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SOLUCIONARIO ENSAYO FORMA UST– 115 1

Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial.

PSU

Resolución Ensayo Forma: UST – 115 Matemática

Indicaciones generales

Este cuadernillo contiene la resolución de cada pregunta del Ensayo de Matemática. Te permitirá conocer preliminarmente tu puntaje de acuerdo a tus respuestas y saber

cómo se responden aquellas preguntas que omitiste o respondiste erradamente.

Buenas Malas Omitidas Puntaje

=



1. Eje Temático: Números

Operamos directamente.

3 1 3 3 9 8 9 11 2 1 1

4 2 4 2 8 8 8 8

(A)


Vemos que en la recta numérica los números racionales a, b c y d están ubicados entre 0 y 1, es decir, son positivos menores que 1.

Analicemos entonces cada afirmación planteada.

I) es falsa, ya que b

c es una multiplicación entre los

racionales positivos b y el recíproco de c, que es también

racional, por lo tanto es siempre racional. II) es verdadera, ya que el conjunto de los racionales es

denso, por lo tanto entre dos números racionales cualesquiera siempre existe otro racional.

III) es verdadera, ya que el producto de dos números racionales siempre será racional.

(D)


Dado el valor 1,35791, al aproximarlo por redondeo se debe considerar

el dígito inmediatamente a la derecha de la cifra de corte. Veamos cada alternativa aproximando

A) a la décima: dejamos una cifra después de la coma. La subsiguiente es 5, por lo que aumentará la décima a 4, dando 1,4. Es falsa.

B) a la milésima: tercera cifra después de la coma. La subsiguiente es 9, con lo que la milésima aumentará a 8, dando 1,358. Es

verdadera. C) a la unidad: primera cifra antes de la coma. La subsiguiente es 3,

con lo que la unidad no aumentará, dando 1. Es falsa. D) a la centésima: segunda cifra después de la coma. La subsiguiente

es 7, con lo que la centésima aumentará a 6, dando 1,36. Es falsa. E) falsa.

(B)




De los 25 kg restamos como lo expresa el enunciado según la expresión:

25 2 2525 25

2 3 2

25 2 25 1 25 254,16

2 3 2 3 2 6

dado que la tercera cifra después de la coma es 6, aumenta al redondear, la centésima a 7, dando 4,17.

(D)


Si t es un valor entre 0 y 1, entonces su recíproco 1

st

es mayor que

1. Veamos en cada expresión si resulta 1:

I) 2 21st t t 1

t

II)

1

2s t tt 1

1t s

t

III) 1

st t 1t

(B)

6. Transformando el número decimal a fracción y expresando en lenguaje matemático:

1 5 2 46 5 2 92 15 12 655

9 6 3 9 6 3 18 18

.

Entonces la mitad es 1 65 65

2 18 36 .

(A)



7. PILOTAJE


Dados los números r, s y t, la relación de orden correcta entre ellos es

r<s<t y además son consecutivos. Veamos cada alternativa planteada.

A) s

1 / rr . Dado que r es negativo, la relación que se obtiene es

s r . Es verdadera.

B) t 2 r t r 2 . Es verdadera, ya que

t s 1 r 1 1 r 1 1 r 2 .

C) Dado que los cocientes son positivos,

2 2 2t s s 1 ss 1 s 1 s s 1 s

s r s s 1

. La

afirmación es falsa.

D) t r 2n r 2 r 2n 2r 2 2n 2 r 1 2n es

verdadera.

E) t s 0 s 1 s 0 1 0 . Es verdadera.

(C)


Dados b blog m x y log p w , analizamos, considerando la definición

y propiedades de los logaritmos, cada alternativa planteada.

A) verdadera, b b bx w log m log p log m p por propiedad.

B) verdadera, x

bb m log m x por definición.

C) verdadera, wwb

p b p b log p w por definición.

D) verdadera, bp

b

log mxlog m

w log p por propiedad de cambio de base.

E) Falsa,

b bx w log m log p

1

b b blog m 1 log m log p

1

blog m 1 .

(E)




Sabemos que p es racional y q es la raíz cuarta de ese racional p. Analizamos cada proposición:

I) p + q no es siempre irracional, ya que, por ejemplo, si p = 1,

entonces q = 1 y su suma es 2, es racional, o bien, si p = 0 ocurre algo similar. Por tanto es falsa.

II) Es verdadera, ya que basta que p sea un entero cuadrado

perfecto y se tiene 2

2 4q p p será entero.

III) Es falsa, ya que basta tomar un valor negativo para p y su raíz cuarta será un número complejo.

(B)


En primer lugar todos los números son positivos. Al elevar al cuadrado los números la relación de orden no se altera, por lo tanto obtenemos:

2A 11 , 2 64B 7,1

9 , 2 65

C 16,254

y 2

2D 2 3 12 , por lo que

el orden correcto de mayor a menor es C, D, A, B. (A)


Si z a bi , entonces z a bi . Al expresar que sea siempre

verdadero, lo que se pide es que la relación se cumpla

independientemente de los valores a y b. Veamos cada alternativa:

A) Es falsa, ya que z z a bi a bi 2a .

B) z a bi a bi , entonces es falsa, ya que obtenemos

z z a bi a bi a bi a bi 2bi .

C) Es falsa, ya que 2 2 2 2 2z z a bi a bi a b i a b .

D) Es verdadera, ya que la longitud, por Teorema de Pitágoras, es 2 2z a bi a b .



E) Es falsa, ya que 2 2

1 1 a bi a biz

z a bi a bi a b

.

(D)

13. Pilotaje


El perímetro de una circunferencia de radio r es P 2 r .Entonces para:

I) r = 1 cm, P = 6,283185307…, el que aproximado por exceso a la milésima es 6,284. Verdadera.

II) r = 0,5 cm, P es el mismo valor de , el que aproximado por

defecto a la diezmilésima es el número truncado a la cuarta cifra

después de la coma, 3,1415. Falsa. III) r = 2 cm, P = 12,566370614…, que aproximado por redondeo a

la décima es 12,6, ya que la segunda cifra después de la coma es

mayor que 5. Verdadera.

