prueba de ensayo de calculo 2 ciclo

CÁLCULO REYES MEDINA

PRUEBA DE ENSAYO

1. PROBLEMAS 1.1 PÁGINAS 9, EJERCICIOS 27, 33.

27. Halle la función compuesta f (g ( x )).

f (u )= 1

u2, g ( x )=x−1

Solución:

f ( g ( x ) )=f ( x−1 )= 1

(x−1)2R .

33. Halle el cociente incremental de f , de la forma f ( x+h )−f (x )

h.

f ( x )=1x

Solución:

f ( x+h )−f (x )h

=

1x+h

−1x

h

¿

x−( x+h )x (x+h )

h

¿ −hxh(x+h)

¿ −1x(x+h)

R .

2. PROBLEMAS 1.2 PÁGINAS 22, EJERCICIOS 11, 15.Dibuje la gráfica de la función dada. Incluya todas las intersecciones con el x y con el eje y.

11. f ( x )=−x2−2 x+15

Solución:

Intersección con el eje y, f (0 )=15

Intersección con el eje x, f ( x )=0 resolviendo:

−x2−2 x+15=0

x2+2 x−15=0

( x+5 ) ( x−3 )=0

∴ x1=−5∨ x2=3


La localización del vértice: x=−B2 A

= −−22 (−1 )

=−1 , entonces y=16.

-5 -1 3

15. f ( x )={x−1 , si∧x≤ 0x+1 , si∧x>0

si x ≤0f ( x )=x−1, entonces la intersecciónenel eje Y sería cuando :

x=0 → y=−1f ( x )=x−1, entonces la intersecciónenel eje X sería cuando :

f (x)=0→ x=1si x>0

f ( x )=x+1 , entonces laintersecciónen eleje Y sería cuando :x=0 → y=1

f ( x )=x+1 , entonces laintersecciónen eleje X sería cuando :

f ( x )=0→ x=−1

3. PROBLEMAS 1.3 PÁGINAS 36, EJERCICIOS 19, 23.En los siguientes problemas escriba una ecuación para la recta con las propiedades indicadas.

19. Pasa por (2,0) y su pendiente es 1.

Solución: Sea x0=2 , y0=0 , m=1 , entonces usando la fórmula punto-pendiente se

obtiene:

y− y0=m(x−x0)


y−0=1(x−2)y=x−2

23. Pasa por (2,5) y es paralela al eje x.

Solución: Sea x0=2 , y0=5 , m=0 (es decir , paralela al eje x ) , entonces usando la

fórmula punto-pendiente se obtiene:

y− y0=m(x−x0)y−5=0(x−2)

y=5

4. PROBLEMAS 1.4 PÁGINAS 52, EJERCICIOS 5, 15.5. INGRESOS POR VENTAS Cada unidad de ciertos artículo cuesta p=35 x+15 centavos cuando se produce x unidades de un artículo. Si a ese pecio se venden las x unidades en su totalidad, exprese el ingreso derivado de las ventas como una función de x. Solución: Sea R(x) el ingreso total, x el número de unidades vendidas y p el precio unitario, entonces:

R ( x )=px , donde p=35 x+15 (centavos)R ( x )=(35 x+15 ) x (centavos)

15. CRECIMIENTO DEMOGRÁFICO En ausencia de restricciones ambientales, la población crece a una tasa proporcional a su tamaño. Exprese la tasa de crecimiento demográfico como una función del tamaño de la población.Solución: Sea x el tamaño de la población, f(x) la rapidez de crecimiento demográfico, si la población crece a una tasa proporcional a su tamaño, entonces:

f ( x )=kx

5. PROBLEMAS 1.5 PÁGINAS 69, EJERCICIOS 13, 19, 23, 29, 31, 35.En los siguientes problemas halle el límite indicada, si existe.

13. límx→ 1

3

x+1x+2

=

límx→

13

x+ límx→

13

1

límx→ 1

3

x+ límx → 1

3

2

¿

13+1

13+2

=

4373

=47

Resp .

