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Descripción general del proyecto y las actividades

Nº Proyecto. 80

Título del Proyecto. ¿Qué superficie topológica tengo en mis manos?

Centro educativo solicitante. Universidad de Almería

Coordinador/a. José Luis Rodríguez Blancas

Temática a la que se acoge. Matemáticas

Objetivos y justificación: El objetivo del proyecto es enseñar a alumnado de secundaria y bachillerato, a clasificar superficies

topológicas, utilizando materiales como plastilina, papel, goma eva o películas de jabón. Se explican

los conceptos y técnicas necesarias para clasificarlas de una forma totalmente visual y manipulativa.

Se muestran algunas esculturas de superficies topológicas realizadas por artistas matemáticos.

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Relación de actividades

• Actividad 1. Contando asas y bordes

Interrogante que plantea. ¿Cuál es el género de una superficie orientable?

Descripción de la actividad. Las superficies pueden deformarse como si fueran de goma

o plastilina, pudiéndose pasar por ejemplo de una taza de café a una rosquilla. Se muestran objetos e imágenes de esculturas con y sin borde, que pueden contener o no cintas de Moebius.

Las superficies se clasifican según su orientabilidad, género y número de componentes del borde. Así, en esta primera actividad, se define el género de una superficie orientable como el número g de asas adheridas a una esfera (matemáticamente, la suma conexa de g toros). Si la superficie tiene borde, entonces la deformaremos hasta llegar a un modelo formado por discos y cintas pegadas entre sí.. Interacción con el visitante. Se construyen distintas superficies con frutas, plastilina o

cintas de papel (con formas de esfera, toro, doble toro, etc.) y se cuenta el número de asas para

clasificarlas topológicamente. Se realizan orificios para pasar a modelos con cintas y discos. Se

cuentan el número de componentes del borde de superficies sencillas (disco, cilindro, cinta de

Moebius, etc.) y otras superficies formadas con cintas y discos de papel.

Material necesario. Plastilina, flotador, rosquillas, rosquillas dobles, papel, fotos de

esculturas.

Consideraciones especiales. Ninguna

Duración. 10 minutos

• Actividad 2. Contando cintas de Moebius

Interrogante que plantea. ¿Cuál es el género de una superficie no orientable?

Descripción de la actividad. Se clasifican superficies con borde, esta vez no orientables,

contando el número de cintas de Moebius adheridas a un disco, número que nos da el género de dicha superficie en este caso. Se muestra la botella de Klein como unión de dos cintas de Moebius pegadas, viendo así que tiene género 2. Las cintas, según su disposición, puede dar lugar a más componentes en el borde, o más cintas de Moebius, si se manipulan convenientemente.

Interacción con el visitante. El visitante observa que la botella de Klein, es cerrada (no

tiene borde), no orientable (tiene 1 sola cara), no tiene ni exterior ni interior. Es la unión de dos cintas de Moebius pegadas por su borde.

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Se dispone de un disco metálico con bandas de goma eva e imanes en sus extremos para pegarlos en el borde del disco y los moverlas convenientemente, respetando la topología de la figura. El objetivo es agrupar las cintas ya sean normales o de Moebius para clasificar la superficie.

Por otro lado, el visitante puede aplicar dos sencillas fórmulas que le permiten clasificar la

superficie, y compararlo con el resultado obtenido mediante manipulación.

Material necesario.Disco metálico, cintas de goma eva, imanes. Consideraciones especiales. Ninguna. Duración. 10 minutos.

• Actividad 3. Viviendo en un toro o en una botella de Klein

Interrogante que plantea. ¿Qué veríamos si fuésemos 2-dimensionales y viviésemos en la

superficie de un toro o de una botella de Klein?

Descripción de la actividad. Se describen los modelos estándar de un cuadrado con

lados identificadas dos a dos del toro y de la botella de Klein, vídeos, y juegos como los de Jeff Weeks. https://topologia.wordpress.com/2008/03/25/cirujia-con-membranas-elasticas/

https://topologia.wordpress.com/2008/03/25/juegos-en-el-toro-y-la-botella-de-klein/

Mostramos fotos de las caras de los visitantes en superficies realizadas con el Mathematica.

https://topologia.wordpress.com/2015/11/25/deformacion-de-imagenes-a-traves-de-superficies/

Interacción con el visitante. El visitante juega al “Torus Game” de Jeff Weeks, en portátil

o descargándose en su móvil la App. “Torus games”.

Material necesario. Móviles, Portátiles.

Consideraciones especiales. Ninguna.

Duración. 10 minuntos.

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• Actividad 4. Superficies en nudos de alambre

Interrogante que plantea. ¿Cuál es el género de un nudo?

Descripción de la actividad. Se visualizan superficies tanto orientables (de Seifert) como

no orientables de un nudo o enlace, y se clasifican topológicamente aplicando las técnicas aprendidas en las actividades anteriores.

Interacción con el visitante. Se visualizan superficies de películas de jabón en nudos de

alambres y se propone al visitante que las clasifiquen, siguiendo lo aprendido en las actividades anteriores.

Material necesario. Agua con jabón, alambre, programa Seifert View

Consideraciones especiales. Ninguna

Duración. 10 minutos.