(C)


Según el plano, los números son z 3 4i y w 2 i

Por lo tanto la expresión pedida es

3 4i 3 4i 2 i3 4i 3 4i

2 i 2 i 2 i

2 11i3 4i

5

15 20i 2 11i

5

13 9i

5

(A)




375 108 5 3 6 3

6 2 3

2 3

2 2

22

(B)

17. Eje Temático: Álgebra y Funciones

Desarrollando la expresión

2 2 2 2

a b a–b–

a–b a ba – ab b a ab b

a–b a b

Partiendo por el numerador

a + b

a–b–

a–b

a + b=

a + b( )2

- a - b( )2

a - b( ) a + b( )=

a2 + 2ab + b2 - a2 - 2ab + b2( )a - b( ) a + b( )

=

=a2 + 2ab + b2 - a2 + 2ab - b2

a - b( ) a + b( )=

4ab

a - b( ) a + b( )

Luego el denominador

a2 - ab + b2

a - b+

a2 + ab + b2

a + b=

a + b( ) a2 - ab + b2( ) + a - b( ) a2 + ab + b2( )a - b( ) a + b( )

Se reconoce que en el numerador se han formado una suma de cubos

y una diferencia de cubos. Reemplazando:

=a3 + b3 + a3 - b3

a - b( ) a + b( )=

2a3

a - b( ) a + b( )

Reuniendo los resultados del numerador y del denominador:



4ab

a - b( ) a + b( ):

2a3

a - b( ) a + b( )=

4ab

a - b( ) a + b( )×

a - b( ) a + b( )2a3

Simplificando llegamos al resultado final

2b

a2

Þ (A)


Planteando el enunciado dado, se tiene

x x 1b

c 1 c

Despejando b se obtiene

x x 1b

c 1 c

Resolviendo la diferencia de fracciones con denominador c(c+1)

cx c 1 x 1b

c c 1

Desarrollando el producto del numerador

cx cx c x 1b

c c 1

Eliminando paréntesis del numerador

cx cx c x 1b

c c 1

Reduciendo términos semejantes

c x 1b

c c 1

Sacando factor común en el denominador

c x 1b

c c 1

(D)




Definiendo las variables: x: lado menor del rectángulo original.

2x: lado mayor del rectángulo original.

x+2: lado menor del nuevo rectángulo. 2x+3: lado mayor del nuevo rectángulo.

Área del rectángulo original: x ×2x = 2x2

Área del nuevo rectángulo:

x + 2( ) × 2x + 3( ) = 2x2 + 3x + 9x + 6 = 2x2 + 7x + 6

Calculando la diferencia entre las áreas de los dos rectángulos se

obtiene:

2x2 + 7x + 6( ) - 2x2( ) = 7x + 6

Þ (B)


Se llama compatible determinado a un sistema de ecuaciones que posee una única solución, esto significa, que las rectas que son

representadas en el sistema se intersectan en un solo punto. Debemos entonces revisar que las rectas no sean paralelas o

coincidentes. Para esto, revisamos que los coeficientes que acompañan a las incógnitas de una de las ecuaciones no resulten de amplificar o

simplificar los coeficientes de la otra.

I) Ordenando la ecuación, vemos que los coeficientes de la segunda, resultan de amplificar por 3 la primera.

II) Se observa que los coeficientes no son múltiplos. III) Ordenando se observa que los coeficientes de la segunda

ecuación, resultan de multiplicar por 2 los de la primera

ecuación. Se concluye entonces que solo en la opción II se muestra un sistema

compatible determinado.

Þ (B)




El cargo fijo es una constante que se cobra todos los meses por el uso de los minutos del plan. Al consumir más minutos estos son

considerados adicionales por lo que cada uno de ellos tendrá un costo de $ 79. Entonces si x es el número de minutos adicionales, entonces

el costo por el uso de éstos es 79 × x .

Luego la función que modela lo que se debe pagar es

f x( ) = 23990 + 79 × x

Þ (E)


Sean: x el número de vasos plásticos. y el número de vasos térmicos.

En cada cotización multiplicamos el número de vasos de cada tipo por su respectivo valor unitario, luego sumamos obteniendo el valor total.

La primera cotización sería

24 × x + 20 × y = 4480

La segunda cotización sería

30 × x +15 × y = 4800

Planteando el sistema de ecuaciones:

24 × x + 20 × y = 4480

30 × x +15 × y = 4800

Simplificando cada ecuación, la primera por 4 y la segunda por 15, de modo de reducir los coeficientes y facilitar la resolución.

6x + 5y = 1120

2x + y = 320

Aplicando el método de reducción se amplifica la segunda ecuación por –5

6x + 5y = 1120

–10x - 5y = -1600

Al reducir sumando término a término queda:



-4x = -480 /: -4

x = 120

Þ (C)


En una ecuación cuadrática de la forma las soluciones

son reales y distintas si

Ordenando y calculando el discriminante en cada alternativa, se tiene:

A)

B) Ordenando: entonces el discriminante:

C) Ordenando la ecuación entonces el discriminante es

Se observa que la alternativa C cumple con la condición.

D)

E) Ordenando la ecuación

entonces el discriminante es:


I) f x( ) = x - 3( )

2

+ 2

Se obtiene al trasladar la gráfica de

ax2 + bx + c = 0

D = b2 - 4 ×a ×c > 0

D = 02 - 4 ×2 ×5 = -40 < 0

3x2 + 6x + 3 = 0

D = 62 - 4 ×3 ×3 = 36–36 = 0

3x2 + 5x - 2 = 0

D = 52 + 4 ×3 ×2 = 49 > 0

D = -2( )

2

- 4 ×1 ×5 = 4 - 20 = -16 < 0

x2 = 2 × x -10

x2 - 2x +10 = 0

D = -2( )

2

- 4 ×1 ×10 = 4 - 40 = -36 < 0

Þ (C)



f x( ) = x2

tres unidades en dirección positiva del eje X y 2 unidades en dirección positiva del eje Y. Por lo tanto el vértice se encontrará en el punto

(3,2). Por lo tanto la afirmación I es FALSA. II) Es VERDADERA ya que el coeficiente que acompaña a

x2

es positivo.

III) Dado que el vértice está en el punto (3,2) y es su concavidad es hacia arriba no corta el eje X, por lo tanto los ceros de la función no

son reales. Entonces la afirmación es VERDADERA.

Entonces la opción FALSA es solo I.


La función corresponde a una cuadrática con concavidad positiva, por lo que el mínimo está en el vértice, donde lo que se requiere es la

primera componente de éste. Calculando:

-b

2a=

150

2= 75


Tomamos la primera inecuación:

Þ (A)

Þ (E)



x 52

x 1

x 52 0

x 1

x 5 2x 20

x 1

x 70 / 1

x 1

x 70

x 1

Esto se cumple si i) x 7 0 x 1 0 x 7 x 1 ,

cuya solución es 1 x 7 .

ii) x 7 0 x 1 0 x 7 x 1 , que no tiene

solución.