19. límx→ 5

x2−3 x−10x−5


Simplificamos la expresión porque tanto el numerador como el denominador tienen a cero, entonces:

x2−3 x−10x−5

=(x−5)(x+2)

x−5=x+2 ; x≠ 5

Luego:

límx→ 5

x2−3 x−10x−5

=límx → 5

( x+2 )=7 Resp .

23. límx→−2

x2−x−6x2+3 x+2


x2−x−6x2+3 x+2

=(x−3)(x+2)(x+1)(x+2)

= x−3x+1

;x ≠−2

Luego:

límx→−2

x2−x−6

x2+3 x+2= lím

x→−2

x−3x+1

=lím

x →−2(x−3)

límx→−2

(x+1)=−5

−1=5 Resp .

Para los siguientes problemas halle límx→+∞

f (x ) y límx →−∞

f (x ) .Si el valor del límite es

infinito, indique si éste es +∞ o -∞.

29. f ( x )= (1−2x ) ( x+5 )Solución:

límx→+∞

f (x )= límx →+∞

(1−2 x ) ( x+5 )

¿ límx→+∞

(1−2 x ) ∙ límx→+∞

( x+5 )

¿−∞∙+∞¿−∞

límx→−∞

f ( x )= límx→−∞

(1−2 x ) ( x+5 )

¿ límx→−∞

(1−2 x ) ∙ límx →−∞

( x+5 )

¿+∞∙−∞¿−∞

31. f ( x )= x2−2 x+32 x2+5 x+1

Solución:


límx→+∞

f (x )= límx →+∞

x2−2 x+32 x2+5 x+1

¿ límx→+∞

x2

x2−2 xx2 + 3

x2

2 x2

x2+ 5 x

x2+ 1

x2

¿ límx→+∞

límx →+∞

1− límx→+∞

2x+ lím

x→+∞

3

x2

límx →+∞

1+ límx →+∞

5x+ lím

x→+∞

1x2

¿ 1−0+01+0+0

=1

límx→−∞

f ( x )= límx→−∞

x2−2 x+32 x2+5 x+1

¿ límx→−∞

x2

x2 −2 xx2 + 3

x2

2x2

x2+ 5 x

x2+ 1

x2

¿ límx→−∞

límx→−∞

1− límx→−∞

2x+ lím

x →−∞

3

x2

límx →−∞

1+ límx →−∞

5x+ lím

x →−∞

1x2

¿ 1−0+01+0+0

=1

35. f ( x )=3 x2−6 x+22 x−9

Solución:

límx→+∞

f (x )= límx →+∞

3 x2−6 x+22 x−9

¿ límx→+∞

3 x2

x−6 x

x+ 2

x2 xx

−9x

¿lím

x →+∞3 x− lím

x →+∞6+ lím

x→+∞

2x

límx→+∞

2− límx →+∞

9x

¿ ∞−6+02−0

=+∞2

=+∞.


límx→+∞

f (x )= límx →−∞

3 x2−6 x+22 x−9

¿ límx→−∞

3 x2

x−6 x

x+ 2

x2xx

−9x

¿lím

x →−∞3 x− lím

x→−∞6+ lím

x→−∞

2x

límx →−∞

2− límx →−∞

9x

¿ −∞−6−02−0

=−∞2

=−∞ .

6. PROBLEMAS 1.6 PÁGINAS 80, EJERCICIOS 11, 17.Halle los límites laterales.

11. lím

x→ 3+¿ √x+1−2x−3

¿


√x+1−2x−3

=(√ x+1−2 ) (√ x+1+2 )

(x−3 ) (√x+1+2 )

¿ x−3

( x−3 ) (√x+1+2 )

¿ 1

√x+1+2; x ≠3

Luego:lím

x→ 3+¿ √x+1−2x−3

= límx →3+¿ 1

√ x+1+2=1

4Resp .¿

¿

Decida si la función dada es continua en los valores dados para x.

17. f ( x )= x+2x+1

en x=1.

Analizando:

1. f (1 )=1+21+1

=32

2. límx→ 1

(x+2)(x+1)

existe


3. límx→ 1

f (x )=límx →1

(x+2)(x+1)

=límx →1

(x+2)

límx →1

(x+1)=3

2=f (1)

Respuesta. Sí, f(x) es continua en x=1

7. PROBLEMAS 2.1 PÁGINAS 106, EJERCICIOS 7, 23.Calcule la derivada de la función dada y determine la pendiente de la recta tangente a su gráfica para el valor especificado de la variable independiente.

