitud d’ona disminueix per no variar la rapidesa d’ona. Aplica l’equació d’ona per calcular la longitud d’ona amb la nova freqüència.

RESOLUCIÓ• La freqüència del focus és:

• L’ona té un moviment uniforme, en conseqüència:

• Com:

• La nova freqüència és: Per això, la nova longitud d’ona és:

Prob

lem

a tip

us:

equa

ció

de la

vel

ocita

t d’o

na

En un medi elàstic s'estableix un moviment ondulatori descrit per l'equació: y(x, t) = 0,02 sin( 10π x + 30π t ) en unitats del SI. Determina: A) La longitud d'ona i la freqüència de l'ona. B) La velocitat i el sentit de propagació de l'ona. C) La velocitat màxima amb que oscil·la un punt del medi pel qual es propaga l'ona.

PROCEDIMENT• Compara amb l’equació general

d’ona:Y (x,t) = A sin (ω·t ± K x)

I identifica termes.• Per calcular la velocitat d’ona

aplica l’equació: V ona = λ· N

Recorda que el signe indica el sentit de propagació.

• La velocitat màxima de vibració correspon a la del MHS: V màxima = A·ω

RESOLUCIÓ• Al comparar s’obté: Com K = 2π/λ = 10 π m-1 → λ = 1/5 m.

ω = 2·π N = 30 π, per tant N = 15 Hz. • La velocitat d’ona és:

V ona = (1/5 m)·15 Hz = 3 m/s

El sentit de propagació és cap l’esquerre (x negatives)

• La velocitat màxima de vibració és A ω, i com A = 0,02 m;

V màxima = 0,6 π m/s

Prob

lem

a tip

us:

Anàl

isi d

e l’e

quac

ió d

’ona

SIGNE POSITIU ←ATENCIÓ AL COMPARAR

L’equació representativa d’una ona és: Unitats SIa) Calcula la velocitat de propagació de l’onab) Calcula la velocitat de vibració del punt x = 2 m quan t = 10 s. (0,5 punts)c) Explica la diferència entre les dues velocitats anteriors i indica si hi ha alguna relació entre ambdues.

PROCEDIMENT• En primer lloc opera l’argument de la

funció sinus per proporcionar-li l’estructura de l’equació general. Després compara-les i identifica termes.

• Calcula la longitud d’ona i la freqüència de l’ona.

• Aplica la fórmula operativa de la rapidesa d’ona.

• Per calcular la rapidesa de vibració deriva l’equació d’ona respecte el temps.

• Substitueix la posició del punt i el temps en la equació de la velocitat de vibració.

• Identifica el tipus d’ona i compara la direcció, el sentit i el valor de la velocitat d’ona i de vibració.

RESOLUCIÓ• Operant l’equació:

Que al comparar amb l’equació general:Permet identificar el termes: • En conseqüència: • La rapidesa de propagació de l’ona és:

• La rapidesa de vibració d’una partícula és:

• Quan x = 2m i t = 10s: = 1Per tant;

• L’ona és transversal per propagar-se a l’eix X i les partícules vibren en l’eix Y. Per això, al comparar la velocitat de propagació i de vibració es pot establir:

a) Les direccions són perpendiculars.b) El sentit de la velocitat de propagació no canvia mentre que de vibració es

variable.c) El valor de la velocitat de propagació és constant mentre que la rapidesa de

vibració és variable, amb un valor màxim directament proporcional a la rapidesa de propagació (

Prob

lem

a tip

us:

dife

renc

iar l

a ve

loci

tat d

’ona

i de

vib

raci

ó

Mode radiant

Quina de les ones representades en les equacions té una rapidesa de propagació major:

PROCEDIMENT• La velocitat de vibració

màxima correspon a la del focus (MHS) que és:

V vibració, màxima = A·ω

• La velocitat d’ona és uniforme i pots calcular-la mitjançant la fórmula:

V ona = ω / K

(pots demostrar la fórmula?)

RESOLUCIÓ• En la primera ona A = ½ m i ω = 4 π Hz. Per

tant, V vibració, m = 2 π m/s. A la segona ona

A = 2 m i ω = 2 π/5 Hz, i la seua v vibració, m = 4 π /5 m/s.

En la primera ona les partícules tenen una rapidesa de vibració major.

• A la primera ona ω = 4 π Hz i K = 8 π m-1, la qual cosa implica V ona = 0,5 m/s, mentre que a la segona ω = 2 π/5 Hz i K = 2 π/10 m-1, i per això la seua velocitat és v ona = 2 m/s. En conseqüència la segona ona es propaga més ràpida.

A) A quina ona correspon una velocitat de vibració de les partícules major?B) Quina ona es propaga més ràpida?

Prob

lem

a tip

us:

dife

renc

iar l

a ve

loci

tat d

’ona

i de

vib

raci

ó

L’equació d’una ona harmònica transversal que es propaga en una corda tensa de gran longitud és y (x, t) = 0,03 · sin (2π t – π x), on x i y s’expressen en metres i t, en segons. Calcula:a) La velocitat de propagació de l’ona, el període i la longitud d’ona.b) A l’instant t = 2,0 s, el valor del desplaçament i la velocitat d’un punt de la corda situat a x = 0,75 m.

PROCEDIMENT

• Compara amb l’equació general d’ona:

Y (x,t) = A sin (ω·t ± K x)I identifica termes. La velocitat de

l’ona és V ona = λ·N• Per calcular la velocitat de

vibració deriva la funció d’ona i desprès substitueix les dades a l’equació resultant de la derivació.

RESOLUCIÓ

• En el nostre cas, y(x,t)=0,03 sin(2πt−πx): ⋅A=0,03m, ω=2π rad/s; k=π rad/m; ϕ=0. Per això:

N = ω/ 2π = 1 Hz; T = 1/N =1 sλ = 2·π/K =2 m.