Y por otra parte se tiene la inecuación:

x 23

x 2

x 23 0

x 2

x 2 3x 60

x 2

2x 80 / : 2

x 2

x 40

x 2

Lo que se cumple si:

iii) x 4 0 x 2 0 x 4 x 2 ,

cuya solución es x 2

. iv) x 4 0 x 2 0 x 4 x 2 ,

con solución es x 4 .

Entonces los valores de x que satisfacen i, ii, iii y iv, son 1 x 7 .

(D)



27. PILOTAJE


En la función dada se reemplaza x por –5.

f -5( ) = -5( )

2

- 3 × -5( ) - 4 - -5 +1( )2

=

25 +15 - 4 - -4( )

2

36 - 4 = 6 - 4 = 2


I) CORRECTO. El dominio de f(x) corresponde a los valores no-negativo de la cantidad subradical, es decir, se debe cumplir que 1 x 0

Despejando se obtiene x 1

Multiplicando por (–1), lo cual también cambia el sentido de la desigualdad, se obtiene x 1 que corresponde al conjunto

solución dado por el intervalo ]–∞, 1] II) INCORRECTO. Evaluando en la función dada su preimagen 3 (para

el dominio), se obtiene f 3 1 3 2 , diferente al resultado 2

propuesto. Incluso llama la atención que en este caso la imagen sea un número imaginario. Esto se debe a la condición que debe

cumplir el dominio descrito en I y, por tanto, 3 no es realmente un elemento del dominio.

III) INCORRECTO. Dado que el dominio cumple x 1, se puede

considerar f 1 0 , f 0 1 y f 3 2 , lo cual bosqueja una

curva estrictamente decreciente, al ubicar estos tres puntos en el

plano cartesiano. (A)

Þ (B)



30. Pilotaje

31. Pilotaje


De acuerdo a la gráfica de la función logarítmica para sus dos casos con respecto a la base b, se tienen las figuras adjuntas, por lo cual

esta función NO tiene dominio (preimagenes) en

los números reales

negativos y más aún no se puede obtener su

recorrido (imágenes) en este caso.

(C)


Siendo x la cantidad de manzanas, las cuales son menos de 1.000

unidades, se tiene la desigualdad x < 1.000 Sacando las 9 que están podridas y las 31 que no cumplen el peso

mínimo, se obtiene x < 1.000 – 9 – 31 x < 960

Como en el traslado se caen 4 de ellas, resulta x < 960 – 4 x <

956

Y siendo una desigualdad estricta, el máximo número de manzanas podrá ser 955. (A)




I) INCORRECTO. El intervalo para los números reales entre corresponde a ]–3, 11[

II) CORRECTO. Resolviendo x

2 3 82

. Se resta 3 a cada parte de

las desigualdades, es decir, x

2 3 3 3 8 32

y se obtiene

x

1 52

. Ahora amplificando por 2 resulta x

1 2 2 5 22

, o sea

2 x 10.

III) CORRECTO. Este enunciado corresponde a la inecuación x 4 6

que involucra valor absoluto por tratarse de distancias en la recta

numérica. Al resolver se tiene que 6 x 4 6 , lo que resulta

6 4 x 4 4 6 4 , obteniéndose 2 x 10.

(D)


Dado que los valores de p y q están acotados en el intervalo ]0, 1[ se pueden considerar valores concretos para p y q en cada caso, así

entonces

I) FALSO. Para 1

p4

y 1

q2

, se obtiene que 1 1p q es

1 11 1

4 2, es decir, 4 2 .

II) VERDADERO. Ahora para 1

p2

y 1

q4

, se tiene que

11p p q es

1 11 1 1

2 2 4, con lo cual se obtiene

1 11 1

2 8,

o sea 2 8.



III) VERDADERO. Finalmente, para 1

p4

y 1

q2

, entonces se tiene

que

1 1

p q q p es igual a

1 11 1 1 1

4 2 2 4, así

1 13 1

4 4, por lo tanto

44

3

(E)

36. Eje Temático: Geometría

Este ítem apunta a la resolución de problemas que involucren el

conocimiento de los conceptos básicos de la semejanza y de las consecuencias derivadas del hecho de tener un triángulo isósceles, es

decir, el alumno deberá ser capaz de entender, en este contexto, el concepto de triángulo isósceles, como dos ángulos congruentes y uno

distinto a los anteriores. Es por ello que dada la construcción del enunciado, marcando los correspondientes ángulos iguales, se concluye

que CBA BDC , y por esta razón es posible afirmar que

ABC ACB BDC DEB,

de esta manera, la afirmación en I) es verdadera, en tanto corresponden a los ángulos distintos de cada uno de los triángulos

isósceles de la construcción del enunciado.

De acuerdo a lo anterior, la afirmación en II) es también verdadera, ya

que se verifica el criterio ángulo-ángulo de semejanza según lo determinado anteriormente.

Finalmente, para determinar la falsedad de la afirmación en III) basta

con ver que el punto E no tiene una posición relativa fija para el contexto del problema, que lleve a pensar en una igualdad interior de

los ángulos del triángulo mencionado. (C)




El problema se relaciona con la traslación paralela de puntos en el plano cartesiano. Para abordar correctamente este problema, el

alumno deberá saber que para contestar esta pregunta se debe tener en cuenta el punto origen y el punto extremo de un vector de

traslación y con ello entender que el punto posición en el plano cartesiano puede ser visto como un vector que une el origen de

coordenadas con tal punto posición.

Por esta razón, si la traslación de la circunferencia de centro A, queda en la circunferencia (congruente por cierto) de centro B, entonces, la

traslación es de orientación paralela al vector AB , y luego, siendo O el

origen de coordenadas, se tiene que:

AB OB OA 4,2 1,1 4 1,2 1 3,1 .

(C)


Este ítem se enfoca al tratamiento de las consecuencias y propiedades que son derivadas desde el estudio de los elementos secundarios del

triángulo.

Para abordar correctamente el problema, el alumno deberá entender que la simetral de un triángulo corresponde a aquella recta que dimidia

a un lado de un triángulo y que además es perpendicular a tal

segmento. De acuerdo a esto, si la simetral del lado AB contiene al

vértice C del mismo, entonces tal segmento DC, siendo D el punto

medio del segmento AB, corresponderá a la transversal de gravedad y a la altura simultáneamente.

De esta manera, AD DB , ADC BDC 90 y DC DC (lado

compartido) lleva a poder afirmar que ADC BDC mediante criterio

LAL de congruencias, así

A) es verdadera dada la congruencia anteriormente demostrada.

B) es verdadera por el mismo argumento anterior. C) es verdadera, ya que el segmento CD, como se dijo anteriormente,

es altura.

