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Punto de Interceptación de Tercer Orden (The Third-Order Intercept Point)

Este artículo pretende explicar el origen y propósito de las especificaciones conocidas

como puntos de interceptación o intercept points (IP). Estas se conocen simplemente

como IPn o “puntos de interceptación de orden n”, donde n es un entero mayor o igual

a 2. Los IPn son indicadores de la buena linealidad en un dispositivo electrónico, tal

como un LNA (amplificador de bajo ruido o low noise amplifier), RF mixer (mezclador

de RF) o PA (amplificador de potencia o power amplifier).

Dado que el IPn consiste de parámetros “virtuales” definidos a partir de otras

especificaciones, sus valores y extrapolaciones a menudo crean confusión. Existen

libros electrónicos o tutoriales que dan alguna descripción acerca de cómo las

especificaciones IPn se relacionan con las potencias de entrada/salida, la ganancia de

potencia y el punto de compresión. Sin embargo, estas fuentes ofrecen explicaciones

mínimas o incompletas sobre las especificaciones IPn y su origen.

En la actualidad, funciones integradas tales como un LNA, mezcladores y un VCO

(oscilador controlado por voltaje o voltage controlled oscillator) pueden ser construidas

con la más alta linealidad (por tanto superior IP3) empleando avanzadas técnicas de

diseño y procesos de manufactura para RF comprobados. El objetivo es alcanzar el más

elevado IP3 sin sacrificar el consumo de corriente del circuito de polarización (bias),

ganancia y tamaño. Hablando en términos prácticos, puede ser significativo describir

IPn con órdenes tan elevados como 5 o 7. En la actualidad, sin embargo, el orden 3

(IP3) se impone cuando se trata de describir la operación normal de dispositivos

sensibles.

El presente artículo utilizará matemática básica y gráficos para explicar como IPn, y

especialmente IP3, se generan y como sus valores se relacionan con cantidades

esenciales tales como las potencias de entrada y salida de un dispositivo. Explicará

porqué es tan importante un IP3 elevado (y en consecuencia una alta linealidad) cuando

se evalúan prestaciones o performances.

Porqué es tan importante la linealidad?

Uno de los principales objetivos de muchos dispositivos electrónicos ha sido siempre el

poder replicar funciones matemáticas ideales. Un ejemplo simple es el de un resistor

diseñado para reproducir una relación lineal entre voltaje V y corriente I. El valor del

resistor es simplemente la pendiente de la respuesta VI.

Sabemos que la relación funcional ideal no puede cumplirse en el

100% de los casos. Uno puede aproximarse a ella, pero las imperfecciones y

limitaciones de los dispositivos dan lugar a desviaciones de la curva ideal. Esto es

particularmente cierto cuando las señales I o V son grandes u otras condiciones como

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temperatura, humedad y presión varían. Deseamos que el resistor R sea lo más lineal

posible y se mantenga como tal en un amplio rango de señales y condiciones variantes.

Otros componentes de circuito integrado (IC) que requieren de una linealidad bien

controlada son los amplificadores, conversores de datos (data converters), VCOs,

mezcladores y PAs. Cuando se utilizan estos ICs, las desviaciones de la relación

funcional VI ideal dan lugar a inestabilidades, incumplimiento de las especificaciones

técnicas e interferencia. Pueden aun causar una operación defectuosa o destruir el

dispositivo y/o el sistema completo.

Midiendo la linealidad

Dependiendo de la clase de señales y sus rangos dinámicos, diferentes parámetros y

métodos se definen para visualizar, evaluar, medir y comparar la característica lineal de

un dispositivo. La linealidad de un resistor se mide típicamente en un porcentaje del

valor nominal de R. Esto usualmente es suficiente para apreciar el error que uno

introduce en la corriente y voltaje en el dispositivo.

Las funciones RF en un LNA, mezcladores, filtros, PAs y otros componentes pueden

generar una dinámica de señales bastante compleja e introducir armónicos, interferencia

y saturación como efectos críticos de las alinealidades. Varios parámetros se han

definido para caracterizar esta relación no-lineal entre entrada y salida:

Punto de compresión de 1dB (CP-1dB)

Rango dinámico de compresión (CDR)

Rango dinámico libre de espurias (Spurious-free dynamic range) (SFDR)

Rango dinámico de desensibilización (Desensitization dynamic range) (DDR)

Punto de interceptación (IPn)

Dado que todos los términos arriba definidos indican cuan buena (o mala) es la

linealidad de un dispositivo, existe definitivamente una relación entre ellos. El presente

estudio reconoce su existencia pero se enfoca exclusivamente en los puntos de

interceptación IPn. Se hará claro que IPn, y especialmente IP3, revela lo máximo acerca

de cómo la alinealidad afecta negativamente a las señales útiles. Ella origina que la

interferencia se inyecte directamente en el ancho de banda de la señal deseada. Por esta

razón, podemos enfocarnos solamente en el IP3. Resumiendo en pocas palabras,

mientras más alto sea el IPn, más lineal será el dispositivo.