7. f ( x )=√x ; x=9Solución:

ddx

(√ x )=límh → 0

f ( x+h )−f (x )h

¿ límh → 0

√x+h−√ xh

¿ límh → 0

(√ x+h−√x )(√x+h+√x )h(√x+h+√x)

¿ límh → 0

hh(√ x+h+√ x)

¿ límh → 0

1

√x+h+√x

¿ límh → 0

1

√x+√ x= 1

2√ xResp .

23. Suponga que f ( x )=x3 .a. Calcule la pendiente de la recta secante que une los puntos de la gráfica de

f, cuyas coordenadas x son x=1 y x=1.1. b. Utilice el cálculo para determinar la pendiente de la recta tangente a la

gráfica cuando x=1 y compare esta pendiente con la respuesta del inciso a.

Solución:

a. msec=f ( x+h )−f ( x )

h

¿( x+h )3−x3

h

¿ x3+3 x2 h+3x h2+h3−x3

h

¿h(3 x2+3 xh+h2)

h

msec=3 x2+3 xh+h2

Entonces:Cuando x=1 y h=0.1 se obtiene:

msec=3 (1)2+3 (1 ) (0.1 )+ (0.1 )2=3+0.3+0.01=3.31 Resp .


b. mtag=límh →0

msec=límh → 0

(3 x2+3 xh+h2)

mtag=3 x2

Entonces:Cuando x=1 se obtiene:

mtag=3(1)2=3 Resp .

8. PROBLEMAS 2.2 PÁGINAS 118, EJERCICIOS 17, 23, 31, 41, 53, 57, 61.Derive la función dada. Simplifique su respuesta.

17. y=1t+ 1

t2− 1

√ t

Solución:

y=1t+ 1

t 2− 1

√ t

y=t−1+t−2−t−1 /2

dydx

=−1 t−2+2 t−3+ 12

t−3 /2

dydx

= y=−1

t2− 2

t 3+ 1

2√ t3Resp .

23. y=−2x2 +x2 /3+ 1

2√x+ x2

4+√5+ x+2

3

Solución:

y=−2x2 +x2/3+ 1

2√x+ x2

4+√5+ x+2

3

y=−2 x−2+x2/3+12

x−1/2+ 14

x2+√5+13

x+ 23

dydx

=4 x−3+ 23

x−1 /3−14

x−3/2+ 12

x+0+ 13+0

dydx

= 4

x3+ 2

3 x1/3− 1

4 x3/2+ x

2+ 1

3Resp .


Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función dada en el punto especificado.

31. y=( x2−x ) (3+2 x ); (−1,2)

Solución:

Derivando se obtiene:

y=( x2−x) (3+2 x )

y=2 x3+x2−3 x

dydx

=6 x2+2 x−3 ; x=−1

mtag=dydx

=6(−1)2+2 (−1 )−3=1 Resp .

Ecuación de la recta tangente en el punto (-1,2)

y− y0=m(x−x0)y−2=1(x−(−1))

y=x+1+2y=x+3 Resp .

Determine la razón de cambio de la función dada f(x) con respecto a x para el valor indicado en x=c.

41. f (x )= x−√x+ 1

x2; x=1

Solución:Derivando se obtiene:

f ( x )=x−√x+ 1

x2

f ( x )=x−x1 /2+x−2

f ' ( x )=1−12

x−1 /2−2 x−3

f ' ( x )=1− 22√x

− 2

x3

Cuando x=1

f ' ( x )=1− 22√1

− 2

13=−3

2Resp .

53. ADMINISTRACIÓN DE COSTOS. Una compañía usa un camión para entregar sus productos. Para calcular el costo, el gerente modela el consumo de combustible mediante la función:


G ( x )= 1250 ( 1200

x+x)

gal/milla, suponiendo que el camión se maneja una velocidad contante de x millas por hora para x≥5. Al chofer se le pagan $20 por hora por conducir el camión 250 millas, y la gasolina cuesta $1.90 por galón.a. Determine la expresión para el costo total C(x) del viaje.b. ¿A qué razón estará cambiando el costo C(x) con respecto a x cuando se

conduce el camión a 40 mph? ¿A esa velocidad estará disminuyendo o aumentando el costo?