D) es verdadera por lo anteriormente demostrado. E) es falsa ya que el ángulo ABC es congruente al ángulo BAC.



Por el anterior análisis, la alternativa correcta se encuentra en E, ya que la congruencia del inicio del análisis se reduce en afirmar que el

triángulo ABC es isósceles de base AB . (E)


Este ítem está enfocado al tema de polígonos regulares. Para ello, el alumno deberá tener en cuenta que esta pregunta hace implícita

referencia a los triángulos fundamentales que se forman en todo polígono regular, y en particular en un hexágono que se puede formar

mediante seis triángulos equiláteros congruentes. A ello sumando a que el alumno deberá manejar algunos conceptos básicos de

transformaciones isométricas, en particular de simetrías y reflexiones.

Así, la afirmación en I) es verdadera ya que los segmentos, AB, BO, OF y FA son congruentes en tanto los triángulos AOB y FOA son

equiláteros congruentes.

Por su parte, la afirmación en II) es verdadera ya que son simétricos

con respecto a DA , o bien, son dos triángulos equiláteros congruentes, que corresponden a dos de los seis triángulos fundamentales que lo

conforman.

Finalmente, la afirmación en III) es verdadera ya que corresponden a dos trapecios isósceles, en donde uno es la imagen del otro mediante

una reflexión con respecto a FC .

Así, las afirmaciones dadas en I), en II) y en III) son verdaderas (E)


Para resolver este ítem, enfocado al álgebra vectorial de elementos del

plano, el alumno deberá conocer las propiedades básicas de los vectores, es decir, suma y resta de vectores; y finalmente, deberá

calcular la longitud o módulo de un vector.

De esta manera, en la ecuación vectorial u x v es necesario sumar

a ambos lados de la igualdad el vector en sentido opuesto a u , que es



u , dando que x v u 1, 5 4,2 1 4, 5 2 3, 7 , por lo

cual:

2 2

x 3 7 9 49 58 ,

(A)


Este ítem viene referido a transformaciones isométricas en el plano, es por ello que el alumno deberá reconocer que la simetría axial es una

simetría mediante un eje, y por tanto las imágenes son simétricas con respecto a tal eje.

Es por esta razón, que si al punto A 3,2 se le realiza una simetría

axial y se obtiene el punto B 7,4 como imagen, entonces, el eje de

simetría corresponderá a la simetral del segmento AB . Así, la

pendiente del segmento AB es 2 4 2 1

m3 7 4 2

, por lo que la

simetral del segmento deberá ser igual a 2 ya que el producto de las pendientes de dos segmentos perpendiculares debe ser igual al

opuesto de 1. Por otro lado, el punto medio del segmento AB es el

punto M de coordenadas 3 7 2 4

, 5,32 2

.

Finalmente, usando ecuación punto-pendiente, se formará una recta

que pasa por M y que tiene pendiente 2 , esto es:

y 3 2 x 5

y 3 2x 10

2x y 13 0,

(D)


Este ítem hace explícita referencia al teorema de Thales, pero esta vez, para abordar correctamente el problema, el alumno deberá recordar



que el teorema de Thales tiene su recíproco, es decir, que si sus igualdades son válidas, entonces se induce un paralelismo que es el

mencionado en el enunciado de la pregunta.

Así, en I, vemos que la relación 12 18

4 6 es verdadera, ya que son

proporcionales en tanto 12 6 18 4 72 . La afirmación en II) es

falsa, ya que la proporcionalidad no se verifica de manera correcta. En

esta afirmación se podría plantear la supuesta igualdad

12 9

12 15 9 12

que es equivalente con

12 9

27 21 , que es una

contradicción en la proporción.

Finalmente, la afirmación dada en III) es verdadera, en tanto la

proporción 15 18

10 12 es constante e igual a

2

3, y de acuerdo a este

análisis, solo las afirmaciones en I) y en III) son verdaderas (E)


Este ítem viene referido a ángulos en triángulos y su relación entre paralelas. Por otro lado, el alumno también deberá leer correctamente

las congruencias del enunciado con el fin de determinar el o los datos que servirán para llegar a la respuesta correcta.

Para comenzar analizando esta pregunta, y dado que los triángulos ABC y DEF son congruentes se sigue que los ángulos ABC y TBF son

congruentes e iguales a 81°. Luego, mirando el triángulo ABC se tiene que BAC ABC BCA 180 , de donde 57 81 BCA 180 y

por lo tanto BCA 42 . Por otro lado, los ángulos BCA y BPF son

congruentes ya que son alternos internos sobre las paralelas dadas. Así, ambos miden 42°.

Finalmente, TPF 180 BPF 180 42 138 en tanto son

ángulos suplementarios.. (A)




Este ítem se enfoca al tema relativo a los teoremas derivados de las posiciones relativas de las rectas con respecto a la circunferencia, en

particular, para comenzar a abordar este problema, el alumno deberá conocer el teorema de la secante-tangente con el fin de poder

determinar la longitud del diámetro AB de la circunferencia, para luego

calcular su perímetro con el fin de determinar su mitad (semi-perímetro).

De esta manera, el teorema de la secante-tangente establece que

2PT PA PB , así usando las medidas dadas en el enunciado se tiene

que 212 8 8 AB , de donde 212 144

AB 8 8 18 8 10 cm8 8

,

que corresponde a la longitud del diámetro de la circunferencia. Con lo

cual el perímetro de la circunferencia es 10

2 102

y finalmente,

la mitad del valor anterior, es decir, 5 corresponde al valor del semi-

perímetro de la circunferencia (D)


Para poder abordar este problema referido al teorema de Euclides, el

alumno, primero que todo deberá realizar una asociación necesaria, que es el entender que la distancia en geometría se mide de manera

perpendicular desde el punto a calcular hasta su fin.

Por esta razón, la recta L forma un triángulo rectángulo en el origen de

coordenadas, y la distancia mínima de la recta hasta el origen de coordenadas será igual a la longitud de la altura de tal triángulo,

cálculo que se realizará mediante teorema de Euclides.

De acuerdo a lo antes analizado el triángulo tiene catetos igual a los segmentos determinados por la recta con los ejes coordenados, es

decir, 7 y 9. Entonces, aplicando teorema de Pitágoras sobre tal triángulo se obtiene que la longitud de la hipotenusa es

2 29 7 81 49 130 , así, usando teorema de Euclides relativo a

la altura se obtiene que si llamamos h a la distancia mínima o altura,

se sigue que: 9 7 130 h de donde



9 7 63 130 63h 130

130130 130 130

, de donde el último cálculo se

obtiene mediante la racionalización del denominador de la fracción. (C)


Este ítem hace referencia a ángulos en la circunferencia. Para abordar correctamente este problema, el alumno deberá entender lo que

significa un ángulo inscrito y un ángulo del centro de la circunferencia.