La velocitat de propagació és: V ona = 2 m·1 Hz = 2 m/s

• Per calcular la posició y(x=0,75;t=2)=0,03 sin(2π 2−π 0,75)=−0,021m⋅ ⋅ ⋅

La velocitat de vibració és v = dy/dt. Per això:V (x,t )= 0,06 π cos (2πt – π x),

al substituir t = 2 s i x = 0,75 m s’obté:V vibració = - 0,13 m/s

RECORDA CALCULADORA EN

MODE RADIANS

Prob

lem

a tip

us:

anal

itzar

l’eq

uaci

ó d’

ona

i cal

cula

r la

velo

cita

t

Es fa vibrar una corda de 3,6 m de longitud amb oscil·lacions harmòniques transversals perpendiculars a la corda. La freqüència de les oscil·lacions és de 400 Hz i l'amplitud és d'1 mm. Les ones generades tarden 0,01 s a arribar a l'altre extrem de la corda.A) Calcula la longitud d'ona, el període i la velocitat de transmissió de l'ona.B) Quant valen el desplaçament, la velocitat i l'acceleració màximes transversals?

PROCEDIMENT•Calcula la velocitat d’ona (moviment uniforme v = Δx / Δt). Desprès, com sabem la freqüència calcula la longitud d’ona.•El valors màxims de vibració corresponen al de focus en MHS. Per això;• X màx = A; V màx = A·ω; •a màx = A·ω2

RESOLUCIÓ• La velocitat d’ona és:v ona = 3,6 m/ 0,01 s = 360 m/s. Per tant, λ = V ona / N = 360 / 400 = 0,9 m. El període és :T = 1 /N = 1 / 400 Hz = 0,0025 s. •El màxim desplaçament d’una partícula vibrant és 1 ·10-3 m. Com ω = 2·π 400 Hz = 800 π Hz Per tant:

V màx = 0,8 π m/s

a màxima = 640 π2 m/s2

Prob

lem

a tip

us:

Ded

ucci

ó d

e le

s ca

ract

erís

tique

s d’

ona

Una sirena emet la nota musical Fa de la 3ª octava (ones de f = 440 Hz) amb una amplitud A = 0,1 Pa (Pascal, unitat de pressió del SI equivalent a N/m2). Si l’ona es propaga al llarg de la part positiva de l’eix OX amb una velocitat de 340 m/s (velocitat del so) i a l’instant inicial hi ha un màxim de pressió en el focus, determina:(a) L’equació del MVHS del focus. (b) L’equació de l’ona. (c) La pressió en un punt a 1,7 m de la sirena a l’instant t = 2,5 s.

PROCEDIMENT• El focus té MHS i com les

condicions inicials són (t= 0, x = A) cal utilitzar l’equació:

X (t) = A cos ω·t• Per determinar l’equació de l’ona

que es propaga a l’eix X (+) cal utilitzar:

X(x,t) = A cos (ω·t – K x)Per la qual cosa has de calcular λ i el

nombre d’ona (k).• Per calcular la pressió substitueix

les dades a l’equació d’ona.

RESOLUCIÓ• La pulsació del focus és:

ω = 2·π·440 Hz = 880 π Hz I com A = 0,1 Pa, l’equació del focus és:

P = 0,1Pa·cos 880·π·t

• La longitud d’ona és:λ = V ona / N = 340 m/s / 440 Hz = 0,773 m

El nombre d’ona és: K = 2π/λ = 2,6π m-1

L’equació d’ona és:P(x,t) = 0,1 Pa cos (880π t – 2,6π x)

• La pressió en x = 1,7 m i t = 2,5 s és:P = 0,1 Pa cos (880π ·2,5 – 2,6π·1,7)

P = 0,025 Pa

RECORDA LA FASE EN RADIANTS

Prob

lem

a tip

us:

Ded

ucci

ó d

e le

s ca

ract

erís

tique

s d’

ona

Observem que dues boies de senyalització en una zona de bany d’una platja, separades una distància de 2 m, oscil·len de la mateixa manera amb l’onatge de l’aigua del mar. Veiem que la mínima distància en què té lloc aquest fet és, justament, la separació entre les dues boies. Comptem que oscil·len trenta vegades en un minut i mesurem que fan un recorregut de baix a d’alt d’un metre.a) Determina la freqüència, la longitud d’ona i la velocitat de les ones del mar.b) Escriu l’equació de l’ona utilitzant de referència la primera boia (focus), si comencem a comptar el temps quan les boies són en la posició més alta. Escriu l’equació de la velocitat de les boies en funció del temps.

PROCEDIMENT• Analitza l’enunciat i obté les dades.• Calcula la velocitat de propagació de

l’ona.• Per escriure l’equació tria una de

referència. Com les condicions inicials són: t = 0 → y = A, es convenient utilitzar l’equació en funció del cosinus.

• Determina la fase inicial.• Determina la pulsació i el nombre

d’ona.• Substitueix els valors de cada terme en

l’equació.• Deriva l’equació d’ona respecte el

temps i obté l’equació de la velocitat.

RESOLUCIÓ• Les dades són; longitud d’ona = 2 m,

freqüència: , amplitud: • La velocitat de l’ona és:

• L’equació de referència és:

• La fase inicial és: • La pulsació és: • El nombre d’ona és:• L’equació de l’ona és:

• L’equació de la velocitat és:

Prob

lem

a tip

us:

Ded

ucci

ó de

l’eq

uaci

ó d’

ona

Una ona harmònica transversal de freqüència 50π Hz es propaga en la direcció positiva de l’eix X. Si en un instant determinat la diferència de fase entre dos punts separats 25 cm és de π/4, determina: A)El període, la longitud d’ona i la rapidesa de propagació. Si l’amplitud de l’ona és de 20 cm. B) Escriu l’equació que representa l’estat de vibració dels punts de l’ona, considera que el focus en t = 0 és en la posició d’equilibri (Y = 0).

PROCEDIMENT

• A partir de la pulsació calcula el període. Utilitza la diferència de fase per calcular la longitud d’ona i finalment calcula la velocitat d’ona.

