Control PID para la posición angular de un motor CD

 

Resumen: Analizar y aplicar un sistema de control analógico retroalimentado lineal en tiempo continuo mediante métodos de transformación, e implementar un controlador para un sistema lineal en tiempo continuo mediante la técnica del lugar de las raíces.

El sistema de control analógico diseñado se pretende aplicar a un potenciómetro acoplado con un motor cd, con la opción de controlar la posición angular del motor cd.

Justificación:

Con el fin de aplicar los conocimientos adquiridos durante el curso, relacionados con Circuitos Integrados Lineales se desarrollará un proyecto con el cual podamos demostrar el funcionamiento de un sistema de control analógico implementado a un motor de cd acoplado con un potenciómetro. Se desea construir un sistema de posición con elementos de fácil consecución en el mercado local. 

Antecedentes:

El control automático desempeña un papel importante en los procesos de manufactura, industriales, navales, aeroespaciales, robótica, económicos, biológicos, etc. 

Como el control automático va ligado a, prácticamente, todas las ingenierías (eléctrica, electrónica, mecánica, sistemas, industrial, química, etc.), ha buscado la comodidad para hacer la vida mucho más fácil es por esto que se desarrolló, con el fin de entender el principio de funcionamiento de este sistema e implementar un sistema de control que podamos usar para obtener la posición deseada en la salida. 

Desarrollo:

Se requiere diseñar y construir un controlador PID para regular la posición de un motor cd. La figura siguiente muestra el diagrama a bloques del sistema a controlar.

Se puede analizar primero el actuador junto con el controlador con el fin de regular la posición de un motor de corriente directa. Tomando en cuenta lo anterior el diagrama a bloques del subsistema a controlar nos queda tal como se muestra a continuación:

La señal de salida, y, corresponde a la salida del terminal móvil del potenciómetro. Si éste se alimenta con 5 voltios en sus terminales fijos (a y b), producirá un voltaje en su terminal móvil (c) equivalente a su posición. Podemos decir entonces que cuando produce 0 voltios esta en la posición equivalente a 0 grados, 1.25 voltios corresponderá a 90 grados, 2.5 voltios a 180 grados, etc.

La señal de referencia, r, corresponde a la posición deseada. Es decir, si queremos que el motor alcance la posición 180 grados debemos colocar una referencia de 2.5 voltios, si queremos 270 grados colocamos referencia de 3.75 voltios, etc.

La señal de error, e, corresponde a la diferencia entre la señal de referencia y la señal de salida. Por ejemplo, si queremos que el motor alcance la posición de 90 grados colocamos una señal de referencia de 1.25 voltios y esperamos dónde se ubica exactamente. Si se posiciona en 67.5 grados el potenciómetro entregará una señal de salida de 0.9375 voltios y la señal de error, e, será de 0.3125 voltios (22.5 grados).

La señal de control, u, corresponde al voltaje producido por el controlador para disminuir o anular el error. Si la señal de error es positiva indica que la referencia es mayor que la salida real, entonces el controlador coloca un voltaje positivo al motor para que continúe girando hasta minimizar o anular el error. Si por el contrario la señal de error resulta negativa indica que la salida sobrepasó la referencia entonces el controlador debe poner un voltaje negativo para que el motor gire en sentido contrario hasta minimizar o anular el error.

La figura siguiente muestra el sistema de posición al cual se le implementará el controlador y consta, básicamente, de un motor de corriente directa (cd) de imán permanente, al cual se le ha acoplado en el eje un potenciómetro lineal de 0 a 10 KW . El potenciómetro es alimentado con 5 voltios de cd en sus terminales fijos para obtener, de su terminal móvil, una señal que varía de 0 a 5 voltios durante todo el recorrido en sentido dextrógiro (asumamos 360 grados).

Lo anterior quiere decir que nuestro sistema de lazo cerrado respondería ante una orden de ubicación en cualquier posición angular, con gran exactitud. En la práctica no sería así por lo siguiente: imaginemos que qeuremos cambiar la posición del potenciómetro, que está en 0 grados, a la posición correspondiente a 180 grados; aplicamos entonces un voltaje de referencia de 2.5 volts. El sumador resta de 2.5 volts, de la señal de referencia, la señal de voltaje de salida, proveniente del potenciómetro, produciendo la señal de error que será el voltaje que se aplicará al motor.

Como sabemos que existe un voltaje mínimo, superior a cero, el cual el motor no continuará girando porque no es capaz de vencer su propia incercia, éste se detendrá sin lograr alcanzar el objetivo deseado, es decir, sin lograr un error nulo.