Así, la medida del arco AB es 60° en tanto el ángulo del centro AOB lo subtiende. Por otro lado, extendiendo el segmento de cuerda EA se

prolonga colinealmente hasta el perímetro de la circunferencia hasta un punto F, se tiene que el arco FC mide 100° ya que es subtendido por el

ángulo inscrito CAE que mide 50°. Finalmente, usando el teorema del ángulo interior de la circunferencia se tiene que

FC AB 100 60 160ADB 80 .

2 2 2

(C)


Este ítem hace explícita referencia al teorema de Euclides. Para

resolverlo, el alumno deberá entender que la misma desigualdad entregada por los catetos del triángulo, se mantendrá para sus

proyecciones, por lo que la proyección del cateto b sobre la hipotenusa, será la mayor.

Mirando la siguiente figura:

ab



Acá podemos ver que el cateto mayor es el corresponde al de la proyección b, por lo que, llamando B a tal cateto, el teorema de

Euclides plantea que: 2B b b a , de donde, sacando raíz cuadrada se

tiene que 2B b b a b ab .

(E)


Este ítem apunta al cálculo de un área achurada derivada por una construcción auxiliar que permitirá encontrar áreas contiguas que

sumen el área seleccionada. Para abordar este problema de manera correcta se deberán tener en cuenta los cálculos inducidos por el

teorema de Thales, áreas de triángulos equiláteros y áreas de

triángulos rectángulos. Para comenzar el cálculo de este problema, veamos la construcción

auxiliar realizada en la siguiente figura, donde el segmento de recta FH corresponde a la altura del triángulo BEF.

Los segmentos BG y FH son claramente paralelos, y por lo tanto se

verifica la relación AB AH

BG HF . H, es punto medio del segmento BE y por

lo tanto 1

BH cm2

, así en la anterior relación se tiene que

11

1 2BG HF

,

pero el segmento HF es la altura del triángulo equilátero, por lo que

3HF cm

2 , así,

31 2

BG 3

2

de donde 3

BG cm3

, luego podemos

realizar el siguiente cálculo

AH HF AB BG

Área BHFG Área AHF Área ABG2 2

, de donde

AB

E

F

CD

G

H



reemplazando los valores obtenidos se llega a que

33 31

532 2Área BHFG 32 2 24

.

Por otro lado, el área achurada, correspondiente al triángulo BFG

corresponde a Área BHFG Área BHF , pero el área del triángulo

BHF, es simplemente la mitad del área del triángulo equilátero BEF,

esto es,

3Área BEF 34Área BHF

2 2 8

.

Finalmente, se tendrá que 5 3 3

Área BFG 324 8 12

(D)


Este ítem hace referencia al entendimiento geométrico de un sistema

de ecuaciones de dos ecuaciones con dos incógnitas por el simple hecho de tratarse de la intersección de dos rectas en el plano. Para

abordar correctamente este problema, el alumno deberá tener la

capacidad de formar las ecuaciones de la recta dada su posición relativa en el plano, y luego aplicar alguna técnica apropiada para la

resolución de un sistema de ecuaciones, solución que corresponderá al punto en el plano donde las rectas se intersectan.

Aplicando ecuación del segmento, se tiene que la recta 1L tiene

ecuación x y

12 4 , de donde 1

L :2x y 4 . Por otro lado, la recta 2L

tiene ecuación x y

13 2

, esto es, 2

L :2x 3y 6 . Ahora, formando

el sistema de ecuaciones, se induce el elemento 2x y 4

2x 3y 6

, luego,

restando ambas ecuaciones se tiene que y 3y 4 6 , es decir,

10 5y

4 2 . Entonces, usando la primera ecuación:

52x 4

2 de



donde 3

x4

, así que las coordenadas del punto P son 3 5

,4 2

, par

ordenado que se encuentra en la alternativa E. (E)


Para resolver correctamente este ítem referido a ecuación de la recta en el plano, el alumno deberá tener en claro que dos rectas en el plano

son perpendiculares cuando el producto de las pendientes de tales rectas es igual a 1 , de esta manera, la primera labor para esto será

escribir las rectas en su forma principal logrando que la pendiente de cada una de las rectas sea un valor explícito.

En efecto, la recta 1L escrita en forma principal es y 2kx 2 ,

mientras que la recta 2L , escrita en forma principal es

1 6y x

r 1 r 1

. En esas estructuras, el coeficiente numérico que

acompaña a x corresponde al valor de la pendiente de cada una de las

rectas.

De acuerdo a ello, forzando a que las rectas sean perpendiculares se

tiene que 1

2k 1r 1

, de donde

2k1

r 1

y por lo tanto

2k r 1 2k r 1 .

(A)


Este ítem viene referido a dos temas fundamentales, el primero corresponde a cálculos básicos dados de la geometría analítica y el

segundo, es el entender que significa ser simétrico con respecto a un punto en particular.

Primero que todo, el alumno deberá ser capaz de calcular el punto

medio M del segmento AB que es el punto de coordenadas 3

,22

, así

la distancia del punto M será la mitad de la distancia con su simétrico con respecto al origen de coordenadas, por lo que la distancia pedida



es simplemente igual a

2

23 9 9 16 25 52 0 2 0 2 4 2 2 2 5

2 4 4 4 2

.

(C)


Este ítem viene relacionado al tema de transformaciones isométricas en el plano y para poder abordarlo de manera correcta es necesario

tener en cuenta las simetrías de un punto con respecto a una recta vertical y las rotaciones en 90° en el plano con respecto a puntos que

no corresponden al origen. Aunque de igual manera, se deberá tener

en cuenta que un punto de coordenadas x,y rotado en 90° con

respecto al origen se ubica en el punto y,x .

De esta manera, como el punto Q y el punto P deben ser equidistantes

de las recta que hace las veces de eje de simetría que es x 2 , se

tiene que ella además es simetral del segmento PQ, entonces las

coordenadas del puntos Q son 1,7 .

Por otro lado, para rotar en 90° con respecto al punto A, al punto P, se

deberá ubicar el origen de coordenadas en el punto A, logrando que el

punto 3,7 1,2 2,5 esté centrado en este nuevo origen, por lo

que ahora la rotación se reduce al origen, entonces, tal punto rotado

en 90° queda en este nuevo sistema de coordenadas, en el punto

5,2 , que en términos del original sistema de coordenadas, entrega

que el punto R tiene coordenadas 5,2 1,2 4,4 .