• Determina els factors de l’ona i utilitza l’equació d’ona en la funció sinus per evitar la fase inicial.

RESOLUCIÓ

• Com ω = 50 π Hz, el període és T = 2π /ω = 1/25 s = 0,04 s

Per determinar la longitud d’ona cal tenir en compte que K Δx = Δ ө on

Δx = 0,25 m i Δө = π/4. Per tant,

K = π m-1, i la longitud d’ona λ = 2 π/K = 2 m.

En conseqüència:

V ona = 2 m / 0,04 s = 50 m/s

• Si l’equació de referència és:

Y (x,t) = A sin (ω·t – k x)

S’obté :

Y (x,t) = 0,2 m sin (50π t – π x)

Prob

lem

a tip

us:

Ded

ucci

ó de

l’eq

uaci

ó d’

ona

Una ona és representada per l’equació:, on x s’indica en cm i t en s. Determina : a) El tipus d’ona representada. b) La rapidesa de propagació de l’ona. c) La diferència de fase per dos posicions d’una determinada partícula quan Δt = 2 s. d) La diferència de fase, en un determinat instant, per a dos partícules separades 1,20 m.

PROCEDIMENT• Compara la direcció de vibració

de les partícules de l’ona (Y) amb la de la propagació (x).

• Compara amb l’equació general de l’ona i determina el període i la longitud d’ona. Després aplica l’equació:

v ona = λ /T• La diferència de fase per un Δt

és: Δφ = ω·Δt.• La diferència de fase per un Δx:

Δ= K·Δx

RESOLUCIÓ• L’ona es transversal per

propagar-se a l’eix x i vibrar les partícules a l’eix Y.

• Com: λ = 160 cm = 1,6 m i T = 4 s. Per això:

V ona = 1,6 m/4s = 0,4 m/s.• Com ω = π/2 Hz: Δφ = ω·2s = π rad• Com K = 2·π / 160 cm:Δ= 2·π·120 cm/160 cm = 3·π/2

Prob

lem

a tip

us:

calc

ular

vel

ocita

t pro

paga

ció

i dife

rènc

ia fa

se.

En una cubeta d’ones generem ones de 20 Hz de freqüència i de 2 cm d’amplitud, de manera que tarden 5 s per a recórrer 10 m. Calcula:1. La velocitat màxima de vibració dels punts de la superfície de l’aigua .2. La diferència de fase entre dos punts sobre la superfície de l’aigua, situats en la mateixa direcció de propagació de l’ona i separats per una distància de 5 cm, en un instant determinat.

PROCEDIMENT• Identifica les característiques de l’ona a fi

de determinar l’amplitud i la freqüència. Recorda que la velocitat màxima dels punts de l’ona corresponen a la del focus en MHS (v màxima = A·ω).

• La fase de l’ona és:Φ = ω·t – K·x + θ0

En conseqüència, la diferència de fase en un determinat instant és: ∆Ф = k·∆x

Per la qual cosa s’ha de calcular el valor de la longitud d’ona a partir de la velocitat d’ona:

V ona = λ·N

RESOLUCIÓ• La freqüència és N = 20 Hz i

ω = 2·π·N = 40·π Hz D’altra banda, l’amplitud és 2·10-2 m. Així

doncs: v màxima = 2·10-2 m· 40 π Hz = 0,8·π m/s

• Per calcula la diferència de fase cal determinar K. Com la velocitat d’ona és 10 m / 5s = 2 m/s, la longitud d’ona

λ= 2 m/s /20 Hz = 0,1 m Per això, K = 2π / λ= 20·π m-1

Finalment, ∆Ф = k·∆x = 20·π m-1·5·10-2 m= π rad

Prob

lem

a tip

us:

calc

ular

la d

iferè

ncia

de

fase

Una ona harmònica transversal es propaga per una corda a una velocitat de 6,00 m/s. L’amplitud de l’ona és 20 mm i la distància mínima entre dos punts que estan en fase és 0,40 m. Considereu la direcció de la corda com l’eix x i que l’ona es propaga en el sentit positiu d’aquest eix.a) Calculeu la longitud d’ona, el nombre d’ona, la freqüència, el període i la freqüència angular (pulsació).b) Escriviu l’equació de l’ona sabent que, en l’instant inicial, l’elongació d’un punt situat a l’origen de coordenades és màxima. C) Calculeu l’expressió de la velocitat amb què vibra un punt de la corda situat a una distància de 10 m respecte de l’origen de la vibració. Quina és la velocitat màxima d’aquest punt?

PROCEDIMENT• Analitza l’enunciat i extrau la longitud

d’ona (distancia mínima entre dos punts de l’ona en fase) i la velocitat d’ona. Calcula la freqüència, el període i la resta de dades sol·licitades.

• Com a l’inici (t= 0) en el focus (x=0) la vibració és màxima (Y = A) cal utilitzar l’equació general amb la funció cosinus:

Y (x,t) = A cos (ω·t – K x)• Deriva l’equació de l’ona per obtenir

l’equació de vibració d’un punt, i desprès substitueix pel valor d’x.

RESOLUCIÓ• La longitud d’ona és λ = 0,4 m, i com la

velocitat d’ona és V ona = 6 m/s es pot calcular la freqüència N = 6/0.4 Hz = 15 Hz. Per això, el període és T = 1/15 Hz = 0,06 s. El nombre d’ona és K = 2π/0,4 m = 5π m-1; i la pulsació és ω = 2·π·15 Hz = 30 π Hz.