La alinealidad origina armónicos e intermodulación (IMn)

Empezamos considerando una función electrónica general (Fig.1). Las señales X e Y son

las potencias de entrada y salida, respectivamente, y A es la función de transferencia

entre ellas, es decir, la “ganancia” si el dispositivo es un amplificador. En el mundo real,

la característica de transferencia no es una línea recta indicando que “Y es proporcional

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a X”. En vez de ello, la curva no es perfecta y se distorsiona cuando las señales son

grandes.

Cuando X e Y son pequeñas, la curva se acerca a una línea recta, aunque no 100% recta.

Aun cuando el diseñador no lo perciba, hay alinealidades. De otro lado, cuando X e Y

son grandes, las alinealidades son fácilmente visibles en el gráfico. En general, el

dispositivo se satura. La salida no puede responder correctamente a cualquier posterior

incremento de la señal de entrada. Este fenómeno queda mejor ilustrado por el punto de

compresión de 1dB, que muestra el límite superior de las señales aplicables, es decir, el

rango dinámico.

Fig. 1 Comportamiento no lineal versus comportamiento lineal ideal

En general podemos escribir:

que es el desarrollo en serie de Taylor de una función de transferencia cualquiera A.

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Para una función lineal, deseamos que para todo . Por lo tanto:

Desafortunadamente, esto nunca es enteramente cierto. Los términos en etc.

están siempre presentes. Sus magnitudes dependen de los valores de etc., y

son responsables de la desviación de la función de transferencia A, alejándola de la

deseada y perfecta ley proporcional.

Sea una señal sinusoidal de frecuencia angular ω. Expresándola de una manera

muy general:

En la forma de Euler :

la señal es igual a la suma de dos números complejos. Como es usual en el cálculo de

circuitos eléctricos, reconocemos que:

donde Re [ ] representa la parte real de la cantidad compleja entre corchetes.

Por conveniencia escribimos el primer término en la forma de Euler de como:

Si el dispositivo A es realmente lineal, entonces su respuesta “y” es una imagen

proporcional de “x”. Podemos escribir entonces:

Vemos que “y” contiene la misma y única frecuencia ω. Una importante conclusión

aquí es que una función lineal perfecta asociada a un dispositivo nunca generará otra

frecuencia por sí misma. Haremos dos importantes observaciones ahora:

Si “x” contiene dos frecuencias y y el dispositivo es lineal, entonces “y”

reproducirá exactamente las mismas dos frecuencias originales, es decir:

No hay nuevas frecuencias generadas!

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Si “x” contiene múltiples frecuencias y el dispositivo es lineal,

entonces la salida mantiene una imagen de “x” sin distorsión. Las mismas frecuencias,

ni una más, ni una menos aparecen en “y”.

Qué ocurre cuando el dispositivo no es lineal?

Empezamos nuestro análisis con “x” conteniendo una sola frecuencia ω.

De las ecuaciones (1) y (5):

Esta expresión contiene las frecuencias

El dispositivo entonces ha generado múltiples frecuencias que no estaban presentes en

la señal de entrada “x”. La fundamental es el término “y” con ω. Todos los demás

términos, son llamados sus armónicos. Estos son responsables por la

distorsión de la señal y ruido.

En este estado de cosas, la situación no es tan dramática. Las armónicas (usualmente)

son fáciles de filtrar, ya que sus frecuencias están relativamente lejos de las bandas de

señal útil que rodean la frecuencia fundamental.