Finalmente, la pendiente del segmento RQ es 7 4 3

1 4 5

(B)


Este ítem apunta al contenido de homotecia de figuras planas y para

responderlo el alumno debe, en base a la información entregada en el enunciado, determinar la veracidad de cada una de las afirmaciones.



Así, del enunciado se tiene que la homotecia de centro O y razón de

homotecia 3 transforma al triángulo ABC en el triángulo A’B’C’, esto quiere decir que los triángulo ABC y A’B’C’ son semejantes a razón

3 : 1, por lo que

2Área ABC 3 9

1 1Área A 'B'C'

, y la afirmación dada en I)

es verdadera.

Por otro lado, la homotecia de centro O y razón de homotecia 1

3

transforma al triángulo ABC en el triángulo A’’B’’C’’ logra que

1OB'' OB

3 . Luego, dada la primera homotecia, se tiene que

OB' 3OB . De esta manera se tendrá que

1OB'' : B ''B : BB' OB : OB OB'' : OB' OB

3

1 1OB : OB OB : 3OB OB

3 3

1 2OB : OB : 2OB

3 3

1 2: : 2

3 3

1 : 2 : 6

dando que la afirmación en II) es verdadera. Finalmente, un cálculo

muy similar al anterior muestra la veracidad de la afirmación dada en

III) en tanto los tres triángulos son semejantes. (E)




Este ítem también hace referencia al contenido de homotecias de figuras planas. Por esta razón, un esquema que ayudará a responder

correctamente la pregunta es el siguiente:

Así, la afirmación de la opción A es falsa ya que el punto F se

encuentra sobre la diagonal AC del cuadrado. Para que esta afirmación

sea correcta, es necesario que la razón de homotecia sea 0,5; situación que no es posible verificar con la información aportada en el

enunciado.

La afirmación de la opción B es verdadera dada la construcción de la figura anterior. La afirmación de la opción C es falsa ya que existe

algún valor de la constante k de homotecia que hace que el punto F esté sobre el segmento GE.

La afirmación en D es falsa ya que si la constante k de homotecia es exactamente igual a 0,5; entonces E es equidistante del punto A y del

punto B.

Finalmente, la afirmación en E es falsa en tanto el punto A es el punto más alejado del punto C.

(B)


Este ítem aborda el tema relativo al volumen de cuerpos geométricos. Para resolverlo, el alumno deberá ser capaz de inferir que lo

A B

CD

E

FG



preguntado es simplemente cuántas unidades cúbicas puede contener, de manera exacta, un depósito de forma cúbica.

Así, el volumen de un hexaedro regular de arista 4 cm es 4 34 64 cm ,

el cual contiene 64 unidades cúbicas (C)


Para abordar de manera correcta este ítem, enfocado nuevamente al volumen de cuerpos geométricos, el alumno deberá entender que de

acuerdo a la figura dada en el enunciado, el hexaedro regular forma, mediante los puntos medio un octaedro que puede ser visto como la

unión de dos pirámides rectangulares de base cuadrada unidas por su base.

Con lo anteriormente dicho, si el cubo tiene arista p, entonces la base

cuadrada de cada una de las pirámides antes mencionadas corresponderá a la diagonal de un triángulo rectángulo isósceles de

lado p

2, esto es

p2

2. Por su parte, la altura de cada pirámide es

p

2,

así, el octaedro de la figura tendrá volumen

2 31 p p p2 2

3 2 2 6

.

Mientras que el volumen del hexaedro regular o cubo es 3p .

Finalmente, la razón pedida entre el octaedro y el hexaedro de la figura

es

3

3

p16 1 : 66p

(B)


Este ítem hace referencia al contenido de los sólidos de revolución y cuáles son las generatrices que se debe girar indefinidamente en torno

a algún eje para formar, en este caso al menos un cono. Para abordar correctamente el problema el alumno deberá tener la capacidad de

modelar las situaciones presentadas en cada una de las afirmaciones

dadas en I), en II) y en III).



En la afirmación I), no se genera ningún sólido ya que el eje de revolución es paralelo a la superficie que se gira.

En la afirmación dada en II), se generan dos conos congruentes unidos

por sus bases.

En la afirmación dada en III), se generan igualmente dos conos unidos por sus bases.

De acuerdo al análisis anterior, en las afirmaciones dadas en II) y en

III) se generan al menos un cono.

(E)

58. Eje Temático: Datos y Azar

Este ítem hace referencia a la geometría analítica en el espacio. En

particular al tema relativo a planos y rectas en el espacio y la formación de la ecuación del plano dado un vector perpendicular a él

(vector normal) y un punto posición del plano.

Para esto, podemos ver el siguiente esquema en blanco de la situación a modelar. Sea, pues, la ecuación del plano buscado, y P el punto

por el cual pasa el plano.

De esta manera, el vector director de la recta es el vector d 2,1,7 ,

por lo tanto corresponderá al vector normal al plano ya que x t .

Además, por enunciado se sabe que P , por lo que la ecuación del plano será

P 8, 5,4

x t



2 x 8 1 y 5 7 z 4 0

2x 16 y 5 7z 28 0

2x y 7z 7 / 1

2x y 7z 7,

(A)


Esta pregunta hace referencia al eje temático de datos y el

reconocimiento del tipo de datos en distintas muestras. Para abordar el problema el alumno deberá determinar cuál de las afirmaciones

planteadas en el problema es falsa.

A) Es verdadera en tanto los datos cuantitativos son numéricos, y por lo tanto, las tres medidas de tendencia central mencionadas son

calculables mediante alguna técnica pertinente.

B) Es falsa en tanto una muestra de datos cualitativos corresponde a datos que son verbales, es decir, la moda, corresponde a un dato

cualitativo igualmente. C) Es verdadera, ya que si la muestra tiene N datos que es un

número impar, entonces, la mediana corresponde al dato de orden

N 11

2

que pertenece a la muestra ya que si N es impar

entonces N 1

2

es un número entero.

D) Es verdadera ya que es justamente la definición de la media aritmética de una muestra cuantitativa, es decir, datos numéricos.

E) Es verdadera ya que simplemente se debe analizar el dato o los datos que tenga o tengan mayor frecuencia absoluta.

(B)


Este ítem hace referencia al cálculo y el estudio de las medidas de

tendencia central de dos muestras de datos cualitativos, en donde el alumno deberá notar que los datos x e y no son fijos y que existen

infinitas posibilidades que podrán o no hacer que cada afirmación de las alternativas sea falsa o verdadera.



A) Es falsa ya que independiente de los valores de x y de y, la moda de ambas muestras es 5.