Solución:

a.

C ( x )= (consumo decombustible ) (costo de la gasolina ) (millas recorridas )+(millas recorridas ∙ costo por millas recorridasvelocidad )

C ( x )=( G(x) ∙1.9 ∙ 250 )+( 250 ∙ 20x )dólares

C ( x )=[ 1250 ( 1200

x+x)(1.9)(250)]+(5000

x )dólares

C ( x )=475250 ( 1200

x+x)+ 5000

xdólares

C ( x )=2280x

+1.9 x+ 5000x

dólares

C ( x )=7280x

+1.9 x dólares Resp .

b. La razón de cambio de C(x) con respecto a x es su derivada:

C ( x )=7280 x−1+1.9 xdólares

C ' ( x )=−7280 x−2+1.9 ; x=40millas por hora

C ' ( x )=−7280 (40 )−2+1.9

C ' ( x )=−4.55+1.9=−2.65dólares por millas por hora Resp .

57. INGRESOS ANUALES. Los ingresos anuales brutos de cierta compañía

fueron A (t )=0.1 t2+10 t+20 miles de años t años después de su formación en el

año 2000.

a. ¿A qué razón crecieron los ingresos anuales brutos de la compañía con respecto al tiempo en el año 2004?


b. ¿A qué razón porcentual crecieron los ingresos anuales brutos con respecto al tiempo en el año 2004?

Solución:

a. La razón de cambio es su derivada:

A (t )=0.1 t2+10 t+20miles dedólares

A' (t )=0.2t +10 ; t=2004−2000=4

A' (t )=0.2 (4 )+10=10800 dólares por año

b. Razón porcentual

A ' (t )A (t )

(100 )= 10800

1000 [0.1 (4 )2+10 (4 )+20 ](100)

¿ 1080010 [61.6 ]

¿17.53 %

61. CRECIMIENTO DE LA POBLACIÓN. Se ha proyectado que dentro de x

meses la población de cierto pueblo será de P ( x )=2x+4 x3/2+5000.

a. ¿A qué razón cambiará la población con respecto al tiempo dentro de 9 meses?

b. ¿A qué razón porcentual cambiará la población con respecto al tiempo dentro de 9 meses?

Solución:


P ( x )=2x+4 x3/2+5000

P' ( x )=2+6 x1 /2 ; x=9

P' ( x )=2+6√9=20 personas por mes

b. Razón porcentual

P ' ( t )P ( t )

(100 )= 20

2 (9 )+4√93+5000(100)

¿ 205126

(100 )=0.39 %

9. PROBLEMAS 2.3 PÁGINAS 131, EJERCICIOS 9, 13, 17, 19, 31, 41, 45, 51.Derive la función dada:


9. f (t )= t

t2−2

f ' (t )=(t2−2 ) d

dt[ t ]−t

ddt

[ t2−2 ]

(t2−2 )2

f ' (t )=(t2−2 ) (1 )−t (2t )

(t2−2 )2

f ' (t )= t2−2−2 t2

(t 2−2 )2=

−(t 2+2)

( t2−2 )2Resp .

13. f ( x )= x2−3 x+22 x2+5 x−1

f ' ( x )=(2 x2+5 x−1 ) d

dt[ x2−3x+2 ]−(x2−3 x+2) d

dt[2x2+5 x−1 ]

(2 x2+5 x−1 )2

f ' ( x )=(2 x2+5 x−1 )(2 x−3)−(x2−3 x+2)(4 x+5)

(2 x2+5 x−1 )2

f ' ( x )=4 x3+4 x2−17 x+3−(4 x3−7 x2−7 x+10)

(2 x2+5 x−1 )2

f ' ( x )=11 x2−10 x−7

(2 x2+5 x−1 )2Resp .