Fig.2 Filtro pasa-bajos en una tarea simple

El problema realmente molesto ocurre cuando usted combina un dispositivo no-lineal

con una señal de entrada que contiene varias frecuencias. Esto es especialmente difícil

de manejar cuando se tiene una perturbación cerca a la frecuencia útil. Veremos lo que

ocurre cuando la señal de entrada contiene dos frecuencias

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Sea , donde tiene frecuencia y tiene frecuencia . Aquí “x”

también recibe el nombre de señal de dos tonos (two-tone signal). Introduciendo “x” en

la ecuación (1) obtenemos:

Producto de Orden Cero o Parte DC:

Productos de Primer Orden o Partes Lineales:

La expresión (8) contiene las dos frecuencias originales y , como se esperaba.

Productos de Segundo Orden o Partes Cuadráticas:

El término contiene la frecuencia , y el término , la frecuencia . Estas dos

frecuencias son las armónicas. Nótese cómo están apareciendo combinaciones

aritméticas de las frecuencias originales. Estas son llamadas productos de

intermodulación o intermodulation products (IM).

Finalmente, el término contiene las frecuencias y . Si las

frecuencias originales se encuentran en una banda similar, los cuatro términos citados se

encontrarán relativamente lejos en la escala de frecuencias y, por lo tanto, serán fáciles

de eliminar, aun con filtros de bajo costo. Las mezclas entre las frecuencias originales,

y son llamados también productos de intermodulación de segundo

orden o second-order intermodulation products (IM2).

Productos de Tercer Orden:

Desarrollando encontramos y . Estos generarán otros

productos de intermodulación con frecuencias tales como:

y

llamados también productos de intermodulación de tercer orden o third-order

intermodulation products (IM3).

Mientras los términos y son fáciles de eliminar por

filtrado, no ocurre lo mismo con algunos términos IM3 como y ,

los cuales se encuentran en el mismo rango de frecuencias que y . Al caer en la

misma banda que las señales útiles, los productos IM3 pueden producir interferencia

muy perjudicial.

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Fig.3 Las diferentes frecuencias generadas por una señal de dos tonos tras aplicarse a un

dispositivo no-lineal

La Fig.3 muestra que aun empleando filtros costosos de gran selectividad no será fácil

remover los términos IM3, pues están embebidos en la banda de la señal útil. Es

precisamente por esta razón que los términos de tercer orden son tan críticos en RF,

debiendo ser conocidos, cuantificados y minimizados en todos los puntos de la cadena

de señal.

Productos de Cuarto Orden:

Un patrón similar también se aplica para las frecuencias:

Al igual que con los términos de segundo orden, todas las frecuencias aquí pueden

removerse de las dos fundamentales mediante filtrado. A partir de estas observaciones

podemos fácilmente ver que los productos IM de orden “n” impar son más peligrosos.

De ahí la importancia de conocer etc.

Productos de Orden N:

El mismo proceso puede ser aplicado al término . Para dispositivos

prácticos, los términos de orden “n” elevado se desvanecen rápidamente y pueden

despreciarse. Esto es usualmente cierto por encima del IM7 y aun algunas veces IM5.

Podríamos continuar la discusión considerando “x” con más de dos frecuencias,

y . Sin embargo, tal esfuerzo no agregaría mucho a nuestro entendimiento, ya que

nos daría simplemente un mayor número de frecuencias de intermodulación IM2, IM3,

IM4, etc.

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De la Intermodulación (IM) al Punto de Interceptación (IP)

Ahora que entendemos los orígenes de los productos IM, y particularmente IM3,

estamos mejor preparados para determinar sus valores y medirlos empleando un método

común y unidad de medida.

Atención: IMn son los productos de intermodulación, mientras que IPn se relaciona a

los valores de medición.

La discusión anterior mostró que los términos para en la función de transferencia

A son responsables de la no-linealidad del dispositivo. Mientras más grandes son, mayor

es la distorsión. Por lo tanto, podríamos simplificar y solo medir los valores de

. Pero tales valores absolutos no tendrían significación alguna porque

no se sabe cómo compararlos con el comportamiento lineal útil dado por . Es más

interesante conocer la razón o , esta última preferida por brindar cifras

más altas para un dispositivo de gran linealidad.

Dado que la dinámica de puede ser muy grande, es conveniente emplear el dB o

dBm como unidades para los cálculos. En los gráficos trabajaremos con ejes

logarítmicos.

En la Fig.4 encontramos que:

El término es un valor constante (offset) e independiente del valor de “x”.

El término es la porción lineal. En un gráfico con escalas logarítmicas, “y”

versus “x” es una línea recta con “offset” definido por , y la pendiente es

justamente , es decir, duplicando “x” conlleva a duplicarse “y”.