B) Es falsa, ya que si x y 0 , al media aritmética de ambas

muestras es 5. C) Es verdadera ya que asumiendo el dato x 0 se tiene que la media

aritmética de M es 25

4,166

. Ahora, asumiendo el dato y 1 se

tiene que el promedio aritmético de N es 21

4,25

, de donde se

puede ver que 4,16 4,2 .

D) Es falsa ya que independiente del valor que tomen las variables x e

y, las medianas de ambas muestras son iguales a 5. E) Es falsa, ya que basta considerar el caso particular de la alternativa

C. (C)


Este ítem viene a hacer referencia al contenido de las medidas de dispersión de una muestra de datos cualitativos, de ahí el cálculo de la

dispersión. Para abordarlo correctamente, deberá, el alumno, ser capaz de interpretar el hecho de que la varianza y la desviación estándar

sean iguales. Como la relación entre ellas es que la raíz cuadrada de la varianza es igual a la desviación estándar, entonces, el único caso

posible es que sean iguales a 0 o iguales a 1.

De esta manera la información planteada en I) corresponde al caso en

que la varianza es igual a cero, es decir, no hay dispersión, por lo que la afirmación es verdadera.

Por su parte, la afirmación planteada en II) es verdadera ya que si la muestra contiene un solo dato, entonces, él no tiene dispersión y por

tanto, su varianza es igual a cero.

Finalmente, la afirmación planteada en III) es falsa ya que una muestra de 3 datos, todos iguales a 10, por ejemplo, tiene media

aritmética 10, y su desviación estándar en 0.

(B)




Este ítem viene referido a la inferencia de información extraída de un histograma de datos cualitativos, es por ello, que el alumno debe

entender que el punto medio de cada una de las barras del histograma corresponde a la marca de clase del intervalo. Así, viendo la gráfica

adjunta se tiene que cada marca de clase se distancia en 20%, valor que corresponde a la amplitud del intervalo.

De esta manera, los intervalos a considerar para la formación de la

tabla de frecuencias son 0,20 , 20,40 , 40,60 y 60,80 . Mientras

que respectivamente las frecuencias absolutas, corresponden a 20, 40, 30 y 10, así la tabla mostrada en la alternativa D resume de otra forma

la información entregada en el histograma adjunto al problema. (D)


Este ítem hace referencia algebraica al trabajo de las medidas de dispersión, en particular de la varianza con respecto a la media

aritmética, es decir, el promedio del cuadrado de las desviaciones de cada dato con respecto a la media aritmética de la muestra.

Con ello, el alumno deberá verificar la veracidad o falsedad de cada

una de las afirmaciones mostradas en I), en II) y en III).

La afirmación dada en I) es rotundamente falsa ya que por ejemplo, si

se considera la muestra P 1,1,1 su varianza es 0 en tanto no hay

dispersión con respecto al promedio aritmético que es 1.

La afirmación dada en II) también es falsa, ya que la muestra

P 1,0,1 tiene media aritmética igual a 0, pero su varianza es igual

a 2

3.

La afirmación dada en III) en falsa, ya que la muestra podría tener

promedio 1 y varianza igual a 1 pero no ser todos los datos iguales a cero, por ejemplo, datos provenientes de una distribución normal de

media aritmética y varianza iguales a 1.



Con el análisis anterior, la alternativa correcta es E ya que ninguna afirmación planteada es verdadera.

(E)


Para abordar correctamente este ítem, el alumno debe recordar que el recorrido intercuartil de una muestra corresponde a la diferencia entre

el tercer 3

Q y primer cuartil 1

Q . Así, la muestra considerada es

1 3Q Q

2 1, 2 2, 2 3, 2 4, 2 5, 2 6, 2 7, 2 8, 2 9, 2 10 ,

por lo tanto 3 1 5Q Q 2 8 2 3 16 6 10 2 5 a .

(C)


Este ítem viene a hacer referencia a las técnicas de conteo con

combinaciones entre las categorías, dada una combinación intra las categorías.

Así, los autos de la marca uno se puede ordenar de 5! formas, los

autos de la marca dos se pueden ordenar de 3! formas y los autos de la marca tres se pueden ordenar de 8! formas distintas.

Ahora, usando principio multiplicativo, los autos se pueden ordenar de

5! 3! 8! ; pero ahora se deben mezclar las categorías, por lo que el

anterior resultado va multiplicado por 3!. (D)


Este ítem hace referencia al concepto de probabilidad en eventos no

equiprobables, y para abordarla correctamente, es necesario equiprobabilizar el espacio muestral asociado al experimento, para

luego aplicar los conceptos asociados a la independencia de dos sucesos, es decir, que la ocurrencia de uno no influye en la ocurrencia

del otro.



De esta manera, la razón entre las probabilidades de obtener cara y

sello es

cara 3

sello 1 y con ello;

3cara

4 y

1sello

4 .

Finalmente, la probabilidad pedida, usando ley de independencia, es calculada mediante la relación

3 1 3

cara sello cara sello4 4 16

.

(A)


Este ítem viene referido a la inferencia probabilística de sucesos desde una tabla de doble entrada como la mostrada en el enunciado.

De esta manera, el alumno deberá calcular las probabilidades referidas

en cada una de las afirmaciones y verificar si ella es verdadera o falsa.

La afirmación planteada en I) es dados los 16 hombres de la muestra,

de ellos 7 gustan de Mozart, por lo que la probabilidad pedida es 7

16,

por lo que la afirmación es falsa.

La afirmación planteada en II) se calcula como 9 4 13

7 9 10 4 30

, por

lo que la afirmación es verdadera.

Finalmente, la afirmación planteada en III) se calcula notando que los

alumnos que gustan de Mozart son 17, y de ellos 10 son mujeres, por

lo que la probabilidad es 10

17 y la afirmación es verdadera.

De acuerdo al análisis anteriores se tiene que la alternativa correcta es E, ya que solo las afirmaciones en II) y en III) entregan afirmaciones

verdaderas. (E)




Este ítem hace referencia a la Ley de los Grandes Números, que simplemente establece que en un número muy grande de repeticiones

de un mismo evento y bajo las mismas condiciones, las probabilidades muestrales inducidas por las frecuencias relativas del experimento

tienen a ser similares a las probabilidades teóricas dadas por la regla de Laplace.