17. f ( x )=(2+5 x )2 f ( x )= (2+5x ) (2+5 x )

f ' ( x )=(2+5 x) ddx

[2+5 x ]

f ' ( x )=(2+5 x ) (5 )+(2+5 x)(5)f ' ( x )=10 (2+5 x ) Resp .

19. g (t )= t 2+√t2 t+5


g' (t )=(2 t+5 ) d

dt[ t 2+√t ]−( t2+√ t) d

dt[ 2 t+5 ]

(2 t+5 )2

g' (t )= (2t +5 ) ¿¿

g' (t )=4 t2+10 t+ t1 /2+ 5

2t 1/2

(2 t+5 )2

g' (t )= 4√ t5+20√ t3−2t +5

2√ t (2t +5 )2Resp .

Calcule la razón de cambio dydx

para el valor dado de x0 .

31. y=x+ 32−4 x

;x0=0

dydx

=ddx

[ x ]+(2−4 x ) d

dx[ 3 ]−(3) d

dx[ 2−4 x ]

(2−4 x )2

dydx

=1+ 12

(2−4 x )2; x0=0

dydx

=1+ 12

( 2−4 (0))2=4 Resp .

Encuentre la segunda derivada de la función dada.

41. y= 23 x

−√2 x+√2x− 16√ x

y=23

x−1−√2 x1/2+√2 x−1

6x−1 /2

dydx

=(−1 )( 23 ) x−2−(√2 )( 1

2 ) x−1/2+√2−( 16 )(−1

2 )x−3 /2

dydx

=−23

x−2−√22

x−1/2+√2+ 112

x−3 /2

d2 yd x2 =(−2

3 ) (−2 ) x−3−(√22 )(−1

2 ) x−3/2+( 112 )(−3

2 ) x−5 /2

d2 yd x2 =

43 x3 + √2

4 x3 /2 −1

8x5 /2 Resp .


45. VENTAS. El gerente de la joyería Many Facets modela las ventas totales

mediante la función S ( t )= 2000t4+0.3t

donde t es el tiempo (años) desde el año 2000 y

S se mide en miles de dólares.

a. ¿A qué razón estaban cambiando las ventas en el año 2002?

b. ¿Qué pasa con las ventas “a largo plazo” (es decir, cuando t →+∞)?

Solución:


S ( t )= 2000t4+0.3t

S' ( t )=( 4+0.3 t ) d

dt[ 2000 t ]−(2000 t) d

dx[ 4+0.3 t ]

( 4+0.3 t )2

S' ( t )=( 4+0.3 t )(2000)−(2000 t)(0.3)

(4+0.3 t )2

S' ( t )= 8000

( 4+0.3 t )2; t=2002−2000=2

S' ( t )= 8000

( 4+0.3 (2))2=378.07 miles de dólares Resp .

b. Para t=+∞ las ventas se aproximan a:

límt →+∞

S (t )= límt →+∞

2000 t4+0.3 t

¿ límt →+∞

2000 tt

4t+

0.3 tt

¿ límt →+∞

20004t+0.3

¿ 20000.3

=6666.67 dólares Resp .

10. PROBLEMAS 2.4 PÁGINAS 143, EJERCICIOS 31, 35, 45, 57,59.Derive la función dada y simplifique su respuesta.


3 1.G ( x )=√ 3x+12 x−1

Solución:

G ( x )=( 3 x+12 x−1 )

1 /2

G' ( x )={12 ( 3 x+1

2 x−1 )−1/2} d

dx [ 3 x+12 x−1 ]

G' ( x )=[ 12 ( 3 x+1

2 x−1 )−1 /2][ 3 x+1

2x−1 ]G' ( x )=[ 1

2 ( 3 x+12 x−1 )

−1 /2][ (2 x−1 ) (3 )−(3 x+1)(2)(2 x−1 )2 ]

G' ( x )=[ 12 ( 3 x+1

2 x−1 )−1 /2][ −5

(2 x−1 )2 ]G' ( x )=−5

2(3x+1 )−1 /2 (2 x−1 )−3 /2 Resp .