• Com A = 20mm = 0,02 m i substituint en l’equació de referència:

Y(x,t) = 0,02 m cos (30π t-5π x)Demostra que la fase inicial és nul·la

• Al derivar l’equació anterior s’obté:V (x,t) = - 0,6·π m/s sin (30π t - 5π x)

Per al punt x = 10 m:V (x,t) = - 0,6·π m/s sin (30π t - 50π)

La velocitat màxima de vibració és:V màxima = 0,6·π m/s

ONA TRANSVERSAL

SENTIT EIX X POSITIU →

RECORDA

d(A cos ωt) / dt = - Aω sin ωt

Prob

lem

a tip

us:

escr

iure

l’eq

uaci

ó d’

una

ona

Resolució alternativa: també s'admet si posen y=Asin(ωt−kx+ϕ); Però la fase inicial serà π/2

Una ona transversal té la següent equació d'ona en unitats SI:Y ( x ,t ) =10· sin π (1,6 · x − 0,80 · t)a) Determina la velocitat de propagació i la longitud d'ona. b) Calcula la velocitat de vibració d'un punt situat a 1,25 m quan han passat 2,5 s de temps. c) Quina diferència de fase hi ha entre dos punts separats 2,50 m?

PROCEDIMENT• Introdueix el factor π dins del parèntesis i

compara amb l’equació general :Y (x,t) = A sin (ω·t ± K x)

Identifica els termes i calcula la velocitat d’ona i longitud d’ona ( λ).

• Per calcular la velocitat de vibració caldrà derivar l'equació de l'ona respecte del temps (podem emprar l'original que és més senzilla).

• La diferència de fase la calcularem amb un factor de conversió sabent que quan l'ona s'ha desplaçat una distància igual a la longitud d'ona la fase ha variat en 2·π rad (una oscil·lació completa).

RESOLUCIÓ• L’equació es pot expressar com:

Y ( x ,t ) =10· sin (1,6 π· x − 0,80 π ·t)Al comparar amb l’equació general s’obté:

K = 1,6 π m-1 i ω = 0,80 · π Hz. Per això, la v ona = ω / K = 0,8 π / 1,6 · π =0,5 m/s.

D’altra banda; λ = 2 π/k = 1,25 m. • Al derivar l’equació de l’ona s’obté:

v=− 8 ·π· cos π· (1,6· x − 0,8· t )Al substituir per les dades:

v (1,25 ; 2,5)=−8 ·π · cosπ·(1,6 · 1,25 − 0,8 · 2,5)= = −8 π· cos 0= − 8 π m/ s

• Per calcular la diferència de fase. Δө =2,50m· 2·π rad / 1,25m = 4·π rad

Prob

lem

a tip

us:

Anàl

isi d

e l’e

quac

ió d

’ona

Una ona de freqüència 0,523 kHz (nota musical Do de la 4ª octava) avança dins l'aigua amb una velocitat de 1 440 m/s.A) Determina la separació entre dos punts que tInguen 3π/2 de diferència de fase. b) Quina diferència de fase hi ha entre dues elongacions en un cert punt entre dos instantsseparats un interval Δt = 2,00 s?

PROCEDIMENT• Calcula la longitud d’ona i

després el nombre d’ona.• Recorda que la diferència de

fase entre dos punts en un instant és : Δθ = K·Δx

• La diferència de fase d’un punt en un interval de temps és: Δθ = ω·Δt

RESOLUCIÓ• La longitud d’ona és:

λ = 1440 m/s / 523 HZ = 2,75 mI el nombre d’ona és K= 0,726·π m-1 La separació entre el punts és:Δx = Δθ / K = 3π/2 / 0,726 π = 2,07 m

• La pulsació de l’ona és:

ω = 2·π· 523 Hz = 1046 π Hz

En conseqüència:

Δθ = 1046·π Hz·2 s = 2092 π rad

Prob

lem

a tip

us:

càlc

ul d

e la

dife

rènc

ia d

e fa

se

Un focus puntual emet ones esfèriques. Una placa plana de 2 cm2 es col·loca a 50 m del focus perpendicular a la direcció de propagació de les ones. En 3,00 minuts arriben a la superfície 5 000 J d'energia. Calcula:(a) La intensitat de l'ona en la posició on està la placa. (b) La potència del focus.

PROCEDIMENT• Aplica la definició d’intensitat;

I = ΔE /S· Δt

• Com l’energia rebuda per la placa per unitat de temps (potència) procedeix del focus situat a 50 m, que té fronts d’ona esfèrics:

P = I· 4·π·R2

RESOLUCIÓ• Com:ΔE = 5000 J; S = 2·10-4 m2; Δt = 180 s, aplicant la fórmula de la intensitat s’obté:

I = 5000 / 2·10-4 ·180 = 139 kW/m2

• La potència del focus és:P = 139·103 ·4·π· 50 2 = 4,37 ·109 W

Prob

lem

a tip

us:

CON

CEPT

E D

’INTE

NSI

TAT

Si la intensitat d'una ona sísmica P a 100 km de l'epicentre és 1,0 MW/m2, quina serà la intensitat a 400 km de l'epicentre?

PROCEDIMENT• Cal aplicar el principi de

conservació d’energia:ΔE = I1 S1 = I2 S2

I suposant que el front d’ona és esfèric: S = 4·π·R2

Es dedueix:I1 R1

2 = I2 R22

RESOLUCIÓ• Com es verifica:

I1 R12 = I2 R2

2

S’obté:I2 = 1 MW/m2 (100 km/ 400km)2

Per tant:I2 = 6,25·10-2 MW/m2

Prob

lem

a tip

us:

feno

men

d’A

TEN

UAC

IÓ

Un tren d’ones d'intensitat I0 = 20 W/m2 i amplitud A0 = 4,0 mm penetra dins un medide coeficient d’absorció β = 20 m—1. Determina la intensitat I l’amplitud de l’ona després de travessar 3,5 cm del material.

PROCEDIMENT• Aplica la llei d’absorció per

calcular la intensitat desprès de travessar el material.