Tampoco podemos decir que el sistema de posición no es un sistema tipo 1 sino un sistema tipo 0, ya que en este último el error en ante una señal de referencia escalón, es igual a 

E ( s) 11+K

R (s)

Donde K es la ganancia del sistema en lazo abierto, lo que significa que el error en estado estacionario sería un porcentaje constante de la señal de referencia. En nuestro sistema esto no ocurre ya que si la señal de referencia es alta el voltaje inicial aplicado al motor también sería alto (asumiendo error inicial alto) de tal manera que podría desarrollar una gran velocidad inicial y, cuando alcance valores cercanos a cero de error no ser detendría automáticamente , alcanzando valores de error menores a lo esperado o valores de error negativos. Lo mismo no ocurriría a valores de referencia de magnitud media o baja.

Antes de iniciar con el diseño de un controlador es necesario conocer muy bien la dinámica del proceso a controlar, por lo que se tiene que hacer un estudio de los componentes del sistema.

1. Motor de corriente directa. Los motores de cd de imán permanente tienen, en teoría, un comportamiento lineal, es decir que la velocidad desarrollada será proporcional al voltaje aplicado lo cual no es completamente cierto en todo el rango de voltajes. Por ejemplo, si el motor que se empleará en esta experiencia gira a 500 r.p.m. cuando se le aplican 5 voltios muy posiblemente girará a 250 r.p.m. si se le aplican 2.5 voltios. Pero, si se le aplican 0.5 voltios seguramente ni siquiera alcanzaría a arrancar (debido a que con ese voltaje no logra vencer la inercia) cuando debería girar a 50 r.p.m., aplicando el principio de Superposición, si fuese lineal en todo su rango.El motor tiene un comportamiento lineal aplicándole voltajes (con el potenciómetro desacoplado) desde 0 volts y midiendo la velocidad desarrollada para cada voltaje. Como no se dispone de medidores para sensar la velocidad del motor lo que recurrimos a hacer fue medir la magnitud del voltaje mínimo que necesita para arrancar el motor en ambos sentidos y asumir que a partir de ahí su comportamiento es lineal. Esta asunción es válida teniendo en cuenta que perseguimos un fin netamente académico.

2. Potenciómetro Lineal. Se aplicaron 5 volts de corriente directa entre sus terminales fijos a y b. En forma manual y gradual se comenzó a girar, desde la posición inicial, en sentido de las manecillas del reloj y se midió el voltaje en el terminal c para cada incremento de la posición. El incremento (o decremento) del voltaje debe ser proporcional al incremento o decremento de la posición del potenciómetro.Haciendo la observación que el potenciómetro no gira los 360 grados sino que su máximo desplazamiento angular es de 300 grados, por lo que fue importante tenerlo en mente a la hora de realizar el diseño de la planta.

Al realizar el circuito mecánico , eléctrico y electrónico de cada uno de los componentes del sistema, nos queda de la siguiente manera al desglosar el diagrama de la figura siguiente:

De la figura anterior obtenemos el modelo matemático de cada uno de los bloques del sistema quedando:

Como se puede observar sería muy complicado obtener todas las constantes del sistema, por lo que podemos obtener de otra manera el modelo matemático del sistema de una forma más sencilla.

La función de transferencia de un sistema se define como la relación entre la salida y la entrada del sistema en el dominio de la frecuencia asumiendo condiciones iniciales nulas. Basándose en la definición de la función de transferencia, aplicaremos una señal escalon al sistema, graficaremos la salida, hallaremos las ecuaciones de cada variable en el dominio del tiempo, las llevaremos al dominio de Laplace, y la relación salida-entrada será el modelo matemático del mismo.

La señal de salida correspondiente a una señal tipo rampa:

c (t )=m∗t

Cuya transformada de Laplace será

C ( s )=ms2

Entonces la señal de entrada será de tipo escalón, correspondiente a la amplitud de voltaje de cd que está suministrando

r(t) = V

Cuya transformada de Laplace es:

R (s )=Vs

Por lo tanto nuestra función de transferencia será:

G (s )=C(s)R(s)

= mVs

La ecuación de error es

E ( s)= 11+G (s )H ( s)

R (s )

Donde 

G (s )= mVs

H(s) = 1

Por lo tanto y aplicando teorema de valor final hallamos que el error en estado estable tiene forma:

ess = 0

Lo anterior quiere decir que nuestro sistema en lazo cerrado respondería ante una orden de ubicación en cualquier posición angular, con gran exactitud. En la práctica no sería así por lo siguiente: imaginemos que queremos cambiar la posición del potenciómetro, que está en 0 grados, a la posición correspondiente a 180 grados; aplicamos entonces un voltaje de referencia de 2.5 voltios. El sumador resta de 2.5 voltios, de la señal de referencia, la señal de voltaje de salida, proveniente del potenciómetro, produciendo la señal de error que será el voltaje que se aplicará al motor. 