35. f ( y )= 3 y+1

√1−4 ySolución:

f ' ( y )=(1−4 y )1 /2 d

dt[ 3 y+1 ]−(3 y+1) d

dx[ (1−4 y )1/2 ]

[ (1−4 y )1 /2 ]2

f ' ( y )=(1−4 y )1 /2(3)−(3 y+1)( 1

2 ) (1−4 y )−1 /2(−4)

[ (1−4 y )1 /2 ]2

f ' ( y )=3 (1−4 y )1/2− −6 y−2

(1−4 y )1/2

(1−4 y )

f ' ( y )=

3 (1−4 y )+6 y+2

(1−4 y )1/2

(1−4 y )

f ' ( y )=

3−12 y−6 y−8

(1−4 y )1/2

(1−4 y )

f ' ( y )= −6 y+5

(1−4 y )3 /2Resp .


Encuentre todos los valores de x donde la recta tangente a y=f(x) es horizontal.

45. f ( x )=√x2−4 x+5

f ' ( x )= ddx

[ ( x2−4 x+5 )1 /2 ]

f ' ( x )=12

( x2−4 x+5 )−1 /2(2 x−4 )

f ' ( x )= 2 x−4

2 ( x2−4 x+5 )1 /2

l a rectaes horizontal cuandom=f ' ( x )=0

0= 2x−4

2 ( x2−4 x+5 )1/2

2 x−4=0x=2

Cuando x=2 entonces f (2 )=√22−4 (2 )+5=1

Resp. La recta es horizontal en el punto (2,1).

57. DEMANDA DEL CONSUMIDOR. Un importador de café brasileño estima

que los consumidores locales comprarán aproximadamente D ( p )=4374

p2 libras de

café por semana cuando el precio sea p dólares por libra. También se ha estimado

que dentro de t semanas, el precio del café brasileño será p (t )=0.02 t2+0.1 t+6

dólares por libra.

a. ¿A qué razón está cambiando la razón de la demanda de café con respecto al precio cuando el precio sea $9?

b. ¿A qué razón está cambiando la demanda de café con respecto al tiempo dentro de 10 semanas? ¿En ese momento la demanda estará creciendo o decreciendo?

Solución: a. La razón de cambio es su derivada:

D ( p )=4374 p−2

dDdp

=−2 (4374 ) p−3

dDdp

=−8748

p3; p=$ 9

dDdp

=−8748

93=−12 dólares por libra

b. Se desea hallar dpdt

entonces:

dDdt

=dDdp

∙dpdt

= ddp [ 4374

p2 ] ∙ ddt

[0.02 t2+0.1 t+6 ]


¿(−8748

p3 ) (0.04 t+0.1 )

Cuand o t=10 semanas

p (10 )=0.02 (10)2+0.1(10)+6

¿ $9

Entonces:

dDdt

=−8748(0.04 (10 )+0.1)

93 =−6 libras por semana

Resp. La demanda estará decreciendo -6 libras por semana.

59. DEMANDA DEL CONSUMIDOR. Cuando cierto artículo se vende a p dólares

por unidad, los consumidores compran D ( p )=40000p

unidades por mes. Se estima

que dentro de t meses, el precio del artículo será p (t )=0.4 t 3/2+6.8dólares por

unidad. ¿A qué razón porcentual cambiará la demanda mensual del artículo respecto al tiempo dentro de 4 meses a partir de este momento?Solución:

dDdt

=dDdp

∙dpdt

= ddp [ 4000

p ] ∙ ddt

[0.4 t 3/2+6.8 ]

dDdt

=(−4000

p2 ) (0.6 t1/2 )

dDdt

=(−24000 t 1/2

p2 )El precio del artículo dentro de 4 meses sería:

p (4 )=0.4 (4)3/2+6.8=10dólares

La demanda en función del tiempo sería:

D ( t )=D(0.4 t 3 /2+6.8)= 40000

0.4 t 3/2+6.8

Entonces:

La razón porcentual (cuando t=4, p=10) está dada por:

dDdt

D ( t )(100 )=

−24000 (4 )1/2

102

400000.4 (4 )3 /2+6.8

(100)


¿−4804000

(100 )=−12 %

Resp. La demanda decrecerá en un 12%

prueba de ensayo de calculo 2 ciclo

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