• Com la intensitat es directament proporcional a A2, lla llei que es verifica és:

A2 = A02 e – β x

RESOLUCIÓ• La llei d’absorció és:

I = I0 e – β x

On I0 = 20 W/m2 ; β = 20 m—1 i x = 0,035 m

Al substituir s’obté: I = 20 e – 20·0,035 = 9,9 W/m2

• Per cacular l’amplitud s’aplica la relació:A2 = (4 mm)2 · e – 20·0,035

Per això:A = 2,8 mm

Prob

lem

a tip

us:

feno

men

d’A

BSO

RCIÓ

Una ona plana disminueix la seua intensitat el 40% quan travessa un medi i recorre 60 cm. Determina el coeficient d’absorció del medi i la distància que ha de recórrer l’ona, perquè la seua intensitat siga la meitat de la inicial.

PROCEDIMENT• Aplica les condicions del

problema a la llei d’absorció per calcular el coeficient d’absorció (β).

• Una vegada determinat el valor de β cal aplicar la llei d’absorció i aïllar x.

RESOLUCIÓ• Com I = 0,4·I0 quan x = 60 cm, a

l’aplicar la llei d’aborció es planteja l’equació:

0,4·I0 = I0 e – β·0,6 m

Aïllant β (per aplicació de logaritmes) s’obté:

β = 1,527 m-1

• A fi que I = 0,5 I0 l’espessor a travessar (x) verifica:

0,5·I0 = I0 e – 1,527 m-1 x

Al calcular x, s’obté: x = 0,454 m

Prob

lem

a tip

us:

feno

men

d’A

BSO

RCIÓ

PROPIETATS DE LES ONES

Una ona de 2,0 cm de longitud d'ona, que es desplaça dins l'aire amb una velocitat de0,5 m/s, incideix damunt la superfície de l'aigua d'un sèquia d'un hort amb un angle de 30º respecte a la normal de dita superfície. Si la longitud d'ona dinsl'aigua és de 2,4 cm, quina és l'angle de refracció?

PROCEDIMENT• En primer lloc, calcula la velocitat

de l’ona dins de l’aigua a partir del canvi de longitud d’ona (recorda que la freqüència es conserva).

• Aplica la llei de Snell al fenomen de refracció i calcula l’angle de refracció (r).

RESOLUCIÓ• Com N = v 1 / λ1 = v 2 / λ2, la velocitat

de propagació a l’aigua és:

V2 = (λ2/λ1)·v1 = (2,4/2)·0,5 m/s = 0,6 m/s

• Aplicant la llei de refracció:Sin I / sin r = v1 / v2

S’obté:sin r = (0,6/0,5) sin 30º = 0,6

En conseqüència:r = inv sin 0,6 = 36º52’

Prob

lem

a tip

us:

feno

men

de

refr

acci

ó

Una ona sinusoïdal viatja per un medi en el qual la seua velocitat de propagació és v 1 . En un punt de la seua trajectòria canvia el medi de propagació i la velocitat passa a ser v 2 = 2·v 1 . Explica com canvia l’amplitud, la freqüència i la longitud d’ona. Raona breument les respostes.

PROCEDIMENT• Recorda que la magnitud

característica de l’ona és la freqüència, que no canvia al llarg de la seua propagació.

• Per raonar el canvi d’ona utilitza l’equació de la velocitat de propagació:

RESOLUCIÓ• L’ona manté constant sempre la seua

freqüència, que no canvia. L’amplitud de l’ona depèn del seu amortiguament (disminueix amb la distància) , però si considerem l’ona ideal i unidimensional: l’amplitud és constant.

• Com la freqüència és constant es verifica:

Com v 2 = 2v 1

Conclusió: l’ona al canvia del medi 1 al 2 duplica la seua longitud d’ona i manté constant la freqüència i l’amplitud (considerada ideal).

Prob

lem

a tip

us:

feno

men

de

refr

acci

ó

Els grills perceben sons de freqüència d’entre 20 Hz i 100 kHz i els llagostins perceben sons d’entre 15 Hz i 35 kHz de freqüència. Les balenes blanques emeten sons de 20 Hz. Si el so de la balena arriba a la superfície amb un angle de 60° respecte de la normal, calcula a) L’angle amb què sortirà el so de la balena a l’aire. Podran sentir aquest so elsgrills i els llagostins que són arran de la costa? I dalt d’un penya-segat? b) La longitud d’ona, dins i fora de l’aigua, del so produït per la balena.DADES: v so a l’aire = 340 m/s; v so a l’aigua = 1 500 m/s.

PROCEDIMENT• Aplica la llei de refracció

de Snell al sistema aigua – aire.

• Analitza el resultat i interpreta’l.

• Recorda que sempre es conserva la freqüència del so. Aplica l’equació de la velocitat d’ona per calcular la longitud d’ona.

RESOLUCIÓ• La llei de Snell al sistema aigua – aire és:

Com i = 60º

• Tant els grills com els llagostins poden percebre una freqüència de 20 Hz. Però l’angle d’eixida del so és tan menut, respecte a la normal (trajectòria molt vertical), que cal situar-los a gran altura, com per exemple d’alt del penya-segat.

• La longitud d’ona dins l’aigua és:

• La longitud d’ona en l’aire és:

Prob

lem

a tip

us:

feno

men

de

refr

acci

ó

La longitud d'ona de la nota la a l'aire és de 0,773 m. Quines són la seua freqüència i la seua longitud d'ona a l'aigua? La velocitat del so a l'aire és de 340 m/s i a l'aigua d'1,44 km/s

PROCEDIMENT• Calcula la freqüència de la

nota la a l’aire a partir de la velocitat ona a l’aire.

• Al canviar de medi es manté constant la freqüència de l’ona. Per això, al canviar la velocitat d’ona canvia la longitud de la nota.

RESOLUCIÓ

• Com v aire = λ aire ·N

La freqüència de la nota és:N = 340 m/s / 0,773 m = 440 Hz

Per calcular la nova longitud d’ona al canviar de medi:

λ aigua = V aigua / N =

= 1440 m/s / 440 Hz = 3,27 m

Prob

lem

a tip

us:

feno

men

de

refr

acci

ó

RECORDA L’ONA AL CANVIAR DE MEDI MANTÉ LA SEUA FREQÜÈNCIA

Analitza el següent applet, que representa la interferència de dues ones coherents: http://www.xtec.cat/~ocasella/applets/interf/appletsol.htm

Contesta les qüestions:

• Què val el màxim valor de la pertorbació i la mínima pertorbació?