El término es el término cuadrático o de segundo orden. Tiene un “offset”

determinado por y una pendiente que es exactamente el doble que la del caso

anterior, o . Si se duplica la entrada “x”, la salida se cuadruplica.

El término es la contribución de tercer orden. Es una línea recta en el

gráfico “y” versus “x” con un “offset” determinado por . La pendiente es

exactamente tres veces más empinada que la del caso del término lineal, o

. Si se duplica la entrada, la salida se octuplica.

En esta línea de pensamiento, la contribución de orden “n” tendrá una pendiente

de . El “offset” está determinado por .

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Fig.4 Contribución individual de los términos a “y”

Dado que los términos de orden superior tienen líneas en el gráfico con pendiente más

empinada, tarde o temprano se encontrará un punto donde la línea de orden superior

cruce a la línea de primer orden. Los puntos de cruce se conocen como puntos de

interceptación (IPn).

El lector puede fácilmente observar en la Fig.5 que mientras más lineal sea un

dispositivo, más elevada se verá en el gráfico a la línea de primer orden (comparada a

las demás líneas). En consecuencia, mayores valores sobre el eje “y” se alcanzarán para

los puntos IP. Las pendientes están fijadas, de manera que cuando el dispositivo es

fuertemente lineal los términos de orden “n” superior son muy pequeños. Las líneas

empiezan en el gráfico desde valores más profundos y, en consecuencia, cruzarán a la

línea de primer orden más tarde (por así decirlo), lejos en los ejes.

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Fig.5 Puntos de cruce IPn entre las curvas de orden “n” y de primer orden

En la Fig.5 vemos que IP2 es el punto donde se encuentran las líneas de primer orden y

de segundo orden. IP3 es el punto donde se cruzan las líneas de primer y tercer orden.

El proceso continúa de esta forma. Los valores se leen en el eje X o Y. Hay por lo tanto

dos valores para la medición del punto IP: el punto de interceptación de entrada o el

punto de interceptación de salida. Se denotan de la siguiente manera:

IIPn para el punto de interceptación de entrada de orden n (n-th order input

intercept point), medido en el eje de potencia de entrada (X).

OIPn para el punto de interceptación de salida de orden n (n-th order output

intercept point), medido en el eje de potencia de salida (Y).

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Relación entre IIP y OIP

Sabemos que IIPn y OIPn son dos expresiones del mismo parámetro IPn. Este se

encuentra sobre la línea de primer orden. Entonces:

En el punto de interceptación, y . En consecuencia:

es usualmente la ganancia utilizable especificada para el dispositivo. Por tanto,

antes de entrar a saturación (por exceso de excitación) tendríamos:

Evaluación y medición del punto de interceptación

Ojo: Los puntos IPn son puntos virtuales porque ellos en realidad no existen. El

dispositivo se satura bastante antes que las señales alcancen los puntos de cruce. Todas

estas líneas rectas son, de hecho, asíntotas proyectadas desde valores más pequeños de

“x” e “y”. Esta observación implica que vamos a necesitar un método práctico para

extrapolar puntos IP.

Dado que no podemos aplicar y, por tanto, medir señales que se aproximen a un punto

IP (porque el dispositivo estaría ya saturado para entonces), necesitamos aplicar una

señal con amplitudes más pequeñas.

Tomando la Fig.5 y considerando las líneas rectas de primer y n-ésimo orden,

apliquemos una señal de entrada . Debe ser lo suficientemente pequeña como para

no saturar al dispositivo. La correspondiente salida es . Estos puntos aparecen en

los ejes X e Y, respectivamente, en la Fig.6.

En esta figura, es la señal de entrada aplicada (desde un generador). es la señal

de salida de primer orden (medida). es la salida de orden “n” (medida).

Podemos llamar a la diferencia entre potencias, medidas a las

frecuencias de primer orden y de orden “n”.

Si las señales aplicadas son sinusoidales puras entonces los órdenes pueden ser

observados guiándose por las frecuencias. Empleando un analizador de espectros, uno

puede discriminar entre las distintas potencias apareciendo a diferentes frecuencias.