Con la ayuda de MATLAB se encontraron el lugar de las raíces de nuestro sistema en lazo cerrado, conociendo ya el modelo matemático del sistema, como se muestra:

En la figura podemos apreciar que el polo del sistema en lazo cerrado se traslada desde el origen hasta menos infinito, sobre el eje real negativo, a medida que se aumenta la ganancia del sistema. Esto quiere decir que el sistema responde más rápido a ganancia altas lo cual es correcto ya que la velocidad del motor de cd de imán permanente es proporcional al voltaje aplicado.

Un controlador PID dispone de un componente proporcional (Kp), un componente integrativo (Ti) y un componente derivativo (Td), de tal manera que produce una señal de control igual a:

u=K p(1+1sT i

+sT d)

donde la acción integrativa del controlador tiene su mayor efecto sobre la respuesta estacionaria del sistema (tratando de minimizar el valor de ess) y la acción derivativa tiene su mayor efecto sobre la parte transitoria de la respuesta.

De la información obtenida de la ubicación de los polos y ceros del sistema y del Lugar de las Raíces del mismo podemos concluir:

Por ser un sistema tipo 1, que equivale a decir que el modelo matemático del sistema incluye un integrador, el error en estado estacionario ante una señal escalón será nulo por lo que no necesitará la parte integrativa del controlador. Esta conclusión se tomará como un punto de partida en el diseño del controlador ya que se mencionó que en la práctica este error no será completamente nulo.

El Lugar de las Raíces nos muestra que con solo un controlador proporcional nosotros podemos variar la rapidez de la respuesta del sistema, por lo cual la parte derivativa tampoco será indispensable.

El sumador, o comparador, se puede construir con el amplificador operacional TL082 conectado como muestra la figura 8, en la cual se puede apreciar que el voltaje de salida (terminal 6) es igual a la diferencia de los voltajes de entradas (aplicados a los terminales 3 y 2), que en nuestro caso serán la referencia, r, y la salida del potenciómetro y. 

Un amplificador inversor se implementa con una configuración como la figura siguiente. Se puede apreciar que el voltaje de salida, Vo, es igual al voltaje de entrada, Vi, amplificado R2/R1 veces, pero con polaridad inversa.

Para implementar un control proporcional se puede utilizar la configuración de la siguiente figura. Para corregir la polaridad se emplea otro amplificador inversor, en cascada con ganancia igual a 1, es decir R2 = R1.

Para implementar un controlador integral se puede usar la configuración mostrada:

Para implementar un control derivativo se puede usar la configuración mostrada.

Los valores R y C par el control integral y el control derivativo dependerán de los parámetros Ti y Td calculados. Para el circuito realizado en este proyecto Ti es aproximadamente igual a Rc y Td igual aproximado a Rc.

Como sabemos que los amplificadores operacionales trabajan en su zona de operación lineal solo si la corriente que entra por sus terminales positiva y negativa es aproximadamente cero entonces por esto se decidió poner tanto en el restador como en primer inversor con ganancia de 1 resistencias de valor elevado y en el último inversor se decidió que este tuviera una ganancia de 1.2 ya que de esta forma podemos lograr que cuando ocurra la máxima diferencia entre la señal deseada y la señal de retroalimentación el voltaje generado por controladro sea igual al voltaje de prueba máximo para el que encontramos que el motor CD aun funcionaba como un elemento lineal.

Conclusiones:

Fernando Tomás Pérez Zamudio

Este proyecto se implemento un control P a un sistema de lazo cerrado con el fin de controlar la posición de un motor CD con un movimiento suave o bruco dependiendo del tipo de movimiento realizado en el potenciómetro, ya que es una característica del controlador por ser del tipo proporcional. En este proyecto se puso en práctica lo visto en clase relacionando así la teoría con la práctica, al modelado de los Amplificadores Operacionales que este caso fue entendible y analizado de una manera correcta y concisa  ya que el controlador estaba solo compuesto por un restador y dos inversores unos con ganancia 1 y el otro con una ganancia 1.2 previamente se explicó las razones. También se utilizó un modelo matemático para el potenciómetro lineal comprobando que efectivamente se comportaba de una manera lineal. El problema del motor fue que no tuvimos tal vez el tiempo suficiente para analizarlo a detalle y profundamente, para de esta forma obtener las constantes necesarias para escribir la función de transferencia de cada 

subsistema y después realizar análisis matemático correspondiente para obtener la función de transferencia general. Un punto importante en el proyecto fue el reconocimiento del tipo de control suficiente para realizar el posicionamiento correcto del potenciómetro que fue con un control proporcional.