El màxim valor de la pertorbació correspon a 2·A i el mínim no dona lloc a cap pertorbació. Entre aquestes situacions extremes hi ha punts on la pertorbació oscil·la entre aquests valors.

• Quina condició verifiquen els punts on la pertorbació és màxima?

Les dues ones arriben en fase (Interferència constructiva), i això implica que la diferència de distàncies dels focus al punt és n λ

• Quina condició verifiquen els punts on la pertorbació és nul·la?

Les dues ones arriben en fase aposades (interferència destructiva), i això implica que la diferència de distàncies dels focus al punt és (2n +1) λ /2

• Què són les línies nodals?

Són hipèrboles on les ones s’anul·len per estar sempre en oposició de fase, això ho pots comprovar al desplaçar el cursor per una línia nodal i observar les representacions de les ones.

•Com varia l’amplitud de l’ona al desplaçar el cursor d’una línia nodal a una altra?

En la línia nodal l’amplitud és nul·la i a l’apropar-se a la línia de interferència màxima augmenta l’amplitud al valor màxim 2A (corba blava), per a desprès disminuir de valor fins a l’altra línia nodal on torna a ser nul·la.

Anàl

isi d

’un

appl

et d

’inte

rfer

ènci

a d’

ones

Cadascun dels extrems d’un diapasó presenta un moviment vibratori harmònic amb una freqüència de 1 000 Hz i una amplitud d’1 mm. Aquest moviment genera en l’aire una ona harmònica de so de la mateixa freqüència. El moviment dels dos extrems està en fase.a) Calculeu, per a un dels extrems del diapasó, l’elongació i la velocitat del seu moviment vibratori quan passen 3,3 · 10 –4 s de començar a vibrar, comptat a partir de la posició que correspon a la màxima amplitud.b) Raona si, en l’aire, es produiria el fenomen d’interferència a partir de les ones de so que es generen en els dos extrems del diapasó. Si s’esdevé aquest fenomen, indica en quins punts es produiran els màxims d’interferència. Dada: velocitat del so a l’aire = 340 m/s.

PRODEDIMENT• Cada extrem del diapasó té un

MHS. Escriu l’equació de l’elongació i de la velocitat i substitueix el temps de referència.

• Al considerar els focus en fase s’originen interferències constructives als punts on la diferència de distància siga n·λ

RESOLUCIÓ

• Con A = 1 mm i N = 1000 Hz, la ω= 2000 π Hz. L’equació de referència és: X = A cos ωt ( per la condició inicial t = 0 → x =A).

Per tant;

X = 1 ·10 -3 cos 2000 π t (SI)L’equació de la velocitat és:

v = - 2 π sin 2000 π t (SI)Al substetuir el temps t = 3,3 ·10 -4 s, s’obté:

x = - 0,48 ·10-3 m i v = - 5,506 m/s .• Calculem λ = 340 /1000 = 0,340 mEn conseqüència: Interferència constructiva (màxims):

Δr = n 0,340 m, on n = 1, 2…. En cas d’utilitzar : x =A sin(ωt+ϕ)condicions inicials: t=0; y=A: A = A sin(ω·0+ϕ) ⇒ sinϕ = 1 ϕ⇒ = π/2

Prob

lem

a tip

us:

MH

S i i

nter

ferè

ncie

s d’

ones

Dues ones coherents, de 40 Hz de freqüència, es propaguen a la velocitat de 20 cm/s. Calcula el tipus d’interferència que es produirà en: a) un punt A que dista 12 cm d’un focus i 10,5 cm de l’altre.b) un punt B que dista 6,25 cm d’un focus i 8 cm de l’altre.

PROCEDIMENT• Calcula en primer lloc la

longitud d’ona a partir de N i la velocitat d’ona.

• Recorda les condicions d’interferència:

Constructiva: Δx = n λDestructiva : Δx = (2·n +1 ) λ/2

RESOLUCIÓ• La longitud d’ona és:

λ = v ona / N = 20 cm/s / 40 Hz = 0,5 cm

Al punt A: Δ x = 12 cm – 10,5 cm = 1,5 cm

Per comprovar si la interferència és constructiva fem :

Per tant, es verifica la condició d’interferència constructiva: Al punt B:

En aquest cas:,5 (no es un nombre enter, en conseqüència no hi ha

interferència constructiva)Per comprovar si la interferència és destructiva apliquem la

condició:

Per tant, es verifica que:

Condició que correspon a una interferència destructiva.

Prob

lem

a tip

us:

dete

rmin

ar e

ls ti

pus

d’in

terf

erèn

cia

Dos focus puntuals situats a 20 cm l'un de l'altre en la superfície de l'aigua emeten ones circulars de la mateixa amplitud, freqüència i fase. La velocitat de propagació de les ones és de 60 cm/s i la seua freqüència de 20 Hz.(a) Què passarà si les dues ones interfereixen en un punt situat a 20 cm d'un focus i a 12,5 cm de l'altre?.(b) I en un punt situat a 30 cm d'un focus i 24 cm de l'altre?

PROCEDIMENT

• Calcula en primer lloc la longitud d’ona a partir de la freqüència i la velocitat d’ona.

• Recorda les condicions d’interferència:

Constructiva: Δx = n λ

Destructiva : Δx = (2·n +1 ) λ/2

RESOLUCIÓ• La longitud d’ona és:

λ = v ona / N = 60 cm/s / 20 Hz = 3 cm

Al punt A: Δ x = 20 cm – 12,5 cm = 7,5 cm

Per comprovar si la interferència és constructiva fem :

No es verifica la condició d’interferència constructiva. Per comprovar si la interferència és destructiva apliquem la condició:

En conseqüència, es verifica que:

Condició que correspon a una interferència destructiva.