De esta manera, asumiendo la Ley de los Grandes Números, la extracción de las bolitas corresponde a un experimento sin reposición

en tanto corresponde a una extracción simultánea. Esto es:

5 4 20 10 5

verde y verde verde verde 0,3571...8 7 56 28 14

,

que aproximadamente corresponde al 36% de las veces en que se

realiza el experimento. (A)


Este ítem apunta al reconocimiento de una función de probabilidad, es

decir, aquella función que toma valores en un subconjunto de los números reales llamado soporte , y que asigna valores probabilísticos

de ocurrencia a cada uno de los elementos del soporte, esto es

: 0,1 , mostrando de manera formal que la probabilidad de

cualquier evento es siempre mayor o igual que cero y siempre menor o

igual que uno. (B)


Para abordar correctamente este ítem, el alumno deberá saber que la

asignación de probabilidades al soporte inducido por una variable aleatoria depende del espacio muestral que sea generado por la acción

del experimento.



Así, al lanzar dos dados al aire, la cardinalidad del espacio muestral E formado contiene 36 elementos formando parejas de opciones de la

forma n,m donde n varía entre 1 y 6 al igual que m, es decir,

n,m 1,2,3,4,5,6 1,2,3,4,5,6 ,

es por esta razón entonces que el soporte 1,2,3,4 de la variable

aleatoria X asigna probabilidades:

1

X 1 X 2 X 3 X 44

,

ya que se tendrá el mismo número asignado a cada uno de los eventos, esto es, misma cantidad de pares y de impares en el espacio

muestral. (D)


Este ítem hace referencia explícita al teorema de Bayes y de su

relación entre probabilidades a priori y probabilidades a posteriori

dados por un factor de verosimilitud asociado a evento de las

probabilidades marginales, es decir, A|B B B| A A , de

donde

AA |B B| A

B .

(A)


Para abordar correctamente este ítem, el alumno deberá reconocer la

generación de un evento Binomial, es decir, dado un experimento que se rija por ley Bernoulli, un evento Binomial se genera al estudiar la

cantidad de éxitos en un evento Bernoulli en una cierta cantidad de repeticiones.



Por esta razón, la situación planteada en la afirmación I) se puede modelar mediante ley Binomial, en tanto, la moneda se rige por ley

Bernoulli (cara o sello) y se quiere estudiar la cantidad de éxitos en 10 lanzamientos.

La situación planteada en II) no se rige por ley Binomial ya que los

éxitos en un intervalo continuo se modelan mediante ley Poisson.

Finalmente, la situación planteada en III) se puede modelar por ley Binomial por el mismo razonamiento mostrado en la afirmación I) ya

que para el evento Bernoulli en cuestión basta con considerar como

éxito, la aparición del número 6 en la cara del dado. (C)


Este ítem hace referencia a la distribución normal, es decir, para

abordar la pregunta de manera correcta, el alumno deberá recordar la estandarización de una variable de distribución normal, para que ella

tenga distribución normal estándar, es decir, de varianza 1 y de media nula.

De esta manera, si 2X ~ Normal , , entonces, la variable aleatoria

XZ

, donde 2 es la desviación estándar de la distribución,

se rige por ley normal estándar de media nula y varianza unitaria como

se pide en el problema.

(B)

SECCIÓN EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS


Con la afirmación (1) es suficiente ya que la única forma de que un

racional multiplicado con otro número sea irracional es que el número sea irracional. Con la información (2) no se puede determinar que sea



racional o irracional, ya que en ambos casos el cuadrado puede resultar racional.

(A)


Sea a el largo del rectángulo y b el ancho.

El área es el producto de a y b El semiperímetro es a+b

Una ecuación de segundo grado es posible de plantear si se sabe el

producto y la suma de las soluciones.

Por lo tanto uniendo la información de (1) y (2) es posible plantear la

ecuación y obtener la longitud de los lados del rectángulo.


Primero es necesario comprender desde el enunciado que una función

lineal es de la forma f x ax , cuya pendiente es a y su gráfica es

una recta que pasa por el origen O 0,0 del plano cartesiano.

(1) NO ES SUFICIENTE, pues las variables directamente proporcionales

también tienen una recta que pasa por el origen en su gráfica, lo que

se puede plantear como x

4y

, con lo que 1

y x4

, o bien como

y4

x con lo que y 4x y la pendiente tiene dos posibles valores.

(2) ES SUFICIENTE, ya que la función lineal pasa por el origen O 0,0

y aquí se tiene además un segundo punto 2, 8 que permite

calcular la pendiente de la recta que pasa por estos dos puntos, es

decir,

2 1

2 1

y y 8 0 8m 4

x x 2 0 2

(B)

Þ (C)




Analizando cada una de las informaciones dadas se tiene que:

(1) Con esta información simplemente es posible determinar que los ángulos COB y AOC son congruentes, pero aun así no es posible

responder la pregunta. (2) Con esta información simplemente es posible afirmar que los

ángulos AOD y DOC son congruentes, pero no es posible

responder la pregunta.

Finalmente, juntando ambas informaciones, tampoco es posible responder la pregunta con los datos aportados en el enunciado.

(E)


Para responder correctamente esta pregunta es de imperiosa

necesidad que el alumno conozca que la ecuación del plano necesita una de las siguientes dos informaciones: 1) conocer tres puntos no

colineales que estén en el plano, o 2) conocer un vector perpendicular

al plano y un punto que pertenezca al plano.

(1) Con la información aportada en el enunciado más este punto de esta información se conocen simplemente dos puntos

pertenecientes a él, pero no es posible conocer que plano los contiene.

(2) Con esta información se tiene exactamente lo aportado en el segundo inciso de la introducción a este problema, es decir, un

vector perpendicular y un punto del plano aportado por el enunciado.

De esta manera, basta la información aportada en (2) para poder responder la pregunta de manera correcta.

(B)




El promedio, de manera genérica de esta muestra es

0 1 2 a 4 5 12 a

6 6

, entonces:

(1) con esta información, si la moda de la muestra es 4, entonces quiere decir que 4 es el dato de mayor frecuencia absoluta de la

muestra, y como todos ellos son distintos, la única opción que queda es que a 4 y con ello es posible responder la pregunta.

(2) con esta información, no es posible responder la pregunta, ya que a podría tomar cualquier valor que haga que la muestra tenga

mediana 3, y existen infinitas opciones.

(A)


Una variable aleatoria Bernoulli corresponde al modelo generado por

un experimento que solo tiene dos posibles opciones, donde una de ellas es llamada éxito y la otra fracaso.

(1) Con esta información se tiene justamente la definición y el proceso

se modela mediante una variable aleatoria Bernoulli. (2) Esta información simplemente dice lo mismo que la información

anterior, pero de manera genérica.

Así, con las informaciones (1) o (2) de manera independiente se puede afirmar que se genera una variable aleatoria Bernoulli.

(D)

psu resolución ensayo forma: ust 115 matemáticaensayopsu.santotomas.cl/docs/sro_mat_stomas.pdf ·...

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