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Fig.6 Niveles de potencia con líneas rectas para el primer y n-ésimo orden y su punto de

interceptación IPn

Podemos ahora determinar la relación entre las señales aplicadas y medidas y los puntos

de interceptación IPn. La Fig.7 muestra dos triángulos que se encuentran dentro del

rectángulo de la Fig.6 limitado por las ordenadas y , y las abscisas y

. Claramente, de la relación geométrica entre los triángulos:

En consecuencia:

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En particular, para IP3 tenemos:

Como , con todos los términos en dBm, y , tenemos,

de la Ec.(11):

Entonces:

Fig.7 Cómputo de IPn empleando un método gráfico

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Guía práctica

Supóngase ahora que deseamos medir la performance de un determinado LNA, un

dispositivo bajo prueba (DBP) o en inglés, device under test (DUT). Primero,

necesitaremos dos generadores de RF independientes, generadores GEN-A y GEN-B

(Fig.8). Las dos señales deberán tener la misma amplitud y ser de frecuencias muy

cercanas, por ejemplo, y (espaciadas por

tanto 10MHz). Podríamos tomar también 1.000MHz y 1.001MHz, etc. La selección de

frecuencia depende del dispositivo en particular a ser analizado.

Fig.8 Diagrama de bloques para medición del IP3

Estas dos frecuencias se aplican primero a un combinador (combiner) de señales, una

suerte de “sumador”) y luego se inyectan al dispositivo bajo prueba. Se pueden agregar

algunos filtros entre los generadores y el combinador y entre este último y el DUT.

Empleando un analizador de espectros (spectrum analyzer), podemos observar la

salida. Encontraremos, por supuesto, las dos señales de prueba a sus frecuencias

fundamentales y todos los armónicos y productos de intermodulación (IMs).

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En la Fig.9, y se miden directamente en la pantalla del instrumento. Más aún,

.

Fig.9 Vista esquemática de la data generada por un analizador de espectros en

mediciones de IP3

Ahora trabajemos un caso práctico. En la Fig.10 se muestra una vista típica de la

pantalla de un analizador de espectros en una medición de IP3. M1 y M2 son los trazos

correspondientes a las dos (frecuencias) fundamentales. Ambas fueron medidas

alrededor de los -11dBm. Esto es . M3 y M4 son los productos de intermodulación

IM3. Sus potencias fueron medidas como -45dBm aproximadamente.

Podemos escribir, por tanto:

Luego:

En este dispositivo la ganancia es Entonces:

Los valores de la última expresión indican que este DUT es un buen LNA standard.

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Fig.10 Pantalla del analizador de espectros durante una prueba IP3

Entendiendo los efectos de IPn de etapas en cascada

Una vez que la especificación IPn de un dispositivo individual se conoce, qué ocurre

cuando combinamos los dispositivos en una cadena? En la Fig.11, la ganancia total de

la estructura en cascada es:

en unidades lineales. En dB:

Se puede utilizar la ecuación siguiente (dada sin demostración) para el cálculo del OIPn

en el caso de tres etapas:

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Fig.11 Bloques funcionales de RF en cascada con IPn conocidos

El punto de compresión 1dB (CP1 o CP1-dB)

Como se mencionara anteriormente, el IPn es la única manera de caracterizar la

linealidad de un dispositivo. El punto de compresión de 1dB o 1dB compression point

(CP1) es también una figura de mérito para medir la no-linealidad. Gráficamente,

(Fig.12) es el punto donde la curva de respuesta entrada-salida se desvía (es decir, cae)

1dB de la dirección asintótica.

Fig.12 Ejemplo gráfico de un punto de compresión de 1dB

El punto de compresión de 1dB puede también verse como el punto donde la curva de

transferencia real cruza la repuesta lineal caída en 1dB. Al igual que el parámetro IPn,

el punto de compresión puede expresarse como de entrada (ICP1) o de salida (OCP1).

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También puede observarse que el CP1 está fuertemente ligado con los valores IP3, aun

cuando no hay una relación estricta entre ellos. En general:

donde “x” se encuentra usualmente entre 8dB y 12dB.

Considérese un ejemplo. El MAX2645 está configurado con una ganancia de 15.2dB. El

punto de compresión de entrada de 1dB (ICP1) es -1.8dBm, mientras que el IP3 bajo el

mismo estatus de prueba es +11.8dBm. Vemos que IIP3 y ICP1 difieren en 13.6dB.

Acerca de estas notas: Este artículo es una adaptación del original en inglés “The IP3

specification demystified” por el MSEE por la Universidad de Louvain en Bélgica,

Kuo-Chang Chan, director de ingeniería de aplicaciones de campo en el sur de Europa

para Maxim Integrated Products.

Ing. Alejandro Ramón Vargas Patrón

DIDT

INICTEL-UNI

Junio-2016