Al punt B:

En aquest cas:

Per tant, es verifica la condició d’interferència constructiva.

Prob

lem

a tip

us:

dete

rmin

ar e

ls ti

pus

d’in

terf

erèn

cia

Explica perquè una barrera acústica d’una alçada d’un metre és molt eficaç per a sons aguts (majors de 2 kHz) i poc eficaç per a sons greus (de 20 Hz a 300 Hz). V so, aire = 340 m/s

PROCEDIMENT• L’apantallament de l’ona acústica

depèn del seu l’escampament per darrera de l’obstacle.

• La propietat de les ones associada al seu escampament al interaccionar amb obstacles és la difracció.

• L’observació de la difracció depèn de la relació entre la longitud de l’ona i les dimensions de l’obstacle. Per això, calcula la longitud associada a cada tipus de so. Després compara-la amb la grandària (d) de l’obstacle. Si la difracció és apreciable (el so s’expandeix per darrera de la pantalla i pot escoltar-se).

RESOLUCIÓ• La longitud d’ona més menuda per a sons

greus és:

Conclusió: el sons greus es difracten per darrera de la pantalla. La pantalla no impedeix la propagació de sons greus.• La longitud d’ona més gran per a sons

aguts és:

En conseqüència, els sons aguts no originen una difracció apreciable al interaccionar amb la pantalla, i no podran escoltar-se per darrera de la pantalla.

Prob

lem

a tip

us: d

ifrac

ció

Un tub mesura 1,25 m de llargària. Determina la freqüència dels dos primers harmònics: a) si el tub està obert pels seus dos extrems; b) si només ho està per un d’ells. Considera la velocitat del so igual a 342 m/s.

PROCEDIMENT• Cal aplicar la condició del harmònic, per a

cada situació, fes un diagrama del harmònic, extrem obert (ventre) i tancat (node) i calcula la longitud d’ona (recorda d node - node = λ/2 ; d node – ventre = λ/4). Després calcula la freqüència, N, mitjançant la v ona.

• Situació, tub obert pels dos extrems: es formen ventres als extrems (oberts).

• Situació, tub tancat per un extrem i obert per l’altre: a l’extrem tancat s’origina un node i a l’obert un ventre.

RESOLUCIÓ• Cas tub obert. Primer harmònic: L = λ/2,

per tant λ = 2· L = 2· 1,25 m = 2,5 m. La freqüència fonamental és: N = V ona / λ = 342 m/s / 2,5 m = 136,8 Hz

El segon harmònic correspon a: L = λ= 1,25 m→ N = 342/1,25 = 273,6 Hz• Cas tub tancat –obert. Primer harmònic: L = λ/4, per això λ = 4·L = 4·1,25 = 5 m. La freqüència del primer harmònic és:

N = 342/ 5 Hz = 68,4 Hz El segon harmònic correspon a L = 3·λ/4, i

aïllant λ = 4·L/3 = 1,67 m i té una N = 204,8 Hz

Prob

lem

a tip

us:

ones

est

acio

nàrie

s

Una corda de guitarra té una longitud de 78 cm entre els seus dos extrems fixos.Amb quina velocitat es transmet l’ona que origina l’ona estacionària del seu primer harmònic, de freqüència 125 Hz?Quina és l’equació d’ona estacionària si l’amplitud de l’ona incident és de 0,8 cm?

PROCEDIMENT• Imposat la condició del primer

harmònic; un node a cada extrem. Com la distància node – node = λ/2, calcula la longitud d’ona. Amb la freqüència i la longitud d’ona calcula la velocitat d’ona.

• Recorda l’equació general d’una ona estacionària:Y (x,t) = 2·A cos K x sin ω·t

Identifica el termes i substitueix

RESOLUCIÓ• Com L = λ/2 → λ= 2·78 cm

Per tant; λ = 156 cm = 1,56 m

La velocitat d’ona és:

V ona = 125 Hz · 1,56 m = 195 m/s

• El termes de l’ona estacionària són:

K = 2 π/ 1,56 m = 1,28·π m-1

ω = 2 π·N = 250 π Hz

A = 0,8 cm

Al substituir en l’equació s’obté:

Y (x,t) = 1,6 cm cos 1,28π x (m) sin 250π t (s)

Prob

lem

a tip

us:

ones

est

acio

nàrie

s

La corda d’una guitarra mesura 0,65 m de llargària i vibra amb una freqüència fonamental de 440 Hz. Explica raonadament quina és la longitud d’ona de l’harmònic fonamental i digues en quins llocs de la corda hi ha els nodes i els ventres. Calculeu la velo-citat de propagació de les ones que, per superposició, han generat l’ona estacionària de la corda.

El dibuix annex representa una ona estacionària que s’ha generat en una corda tensa quan una ona harmònica que es propagava cap a la dreta s’ha superposat amb la que s’ha reflectit en un extrem. a) Determina la distància entre nodes i la longitud d’ona estacionària .Quina és l’amplitud de les ones que, en superposar-se, han originat l’ona estacionària ?b) Sabent que cada punt de la corda vibra a raó de trenta vegades per segon, escriu l’equació de l’ona inicial (si suposem que y (0, 0) = 0) i calcula la velocitat de propagació.de l’ona.

PROCEDIMENT• Analitza el dibuix annex i

determina la distància node-node.• Relaciona la distancia node-node

amb la longitud d’ona.• Recorda que l’amplitud màxima de

l’ona estacionària és 2·A.• utilitza una equació de referència.• Determina la freqüència, la

pulsació i el nombre d’ona.• Calcula la fase inicial de l’ona.• Substitueix les dades en l’equació

d’ona.

RESOLUCIÓ• La longitud de la corda es 3·X

distància de node a node. Per tant, • Com • L’amplitud màxima del MHS és d’1

cm, en conseqüència l’amplitud de cada ona és d’0,5 cm.

• L’equació d’ona de referència és:

On N = 30 Hz; La fase inicial és quan t= 0, x = 0 → y = 0 Per tant:

Al campionat mundial de futbol de 2010 celebrat en Sud-àfrica, guanyaT per la selecció espanyola, la vuvuzela, un instrument musical d’animació molt sorollós, atesa la forma cònica i acampanada que té, va despertar una gran controvèrsia per les molèsties que causava. Aquest instrument produeix el so a una freqüència de 235 Hz crea uns harmònics, és a dir, sons múltiples de la freqüència fonamental (235 Hz), d’entre 470 Hz i 1 645 Hz de freqüència. La vuvuzela és molt irritant, perquè els harmònics amb freqüències més altes són els més sensibles per a l’oïda humana. NOTA: Considereu que el tub sonor és obert pels dos cantons. a) Amb les dades anteriors, calculeu la longitud aproximada d’una vuvuzela. b) Un espectador es troba a 1 m d’una vuvuzela i percep 116 dB. Molest pel soroll, s’allunya fins a una distància de 50 m. Quants decibels percep, aleshores?DADES: v so a l’aire = 340 m/s; I 0 = 10 –12 W/m 2 .

PROCEDIMENT• Estableix les condicions del primer

harmònic per a un tub obert pels dos extrems. Relaciona la longitud del primer harmònic amb la longitud del tub.

• A partir de la freqüència del primer harmònic calcula la seua longitud d’ona. Després determina la longitud del tub.

• Aplica la definició de dB per calcular la intensitat del so a 1 m.

• Aplica el principi de conservació d’energia per calcula la intensitat del so al 50 m.

• Aplica la definició del dB per calcular el seu valor als 50 m.

RESOLUCIÓ• La representació del primer harmònic per un tub sonor obert

per les dues cantonades correspon a la figura annexa. L’anàlisi de la figura permet establi que:

• Com N fonamental = 235 Hz i

En conseqüència d= 1,45 m / 2 = 0,72 m.• Com la intensitat I1m = 10-0,4 J/m2

La intensitat als 50 m del focus és:

Per tant:Finalment;

d

𝜆 /4

Prob

lem

a tip

us:

ones

est

acio

nàrie

s i d

B

El conductor d'un cotxe s'acosta a una fàbrica a 72 km/h mentre la sirena d'aquesta emet un so de 300 Hz.Quina freqüència percep aquesta persona?Si va més enllà de la fàbrica, quina freqüència percep mentre se n'allunya? V so = 340 m/s

PROCEDIMENT• Com hi ha una aproximació

focus – observador la freqüència aparent serà major que la real.

• Quan l'observador s’allunya del focus la freqüència aparent serà menor que la real.

RESOLUCIÓ• L’equació a aplicar és :

N ‘ = N (V so + V obs )/ v so

on N = 300 Hz, V obs = 20 m/sPer tant:N’ = 300 (340+20)/340 = 317,64 Hz

• L’equació és:N ‘ = N (V so + V obs )/ v so

on N = 300 Hz, V obs = 20 m/sPer tant:N’ = 300 (340 - 20)/340 = 282,23 Hz

Prob

lem

a tip

us:

efec

te D

oppl

er

Un tren EuroMed travessa una estació sense reduir la seva velocitat. Quan s'acosta a l'estació comença a fer sonar el xiulet. El cap d'estació sent un so de 280 Hz de freqüència quan s'acosta el tren i de 240 Hz quan s'allunya. Quina és la velocitat d'aquest tren?Quina és la freqüència del xiulet? V SO = 340 m/s

PROCEDIMENT• Has de diferenciar dues

situacions, la primera quan s’acosta i quan s’allunya de l’estació el tren.

• Aquestes situacions tenen de comú la freqüència real i la velocitat del focus (velocitat tren). L’observador és aturat.

• Planteja utilitzant l’equació de l’efecte Doppler un sistema d’equacions.

RESOLUCIÓ• Quan s’acosta el tren(vtren =?) a l’estació

(observador, v observador = 0) hi ha un augment de la freqüència aparent, per això:

• Quan s’allunya el tren a l’estació (observador, aturat) hi ha una disminució de la freqüència aparent. Per consegüent:

• Al resoldre el sistema s’obté:V tren = 26,11 m/s = 94 km/h;

N = 258,5 Hz

vtrenNHz

340

340280

vtrenNHz

340

340240

Prob

lem

a tip

us:

efec

te D

oppl

er

Un dispositiu per mesurar la velocitat del flux sanguini per ecografia empra ones ultrasòniques de 500 kHz. Si la sang s'allunya per les artèries de les cames a 2,000 cm/s i la velocitat del so dins els teixits humans és de 1 540 m/s, calcula: (a) La freqüència que arriba als glòbuls vermells. Sol. f ' = 499 994 Hz. (b) La freqüència que retorna al dispositiu. Sol. f '' = 499 987 Hz. (c) La freqüència de pulsació (diferència de freqüències). Sol. Δf = –13 Hz.

Una ona de freqüència 0,523 kHz (nota musical Do de la 4ª octava) avança dins l'aigua amb una velocitat de 1 440 m/s.(a) És la mateixa nota dins l'aigua que dins l'aire? Per què?

(b) Determina la separació entre dos punts que tenguin 3π/2 de diferència de fase. Sol. Δx = 2,07 m.(c) Quina diferència de fase hi ha entre dues elongacions en un cert punt entre dos instants separats un interval

Δt = 2,00 s? Sol. Δφ = 2,09·π rad.

Dos altaveus petits emeten ones en totes direccions. L’altaveu S 1 emet amb una potència d’1 mW i l’altaveu

S 2 ho fa amb una potència d’1.5 mW. Determinau el nivell d’intensitat (en dB) al punt P de la figura.

(Dada: I 0 = 10 -12 W/m 2 .) (a) quan només emet S 1 ; (b) quan només emet S 2 ; (c) quan emeten S 1 i S 2 simultàniament.

PER ESTUDIAR EL SO CONSULTA LA PÀGINA WEB

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/recursos_informaticos/andared01/paisaje_sonoro/sonido.htm